LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZUM 7. ÜBUNGSBLATT IN LINEARER ALGEBRA II

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1 LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZUM 7. ÜBUNGSBLATT IN LINEARER ALGEBRA II Prof. Werner Bley, Frnz Gmeineder Deember 9, 211 Aufgbe 1 Obwohl ds Resultt dieser Aufgbe niht sehr tiefliegend ist, ht es doh eine gnz wihtige Bedeutung: In einem unitären und dher selbstverständlih uh euklidishen Vektorrum knn ds Sklrprodukt us der Norm rekonstruiert werden. Doh nun zum eigentlihen Beweis. Wir müssen zeigen, dss gilt x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2 = 4 x, y Hierzu berehnen wir die einzelnen Summnden der linken Seite: x + y 2 = x, x + 2R x, y + y, y 1 x y 2 = x, x 2R x, y + y, y 2 Ds ergibt shon ml x + y 2 x y 2 = 4R x, y. Weiters hben wir x + iy 2 = x, x + i y, x i x, y + y, y 3 x iy 2 = x, x i y, x + i x, y + y, y 4 Ziehen wir Gleihung 4 von Gleihung 3 b, so erhlten wir Insgesmt folgt somit und ds wr zu zeigen. x + iy 2 x iy 2 = 2i y, x x, y = 2i ii x, y = 4I x, y x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2 = 4 R x, y + ii x, y = 4 x, y b Wir zeigen i ii iii i i ii Behte, dss die zu f djungierte Abbildung f definiert ist vi f x, y = x, f y x, y V Nun ist nur noh zu behten, dss für einen normlen Endomorphismus f f = f f gilt - dnn folgt nämlih f x, f y = x, f f y }{{} = x, f f y }{{} = f x, f y Dbei hben wir bei benutzt, dss f norml ist und bei, dss f = f gilt. D die Gleihung für lle x, y V gilt, hben wir die erste Impliktion bewiesen. ii iii Wir setzen einfh in ii x = y und erhlten f x 2 = f x, f x = f x, f x = f x 2. Wurzelziehen uf beiden Seiten liefert die Behuptung, d Normen stets nihtnegtiv sind. 1

2 2 iii i Ein Sklrprodukt ist stets niht-usgertet. Ds heißt, Sei nun x V beliebig. Dnn folgern wir y V : y, x = x = x, f f x = f x, f x = f x 2 = }{{} = f x 2 = f x, f x = x, f f x wobei wir bei die Vorussetzung iii verwendet hben. Dmit folgt ws x V : f f x = f f x impliziert. x V : x, f f x f f x = Aufgbe 2 Wir müssen zeigen, dss die ngegebene Formel eine positiv definite hermiteshe Form uf C [x] definiert. Wir zeigen lso zunähst, dss, eine Sesquilinerform ist. Die Additivität in beiden Argumenten vererbt sih wegen f + g = f + g uh uf unser Sklrprodukt. Andererseits ist für beliebige p, q V n und λ C: Andererseits gilt: λp, q = λp z q zdxdy = λ p, λq = p z λ q zdxdy = λ p z λq zdxdy = p z q zdxdy = λ p, q p z q zdxdy = λ p, q Dmit hben wir die Sesquilinerität gezeigt. Nun zur Hermitezität von,. Hier bedienen wir uns der Erläuterung uf dem Übungsbltt. Seien p, q V n. Dnn gilt: q, p = q z p zdxdy = q zp z dxdy = p, q q zp zdxdy = }{{} Allerdings müssen wir noh begründen, wrum die Umformung gerehtfertigt ist. Hierzu shreiben wir f z = f 1 z + i f 2 z. Dnn gilt f z = f 1 z if 2 z. Hiermit folgern wir, dss f zdxdy = f 1 z dxdy i f 1 z + if 2 zdxdy = }{{} Def f 2 z dxdy = f z dxdy gilt. Somit hben wir begründet und hben die Hermitezität gezeigt. Nun zur positiven Definitheit. Sei p V n. Dnn folgt p, p = p z p zdxdy = p z 2 dxdy Nun behte, dss p z 2 ist für lle z C. Ds heißt insbesondere, dss p z reell und nihtnegtiv ist. Für z = x + iy shreiben wir kürzer z = x, y. Wir zeigen nun: p, p = p z = z

