FERIENKURS EXPERIMENTALPHYSIK 4

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1 FERIENKURS EXPERIMENTALPHYSIK 4 Vorlesung 2 Streutheorie, Bohrsches Atommodell, Schrödingergleichung des Wasserstoffatoms Felix Bischoff, Christoph Kastl, Max v. Vopelius

2 Die Struktur der Atome Nach Jahrhunderten der Forschung über den Aufbau der Materie wurde deutlich, dass Materie aus Atomen und Atome aus Elektronen mit kleiner Masse und negativer Ladung und Atomkernen mit großer Masse und positiver Ladung bestehen. Allerdings war die räumliche Verteilung der Bausteine innerhalb eines Atoms noch nicht bekannt. Diese innere Struktur wurde mit Hilfe von Streuexperimenten bestimmt. 2 Grundlagen zu Streuexperimenten Wir betrachten einen Strahl von Teilchen A mit einem Teilchenfluß dn A /dt = Ṅ A, der auf ein Target (dünne Schicht der Dicke dx) trifft, bestehend aus Teilchen B mit Dichte n B. Ein Teil dṅ s der einfallenden Teilchen wechselwirkt mit den Targetteilchen und wird gestreut. Unter der Annahme, dass keine Mehrfachstreuung auftritt, wird der Wechselwirkungsbereich um ein Targetteilchen in dem eine messbare Streuung stattfindet als der integrale Wirkungsquerschnitt σ = πr 2 definiert. Allgemein lässt sich der integrale Wirkungsquerschnitt schreiben als σ = Zahl der gestreuten Teilchen pro Zeiteinheit Zahl der einfallenden Teilchen pro Sekunde und Fläche = dṅ s Ṅ A /F wobei F die bestrahlte Targetfläche F = N B /(n B dx) ist und mit der Anzahl der Streuzentren N B im Streuvolumen Fdx ergibt sich die Änderung des Teilchenflusses dṅ A entlang der Strecke dx im Target zu dṅ A = dṅ s = ṄAσ F N B = Ṅ A σn B dx ( ) Der differentielle Wikrungsquerschnitt dσ dω ist definiert durch θ dσ dω = Zahl der gestreuten Teilchen pro Zeiteinheit und Raumwinkel Zahl der einfallenden Teilchen pro Zeiteinheit und Fläche = dṅ s / Ω Ṅ A /F Die Zahl Ṅ s der entlang der Strecke dx im Target pro Zeiteinheit in den Raumwinkel Ω um den Winkel θ gestreuten Teilchen ist Ṅ s = ṄA F N dσ B dω Ω = Ṅ A n B dx dσ dω Ω

3 Setzt man den Fluss der im kleinsten Abstand b vom Streuzentrum in den Raumwinkel dω = sin θdθdφ in den Winkel θ gestreuten Teilchen in Beziehung zum einfallenden Teilchenfluss, erhält man für den differentiellen Wirkungsquerschnitt ( ) dσ dω θ = b db dθ sin θ wobei b = b(θ) als Stoßparameter bezeichnet wird. Die Betragsstriche sind notwendig, weil der Wirkungsquerschnitt ([m 2 ]) nicht negativ werden kann. In den Detektor, dessen Fläche den Raumwinkel dω abdeckt gelangt der Bruchteil der Teilchen ( ) dṅ s dσ = n B dx sin θdθdφ = N ( ) B dσ dω Ṅ A dω θ F dω θ Dieser Bruchteil ist also Abhängig von der Anzahl der Streuzentren pro Fläche, dem differentiellen Wirkungsquerschnitt (und damit vom Stoßparameter) und der Detektorfläche. Während der integrale Wirkungsquerschnitt in erster Linie Information über die Ausdehnung des Streuzentrums gibt, enthält der differentielle Wikrungsquerschnitt Informationen über das Wechselwirkungspotential V(r) zwischen den Teilchen A und B und kann durch Messung der Anzahl der gestreuten Teilchen in den Raumwinkel dω bestimmt werden (siehe Rutherford sche Streuformel). Vom Wechselwirkungspotential läßt sich dann auf die Struktur des Streuzentrums, also der Atome schließen. Hinweis Für Streuexperimente ist die sogenannte Luminosität L eine wichtige Kenngröße. Sie ist definiert als die Teilchenstromdichte j A = (N A /V) v A = n A v A = Ṅ A F multipliziert mit der Anzahl der im Strahl stehenden Streuzentren N B = n B dx F. Mit der Strahlgeschwindigkeit v A, der Anzahldichte im Target n B und der Dicke sowie der bestrahlten Fläche des Targets dx und F. Es ergibt sich: L = n A v A n B dx F Die Anzahl der pro Zeiteinheit in das Raumwinkelelement dω gestreuten Teilchen dṅ A ist dann einfach die Luminosität multipliziert mit dem Wirkungsquerschnitt: 2. Rutherford sche Streuformel dṅ A = L dσ dω dω Die Rutherfordsche Streuformel beruht auf der klassischen Streutheorie, in der ein Streuprozess zweier Teilchen in einem Schwerpunktsystem dargestellt wird. Daraus 2

