Logik / Kombinatorik - Hinweise zur Lösungsfindung

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1 Logik / Kombinatorik Hinweise zur Lösungsfinung Aufgabe 1) Günstige Bezeichnungen einführen; Tabelle anfertigen un ie unmittelbaren Folgerungen aus bis eintragen (siehe linke Tabelle). Da ies noch nicht zum Ziel führt, muss man versuchen, in einem zweiten Durchlauf noch nicht verwenete Informationen zu finen, aus enen weitere Feststellungen gefolgert weren können. Das sin ie in un enthaltenen Informationen über ie Teilnahme an er vorjährigen MO. Dies führt zur Feststellung k B (siehe mittlere Tabelle) un zur Feststellung a D (siehe rechte Tabelle), was ann zum Ziel führt. a c k B D H S B D H S B D H S a a, c c k, k Aufgabe 2) Bei erartigen Aufgaben sin Mengeniagramme G ein günstiges Hilfsmittel. Man kann in ihnen nicht nur festhalten, welche Anzahlen von Elementen gegeben un welche gesucht sin sonern auch berechnete Anzahlen eintragen un vor allem ie für ie Lösung benötigten Beziehungen zwischen iesen Anzahlen ablesen. Wichtig ist as Einführen günstiger Bezeichnungen sowie as Beherrschen er üblichen mengentheoretischen Schreibweise. M MS MS MS S MS Hier weren ie Beziehungen MS = M MS un G = MS MS MS MS verwenet, ie as Resultat G = = 26 liefert. [Lies in Grunlagen auf S. 2 en Abschnitt Mengeniagramme.] Aufgabe 3) Günstige Bezeichnungen einführen; eine mit Zeilen un Spalteneingängen versehene Tabelle anfertigen un ie unmittelbaren Folgerungen aus un eintragen (siehe linke Tabelle, er auch zu entnehmen ist, ass as im Fel bh sowohl aus Beingung als auch aus Beingung folgt.) An ieser Stelle gibt es zwei Möglichkeiten er Fortsetzung. Man kann sowohl as Fel H als auch as Fel bf mit einem füllen. Die erste Möglichkeit führt zu er mittleren er angegebenen Tabellen un zu er angegebenen Lösung, wobei man als weitere Lösungsvariante auch zuerst as Fel ae mit (2*) un erst anach as Fel cg mit "(3*)" füllen könnte. Die zweite Möglichkeit führt zu en in er rechten Tabelle festgehaltenen Feststellungen (1') un (2'), wobei es ann auch hier verschieene Varianten gibt, ie restlichen Feler er Tabelle zu füllen. Auf iese Weise kann man urch systematisches Erfassen aller möglichen Fälle zu vier verschieenen Lösungswegen gelangen. 1

2 a b c E F G H E F G H E F G H a a (2') (1') ; b b (1') c c (1') (1') Beachte: Eine erartige Tabelle ist nur ein Hilfsmittel bei er Lösungsfinung, as auch en Lösungsplan festhält. Eine erartige ausgefüllte Tabelle kann aber eine exakte Darstellung er Lösung nicht ersetzen. Aufgabe 4) Bei ieser Aufgabe kann ie nebenstehene Tabelle bei er Lösungsfinung sehr nützlich sein. Der Formulierung Weise nach, ass... in er Aufgabe ist zu entnehmen, ass er Lösungstext ie beien Nachweise I. un II. enthalten muss. Der Tabelle ist zu entnehmen, ass ie Beingung (f) für ie Herleitung er Lösung nicht benötigt wir. Würe man in er Beingung (f) ie Farbe rot urch ie Farbe grün ersetzen, ann würe unsere Aufgabe keine Lösung haben. [Lies in Grunlagen auf S.3/4 Hinweise auf einige logische Grunlagen.] w g s b r B F A P (e) O Aufgabe 5) Da bei ieser Aufgabe eine Zuornung er Elemente von rei Mengen {g, h, i}, {A, B, C} un {De, En, Fr} zu ermitteln ist, liegt es nahe, rei Tabellen als Hilfsmittel zu verwenen. Wenn man ie unmittelbaren Folgerungen aus en Beingungen,, un einträgt, erhält man folgenes Resultat (wobei ie gefolgerten Feststellungen so bezeichnet weren wie in er angegebenen Lösung): A B C De En Fr De En Fr g, g A h h B i (6) i C Damit hat man zunächst ie Zuornung zwischen Vornamen un Familiennamen gefunen. Nun ist folgene Erkenntnis wichtig: Aus haben wir B Fr erhalten, un wir haben auch h = B abgeleitet. Daraus folgt h Fr, was wir in er 2. Tabelle festhalten. Hieraus folgt ann i = Fr, un wir haben amit ie erste komplette Zuornung ermittelt. Nun kann man ie 2. Tabelle recht einfach ausfüllen un auf iese Weise ie restlichen beien Zuornungen erhalten. De En Fr g h i g (8) (9) C B A h (8) Fr i, 2

