Physik 1 ET, WS 2012 Aufgaben mit Lösung 5. Übung (KW 48) Verschiebungsarbeit )

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1 5. Übung (KW 48) Aufgabe 1 (M 4.1 Veschiebungsabeit ) Welche Abeit muss aufgewendet weden, um eine Fede mit Fedekonstanten k (a) ohne Vospannung, d. h. von de Vospannlänge x 1 0, (b) von de Vospannlänge x cm um x zusammenzudücken? x 10 x/[cm] k 300 N m 1, x 10.0 cm Aufgabe (M 4. Fede ) Ein Köpe de Masse m wid in de Höhe z 1 losgelassen und tifft bei z 0 auf das Ende eine senkecht stehenden Fede mit de Fedekonstanten k, die den Fall des Köpes bemst. (Die Masse de Fede wid venachlässigt.) (a) Bis zu welchem Ot z wid die Fede maximal zusammengedückt? (b) Welche Geschwindigkeit v z3 hat de Köpe, wenn die Fede bis zu Stelle z 3 zusammengedückt ist? (c) Welche Leistung P 3 entwickelt die Fede bei z 3? (d) Stellen Sie die gesamte potentielle Enegie des Systems als Funktion von z im Beeich 0.3 m z 0.6 m gafisch da. Lösen Sie an Hand dieses Diagamms gafisch: De Köpe de Masse m fällt aus de Höhe z 4 auf die Fede. Bis zu welche Stelle z 5 wid die Fede zusammengedückt? Übepüfen Sie außedem das Egebnis von Aufgabenteil (a) an diesem Diagamm! m 10.0 kg, z m, z m, z m, k N m 1 Jens Patommel <patommel@xay-lens.de> Seite 1 von 14

2 Aufgabe 3 (M 4.7 Bus ) Ein vollbesetzte Bus hat die Masse m. (a) Welche Abeit W 1 bingt de Moto bei jedem Anfahen bis zum Eeichen de Geschwindigkeit v 1 auf ebene Staße auf? (b) Welche maximale Leistung P 1 und welche duchschnittliche Leistung P wäen efodelich, wenn das Anfahen auf eine ebenen Stecke s 1 gleichmäßig beschleunigt efolgen wüde? m 10 t, v 1 30 km h 1, s m Aufgabe 4 (M 4.8 Schleifenbahn ) Ein Köpe (Masse m) soll, nachdem e von eine Fede (Fedekonstante k) abgeschossen wude, eine Schleifenbahn vom Radius eibungsfei duchlaufen. m (a) Um welches Stück x 0 muss man die Fede spannen, damit de Köpe die Schleifenbahn geade noch duchläuft, ohne heuntezufallen? (b) Wie goß ist die Zwangskaft de Schiene, wenn de Köpe geade in die Keisbahn eingelaufen ist (F 1 ) bzw. die Keisbahn geade velassen hat (F 0 )? m 0 g, k 4.8 N cm 1, 0.50 m Aufgabe 5 (M 4.13 zweite kosmische Geschwindigkeit ) Man beechne die zweite kosmische Geschwindigkeit! (Mit andeen Woten: Mit welche Geschwindigkeit v muss ein Köpe die Edobefläche velassen, wenn e die Edanziehung geade noch übewinden soll?) Jens Patommel <patommel@xay-lens.de> Seite von 14

3 Aufgabe 6 (M 4.6 Pumpe ) Aus einem Salzbegwek soll eine Pumpe Salzsole de Dichte ρ auf die Höhe h heben. Mit welche Leistung P muss die Pumpe betieben weden, wenn sie die Stomstäke I (Volumen duch Zeit) ezeugen soll? ρ 1.15 g cm 3, h 50 m, I 360 l min 1 Aufgabe 7 (M 4.10 Kugelutsch ) Vom höchsten Punkt eine Kugel (Radius ) gleitet eine Punktmasse eibungsfei und löst sich an eine bestimmten Stelle von de Kugelobefläche. Um welchen Höhenunteschied h liegt diese Stelle tiefe als de höchste Punkt? m h m Jens Patommel <patommel@xay-lens.de> Seite 3 von 14