3 3 Für lle y ist die Funktion q y = p, p d p x, y 2 dx nihtnegtiv und stetig. Ersteres folgt drus, dss wir eine nihtnegtive! Funktion über ein Intervll [, d] mit < d integrieren. Die zweite Aussge sieht mn, indem mn sih klr mht, dss eine Stmmfunktion von p x, y 2 bezüglih x wieder ein Polynom in y ist - und Polynome sind stetig. Wir erhlten p x, y 2 dxdy = D < b ist nh Vorussetzung und q nihtnegtiv, folgt p x, y 2 dxdy = q y dy q y dy Andererseits wissen wir us der Anlysis 1, dss für eine nihtnegtive, stetige Funktion q uf einem Intervll [, b] gilt: Es folgt: = q y dy = y [, b] : q y = p x, y 2 dxdy = q y dy y [, b] : q y = x, y [, b] [, d] : p x, y 2 = Also gilt uh p, p = z: p z =. Dmit hben wir gezeigt, dss durh die ngegebene Struktur ein Sklrprodukt uf V n definiert wird. b Nh Definition ist V 1 der Vektorrum! der Polynome ersten Grdes über C, d.h. seine Elemente hben die Form p z = + 1 z Dbei seien sowohl die Konstnten, 1 ls uh die Vrible z komplexe Zhlen. Wir wenden ds Grm-Shmidtshe-Orthonormlisierungsverfhren n. Dher beginnen wir mit dem konstnten Polynom p 1 z = 1 Im ersten Shritt müssen wir p 1 lediglih normieren. Allerdings ist ds hinfällig, denn Im zweiten Shritt wählen wir p1, p 1 = 1 Nh Grm-Shmidt erhlten wir vi 1 1 dxdy = 1 1 = 1 P 2 z = z z 1, z eine Polynomfunktion, die zu P 1 orthogonl ist. Hierzu müssen wir 1, z berehnen: 1 1 x iy dxdy = 1 [ x 2 2 iyx ] 1 dy = [ ] 1 y 2 iy2 = i iy dy = Wir erhlten ls orthogonle Polynomfunktion demnh z z i 1 2. Wir normieren sie noh; eine längere Rehnung ergibt ihre Norm. Dmit ist 7 6 p 2 z = 6 z i1 2

4 4 unsere gesuhte orthonormle Polynomfunktion. Die Polynomfunktionen p 1, p 2 liefern unsere Orthonormlbsis von V 1. Aufgbe 3 Es reiht us, die Aussge für zwei solhe normlen Endomorphismen zu zeigen; der Rest folgt induktiv. Wir notieren mit E f i, λ den Eigenrum von f i zum Eigenwert λ. D f i für lle i N norml ist, ist f i nh Vorlesung orthogonl digonlisierbr. Ds heißt insbesondere, dss wir V durh die orthogonle Summe der Eigenräume zerlegen können: V = E f i, λ 1 E f i, λ k Anlog können wir dsselbe für f j durhführen: V = E f j, µ 1 E f j, µ l Hierbei seien λ 1,, λ k die vershiedenen Eigenwerte von f i und µ 1,, µ l diejenigen von f j. Nun kommt der CLOU: Für λ {λ 1,, λ k } ist der Eigenrum E f i, λ f j -invrint. Ds heißt: f j E f i, λ E f i, λ Hierzu sei x E f i, λ. Dnn gilt: f i f j x = f j f i x = f j λx = λf j x Also ist f j x selbst Eigenvektor von f i zum Eigenwert λ, liegt demnh wieder in E f i, λ. Wir zerlegen nun einen beliebigen Eigenrum E f i, λ q, q = 1,, k, indem wir setzen und zeigen. Zunähst ist H q, r = E f i, λ q E f j, µ r, r = 1,, l E f i, λ q = H q, 1 H q, l E f i, λ q = l H q, r D ber Eigenvektoren zu vershiedenen Eigenwerten utomtish liner unbhängig sind, reduziert sih dies zu E f i, λ q = H q, H q, r Sei nun x H q, r. Dnn gibt es für r = 1,, l Vektoren x r E f j, µ r so dss x = und die x 1,, x r orthogonl sind shließlih gilt j V = E f j, µ 1 E f j, µ l. Dnn folgt ber f i x = l x r l f i x r = λ q x = Mit der Eindeutigkeit der orthogonlen Summe shließen wir: l λ q x r f i x r = λ q x r für r = 1,, l Dmit folgt x r E f i, λ q und shließlih x r H q, r nh Konstruktion von H q, r. Die Orthogonlität der Räume H q, r vererbt sih von der Orthogonlität der Eigenräume E f j, µ 1,, E f j, µ l. 1 Somit erhlten wir eine Orthonormlbsis von E f i, λ q us gemeinsmen Eigenvektoren von f i und f j. Dies führen wir nun für jeden Eigenrum E f i, λ 1,, E f i, λ k durh. D diese Räume orthogonl sind, führt die Vereinigung ll dieser Bsen zum Ziel. Nun überlegen wir uns noh, wie ds Verfhren verllgemeinert werden knn. Hierzu überlegt mn sih lediglih, dss unter den gegebenen Vorussetzungen für normle, vertushende 1 Ds knn mn leiht nhnd der Definition sehen.

