Die Dichte der Erde, berechnet aus der Schwerebeschleunigung

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1 152S Die Dichte der Erde, berechnet aus der Schwerebeschleunigung und der Abplattung Dr. O. Tumlirz, P r o f e s s o r i m t i c r k. k. l ' n i r r r s i l i i l in C.'w r n o ic ilz. Aus den Messungen der mittleren Dichte der Erde und aus den Untersuchungen über die Abplattung derselben geht mit Sicherheit hervor, dass die Dichte der Erde von der Oberfläche gegen das Centrum hin zunimmt, doch ist das Gesetz dieser Zunahme noch nicht bekannt. Um dieses Gesetz zu finden, betrachten wir die Oberfläche der Erde als ein abgeplattetes Rotationsellipsoid und nehmen an, dass der ganze Erdkörper durch Ellipsoide, welche mit dem genannten Rotationsellipsoid ähnlich, ähnlich liegend und concentrisch sind, in unendlich dünne Schichten getheilt ist von der Beschaffenheit, dass die Dichte in einer und derselben Schichte constant, von Schichte zu Schichte aber veränderlich ist. Ist A die halbe grosse und C die halbe kleine Axe der Erdoberfläche und sind a, c die analogen Werthe eines zu dieser Fläche homothetischen Ellipsoides, so können wir die Dichte im Innern der Erde als eine Function von a oder c ansehen. Wir setzen sie gleich ^ ( a ). Bezeichnen wir ferner den Abstand eines äusseren Punktes von der Rotationsaxe mit r und den Abstand desselben Punktes von der Äquatorebene mite (positiv in der Richtung zum Nordpol) und bedeutet V das Potential der Erde in dem genannten Punkte, so ist

2 Dichtc der lirde und wo r* T/_ * r d t cz ~ + n * t) D ^ = = //, D (1 + t) s j / Ls ist und /, in der Gleichung r'1 u t z i 2 T + / + T + n lt ~ a denjenigen Werth von / darstellt, welcher a = ^4 entspricht. Wenn wir die Function 'f(a) durch eine unendliche Reihe von der Form ausdrücken, dann können wir sowohl für jeden Punkt des b V Äquators, als auch tür beide Pole die Kraft -7, beziehungs- O T W weise sehr leicht berechnen. Wir wollen im Folgenden die Rechnung in der Weise durchführen, dass wir zunächst nur die ersten zwei Glieder nehmen, also?(* ) = Po 17 42" setzen und zur Bestimmung der beiden Constanten to(), M 1. die Schwerebeschleunigung am Äquator und 2. die Schwerebeschleunigung am Pol benützen. Es ist nämlich am Ä q u a to r also =: 0, r A, A ' 1 9 ^ i V ~ U t[ ~ 0z ~

3 Tumlirz, W n, ('< *>,' a z \ d t =. 2 x A f Un M 'd r Jo V A % (1 + 0* \ / \ + n %t r m m C d t \ \ J o (1 + t)2 \ / 1 + n %t Jo (1 + t)" \ / 1-4- n2t J Setzen wir nach B e s sei A = so erhalten wir und C m, w* _ l - A r 00 d t 1 + A 2 / arc tang A 1 (1 + 1 )2 \ / 1 + n 2t ^ ^ A 1 + A A 2+ A = In ähnlicher Weise ergibt sich d t (1 + t ) z \ / 1 + n 2t _ (1 + A 8)* arc tang A 4 A 3 2(1 + A a)2 4 A 2(1 + A 2) = A A* = Unsere Gleichung erhält somit die Form 01' 2*4 ( Po 0* M ). (1) Ganz ebenso erhalten wir für den N o rd p o l also r - 0, z C 14-n2t 1 3r

4 Dichte der Erde d V n L C f ( p lil os J ö ' A ~ (1 + 0 \ J ( \ + n lty 2 ti n 2 C r 00 d t ru (1 + 0 V /( 1 + «20 :J Nun ist - M I d t J 0 (1 + 0 \ / ' ( \ + n H ) :' r d t 2 / arctanga, Jo (1 + /) \/(l+«'ö3 A'2y A = - - A 2+ A o ( und C 00 d t 2 / 1 1 arc tan.? A Jo (i + 0V'(i+«t05 A V3 A! A = 5-7 a * a also , 3J - rr 2 n n * C ( p ), (2) OS wo «2 = 1 + A 2 zz Wir wählen jetzt für die beiden Schwerebeschleunigungen jene Werthe, welche P o u ille t angegeben hat, nämlich o-() = m g i n und können demnach setzen: für den Nordpol Z V c z