4 Lösung zu Aufgabe 1 Die von de Umgebung an einem System veichtete Abeit ist definiet als das Wegintegal übe das Skalapodukt d F a ( ) entlang des Weges C, wobei C vom Punkt A zum Punkt B veläuft und F die von außen auf das System ausgeübte Kaft dastellt: W C A B d F ( a ( ) d F a ( ) cos d, F ) a ( ). C C Wenn eine Fede zusammengedückt wid, muss die von de Fede ausgeübte Kaft F F kompensiet weden, d. h. von außen muss die Kaft F a F F aufgebacht weden. Diese von außen aufgebachte Kaft veläuft wähend des gesamten Vogangs paallel zum Weg ( F a d ) und zeigt stets in dieselbe Richtung wie diese ( F a 0 d 0 ). 1 Wid eine Fede, die bei x 0 entspannt ist, von x 1 auf x zusammengedückt, so gilt fü die an de Fede veichtete Abeit: W x1 x x 1 x 0 dx F a (x) cos (d, ) x x 1 dx F a (x) cos(0) x x 1 dx kx 1k ( x x1) xx x 1 W x (x 1 ) 1 k ( (x 1 + x) x 1) 1 k( x) + kx 1 x W x (0) + kx 1 x. (a) (b) W 0.10 m (0.00 m) N m 1 (0.10 m) 1.5 J W 0.10 m (0.05 m) W 0.10 m (0.00 m) N m m 0.10 m 3.0 J Lösung zu Aufgabe (a) Die Gesamtenegie E ges setzt sich zusammen aus de potentiellen Enegie E g im Schweefeld de Ede, de potentiellen Enegie E F de Fede und de kinetischen Enegie E kin. Am Anfang ist die Fede entspannt und de Köpe befindet sich in Ruhe, deshalb sind die Fedeenegie und die kinetische Enegie am Anfang 0, die Gesamtenegie betägt also am Anfang E ges1 E g1 mgz 1. Wenn die Fede (bei z ) maximal zusammengestaucht ist, ist de Köpe in Ruhe, die kinetische Enegie ist dann wiedeum Null. Die Gesamtenegie im Zustand de maximal gestauchten Fede betägt E ges E g + E F mgz + 1 kz. 1 Die Scheibweise v 0 vewende ich stellvetetend fü den Einheitsvekto, de in dieselbe Richtung weist wie v, d. h. v 0 v v. Jens Patommel <patommel@xay-lens.de> Seite 4 von 14

5 Es gilt de Enegieehaltungssatz, wonach die Gesamtenegie konstant ist: E ges1 E ges mgz 1 mgz + 1 kz z + mg k z mg k z 1. Diese quadatische Gleichung kann man duch quadatische Egänzung ode mittels p-q-fomel nach z auflösen: ( ) z mg 1 ± 1 + kz 1. k mg Das positive Vozeichen bedeutet eine Steckung und das negative Vozeichung eine Stauchung de Fede, wobei das positive Vozeichung nu dann eine gültige Lösung egibt, wenn de Köpe bei de Aufwätsbewegung mit de Fede fest vebunden bleibt (mittels eines Kopplungsmechanismus, zum Beispiel duch Magnetkaft). Ist de Köpe nu lose mit de Fede vebunden, wid e sich von ih lösen, sobald die Gleichgewichtslage eeicht ist. Daum bauchen wi uns abe keine Gedanken zu machen, denn gefagt ist nach de Position de maximalen Fedestauchung, nicht nach de maximalen Steckung. Die Lösung lautet also z mg k ( kz 1 mg 10 kg 9.81 m s 1.96 kn m cm. ) kn m m 10 kg 9.81 m s (b) Die Position z 3 liegt zwischen z und 0, also in jenem Beeich, wo sowohl die Fedeenegie als auch die kinetische Enegie zu Gesamtenegie beitagen. Nach dem Enegieehaltungssatz gilt mgz 1 mgz kz mv z3 v z3 ± g(z 1 z 3 ) k m z 3 (.1) ± 9.81 m s 1.96 kn m 1 (0.6 m 0.1 m) (0.1 m) 10 kg ±3.4 m s 1. Das positive Vozeichen de Geschwindigkeit bedeutet, dass sich de Köpe auf dem Weg nach oben und das negative Vozeichen, dass sich de Köpe auf dem Weg nach unten befindet. Jens Patommel <patommel@xay-lens.de> Seite 5 von 14

