Stoßionisation. Dreierstoß-Rekombination. Stoßanregung. Stoß 2.Art. Atomstoß-Ionisierung. Dreierstoß-Rekombination. Ionisierungs-Austausch
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- Andreas Lange
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1 3.5 Die Entdeckung des Atomkerns 699 Spontane Emission Erzwungene Emission Stoßionisation Abb Übersicht über die Stoßprozesse zwischen Atomen, Elektronen, Photonen. () Photon, ( ) Elektron, (, ) Atome im Grundzustand, (, ) im angeregten Zustand, ( +, + ) Ionen Absorption Dreierstoß-Rekombination Raman-Effekt (Stokes) Stoßanregung Raman-Effekt (Antistokes) Stoß 2.Art Compton-Effekt Atomstoß-Anregung Atomstoß 2.Art Anregungs-Austausch Atomstoß-Ionisierung Dreierstoß-Rekombination Ionisierungs-Austausch Zustand. Wenn die,,erlösenden thermischen oder Elektronenstöße selten sind, können solche Zustände sehr lange Lebensdauern haben und erhebliche Energiemengen speichern. Wenn man die Linie 253,7 nm in Hg-Dampf einstrahlt, dem Tl-Dampf beigemischt ist, so treten neben den Hg-Resonanzlinien (Abschn ) auch längerwellige Tl-Linien auf. Angeregte Hg-Atome haben ihre Anregungsenergien mit Tl-Atomen ausgetauscht. Die Differenz zwischen den beiden Anregungsenergien geht in kinetische Energie über. Solche indirekte Anregung heißt sensibilisierte Fluoreszenz; Hg ist der Sensibilisator für das Tl-Leuchten. 3.5 Die Entdeckung des Atomkerns Es wurde schon vor 900 klar, dass Atome aus geladenen Teilchen aufgebaut waren. Einige Eigenschaften der negativ geladenen Elektronen, etwa ihre Ladung und Masse, waren bereits bekannt. Nicht bekannt war, wie sich in den Atomen, deren Größe man ebenfalls schon abschätzen konnte, die Masse und die positive Ladung verteilten. Die Experimente von Rutherford haben unzweideutig gezeigt, dass Atome auf den ersten Blick wie mikroskopische Planetensysteme aussehen: Masse und positive La-
2 Teilchen, Wellen, mikroskopische Physik dung sind in einem Kern konzentriert, in dessen Coulomb-Kraftfeld sich die Elektronen bewegen. Die Bewegung der mikroskopischen Teilchen, also der Elektronen, konnte jedoch mit den Gesetzen der klassischen Mechanik nicht mehr erfolgreich beschrieben werden. Rutherfords Experimente stehen an einem entscheidenden Wendepunkt von der klassischen zur modernen Physik. K Abb Kathodenstrahlrohr mit Lenard-Fenster K Abb Anordnung zur Messung des Wirkungsquerschnitts absorbierender Stoffe für Kathodenstrahlung F A A F 3.5. Das leere Atom Atome und Moleküle sind keine kompakten Gebilde, sondern überwiegend,,leer wie das Weltall. Das zeigten Heinrich Hertz (89) und Philipp Lenard (um 900). Kathodenstrahlung von etwa 40 kv Beschleunigungsspannung dringt leicht durch ein dünnes Fenster (F in Abb. 3.26; z. B. 5 μm Aluminiumfolie) in die Außenluft und bringt sie als Halbkugel von einigen cm Radius zu bläulichem Leuchten. In Abb dringt die Strahlung in einen Teil der Röhre, wo Gasart und Druck beliebig eingestellt werden können und eine Anode (A) den Teilchenstrom direkt auffängt. Erstaunlich ist, dass die schnellen Elektronen überhaupt durch die Metallfolie von einigen μm Dicke kommen, in der immerhin etwa 0 4 Atomschichten in dichter Packung übereinander liegen. In einigen mm Luft sind es ebenso viele, und die Elektronen kommen dort sogar einige cm weit. Der Wirkungsquerschnitt der Atome für die Absorption dieser Elektronen ist also 0 5 -mal kleiner als der geometrische Querschnitt, der z. B. für die freie Weglänge langsamer Teilchen in Normalluft (0 5 cm) verantwortlich ist. Die quantitative Messung mit Änderung von