3 Der Formulierung Untersuche, ob sich... eineutig... ableiten lässt in er Aufgabe ist zu entnehmen, ass er Lösungstext ie beien Nachweise I. un II. enthalten muss. Die Notwenigkeit von II. [Existenznachweis ("Probe")] erkennt man an er Aufgabe 6b). Man kann nie sicher sein, ass man bei I. [Einzigkeitsnachweis ("begrünete Herleitung")] tatsächlich alle gegebenen Beingungen in vollem Umfang verwenet hat. Es ist auch urchaus möglich, ass er Einzigkeitsnachweis mehr als eine "lösungsverächtige" Zuornung liefert. Wure eine Beingung nicht (oer nicht in vollem Umfang) für en Einzigkeitsnachweis benötigt, ann können zwei Fälle eintreten: Wenn eine "lösungsverächtige" Zuornung auch iese Beingung erfüllt, ann ist sie tatsächlich eine Lösung; wenn sie iese Beingung nicht erfüllt, ann ist sie keine Lösung. Aufgabe 6) Nach em Einführen günstiger Bezeichnungen un em Festhalten er Beingungen in er mengentheoretischen Kurzform trägt man ie gegebenen Anzahlen in ein Mengeniagramm ein. Da ies für ie urch ie Beingungen (e) un (f) gegebenen Anzahlen nicht unmittelbar möglich ist, hält man sie gesonert fest (siehe linke Abbilung). G=28 G=28 L=8 F=15 0 L=8 F= (501)= 15(508)= LFE 5 LFE = 135= 20(518)= 6 E=20 Geg.: LE = 6, FE = 13 E=20 28( )= 4 Dann versucht man, urch Vorwärtsarbeiten ie noch leeren Feler es Diagramms zu füllen. Die hierfür benötigten Beziehungen entnimmt man em Mengeniagramm. Wegen LE = LEF LFE gilt LFE = 6 5 = 1, wegen FE = LEF LFE gilt LFE = 13 5 = 8, usw. Dem rechts abgebileten Diagramm ist unmittelbar zu entnehmen, ass genau 4 Schüler keine er rei Fremsprachen lernen. Folglich lernen (28 4 =) 24 Schüler minestens eine er rei Fremsprachen, usw. [Lies in Grunlagen auf S. 2 Mengeniagramme ] G=39 {A, B, E} un {C, D, F} Aufgabe 7) Im nebenstehenen Mengeniagramm sin ie gegebenen Anzahlen kursivfett eingetragen. Um ie in er Aufgabe gestellten Fragen beantworten zu können, müssen ie in en restlichen Felern stehenen Zahlen wie angegeben berechnet weren. Der Formulierung Weise nach, ass... eineutig ermitteln lassen in er Aufgabe ist zu entnehmen, ass er Lösungstext ie beien Nachweise I. un II. enthalten muss. F=11 M= (412)= 19(127)= (147)= 11 C=23 39( )= 1 3