6 (c) Die Leistung ist die Zeitableitung de Abeit bzw. Enegie, die Momentanleistung de Fede betägt somit P F (t) dw F(t) d KR 1k dz dz(t) dz [ 1 kz(t)] 1 k dz(t) 1k z(t) v z(t) kz(t) v z (t) (.1) ±kz(t) }{{} F F (z(t)) df(g) dg(x) dg dx g [z 1 z(t)] k m z(t), wobei ich die Kettenegel df(g(x)) und Gleichung (.1) mit z dx 3 z(t) vewendet habe. Zum Zeitpunkt t 3 mit z 3 z(t 3 ) entwickelt die Fede die Leistung P 3 P F (t 3 ) ±kz(t 3 ) g [z 1 z(t 3 )] k m z(t 3) ±kz 3 g [z 1 z 3 ] k m z 3 ±1.96 kn 0.1 m 3.4 m s 1 ±0.67 kw. E/J E pot E ges1 50 E ges Ekin(z3) Ekin,max 10 z z 5 z z z 1 z /m 10 Jens Patommel <patommel@xay-lens.de> Seite 6 von 14

7 E/J E ges 50 E pot 10 E kin z z z 1 z /m 10 E/J E ges 50 E F E pot E kin 10 z z z 1 z/m E g Lösung zu Aufgabe 3 (a) Die vom Moto zum Anfahen des Busses zu veichtende Abeit ist die Diffeenz aus kinetische Enegie E kin1 nach Eeichen de Geschwindigkeit v 1 und de kinetischen Anfangsenegie E kin0 : W 1 E kin1 E kin0 1 mv kj. Jens Patommel <patommel@xay-lens.de> Seite 7 von 14

8 (b) Die momentane Leistung P (t) beechnet sich aus de Zeitableitung de zu Beschleunigung veichteten Abeit, also de kinetischen Enegie: P (t) dw (t) d [ 1 mv(t)] 1 dv(t) mdv dv m v(t) a(t) 1 m v(t) a(t) ma 0 v(t). (3.1) Im letzten Schitt wid ausgenutzt, dass die Beschleunigung konstant efolgt. Wi suchen das Maximum de Leistung im Zeitintevall [0, t 1 ]. Dazu bilden wi die este Zeitableitung: dp (t) d [ ma0 v(t) ] dv(t) ma 0 ma 0 > 0. Die Zeitableitung de Leistung ist fü alle t positiv, P (t) ist somit eine steng monoton wachsende Funktion und hat ih Maximum am echten Rand bei t 1. Es gilt somit fü die maximale Leistung: P 1 P (t 1 ) ma 0 v(t 1 ) ma 0 v 1. (3.) Die Beschleunigung ehält man aus de Bewegungsgleichung fü konstante Beschleunigung indem man dot die Zeit t 1 einsetzt: und t 1 eliminiet: v(t) a 0 t, s(t) 1 a 0t, v 1 a 0 t 1, s 1 1 a 0t 1 t 1 v 1 (3.3) a 0 ( ) v1 s 1 1 a 0 a 0 a 0 1 v1 (3.4) s 1 Dies setzen wi in (3.) ein und ehalten fü die maximale Leistung P 1 ma 0 v 1 1 mv3 1 s kw. Jens Patommel <patommel@xay-lens.de> Seite 8 von 14