5 5 Endomorphismen f i, f k folgendes gilt: f i f k ist wieder norml und vertusht mit jedem nderen f l. Alles in llem sind wir n dieser Stelle fertig. ANMERKUNG DES LÖSUNGSSKIZZENKOMPONISTEN: Die Existenz einer gemeinsmen Orthonormlbsis ist eine Grundsäule der Quntenmehnik. In ihr betrhtet mn beobhtbre Größen Observblen ls selbstdjungierte Opertoren. Diese sind utomtish norml; vertushen sie zusätzlih, dnn ist mn in der Lge, bestimmte Eigenshften der Observblen gleihzeitig, lso simultn zu messen! Aufgbe 4 Wir zeigen, dss Z [ ] = { + b :, b Z } ein euklidisher Ring ist. Hierzu mhen wir uns zunähst klr, dss Z [ ] überhupt ein Integritätsring ist. Mn überlegt sih leiht, dss Z [ ] C gilt. Somit vererben sih für + und lle Rehengesetze von C uf Z [ ] d.h. Kommuttivität, Assozitivität, Distributivität. Ds Element 1 = 1 + ist ds Einselement und = + ds Nullelement. Wir zeigen nun, dss Z [ ] unter den Opertionen + und bgeshlossen ist. Seien hierzu, b,, d Z. Dnn folgt mit der Assozivität und Kommuttivität von C + b + + d = + b + + d + b + + d = 2bd + b + d Es sind + b, + d, 2bd, b + d Z und wir erhlten die Abgeshlossenheit. Mit diesen Überlegungen ist Z [ ] ttsählih ein Teilring von C mit derselben und 1 - und dher ein Integritätsring. Es bleibt zu zeigen, dss Z [ ] ein euklidisher Ring, und hierfür müssen wir einen euklidishen Betrg φ ngeben. Zur Wiederholung: Wir nennen einen Integritätsring R euklidish, wenn es eine Abbildung φ: R \ {} N mit der folgenden Eigenshft gibt: Zu beliebigen, b R und b existieren q, r R mit = qb + r und r = oder φ r < φ b Eine solhe Abbildung φ heißt dnn euklidisher Betrg. In unserem Beispiel geshieht ds durh die Whl φ + b = 2 + 2b 2 oder, wenn wir die komplexe Shreibweise bevorzugen, durh + b 2i 2 = + b b. Dies nennen wir die Norm von + b. NUN ETWAS THEORIE: Mit der komplexen Shreibweise sehen wir leiht, dss φ: Z [ ] N bbildet und multipliktiv ist: φ + b + d = + b + b + d + d = = φ + b φ + d Wir zeigen nun einen kleinen Hilfsstz, der sih später ls nützlih erweist: u Z [ ] φ u = 1 Dbei sind Z [ ] die invertierbren Elemente von Z [ ]. Dies folgt so: Sei u Z [ ]. Dnn gibt es ein u Z [ ] mit uu = 1. ds wiederum ergibt: 1 = φ 1 = φ uu = φ u φ u Es folgt φ u = 1, d φ: Z [ ] N bbildet. Andererseits ist φ u = uu = 1, und ds impliziert u Z [ ]. Ws ist jedoh Z [ ]? Nh dem vorherigen Hilfsstz shließen wir mit u = + b u Z [ ] φ u = b 2 = 1 { 1, 1} u { 1, 1}

6 6 d, b Z sind. Also gilt Z [ ] = { 1, 1}. ZURÜCK ZUM EIGENTLICHEN BEWEIS: Wir wollen nun klären, wrum die Norm einen Euklidishen Betrg liefert. Hierzu überlegen wir uns, dss die Punkte us Z [ ] ein Gitter in C bilden. Hierdurh entstehen Rehteke der Höhe 2 und der Breite 1. Die Digonle eines solhen Rehteks ht die Länge 3. Wir nehmen uns nun, nlog zur Definition, Z [ ] und b Z [ ] \ {}. Aufgefsst ls Elemente in C können wir ds Produkt b 1 bilden. In einem Kreis K 1 b 1 = { z C: z b 1 < 1 } liegt immer ein Element von Z [ ]. Ds folgt drus, dss ein Punkt uf/innerhlb des Rehteks von dem nähsten Gitterpunkt mximl den Abstnd Digonlenlänge = 2 < 1 ht. Dieses Element wollen wir q tufen. Setzen wir weiters r = qb, so erhlten wir: φ r = φ qb = qb qb = b 1 q bb 1 q b = = b 1 q b 1 qbb = b 1 q 2 φ b }{{} < φ b wobei wir bei usgenutzt hben, dss eben b 1 q 2 < 1 nh Konstruktion gilt. Dmit sind wird fertig. BEMERKUNG: Mn mhe sih klr, dss der Beweis für Z [ 3 ] niht funktioniert.