Beschleunigungsspannung U, Gasdichte ϱ und Abstand d zwischen F und A (Abb. 3.27) ergibt ein Absorptionsgesetz wie beim Licht: Der Elektronenstrom, der bei A ankommt, ändert sich gemäß I = I 0 e αd = I 0 e βϱd. (3.7) Der Massenabsorptionskoeffizient β hat für alle Stoffe (auch feste) ungefähr den gleichen Wert, hängt aber sehr stark von der Elektronenenergie eu ab. Man kann α = βϱ durch den Einfangquerschnitt σ eines Absorberteilchens darstellen. Diese Teilchen haben die Anzahldichte n = ϱ/m. Jedes präsentiert den schnellen Elektronen eine Scheibenfläche σ, die Gesamtauffangfläche pro Volumeneinheit ist nσ, die mittlere freie Weglänge l = /(nσ), das Absorptionsgesetz lautet damit I = I 0 e x/l. Der Vergleich liefert α = βϱ = nσ,also β = σ m. (3.8) In Luft hat der Einfangquerschnitt σ bis U 300 V etwa den geometrischen Wert m 2. Von da bis 660 kv fällt er auf m 2, hat dann also nur noch den Radius r = 0 3 m. Nach dem Coulomb- Gesetz ist das ganz verständlich (vgl. Aufgabe 8.3.): Ein Elektron mit der Energie E kann sich einer Ladung Q maximal so weit nähern, bis eq/(4πε 0 r) E. Dieses r fungiert als Radius des Einfangquerschnitts σ und nimmt wie E ab, σ wie E 2. Die quantitative Übereinstimmung mit der Messung verlangt Q 0e: Eine solche Ladung muss irgendwo
3 3.5 Die Entdeckung des Atomkerns 70 im Atom konzentriert und mit einer erheblichen Masse verbunden sein. Ein Elektron im Atom kann dem schnellen nämlich nur einige ev entziehen, sonst fliegt es aus dem Atom hinaus und wird bei zentralem Stoß selbst zum schnellen Elektron. Streuversuche mit den noch viel energiereicheren radioaktiven α-teilchen zeigen genauer, wie Ladung und Masse im Atom verteilt sind. Schirm Folie α-pr Das Experiment von Rutherford Wie leer die Materie wirklich ist, zeigten Rutherford, Geiger, Marsden in den Jahren 906 bis 93 durch eines der folgenschwersten Experimente der ganzen Physik. Sie ließen ein eng ausgeblendetes, also paralleles Bündel von α-teilchen aus einem radioaktiven Präparat auf eine sehr dünne Goldfolie (wenige μm) fallen. Weitaus die meisten α-teilchen gehen fast unabgelenkt durch, nur wenige werden stärker abgelenkt. Man weist sie auf einem Zählgerät, z. B. einem Szintillationsmikroskop nach, das man im Kreis um die Folie schwenken kann (Abb. 3.28). Jedes α-teilchen löst im Leuchtstoffschirm einen Lichtblitz aus; diese Blitze können visuell gezählt oder automatisch von einem Multiplier mit Zählschaltung registriert werden. Ihre Häufigkeit nimmt mit dem Streuwinkel ϕ sehr stark ab (Abb. 3.29). Wenn man z. B. unter 5 Ablenkung α-teilchen zählt, findet man in der gleichen Zeit bei 50 nur noch knapp ein Teilchen (Abb. 3.30, ausgezogene Kurve; man beachte die logarithmische Auftragung des Bruchteils d N/N = Anzahl abgelenkter Teilchen/Anzahl einfallender Teilchen). Die damals vernünftigste Vorstellung vom Atomaufbau, das Thomson- Modell, betrachtet die positive Ladung und die Masse als über das Atomvolumen (Durchmesser einige Å) gleichmäßig verteilt und die praktisch punktförmigen Elektronen darin eingebettet. Da die positive Ladung im Festkörper demnach sehr gleichmäßig verteilt sein soll, kann sie das durchfliegende α-teilchen kaum ablenken. Das Feld der Elektronen ist sehr viel inhomogener, aber dafür können diese das mal schwerere α-teilchen nach den Stoßgesetzen ((.69), Abb..3) nur sehr wenig ablenken: sin ϕ m /(m + m ) m /m = /7 350, d. h. ϕ 28. Die Gesamtablenkung des α-teilchens setzt sich also aus sehr vielen sehr kleinen Ablenkungen zusammen, deren Richtungen nicht im einzelnen vorhersagbar sind. Die Lage ist dieselbe wie