9 Den zeitlichen Mittelwet g [t0,t 1 ] eine physikalischen Göße g(t) übe ein Zeitintevall [t 0, t 1 ] definiet man ganz allgemein als folgendes Integal: g [t0,t 1 ] 1 t 1 g(t). t 1 t 0 t 0 Dies wenden wi an, um die duchschnittliche Leistung beim Beschleunigen des Busses zu bestimmen, wobei wi beachten, dass die Leistung als Zeitableitung de Abeit definiet ist: P 1 t 1 P (t) t 1 t 0 t 0 1 t 1 t 1 t 0 t 0 1 t 1 t 0 W (t 1 ) W (t 0 ) dw dw W (t 1) W (t 0 ) t 1 t 0 1 mv 1. t 1 Die Zeit t 1 wid eechnet, indem wi (3.4) in (3.3) einsetzen, (3.4) (3.3) t 1 s 1 v 1, so dass wi fü die Duchschnittsleistung schlussendlich ehalten: P 1 4 mv3 1 s 1 1 P kw. Lösung zu Aufgabe 4 Bei diese Aufgabe wid voausgesetzt, dass de Köpe auf de Fahbahn lose aufliegt, so dass die Zwangskaft, die die Fahbahn auf den Köpe ausübt, imme nu abstoßend ist, niemals anziehend (andes als bei eine Achtebahn, bei de die Räde de Waggons von den Fühungssschienen fest umschlossen sind). Fü den Looping bedeutet dies, dass die Zwangskaft imme nu zum Keismittelpunkt wiken kann, nicht abe vom Mittelpunkt weg. Daaus egibt sich die Bedingung dafü, dass de Köpe eine vollständige Schleifenbahn duchfüht, nämlich dass die dafü efodeliche Zwangskaft de Fahbahn imme nu zum Mittelpunkt weisen ode bestensfalls Null sein daf. Jens Patommel <patommel@xay-lens.de> Seite 9 von 14

10 (a) Wi beechnen die fü die Schleife efodeliche Zwangskaft, indem wi die Radialkomponente de Gavitationskaft bestimmen: F g, ( F g e ) e ( mg e z e ) e [ mg e z (cos α e x + sin α e z )] e mg cos α e z e }{{} x mg sin α e z e z e }{{} 0 1 mg sin α e. Die Radialkomponente de Zentipetalkaft betägt F m v e, so dass fü die Radialkomponente de Zwangskaft F Z, F F g, m v e + mg sin α e (mg sin α m v ) e (4.1) folgt. Da die Zwangskaft nu abstoßend wikt, muss de Klammeausduck negativ ode Null sein (Zwangskaft in Richtung Mittelpunkt, wohingegen e vom Mittelpunkt weg zeigt). Wi foden also mg sin α m v 0 1 mv 1 mg sin α sin α 1 1 mv 1mg De Looping wid geade so duchlaufen, wenn das Gleichheitszeichen gilt: 1 mv 1 mg (4.) Übe den Enegieehaltungssatz kann man nun ausechnen, wie stak die Fede gespannt weden muss: 1 kx 1 mv + mgh h 1 mv + mg (4.) 1 mg + mg mg (4.3) 5 x 5 mg k 5 0 g 9.81 m s 0.5 m 4.8 N cm 1 3. cm. (b) Wenn de Köpe die Schleife geade velassen hat, bewegt e sich mit konstante Geschwindigkeit unbeschleunigt fot, die Gesamtkaft F ges F g + F Z0 ist also Null, so dass die Zwangskaft F Z0 F g mg e z 0 g 9.81 m s e z 196 mn Jens Patommel <patommel@xay-lens.de> Seite 10 von 14

