Komplexe Zahlen. Lernziele dieses Abschnitts sind:

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1 KAPITEL 1 Komplexe Zahle Lerziele dieses Abschitts sid: (1) Aalytische ud geometrische Darstellug komplexer Zahle, () Grudrechearte fur komplexe Zahle, (3) Kojugatio ud Betrag komplexer Zahle, (4) Losug quadratischer Gleichuge i C, (5) Formel vo Moivre, Satz uber die Eiheitswurzel, (6) Fudametalsatz der Algebra ud Idetitatssatz (ohe Beweise). 1. Komplexe Zahleebee I der mit eiem kartesische (x, y)-koordiatesystem versehee Ebee stelle die Pukte der x-achse die reelle Zahle dar. Komplexe Zahle ergebe sich u dadurch, dass alle Pukte z (x, y) als " Zahle\ aufgefasst werde ud ma schreibt z x + iy. Ma et z komplexe Zahl mit dem Realteil Re z x ud dem Imagiarteil Im z y. Ma et die x-achse reelle Achse ud die y-achse wird imagiare Achse geat. Die Mege aller komplexe Zahle wird mit C bezeichet. C : {x + iy : x, y R}. Geometrisch lasse sich die komplexe Zahle als Pukte bzw. Vektore eier Ebee darstelle. Die Ebee, dere Pukte als komplexe Zahle aufgefasst werde, heit komplexe Zahleebee oder Gausche Zahleebee. 1

2 1. KOMPLEXE ZAHLEN iy. Gaußsche Zahleebee (x,y) ~ x + iy : z r(cos φ +i si φ) r φ r e iφ algebraische Form, trigoometrische Form, expoetielle Form x 1.1. Grudrechearte i C. Die Summe ud Dierez komplexer Zahle ist durch deiert. (x + iy) + (u + iv) : (x + u) + i(y + v) (x + iy) (u + iv) : (x u) + i(y v). Das Produkt zweier komplexer Zahle ist deiert als (x + iy)(u + iv) x(u + iv) + iy(u + iv) xu + ixv + iyu + iyiv xu + i yu + i(xv + yu) (xu yv) + i(xv + yu). Bemerkug 1.1. Die Additio/Subtraktio/Multiplikatio vo komplexe Zahle erfolgt formal wie fur reelle Zahle; es ist ur zu beachte, dass i 1 ist. Bei der Deitio der Divisio beutzt ma trickreich die biomische Formel: (u + iv)(u iv) u (iv) u + v ud damit ist (x + iy) (u + iv) (x + iy)(u iv) (u + iv)(u iv) (xu + yv) + i(yu xv) u + v xu + yv u + v xv + iyu u + v. Bemerkug 1.. Durch Erweiterug mit u iv wird der Neer reell. Beispiel i 7 i (8 + i)(7 + i) (7 i)(7 + i) 56 + i(8 + 14) i 50.

3 3. GLEICHHEIT KOMPLEXER ZAHLEN 3. Kojugatio ud Betrag komplexer Zahle Defiitio 1.1. Die komplexe Zahl z x iy heit die zu z x+iy kojugiert komplexe Zahl ud z : x + y heit Betrag (oder auch Norm, Lage, Modul) der komplexe Zahl z. Eigeschafte: (1) z z, () z 1 + z z 1 + z, (3) z 1 z z 1 z, (4) Re z 1 (z + z), (5) Im z 1 (z z), i (6) z R z z, (7) z z z bzw. z z x + y, (8) z 0 ud z 0 z 0, (9) z 1 z z 1 z, (10) z 1 + z z 1 + z (Dreiecksugleichug). 3. Gleichheit komplexer Zahle Wir betrachte zwei komplexe Zahle z 1 x + iy ud z u + iv, da gilt z 1 z x + iy u + iv x u i(v y) (x u)(x u) (x u) }{{} i(v y)i(v y) (v y) }{{} 0 0 ud damit folgt (x u) (v y) 0, also x u ud y v. Oesichtlich folgt umgekehrt aus x u ud y v sofort z 1 z. Satz 1.1. Zwei komplexe Zahle sid geau da gleich, we ihr Realud Imagiarteil ubereistimme. I trigoometrischer Form erhalt ma: z 1 r(cos ϕ + i si ϕ) R(cos Φ + i si Φ) z

