Eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung + (+ : G x G folgende Axiome erfüllt sind:

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1 Defntonen und Formelsmmlung Für de Voreretung der Lnere Alger Klusur I e Prof. Krcher Chrstoph Tornu toff@gfoot.de Alle Angen we mmer ohne Gewehr. Defntonen von Mengen mt Verknüpfungen : : Verson Defnton: Gruppe Ene Menge G zusmmen mt ener Verknüpfung + (+ : G x G folgende Axome erfüllt snd: G) heßt Gruppe, wenn G: ( + ) + c = + ( + c ),,c G (Assoztvgesetz) G: Es gt en e G (neutrles Element) ds folgende Egenschften G erfüllt:. e + =. Zu jedem G gt es en G (nverses Element) mt + = e Defnton: elsche/kommuttve Gruppe Ene Gruppe heßt kommuttv, flls ußerdem uch noch + = + (Kommuttvgesetz), G glt Immer mehr Axome gelten Defnton: Rng Ene Menge R zusmmen mt zwe Verknüpfungen (R,+,*) +: R x R R *: R x R R heßt Rng, wenn folgendes glt: R: R zusmmen mt der Addton + st ene elsche/kommuttve Gruppe R: (*)*c = *(*c),,c R (Multplkton (*) ssoztv) R: Es gelten de Dstrutvgesetze R:,,c R: ( + ) * c = *c + *c R:,,c R: *( + c ) = *c + *c Defnton: Rng mt R (neutrles Element / Enselement) für ds für R glt: *= Es gt noch ken Kommuttvgesetz Defnton: Kommuttver Rng, R: = * (Kommuttvgesetz) Her gt es ken Enselement Defnton: Schefkörper Dese eden Rngxome werden häufg zusmmen genommen und heßen dnn Kommuttver Rng mt Enselement De Kommuttvtät glt her ncht. Dfür gt es er Inverse ezüglch der Multplkton: R -, so dß glt: * - = Defnton: Körper De Menge K st en Körper, wenn es en Rng st, ndem ds -Element vorkommt, ndem ds Kommuttvgesetz der Multplkton glt, n dem es Inverse der Multplkton gt und ndem es ds neutrle Element ezüglch der Multplkton gt. Sete

2 Surjektv, Injektv und Bjektv: Defnton: Surjektv Se de Aldung f: V W surjektv w W v V, so dß f(v)=w (jedes Element wrd getroffen) Menge A 4 Menge B 4 Defnton: Injektv Ene Aldung f: V W st njektv f(x)=f(y) <=> x=y x y <=> f(x) f(y) (jedes Element wrd nur enml getroffen, es drf Elemente geen, de gr ncht getroffen werden) Menge A Menge B 4 Defnton: Bjektv Surjektv und Injektv Menge A Menge B Aldungen / Homomorphsmen : Defnton: Lner / (Genuer K-Lner oder Homomorphsmus von Vektorräumen) Se f ene Aldung f: V W V, W snd Vektorräume üer demselen Körper K. Glt für x,y V und r K: f(rx+y) = rf(x) + f(y) so heßt f lner. Defnton: Gruppenhomomorphsmus Se f ene Aldung f: G H G,H snd Gruppen und es exsteren de Verknüpfungen G und uf G und H.Glt für, G f( )=f() f() G H so st f en Gruppenhomomorphsmus H Sete

