Übung Praktische Informatik II

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1 Übung Praktische Informatik II FSS 2009 Benjamin Guthier Lehrstuhl für Praktische Informatik IV Universität Mannheim

2 Heutige große Übung Allgemeines Negative Binärzahlen: Zweierkomplement, Excess-Darstellung Binäre Kommazahlen: Festkomma-, Fließkommazahlen Huffman-Codes, Beispiel Der Hamming-Code

3 Allgemeines Voraussetzung zum Bestehen von PI2 Kolloquium nach Kapitel 4, voraussichtlich nach Ostern 45 von 90 Punkten in der Klausur (50%) Ist beides erreicht, dann errechnet sich Gesamtpunktzahl für PI2 aus [Klausurpunkte] + [ÜB-Punkte %] * 38 Ergibt Punktzahl zwischen 45 und 128 Divergenz von Vorlesung und Übungsblättern (siehe 2. Übungsblatt) Grund: Kapitel 3 ungeeignet für Übungen

4 Zweierkomplement Bei fest vorgegebener Bitanzahl Methode zur Repräsentation negativer Werte Eigenschaften Vorzeichen am ersten Bit ablesbar Nur eine Repräsentation der Null Asymmetrischer Wertebereich (z.b bei 8 Bit) Subtraktion auf Addition mit negativer Zahl zurückführbar Generell gilt: Interpretation der selben 8-Bit-Binärzahl als viele verschiedene Dezimalzahlen möglich Korrekte Interpretation abhängig von Kontext Beispiele dazu später

5 Zweierkomplement-Darstellung Aufgabe: Vorgegebene Dezimalzahl soll als 6 Bit in Zweierkomplement- Darstellung angegeben werden Vorgehensweise Wertebereich muss [ ] sein Positive Zahlen direkt darstellbar Bei negativen Zahlen Berechnung der positiven Binärzahl und Negation mit Zweierkomplement Also her mit den Dezimalzahlen!

6 Binäre Subtraktion Zwei Möglichkeiten: Schulmethode und Addition mit Zweierkomplement = =

7 Excess-Darstellung Vorgegebener Bias-Wert (z.b. Zweierpotenz) wird zu Zahl addiert Wertebereich wird ins Positive verschoben und normal umgerechnet Beispiel: 6-Bit-Zahl mit Bias 32 (2^5) Eigenschaften Nur eine Repräsentation der Null Ordnung der Zahlen bleibt erhalten Bei 2 n-1 als Bias: Äquivalent zu Zweierkomplement mit invertiertem Vorzeichen Gleicher Wertebereich wie bei Zweierkomplement Keine Subtraktion durch Negation und Addition möglich

8 Excess-Darstellung (2) Aufgabe: Vorgegebene Dezimalzahl soll als 6 Bit in Excess-Darstellung angegeben werden. Bias ist 32. Vorgehensweise Wertebereich muss ebenfalls [ ] sein Addiere immer 32 dazu Rechne mit Bias versehene Zahl direkt in Binärsystem um Und wieder her damit!

9 Bemerkungen Vorlesungsfolie 2-23: IEEE 754 Gleitkommazahlen Exponent hat 8 Bits, Bias ist 127 Wertebereich müsste sein: [0..255]-127 = [ ] Tatsächlich aber [ ] Grund: und sind reserviert Beispiel einer 6-Bit-Zahl mit drei Interpretationen: Vorzeichenlos: Vorzeichen, Zweierkomplement: Vorzeichen, Bias 32:

10 Festkommazahlen Darstellung einer binären Kommazahl durch feste Anzahl an Vor- und Nachkommastellen Hier als Beispiel: 3 Vor- und 3 Nachkommastellen (6 Bits) Umrechnung von Dezimalzahl in binäre Festkommazahl Getrennte Betrachtung der Vor- und Nachkommastellen Zuerst Umwandeln des ganzzahligen Anteils wie gewohnt Wiederholtes Multiplizieren des Nachkommateils mit 2 und Herausschreiben und Streichen der entstehenden Vorkommastellen Beispiel: 3,25 (und weitere)

11 Festkommazahlen (2) Zwei Möglichkeiten zum Umrechnen von binär nach dezimal Betrachtung der Bit-Wertigkeiten: 2 2, 2 1, 2 0, Komma, 2-1, 2-2, 2-3 Verschieben des Kommas um drei Stellen nach rechts, Umrechnung als Ganzzahl, Division durch 2 3 = 8 000, ,

12 Fließkommazahlen Darstellung einer Kommazahl durch Mantisse (entspricht dem Betrag der Zahl) Vorzeichen der Mantisse Exponent (entspricht Größenordnung der Zahl, beinhaltet Vorzeichen) Beispiele im Dezimalsystem: 31,415 * 10-1 oder 0,2009 * 10 4 Eine Zahl hat beliebig viele Darstellungen, daher Normierung Konvention: Genau eine Stelle vor dem Komma Aus obigen Zahlen wird:

13 Fließkommazahlen, binär Basis ist 2 Feste Bitlängen, zum Beispiel: Mantisse: 4 Bits Exponent: 3 Bits Vorzeichen: 1 Bit Normierung der Mantisse: Genau eine Eins vor dem Komma Beispiel: 1,1001 Führende 1 wird nicht angegeben (Hidden Bit) Exponent in Excess-Darstellung (hier z.b. Bias 4)

14 Fließkommazahlen, binär (2) Verfahren zur Umrechnung von dezimal nach binär: Zuerst Umwandeln der Zahl in binäre Festkommazahl Genügend signifikante Bits berechnen (hier 5 Bits) Exponent hat Startwert 0 Verschieben des Kommas, so dass 1,xxxxx entsteht Bei Verschieben nach links, Erhöhen des Exponenten um Eins (und umgekehrt) Festkommazahl ohne Hidden Bit ist die Mantisse Bias zu Exponent addieren und binär aufschreiben Vorzeichen der Mantisse aufschreiben

15 Fließkommazahlen, binär (3) Beispiel: 3,2 Beispiel: 0,

16 Huffman-Codes, Beispiel p(0) = 0.5, p(1) = 0.1, p(2) = 0.15, p(3) = 0.25 Mittlere Bitlänge pro Zeichen:

17 Hamming-Code Codiert 4 Bits unter Verwendung von 7 Bits (3 davon Paritätsbits) Erlaubt Korrektur von 1-Bit-Fehlern Datenbits: m 1, m 2, m 3, m 4 Paritätsbits: p 1, p 2, p 3 Jedes Paritätsbit bezieht sich auf jeweils 3 Datenbits (Tabelle...) Codieren der Zahl 12:

18 Hamming-Code, Decodierung Neuberechnung der drei Paritätsbits Bitweises XOR mit ursprünglichen Paritätsbits Ergibt Differenz-Paritätswort. Eins, wo sich Paritäten unterscheiden Differenz-Parität gibt Aufschluss über Fehlerposition (Tabelle, Beispiel)

19 Noch Fragen?

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