11 betägt. Wenn de Köpe die Schleifenbahn geade beteten hat, ist die Radialkomponente duch (4.1) gegeben mit α 90. Weil die Zwangskaft imme nu senkecht zu Bahnebene wikt, ist ihe Tangentialkomponente Null, und somit folgt ) F Z1 F (4.1) Z,1 (mg sin α m v e ) (mg sin α m v [cos α e x + sin α e z ] α 90 mg sin( 90 ) }{{} (mg + m v 1 m v cos( 90 ) }{{} 0 e x + sin( 90 ) }{{} 1 e z ) e z. (4.4) Die Geschwindigkeit am Schleifeneingang beechnen wi mit dem Enegieehaltungssatz 1 mv 1 kx unte beücksichtigung von (4.3): 1 mv 1 (4.3) kx 5mg v 5g (4.4) F Z1 (mg + 5m) e z 6mg e z 6F Z mn. Lösung zu Aufgabe 5 Wiede haben wi es mit einem schönen Beispiel zu tun, bei dem die Nützlichkeit des Enegieehaltungssatzes zutage titt. Ohne EES müsste man die Bewegungsgleichung aufstellen, indem man mit Hilfe des Newtonschen Gavitatinsgesetztes F 1 F 1 γ m 1m die Beschleunigung a(t) (t) beechnet, was bei Wahl eines geeigneten Bezugssystems auf eine Diffeentialgleichung de Fom z(t) γ m E z (t), z(0) R E, ż(0) v 0 füht (Abschuss des Objektes adial zu Ede in Richtung e z, Edmittelpunkt im Koodinatenuspung). Daaus wüde man die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion v(t) ż(t) emitteln und v 0 so bestimmen, dass fü alle endlichen Zeitpunkte v(t) > 0 gilt, das heißt, dass die Geschwindigkeit est im Genzfall t Null wid. Viel elegante und einfache ist es jedoch, die Aufgabe mit Hilfe des Enegieehaltungssatzes zu lösen, denn uns intesessiet ja nicht die komplette Flugbahn des Jens Patommel <patommel@xay-lens.de> Seite 11 von 14

12 Objetks, sonden nu dessen Anfangs- und Endgeschwindigkeiten. Die Enegiebilanz lautet W pot,0 + W kin,0 W pot,1 + W kin,1 γ mm E + 1 z mv 0 γ mm E z mv 1 1 ( ) v1 0 ( z 0 R E 1 v0 γm E 1 ) R E z 1. (5.1) Diese Gleichung gibt an, wie goß die Anfangsgeschwindigkeit sein muss, damit das Geschoss in de Höhe z 1 zu Ruhe kommt (Umkehpunkt). Wi möchten alledings, dass das Objekt ga nicht zu Ede zuück kommt, z 1 muss also im Unendlichen liegen. Die zweite kosmische Geschwindigkeit egibt sich somit als de Genzet fü z : ˆv 0 lim z 1 v 0(z 1 ) (5.1) lim z 1 γm E ( 1 1 ) R E z 1 γ m E R E m 3 kg 1 s kg m 11. km s 1. Lösung zu Aufgabe 6 Die Leistung de Pumpte egibt sich als Zeitableitung de von de Pumpe veichteten Abeit: dw (t) P (t) dm(t)gh gh dm(t) dρv (t) dv (t) gh ρgh ρghi(t) 1.15 g cm m s 50 m 360 l min kw. Lösung zu Aufgabe 7 Aus dem Enegieehaltungssatz egibt sich die Geschwindigkeit des Köpes in de Höhe h untehalb des höchsten Punktes: mgh 1 mv v gh. (7.1) Jens Patommel <patommel@xay-lens.de> Seite 1 von 14

13 Die Zwangskaft de Untelage auf den Köpe egibt sich in de Höhe h aus de Radialbeschleunigung und de Radialkomponente de Gewichtskaft zu F F Z + F g, F Z F F g, m v e + [mg e z e ] e (7.1) mg h e + mg [ e z (cos α e x + sin α e z )] e mg h e + mg [cos α e x e z + sin α e z e z ] e mg h e + mg sin α e ( mg sin α h ) e. (7.) De Köpe hebt ab, sobald die Zwangskaft de Untelage auf den Köpe Null wid: (7.) h F Z 0 sin α. (7.3) m h m h Andeeseits gilt zwischen dem Winkel α und de Höhe h de geometische Zusammenhang sin α h was wi in (7.3) einsetzen und nach h auflösen:, h h h 1 h h 1 3. Jens Patommel <patommel@xay-lens.de> Seite 13 von 14

14 Quellen Die Aufgaben sind entnommen aus: Pete Mülle, Hilma Heinemann, Heinz Käme, Hellmut Zimme, Übungsbuch Physik, Hanse Fachbuch, ISBN: Die Übungs- und Lösungsblätte gibt es unte Die Homepage zu Volesung findet sich unte Jens Patommel 14