4 leitet sich eine Formel für den Stoßparameter b ab (lange Herleitung). b ist für ein kugelsymmetrisches Potential V(r) = k/r gegeben durch b(θ) = k µν 2 cot θ 2 wobei µ die reduzierte Masse, ν die Geschwindigkeit des Schwerpunktsystems und θ der Streuwinkel ist. Nimmt man einen punktförmigen geladenen Kern an, ist k = 4πɛ 0 (Z Z 2 e 2 ) und mit b(θ) = Z Z 2 e 2 4πɛ 0 µν 2 cot θ 2 db dθ = Z Z 2 e 2 2 4πɛ 0 µν 2 sin 2 θ/2 ergibt durch einsetzten in den differentiellen Wirkungsquerschnitt ergibt sich die Rutherford sche Streuformel: dσ dω = ( Z Z 2 e 2 ) 2 2 4πɛ 0 µν 2 sin 4 θ/2 Für den Bruchteil der zum Detektor gelangenden Teilchen ist (dω = A D /R 2 ) dṅ s = ( n B dx Z Z 2 e 2 ) 2 A D Ṅ A 2 R 2 4πɛ 0 µν 2 sin 4 θ/2 Da die Annahme eines punktförmigen Kernes mit den experimentellen Befunden übereinstimmt (z.b.: Streuung von α-teilchen an einer Goldfolie), nahm Rutherford an, dass der Atomkern positiv geladen ist und von Elektronen mit insgesamt der gleichen negativen Ladung umgeben ist. Über die räumliche Verteilung der Elektronen ließen seine Experimenten allerdings keine Schlüße zu. 3 Das Bohrsche Atommodell Mit Hilfe des Rutherford schen Atommodells konnten Streuphänomene in guter Übereinstimmung mit den Experimenten theoretisch erklärt und vorhergesagt werden. Allerdings lieferte es keine Erklärung die Emission und die Absorbtion von elektromagnetischer Strahlung durch Atome. Diese Eigenschaften von Atomen wurden allerdings auch ohne theoretisches Model schon phänomenologisch ausfürlich beschrieben. So wurde das Emissionsspektrum des Wasserstoffatoms genau Untersucht 3

5 und führte zu einer Formel für die beobachteten Wellenlängen der Spektrallinien: ν = λ = R H ( n 2 ) n 2 wobei n > n und R H die Rydbergkonstante ist. Die beobachetetn Übergänge können in einem Termschema dargestellt in nach n in Serien zusammengefasst werden. Durch Multiplikation mit hc ergibt sich für die Energie (E H = hcr H = 3, 59 ev) wobei man hν = hω = E H n 2 E H n 2 E n = E H n 2 als Energiezustände des Wasserstoffatoms betrachten kann (n =, 2, 3,..., E n < 0, weil bei der Bindung eines e an den Kern Energie frei wird). n bezeichnet man als Hauptquantenzahl. Bei genauerer Betrachtung der Wasserstof erkennt man eine Feinstruktur, die nicht mit der phänomenologische Formel für die Wasserstoff Spektrallinien vorhergesagt werden kann. Diese Feinstruktur ist Bestand der Mittwochsvorlesung. Schon Rutherford vermutete, dass Atome wie verkleinerte Planetensysteme aufgebaut sind, allerdings erklärte diese Annahme nicht die Stabilität der Atome (beschleunigte Ladung strahlt Energie ab e stürzen in Kern) und die diskreten Spektrallinien (beliebige elliptische Bahnen sollten kontinuierliches Spektrum ergeben). Bohr lieferte mit seinem Atommodell schließlich die Erklärung. Das Modell beruht auf einem klasssischen, mechanischen Ansatz: Elektronen mit Masse m e bewegen sich auf Kreisbahnen mit Radius r um einen ruhenden Kern. Die Zentrifugalkraft ist dabei gleich der Anziehungskraft durch die Coulomb-Wechselwirkung: e 2 4πɛ 0 r 2 = m eω 2 r = m ev 2 r Bohr postulierte nun eine Quantisierungsbedingung, in der sich die Elektronen nur auf bestimmten Kreisbahnen r n = nλ 2π bewegen können, wobei λ = 2π/k = h/p = h/(m e v) die debroglie Wellenlänge eines Elektrons ist. Auf den erlaubten Bahnen bilden Elektronen stehende Wellen, deren Länge ein vielfaches der debroglie Wellenlänge ist. Für die Bahnradien r n folgt 4