4 4 1. KOMPLEXE ZAHLEN Da mit z 1 z auch z 1 z gilt, ist r z 1 z 1 z z R ud damit r R (r, R 0). Es verbleibe damit Gleichuge, die gleichzeitig erf ullt sei musse: { { cos ϕ cos Φ, si ϕ si Φ cos ϕ cos Φ si ( ) ( ϕ+φ cos ϕ Φ ) 0, si ϕ si Φ cos ( ) ( ϕ+φ cos ϕ Φ ) 0. Folglich muss gelte: ϕ Φ + kπ, k Z. 4. Poteze Als Spezialfall der Multiplikatio erhalt ma fur z cos ϕ + i si ϕ : ud allgemei z r (cos(ϕ) + i si(ϕ)) z r (cos(ϕ) + i si(ϕ)), N. Weitere Spezialfalle ergebe sich fur r 1 : Satz 1.. Formel vo Moivre: (cos ϕ + i si ϕ) cos(ϕ) + i si(ϕ), N. ud Formel vo Euler: e iϕ cos ϕ + i si ϕ. Bemerkug: I der Fuktioetheorie ka ma achweise, dass e iϕ tatsachlich als Expoetialfuktio betrachtet werde ka. Isbesodere gelte die Recheregel fur die Expoetialfuktio, d.h. e i(ϕ 1+ϕ ) e iϕ1 e iϕ, e iϕ 1 e iϕ. Dies kote ma auch uber Additiostheoreme fur Sius ud Cosius beweise. Es gilt aber gaz allgemei fur eie beliebige komplexe Zahl z x + iy : e z e x+iy e x e iy ud fur zwei beliebige komplexe Zahle z 1 x 1 + iy 1 ud z x + iy : e z 1+z e z1 e z, e z 1 e z.

5 5. WURZELN 5 5. Wurzel Wie lost ma eie Gleichug der Form z a? Wir betrachte zuachst de Fall a 1 ud bestimme die -te Eiheitswurzel, also Losuge der Gleichug z 1. Hieraus folgt zuachst z z 1 z 1. Somit hat z i Polarkoordiate die Darstellug z cos ϕ + i si ϕ ud damit ist z cos(ϕ) + i si(ϕ) 1 cos 0 + i si 0, da komplexe Zahle geau da gleich sid, we ihr Real- ud Imagiarteil ubereistimme bzw. die Betrage gleich sid ud sich die Argumete um Vielfache vo π uterscheide, gilt weiterhi ϕ kπ, k Z. Aufgrud der π-periodizitat vo Sius ud Kosius gibt es aber ur verschiedee Wurzel: Satz 1.3. (Eiheitswurzel) Es gibt geau verschiedee komplexe Zahle z 0, z 1,..., z 1, die der Gleichug geuge, diese sid gegebe durch z 1 z k e i kπ, k 0, 1,,..., 1. I aaloger Weise gehe wir u bei der allgemeie Gleichug z stelle beide komplexe Zahle zuachst i Polarkoordiate dar: a vor. Wir z r(cos ϕ + i si ϕ) ud a R(cos Φ + i si Φ). Damit geht die Gleichug z a uber i (Ausreche vo z ud eisetze i die Gl.) r (cos(ϕ) + i si(ϕ)) R(cos Φ + i si Φ). We diese beide komplexe Zahle gleich sid, da muss auch z z r a R gelte ud wir habe erhalte, dass gilt r R,

6 6 1. KOMPLEXE ZAHLEN da sowohl r als auch R ichtegative reelle Zahle sid. Aus der Gleichheit komplexer Zahle (i trigoometrischer Form) folgt auerdem ϕ Φ kπ ϕ Φ + kπ, k Z. Aufgrud der π-periodizitat vom Sius ud Cosius gibt es allerdigs wiederum ur voeiader verschiedee Losuge vo z a : z k ( R cos Φ + kπ + i si Φ + kπ ), k 0, 1,..., 1. bzw. z k ( ) R e i Φ+kπ R e i Φ e i kπ z0 e i kπ, k 0, 1,,..., 1. Damit ka ma z.b. auch quadratische Gleichuge lose: Beispiel 1.. Ma bestimme alle Losuge der quadratische Gleichug z + (1 + i)z (1 + i) 0. Losug mittels quadratischem Ergaze: z + (1 + i)z (1 + i) ( z i ) (z i ) (1 + i) 4i 4 ud damit ergebe sich die beide Losuge: (1 + i) z 1 + ( 4 cos 3π 4 + i si 3π ) 4 ( ) ( (1 + i) + + i (1 + i) z ( 4 cos 3π 4 + i si 3π ) 4 ( ) ( (1 + i) + i ( ) 1 + i (1 + i) 0 ( cos 3π + i si 3π ) 1 + ) ( + 1 ) ( ) 1 i, ) + 1 i. Wir habe gesehe, dass die quadratische Gleichug im Bereich der komplexe Zahle immer losbar ist. Es gilt aber och mehr. Satz 1.4. (Fudametalsatz der Algebra) Jedes Polyom p(z) vom Grad 1 hat i C eie Nullstelle.

7 5. WURZELN 7 Folgerug: Jedes Polyom p(z) vom Grad 1 lasst sich (uber C) i Liearfaktore zerlege: p(z) a (z z 1 )(z z )... (z z ), wobei a eie beliebige aber feste komplexe Zahl ist ud die z k, k 1,, 3,...,, icht otwedig voeiader verschiedee Nullstelle vo p(z) sid. Satz 1.5. (Idetitätssatz) Stimme zwei Polyome p(z) a j z j ud q(z) b j z j j0 (hochstes) -te Grades a (weigstes) (+1) Stelle uberei, so sid die Polyome gleich, d.h. a j b j fur alle j. j0

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