bei der Diffusion, wo die Gesamtverschiebung eines Teilchens sich aus sehr vielen freien Weglängen mit zufälligen Richtungen zusammensetzt. Die Verteilung der Lichtblitze auf dem Schirm entspräche nach dem Thomson-Modell der Verteilung von Teilchen, die seit einer gewissen Zeit von einem eng begrenzten Bereich (dem Durchstoßbereich des Primärbündels) wegdiffundieren. Es käme eine Gauß-Verteilung dn/n = Ae Bϕ2 heraus, die in logarithmischer Auftragung eine Parabel ln A Bϕ 2 ergibt, also sich gerade im falschen Sinne ausbaucht (Abb. 3.30). Der Fehler liegt offenbar in der Annahme, dass die positive Ladung und die Masse des Atoms (zu der die Elektronen ja praktisch nichts beitragen) etwa gleichmäßig verteilt sind. Stärkere Konzentration dieser Ladung und Masse bringt stärkere Felder, die heftiger, wenn auch seltener ablenken Abb Prinzip der Versuchsanordnung zur Messung der Einzelstreuung von α-strahlung. Von der Strahlungsquelle α- Pr treffen die α-teilchen auf die Streufolie; der durch ein Mikroskop betrachtete Szintillationsschirm kann zwischen 0 und fast 80 um die Streufolie herumgeschwenkt werden N sin 4 (φ/2) φ Abb Die Ergebnisse von Geiger und Marsden bestätigen nicht nur den Verlauf des rutherfordschen /sin(φ/2) 4 -Gesetzes. Sie erlauben auch eine Abschätzung des Kerndurchmessers aus dem größten gemessenen Streuwinkel: Aus der kinetischen Energie der Teilchen und dem Streuwinkel lässt sich der kleinste Abstand zwischen Kern und α-streuteilchen bestimmen. Der größte Streuwinkel, der noch auf der Rutherford-Kurve liegt, ergibt dann direkt eine Obergrenze für den Kernradius
4 Teilchen, Wellen, mikroskopische Physik Abb Winkelabhängigkeit der Streuwahrscheinlichkeit von 6 MeVα-Teilchen in einer Goldfolie von μm Dicke.( ) Messkurve und theoretische Kurve nach dem Rutherford-Modell, ( ) Gauß-Kurve nach dem Thomson-Modell. Man beachte die logarithmische Ordinate b Abb Hyperbelbahnen von α- Teilchen im Kraftfeld des Atomkerns. Der außerhalb der Atome beobachtete Ablenkungswinkel ist der Winkel zwischen den Asymptoten der Hyperbel tan b a F 2e 2b Abb Geometrie der Hyperbel K F können. Rutherford nahm also 9 einen praktisch punktförmigen Kern an, was die α-streumessungen vollständig erklärt (wenn es auch die Stabilität und das sonstige Verhalten des Atoms nicht richtig beschreibt). Im r 2 -Coulomb-Feld des streuenden Kerns werden die ebenfalls positiven α-teilchen ( 4 2He-Kerne) ähnlich wie Kometen im Feld der Sonne auf Hyperbelbahnen abgelenkt (Abb. 3.3), allerdings durch Abstoßung, nicht durch Anziehung. Große Ablenkwinkel kommen nur im starken Feld sehr nahe am Kern vor. Diese Felder nehmen nur einen kleinen Teil des ganzen Atomvolumens ein, und entsprechend klein ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein α-teilchen dorthin trifft. Abbildung 3.33 zeigt die Bahn eines positiven Teilchens der Ladung Z e und der Energie E im Feld eines Kerns der Ladung Ze. Dieser steht im entfernteren Brennpunkt der Hyperbelbahn (die Sonne würde im näheren Brennpunkt der Kometenbahn stehen, da sie anzieht, während der Kern abstößt). Wenn das α-teilchen unabgelenkt, also längs der Asymptote weiterflöge, käme es am Kern im Abstand b, dem Stoßparameter vorbei. In Wirklichkeit fliegt es schließlich in Richtung der anderen Asymptote, also um den Winkel ϕ abgelenkt davon. Wie man aus Abb sieht, spielt b die Rolle der einen Hyperbel-Halbachse. Die Bahnen von α-teilchen mit der gleichen Energie W, aber verschiedenem Stoßparameter b, haben den Brennpunkt gemeinsam, in dem der streuende Kern liegt. Außerdem haben sie alle