3 Defnton: Rnghomomorphsmus Se f ene Aldung f: V W V,W snd Rnge und es exsteren de Verknüpfungen V und W + W uf W. Glt für, V f( V )=f() W f() f( + V )=f() + W f() so st f en Rnghomomorphsmus + V uf V F ene lnere Aldung V W ; V,W snd Vektorräume Isomorphsmus, wenn F jektv st. Endomorphsmus, wenn V=W Automorphsmus, wenn V=W und F jektv st. Untergruppe und Untervektorrum : Defnton: Untergruppe Se G ene Gruppe mt der Verknüpfung + und G G ene Telmenge. G heßt Untergruppe, wenn für, G glt: + G (geschlossen ezüglch der Verknüpfung +) - G (nverses Element vorhnden) Defnton: Untervektorrum Se V en K-Vektorrum und W V ene Telmenge. W heßt Untervektorrum von V flls folgendes glt: UV: W UV: v, w W v + w W (geschlossen gegenüer der Addton) UV: v W, λ K λv W (geschlossen gegenüer der Multplkton mt Sklren) Der Nullvektor st n jedem Untervektorrum vorhnden. Zu jedem v gt es en v W Jeder UVR ht zwe Untervektorräume: Enml sch selst und enml {0}, woe der Untervektorrum {0} ntürlch nur enen Untervektorrum, nämlch sch selst ht. Defntonen n Hnscht uf Vektorrum : : Defnton: Lner unhängg Se V en K- Vektorrum. Ene endlche Fmle (v,v,...v r ) von Vektoren us V heßt lner unhängg, flls glt: Snd λ,..., λ k K und st λ v λ k v k = 0 so folgt λ =... = λ k = 0 Anders usgedrückt, snd de Vektoren lner unhängg, wenn sch der Nullvektor nur trvl us den v,v,...v r komneren läßt. Defnton: Lner unhängg Se V en K-Vektorrum. Ene endlche Fmle (v,v,...v r ) von Vektoren us V heßt lner hängg, flls glt: Snd λ,..., λ k K und st λ v λ k v k = 0 so folgt: Es gt λ k 0, so dß dese Glechung uf nchttrvle Wese erfüllt wrd. Sete

4 Defnton: Vektorrum Se K en Körper. Ene Menge V zusmmen mt den Verknüpfungen + und * +: V x V V *: R x V wrd Vektorrum gennnt, wenn folgendes glt: (V,+) se ene elsche Gruppe S: λ,µ K, v V λ*(µ*v)= (λ*µ)*v (ssoztv) S: K: v V : * v = v (neutrles Element) D: (λ*µ)*v = λ*v +µ*v (dstrutv) D: λ*(v+w)= λ*v +µ*v ( ) Defnton: Spn Es se V en Vektorrum üer dem Körper K und v,v,...v n V. Jeder Vektor der Form v + v n v n n V mt K heßt Lnerkomnton von v,v,...v n. De Menge solcher Lnerkomntonen ezechnet durch spn (v,v,...v n ) heßt lnere Hülle oder Spn von v,v,...v n. De Vektoren snd ncht zwngend lner unhängg. Defnton: Erzeugendensystem De Vektoren {v,v,...v n } heßen Erzeugendensystem von V, wenn se den Vektorrum gnz ufspnnen: V = spn {v,v,...,v n } Tpp: De Vektoren müssen ncht lner unhängg sen, jedoch müssen mndestens dm V zuennder lner unhängge Vektoren vorhnden sen, dmt se den Vektorrum ufspnnen können. De nderen snd dnn noch so Just for Fun de. Defnton: Bss De lner unhänggen Vektoren {v,v,...v n } heßen Bss von V, wenn se den Vektorrum gnz ufspnnen: V = spn {v,v,...,v n } Es müssen dm V lner unhängge Vektoren vorhnden sen. (Krterum für Bss) Defnton: Kern Se f: V W; V, W snd Vektorräume Kern (f) = {v V f(v) = 0} Defnton: Bld Se f: V W; V, W snd Vektorräume Bld (f) = f(v) = { w W v V mt f(v) = w} Stz: Bssergänzungsstz In enem endlch erzeugten Vektorrum V seen lner unhängge Vektoren w,...,w n gegeen. Dnn knn mn w n+,...,w r fnden, so dß B = { w,...,w n, w n+,...,w r } ene Bss von V st. Sete 4