6 aus der Quantisierungsbedingung und dem klasssischen Ansatz r n = a B n 2 a B = 4πɛ h2 m e e 2 = m a B ist der Bohr sche Radius. Für die Gesamtenergie E eines Elektrons ergibt sich Anmerkungen E(r) = E kin (r) + E pot (r) = ( e 2 ) 4πɛ 0 2r e2 = e 2 r 4πɛ 0 2r = = E E = n 2 m e e 4 (4πɛ 0 ) 2 2 h = h2 2m e a 2 B = 3.6 ev Die Quantisierungsbedingung für den Drehimpuls ist L n = m e vr n = h λ r n = n h und für ein Mehrteilchensystem gilt r n = 4πn2 h 2 ɛ 0 µze 2 = a 0 Z n2 E n = E Z 2 n 2 4 Das Wasserstoffatom In diesem Kapitel wollen wir die Schrödingergleichung des Wasserstoffatoms lösen. Als Einlektronensystem ist es neben den Ionen He +, Li ++ das einzige Atom für das die Schrödingergleichung exakt, d.h. analytisch, lösbar ist. Die Einsichten in die Physik des Systems, die wir in diesem Zusammenhang gewinnen, bilden die Grundlage für das Verständnis der komplexeren Verhältnisse bei den Mehrelektronenatomen. 4. Schrödingergleichung für Einelektronen-Atome Ausgangspunkt für die Untersuchung ist der Hamiltonoperator des Systems Ĥ = h2 2m K 2 K h2 2m e 2 e Ze2 4πɛ 0 r K r e 5

7 Der erste Term repräsentiert die kinetische Energie des Kerns mit Ladung Z e, der zweite die kinetische Energie des Elektrons und der dritte die potentielle Energie der Coulomb-Wechselwirkung zwischen Kern und Elektron. Wir wollen nun die Eigenzustände des Hamiltonoperators, d.h. die Lösungen der stationären Schrödingergleichung finden. Es handelt sich hierbei um ein Zweikörperproblem, das aber analog zur klassischen Mechanik durch Verwendung von Schwerpunktskoordinaten auf ein Einkörperproblem zurückgeführt werden kann. Man erhält für die Relativbewegung folgende Gleichung h2 2µ 2 ψ + V(r)ψ = Eψ mit der reduzierten Masse µ, welche den Effekt der Bewegung um den gemeinsamen Schwerpunkt von Kern und Elektron erfasst. µ = m e m K m e + m K Die Symmetrie des Coulombpotentials legt die Verwendung von Kugelkoordinaten nahe. Der Hamiltonoperator zerfällt dann in einen winkelabhängigen und in einen radialen Anteil. Unter Verwendung des Drehimpulsoperators ˆL = mˆr ˆv lautet die Schrödingergleichung [ ˆpr 2µ + ˆL 2 ] 2µr 2 + V(r) ψ = Eψ 4.2 Eigenschaften der Lösungen Entscheidend bei der Lösung des Problems ist die Tatsache, dass sich radiale Abhängigkeit und Winkelabhängigkeit trennen lassen. Man kann deshalb einen Produktansatz für die Lösungfunktion machen ψ = f (r) g(θ, φ) Das genaue Verfahren zur weiteren Lösung der Schrödingergleichung wollen wir hier nicht weiter verfolgen, sondern lediglich ihre Eigenschaften diskutieren. Die Lösung lässt sich schreiben als 6