die gleiche Halbachse a, denn diese allein bestimmt die Energie des Teilchens (Abschn..7.4, (.97)). Wie groß a ist, sieht man am einfachsten aus der speziellen Bahn mit b = 0, die zentral auf den Kern zuführt, dann aber im Abstand = 2e umkehrt und in sich zurückläuft. Am Umkehrpunkt ist die kinetische Energie Null, also E = Z Ze 2 4πε 0 = Ze2 4πε 0 a. (3.9) Wir suchen den Zusammenhang zwischen Streuwinkel ϕ = π 2ϑ und Stoßparameter b. Nach Abb liegen die Brennpunkte aller Hyperbeln auf dem gleichen Lot zur Einfallsrichtung im Abstand vom streuenden Kern, die Mittelpunkte aller Hyperbeln auf dem Lot im Abstand a. Dies folgt aus Abb (man betrachte die Dreiecke aus den Stücken a, b, e). Damit liest man ab tan ϑ = b/a und wegen cot ϕ/2 = cot(π/2 ϑ) = tan ϑ: cot ϕ 2 = b a = 4πε 0 be. (3.20) Ze2 Der Ablenkwinkel ϕ ist umso größer, also cot ϕ/2 umso kleiner, je kleiner b und E sind, d. h. je näher am Kern das α-teilchen vorbeifliegt und je langsamer es ist. Wir schießen jetzt eine Anzahl N von α-teilchen auf eine Folie und fragen, wie viele davon unter den verschiedenen Winkeln abgelenkt werden. Genauer: Das Szintillationsmikroskop (Abb. 3.28) bilde mit seiner Achse einen Winkel ϕ gegen die Einfallrichtung der α-teilchen. Von der Folie aus gesehen nehme der Leuchtschirm im Blickfeld des Mikroskops einen Raumwinkel dω ein. Wie viele Lichtblitze wird man zählen?
5 3.5 Die Entdeckung des Atomkerns 703 Die Folie habe eine Dicke Δx und enthalte n Kerne/m 3. Wir fragen zunächst, wie viele α-teilchen in einen Hohlkegel abgelenkt werden, der außen den Öffnungswinkel ϕ, innen ϕ dϕ hat (Abb. 3.36). Der Ablenkwinkel ϕ entspricht nach (3.20) einem gewissen Stoßparameter b, ϕ dϕ einem um db größeren Stoßparameter; der Zusammenhang zwischen dϕ und db ergibt sich durch Differentiation von (3.20): 2 sin 2 ϕ/2 dϕ = 4πε 0E db. (3.2) Ze2 Die Teilchen, nach denen wir fragen, sind also die, die an irgendeinem Kern mit einem Stoßparameter zwischen b und b + db vorbeifliegen, d. h. die in den in Abb gezeichneten Ring hineinzielen. Ein solcher Ring hat die Fläche 2πb db. Imm 3 befinden sich n solche Ringe, also präsentiert eine Schicht des Querschnitts σ und der Dicke Δx einen Gesamtstoßquerschnitt nσ Δx 2πb db. Teilt man dies durch σ, so erhält man die Wahrscheinlichkeit P(ϕ) dϕ für eine Ablenkung in den fraglichen Hohlkegel: P(ϕ) dϕ = n Δx 2πb db. (3.22) Von den N Teilchen werden dn = P(ϕ) dϕ N in den Hohlkegel gestreut. Da b der Messung nicht direkt zugänglich ist, drückt man es in (3.22) mittels (3.20) und (3.2) besser durch ϕ aus: dn = Nn Δx 2π Ze2 4πε 0 E cot ϕ 2 Z 2 e 4 = Nn Δx 2 Ze 2 4πε 0 E 6π 2 ε 2 0 E2 cos(ϕ/2) sin 3 (ϕ/2) dϕ. dϕ sin 2 (ϕ/2) (3.23) Diese Teilchen werden in den Hohlkegel gestreut, dessen Raumwinkel 2π sin ϕ dϕ ist. In den Raumwinkel dω des Mikroskops gelangt nur ein Bruchteil dω/(2π sin ϕ dϕ) davon, also eine Anzahl dn = dn dω 2π sin ϕ dϕ = Nn Δx Z 2 e 4 dω 64π 2 ε 2 0 E2 sin 4 (ϕ/2) (3.24) a a b φ Abb Ablenkung im abstoßenden Coulomb-Feld F a a φ b e F a Abb Eine Schar von Hyperbelbahnen mit gleicher großer Halbachse a, also gleicher Gesamtenergie, aber verschiedenen Stoßparametern (kleinen Halbachsen) b und daher verschiedenen Exzentrizitäten e = a 2 + b 2 und Streuwinkeln ϕ. Die Bahnen ergeben sich mit einem Abstoßungszentrum in F (positive Ladung), ebenso gut aber auch mit einem Anziehungszentrum (negative Ladung) in F (die letzte Umwandlung benutzt das Additionstheorem). Der Nenner sin 4 (ϕ/2) bringt den außerordentlich starken Abfall der Streuwahrscheinlichkeit mit wachsendem Streuwinkel zum Ausdruck (Abb. 