5 Defnton: Dmenson Ist V en K-Vektorrum, so defneren wr dm K V :=, Flls V kene endlche Bss estzt r, Flls V ene Bss der Länge r estzt / Anzhl der Vektoren n der Bss Bemerke: Alle Bsen snd glech lng dm K V heßt Dmenson von V üer K. Defnton: Rng Ist F ene lnere Aldung F:V W, so st rng f := dm Bld F Sätze uf Vektorräumen: F st njektv <=> Ker (F) = 0 => : D F njektv ht jedes Bld genu nur en Urld. Urld von 0 se n <=> Ker(F) = {n} => F(n) = 0 D F lner muß gelten F(x) + F(n) = F (x + n) <=> F(x) = F(x + n) => n=0 Also Ker (F) = 0 <= : Ker (F) = 0 <=> {v V F(v)=0} Bewes der Injektvtät F(v )=F(v ) <=> F(v ) F(v ) = 0 <=> F(v -v )=0 D Ker (F) = F(n) = F(0) = 0, snd somt v =v L njektv <=> lner unhängg L lner unhängg <= zz: L(v)=L(w) =>... => v = w se V={v,v,...,v n } Bss v,w V, de Bss st lner unhängg und uch L(v ) st lner unhängg L(v)=L(w) <=> L( λ v ) = L ( µ v ) <=> λ L v ) = µ L v ) ( => λ µ ) L( v ) = 0 ( ( => ( λ µ ) v =0 => v=w => zz: L( λ v ) = 0 λ v = µ v <=> λ L v ) = µ L v ) ( => λ µ ) L( v ) = 0 ( => λ ) = 0 ( µ ( Sete 5

6 Stz: Dmensonstz Se f: V W (V,W K-Vektorräume) ene lnere Aldung. Dnn glt: dm V = dm Bld (f) + dm Ker (f) Anzhl der Elemente der Bss n V Anzhl der Elemente der Bss des UVR des Bldes von f Anzhl der Elemente der Bss des UVR des Kerns von f () () D der Kern en UVR von V st, knn mn de Bss {k,k,...,k n } des UVR des Kernes durch Hnzunhme von lner unhänggen Vektoren zur Bss {k,k,...,k n,v n+,...v k } von V ergänzen. (Bssergänzungsstz). Wr lssen de lnere Aldung uf den Bssvektoren von V lufen: k n Bld (f) = µ f ( k ) + λ f ( v ) = = = n+ k k λ f ( ) λ,µ K v = n+. λ L( v ) = 0 Alle λ = 0, d kener der Vektoren m Kern legt. q.e.d. = + n =0 Sete 6

7 Defnton: Äqvlenzrelton Ene Relton uf X heßt Äqvlenzrelton, wenn für elege x,y,z X glt: A: x x (reflexv) A: x y => y x (symmetrsch) A: x y und y z => x z (trnstv) Defnton: Sklrprodukt / Innenproduktrum Ene Aldung <,>: R n x R n R, (x,y) <x,y> heßt Sklrprodukt, wenn x,x,y R n folgendes glt: S: <x+x,y> = <x,y> + <x,y> (Lnertät) S: <x,y> = <y,x> (Symmetre) S: <x,x> 0 und <x,x> = 0 => x=0 (Postv und defnt) Defnton: Norm Ene Aldung : R n R +, heßt Norm, wenn folgende Axome gelten N: x = 0 <=> x= 0 N: λx = λ * x N: x+y x + y z.b. st x x := < x, x > ene Norm. Defnton: Cuchy-Schwrzsche Unglechung <x,y> x * y Defnton: Permutton Ene Permutton ρ der Menge {,,...,n} st ene endeutge jektve Aldung der Menge uf sch selst oder entsprechend ene Umordnung der Zhlen,,...,n. Sete 7