4 Aufgabe 8) Zunächst führt man eine geeignete Symbolik ein. Wir kürzen ie Mächennamen mit Großbuchstaben, ie Jungennamen mit Kleinbuchstaben ab, so ass eine Zuornung zwischen X {B, C, D, E, I, M} un x {a, f, g, h, j, k} zu ermitteln ist. Die gegebenen Beingungen können ann wie folgt festgehalten weren: x > X; a C, a < B, E ; j B, C, E, I; h < f < a, f B, C, D, I; (e) g C, E; (f) k < f. Dabei beeutet a C, ass Anton nicht mit Christina tanzt, un a < B, E beeutet, ass Anton kleiner ist als Birgit un auch kleiner als Eva. Ferner ist es günstig, ie gegebenen Beingungen un ie Folgerungen in einer Tabelle übersichtlich festzuhalten. In er linken Tabelle sin ie urch ie einzelnen Beingungen unmittelbar gegebenen Beziehungen festgehalten, ie man beim ersten Durchlesen so in ie Tabelle eintragen kann. Beim zweiten Durchlesen untersucht man, was sich aus zwei oer mehreren Beingungen unmittelbar folgern lässt. Aus un folgt h, f, a < B, E, zusammen mit also h, f, a B, E. Diese 6 Beziehungen weren in ie Tabelle eingetragen (siehe rechte Tabelle). a f g h j k a f g h j k B B C C (e) D D E (e) E I I M M Dabei fällt zweierlei auf: Weer ie in gegebene Beziehung h < f noch ie in gegebene Beziehung f B weren zum Herleiten von benötigt, es genügt h, f < a bzw. f C, D, I. Man kann aher ie Beingung so abschwächen, wie ies in er Lösung Teil ) angegeben wure. Der so ergänzten Tabelle ist unmittelbar zu entnehmen, ass (als letzte Möglichkeit) f = M gelten muss, was wir urch ein " kennzeichnen. Außerem ist zu erkennen, ass auch k = E gelten muss. Dies ermöglicht nun verschieene Lösungsvarianten. a f g h j k a f g h j k B B C C (6) (6) D D E E (7) I I M M In er oben stehenen linken Tabelle wir ie in er angegebenen Lösung gewählte Variante festgehalten. Nachem ie restlichen Feler er letzten Zeile mit " gefüllt wuren, bleibt 4

5 in er 5. Spalte ie Beziehung j = D als letzte Möglichkeit, man trägt sie als " ein, usw. In er oben stehenen rechten Tabelle sin alle Folgerungen eingetragen, ie man ziehen kann, ohne Beingung (e) zu verwenen. Sie enthält 8 leere Feler, ie sich nicht eineutig füllen lassen. Wählt man g = B, so erhält man ie in unserer Lösung angegebene Zuornung. Wählt man (5') g = E, ann kann man (6) h = C un (7') k = B ableiten un erhält ie in er angegebenen Lösung im Teil b) angegebene 2. Zuornung, welche ie Beingungen bis erfüllt. Wählt man (5") g = C, ann erhält man einen Wierspruch, also keine weitere Lösung. Dass ie Hinzufügung von Beingung (f) zu einem Wierspruch zu (7) k = E führt, ist leicht zu finen, wenn man auf einen solchen Wierspruch gefasst ist. Würe man auf en Existenznachweis (ie Probe ) für ie im Einzigkeitsnachweis hergeleitete lösungsverächtige Zuornung verzichten, ann könnte es ohne weiteres vorkommen, ass man nicht merkt, ass eine (in er Herleitung nicht verwenete, relativ versteckte ) Beingung nicht erfüllt ist. [Lies in Regeln auf S. 2 Tabellen als Hilfsmittel beim Lösen von Zuornungsaufgaben un in Grunlagen auf S.3/4 Hinweise auf einige logische Grunlagen.] Aufgabe 9) Der Formulierung er Teilaufgaben a) un b) ist zu entnehmen, ass hier ein Einzigkeitsnachweis un ein Existenznachweis geforert weren. Dies legt es nahe, iese beien Teilaufgaben zusammenzufassen un ie Bezeichnungen I. un II. zu verwenen. Die Folgerungen aus en gegebenen Beingungen lassen sich wie folgt in einer Tabelle festhalten. Dabei erkennt man, ass ( aus un folgt un aher eine überflüssige Beingung ist, von er man im Existenznachweis zeigen muss, ass sie en aneren Beingungen nicht wierspricht. Aufgabe 10) Be. 1. Dreiergruppe 2. Dreiergruppe Bemerkungen A D, F eineutig, B, E C,, erfüllt C,, F, F D erfüllt nicht (e) A, E D erfüllt,, Um ie Wahrheitswerte er gegebenen 12 Aussagen zu ermitteln, liegt es nahe, zunächst nach Wiersprüchen zwischen zwei Aussagen zu suchen. (a 2 ) un ( 3 ) wiersprechen einaner, weil D nicht zu spät gekommen sein kann, wenn er as Spiel angestoßen hat. Offensichtlich wiersprechen auch (a 3 ) un ( 2 ) einaner. Hieraus un aus er Voraussetzung, ass jeer Junge nur einmal lügt, kann man folgern, ass (a 1 ), ( 1 ) un (b 1 ) wahr sin, woraus ann folgt, ass C er Täter war. Auch ie Wahrheitswerte er restlichen Aussagen lassen sich leicht ermitteln. 5

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