3.30). Das E 2 im Nenner besagt, dass der Strahl umso,,steifer wird, je energiereicher er ist. In Analogie mit Abschn kann man (3.24) auch schreiben dn = n Δx Ndσ, wobei b Kern db dσ = Z2 e 4 64π 2 ε 2 0 E2 sin 4 ϕ 2 dω (Rutherford-Streuformel) (3.25) der differentielle Wirkungsquerschnitt für die Ablenkung in den Raumwinkel dω in Richtung ϕ ist. Abb Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Ablenkungen der α-teilchen im Kernfeld unter einem bestimmten Winkel. Die Flugrichtung der α-teilchen steht senkrecht auf der Papierebene
6 Teilchen, Wellen, mikroskopische Physik φ dω Abb Zur Raumwinkeldefinition in der rutherfordschen Streuformel Verfeinerte Beobachtungen der Einzelstreuung von α-strahlen durch Geiger und Marsden (Abb. 3.29) ergaben für mäßige Streuwinkel eine vollständige Bestätigung für (3.25) und überzeugten daher von der Richtigkeit des zugrunde gelegten Atombildes. Erst für sehr große Ablenkwinkel und dementsprechend kleine Werte von b ( 0 4 m) gehorcht die Streuung nicht mehr (3.25). Das α-teilchen dringt dann offenbar in Bereiche zu nahe dem Kern ein, wo das Coulomb-Gesetz, das der Ableitung der Rutherford-Streuformel zugrunde liegt, nicht mehr gültig ist. Es ist sinnvoll, hier die Grenze des Atomkerns anzusetzen. Sein Radius ist demnach kleiner als 0 4 m, d. h. mehr als mal kleiner als der Atomradius. Der Kern ist im Vergleich zum Atom noch viel kleiner als die Sonne im Vergleich zum Sonnensystem. Derartige Versuche an Folien aus verschiedenen Metallen führten zu der Erkenntnis, dass für die Kernradien (r) ziemlich genau gilt: r =,2 0 5 m 3 A, (3.26) wobei A die Massenzahl bedeutet. Der Faktor,2 0 5 m ist als Radius eines Nukleons (Abschn. 8..) aufzufassen. Die Dichte der Kernsubstanz, d. h. der Quotient aus Masse (proportional A) und dem Volumen (proportional r 3 ) ist daher für alle Kerne nahezu die gleiche. Zahlenmäßig ergibt sich für die Kerndichte der ungeheuer große Wert von etwa kg m Grundzüge der Quantenmechanik 3.6. Einleitung: Mathematisches Handwerkszeug Es gibt für den Lernenden mehrere mögliche Zugänge zur Quantentheorie: den historischen, der die Näherungen und Irrtümer nachzeichnet, unter denen man sich an die ausgereifte Theorie herangetastet hat, den empirischen, der durch eine Reihe von experimenta crucis zeigt, wie sich Elektronen und Atome verhalten und wie dementsprechend die klassischen Vorstellungen abzuändern sind, den Hamiltonschen, der von dem hochentwickelten Formalismus der klassischen Mechanik ausgeht und diesen sinngemäß modifiziert, den optischen, der am Analogon der Welle-Teilchen-Dualität des Lichts die gleiche Dualität für die Materie entwickelt, und den axiomatischen. Von allen diesen Zugängen führt der axiomatische weitaus am schnellsten auf ein Niveau, mit dem man etwas anfangen, d. h. wenigstens einige Grundprobleme quantitativ behandeln kann. Dem steht nur das Hindernis einer etwas abstrakten, ungewohnten Sprache entgegen. Vor allem muss man sich dazu einige mathematische Begriffe aneignen. Wir werden diese Begriffe nur kurz plausibel machen. Sicher werden Sie sich dadurch nicht verführen lassen zu glauben, Sie wüssten jetzt alles über diese Dinge. Schrödingers und Heisenbergs Beschreibungen der Mikrowelt klangen anfangs radikal verschieden, bis Dirac, Born, Jordan ihre mathematische Äquivalenz nachwiesen. Sie stützten sich dabei auf die Mathematik Hilberts, der auch in Göttingen arbeitete, damals der Hochburg der theoretischen Physik, bis 936, als Hilbert auf die Frage des NS-Kultusministers
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