8 ψ(r, θ, φ) = R n,l (r) Y m l (θ, φ) Die Lösungsfunktionen hängen von drei ganzzahligen Parametern n, l, m ab. Dabei ist n =, 2,... die Hauptquantenzahl. 0 l n die Drehimpulsquantenzahl. l m l die magnetische Quantenzahl. R n,l ist der radiale Anteil der Wellenfunktion. Yl m sind die sogenannten Kugelflächenfunktionen. Sie besitzen ihrerseits wieder eine Produktdarstellung Y m l = P m l (cos θ)φ m (φ) und sind Eigenfunktionen von ˆL 2 und zugleich von ˆL z. In den Eigenzuständen gilt ˆL 2 = l(l + ) h 2 ˆL z = m h Die Quantenzahl l bestimmt den Betrag des Drehimpulses, während m den quantisierten Wert der Drehimpulskomponente in z-richtung angibt, die daher eine Vorzugsrichtung darstellt. Die Funktionen P m l sind Polynome in cos θ. Φ m besitzt die einfache Form Φ m (φ) = 2π e imφ Man sieht sofort, dass gilt Φ m 2 = Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektron hängt deshalb nicht vom Winkel φ ab, das heißt alle Zustände sind rotationssymmetrisch um die z-achse. Dies ist eine direkte Folge der Wahl der z-achse als Vorzugsrichtung (Quantisierungsachse). Die möglichen Energien der Zustände ergeben sich zu E n = µz2 e 4 8ɛ 2 0 h2 n 2 = = 3.6 ev Z2 n 2 Die Hauptquantenzahl n gibt also die Energie des Zustands an. Die quantenmechanische Berechnung mit Hilfe der Schrödingergleichung ergibt die gleichen Energieei- 7

9 l Zustand m Zustand 0 s 0 σ p π 2 d 2 δ 3 g 3 φ 4 f 4 γ Tabelle : Bezeichungen der Zustände (l, m) genwerte wie das Bohrsche Atommodell. Die Energie, der Drehimpuls und die z-komponente des Drehimpulses sind in einem stationären Zustand (n, l, m) Erhaltungsgrößen. Der Zustand ist durch die Angabe der Quantenzahlen, die mit den Erhaltungsgrößem verknüpft sind, eindeutig charakterisiert. Man spricht in diesem Zusammenhang von guten Quantenzahlen. Da die Energie eines Zustandes nur von der Hauptquantenzahl n, nicht aber von l und m abhängt, gibt es für gegebenes n immer mehrere entartete Zustände. Die Anzahl der Zustände für gegebenes n ist g = n (2l + ) = n 2 l=0 Oft bezeichnet man die Zustände nach der Buchstaben-Nomenklatur die in Tabelle angeben ist. Alle s-zustände (l=0) besitzen eine kugelsymmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung. Anschaulich kann man dies folgendermaßen verstehen: Für verschwindenden Drehimpuls ist keine Richtung im Raum ausgezeichnet. Die Lösung der Schrödingergleichung sollte somit die volle Symmetrie des Coulombpotentials, also die Kugelsymmetrie,s wiederspiegeln. Summiert man die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten ψ n,l,m (r, θ, φ) 2 bei festem n über alle erlaubten Werte von l und m, so ergibt sich die gesamte Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Zustand n. Sie ist immer kugelsymmetrisch. Man bezeichnet deshalb die Summe aller Zustände für einen festen Wert von n als eine Elektronenschale. 4.3 Elektronenspin Experimentelle Befunde haben gezeigt (Stern-Gerlach-Experiment), dass man dem Elektronen neben dem Bahndrehimpuls noch einen Eigendrehimpuls S, den Spin, zuweisen muss. 8

10 Nach den quantenmechanischen Regeln für Drehimpulse gilt für den Betrag S = s(s + ) h und für die z-komponente Sz = m s h. Für das Elektronen findet man experimentell s = 2 m s = ± 2 Der Zustand des Elektrons wird somit nicht mehr durch drei Quantenzahlen (n, l, m l ), sondern durch vier Quantenzahlen (n, l, m l, m s ) charakterisiert. Alle obigen Ergebnisse gelten weiterhin, wir müssen nur beachten, dass der Entartungsgrad eines Zustands bei Berücksichtigung des Spins gegeben ist durch g = 2 n 2 9

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