8 Rechnen uf Mtrxen: Verfhren: Mtrxmultplkton = Verfhren: Determnntenestmmung Ene x Determnnte folgendermßen estmmt werden): det = - Verfhren: Determnntenestmmung mt Hlfe von Lplce Mn wählt + und schchrettmusterrtg. Wenn wr ds oerste lnke Element etrchten, dnn ekommt es en +, lle nderen folgen dnn schchrettmusterrtg: det 4 + det - det = det det det det = det det Des knn mn nun m nächsten Schrtt weterführen, s mn uf x Mtrxen kommt. Von desen knn mn gnz enfch (oen eschreen) Determnnten usrechnen. Mn knn uch Determnnten von x Mtrxen so usrechnen. Aer de Formel st komplzerter und so lohnt es sch ncht dese uswendg zu lernen. Sete 8

9 Gesetze zur Verenfchung der Determnntenestmmung De Determnnte ener Mtrx und de hrer Trnsponerten A T snd glech;ds heßt det A = det A T (Ene Trnsponerte st de Speglung n der Dgonlen) Wenn ene Zele oder Splte der Mtrx us Nullen esteht, so st det A =0 Wenn A zwe gleche zw. lner hängge Zelen (Splten) estzt, dnn glt eenflls det A = 0 Wenn A ene Dreecksmtrx st, d.h. oerhl und unterhl der Dgonlen nur Nullen ht, dnn st det A glech dem Produkt hrer Dgonlelemente. Defnton: klsssche Adjunkte (ncht so wchtg) Für jeden Wert n der Mtrx wrd de Determnnte der Mtrx estmmt, de entsteht, wenn mn de Zele und Splte strecht, n der der Wert steht. Ds Vorzechen lternert. Ds ergt dnn ene neue Mtrx glechen Ausmßes: (Bespel für ene x Mtrx) det dj = det det = det det det det det det Verfhren: Grm Schdtsches Orthogonlserungsverfhren w = v < v, w > w = v - w w < v, w > w = v - w w... < v, w > w - w < v w n = v n - n, w > w w < v n, w > w - - w w < v n, w > < vn, wn > w w n w n Sete 9

10 Dgonlserung: Defnton: Chrkterstsches Polynom X A (t) = det (ti n -A) A: Ausgngsmtrx I: Identtätsmtrx Defnton: Egenwert Se F en Endomorphsmus des K-Vektorrums V. De Mtrx zu desem Endomorphsmus se A. En λ K heßt Egenwert von F, wenn es en v V mt v 0 gt, so dß glt A v = λ v Defnton: Egenvektor Se F en Endomorphsmus des K-Vektorrums V. De Mtrx zu desem Endomorphsmus se A. λ K st Egenwert von F. Allev V, v 0 heßen Egenvektoren, wenn glt A v = λ v Defnton: Egenrum De Menge Stz: Dgonlserr Eλ ller Egenvektoren, de zu λ gehören, st en Unterrum von K n gennnt Egenrum. Ene n-qudrtsche Mtrx A st ener Dgnolmtrx D dnn und nur dnn ähnlch (A st dgonlserr), wenn A n lner unhängge Egenvektoren ht. Verfhren: Dgonlserung De Enge st ene n-qudrtsche Mtrx A Schrtt : Ermttle ds Chrkterstsche Polynom von A Schrtt : Ermttle de Nullstellen deses Polynoms, um de Egenwerte (λ) von A zu erhlten Schrtt : Wederhole de folgenden Schrtte für jeden Egenwert. Blde M= A-λd (Der Egenwert wrd von llen Werten n der Dgonlen gezogen. So erhält mn M). Ermttle de Bss für de Lösungsmenge des homogenen Systems MX=0 (Des snd de lner unhänggen Egenvektoren von A) Schrtt 4: Betrchte de Menge S = {v,...,v m } ller Egenvektoren. Wenn dm S n, so st de Mtrx ncht dgonlserr.. Wenn dm S = n, dnn st P de Mtrx deren Splten de Egenvektoren snd und λ D = P AP = λ... λ n Sete 0