5 1 o32 O. Tumlirz, lind für den Äquator gleich = t *A i r (2 4 X 6 0 X 6 0 )5 = Dies führt zu dem Resultate: Po z= X M X E s ist somit die Dichte in der Oberflächenschichte ( a ^4) p K) M >< und die mittlere Dichte der Erde gleich f> 0 6 M = x 10 ~7, oder es verhält sich die mittlere Dichte der Erde zur Dichte in der Oberflächenschichte wie und die Dichte im Mittelpunkt zur Dichte in der Oberflächenschichte wie Die Dichte in der Oberflächenschichte der Erde wird gewöhnlich im Verhältniss zum W asser als 2-5 angenommen; demnach erhalten wir die D ich te im M itte lp u n k t = 10*864 und die m ittle re D ich te der E rd e Die letztere Zahl ist etwas grösser als die Zahl 5-692, welche v J o llv mit der W age gefunden hat. Die Zahlen für die Dichte im Mittelpunkt und die mittlere Dichte der Erde sind wesentlich abhängig von den Werthen für g 0 und Wählen wir z. B. die Werthe, welche L is tin g angegeben hat, nämlich»0 = m g 0 = u t,

6 Dichte cicr Erde so erhalten wir r,0 = X lo 7 M X 10" 'j0 M = X IO"7 o( 0 6 M X 1O 7 Setzen wir wieder die Dichte in der Oberflächenschichte der Erde im Vergleich zum W asser r- 2 5, dann erhalten wir für die Dichte im Mittelpunkt die Zahl und für die mittlere Dichte der Erde die Zahl Die letztere Zahl ist etwas grösser als die Zahl 6-566, welche A ir y erhalten hat. Für die Grössen g {) und $'90 hat man bisher infolge der localen Einflüsse und der Unregelmässigkeiten der Gestalt der Erde noch keineswegs ganz sichere Mittelwerthe erhalten, und diese Unsicherheit überträgt sich bei dieser Methode auch auf das Resultat. Aber wir können bereits aus dem gewonnenen Resultate einen Schluss ziehen, und zwar den, dass unser Dichtigkeitsgesetz 'f (fl) = zwei Gruppen von.messungen, nämlich die Messungen der Schwerebeschleunigung an den verschiedenen Stellen der Erdoberfläche und die Messungen der mittleren Dichte der Erde, welche bisher in keinerlei Beziehung zu einander standen, mit einander in einfacher und, man kann auch sagen, befriedigender Weise verbindet, so dass dieses Gesetz den Anspruch erhält, als Ausdruck der thatsächlichen Verhältnisse zu gelten. Theilen wir den Radius des Äquators in zehn gleiche Theile und legen wir die früheren Werthe von 1o(l und M, nämlich f>0 = X 10-7 und.1/ == X 10 ~ 7, zu Grunde, so erhalten wir nach diesem Dichtigkeitsgesetze

7 1534 O. Tumlirz, 4 - = l, 0-9, 0-8, 0-7, 0*6, 0-5, A D ic h t e r 2*5, 4-089, 5 * 5 11, 6-766, 7-853, 8'773, a \- = 0' 4, 0-3, 0-2, 0-1, 0, A Dichte = 9-526, 10 * 112, , , Wenn wir die Anziehungskraft auf einen Punkt bestimmen wollen, der im Innern auf einem Äquatorialhalbmesser im Abstand a vom Mittelpunkt liegt, so werden wir dieselbe gleich jener Kraft zu setzen haben, welche von demjenigen Ellipsoide ausgeht, das von der durch den Punkt gehenden und mit der Erdoberfläche homothetischen Ellipsoidenfläche begrenzt wird. Denn der übrige Theil übt nach einem bekannten Satze keine Wirkung aus. Die Dichte in dem betreffenden Punkt ist Po - a2 Dieselbe setzen wir gleich, 0, wo M' = M - p Anderseits ist die Dichte innerhalb des Ellipsoides auf dem Halbmesser im Abstande a Ll^ Cl^ Da nun ausserdem u denselben Werth hat, so können wir die früheren Formeln ohneweiters anwenden, nur müssen wir darin A durch n. und M durch M ' ersetzen. Wir erhalten also für z 0, r a 8 V o r 2 r. a ( ,o M ' ) 2 - a (0 * o M ) jri = 2 r a IO- ' (4* * x ^ 2 2 = *-( * A A -

8 Dichte der Erde Nennen wir die Schwerebeschleunigung in dem betreffenden Punkte g, so ist c V 4 " 2a e r * (2 4 X 6 0 X 6 0 )2 und daher o JT± n. / a2 \,» = (^ y J- r^ r ~ 1, 0-9, 0-8, 0-7, 0-0, /i = , , , 9-857, 9 ' = 0-5, 0-4, 0-3, 0-2, 0-1, 0 ux g 8-052, 6-745, 5-236, 3-575, , 0. Den grössten Werth hat g für ~ = , lind zwar «m;lx = i n. Für a A ist ^* = X 10 -li i n, d a d. h. steigen wir am Äquator I m tief in die Erde, dann nimmt die Beschleunigung der Schwere um X 10 ~ 6 m zu. A irv beobachtete in der Kohlengrube Harton bei N ew castle in einer Tiefe von 383 n t eine Zunahme der Schwerebeschleunigung von ^ ^ des Betrages an der Oberfläche, d. i. um //,

9 Tumlirz, Dichte der Erde. also für 1 i n eine Zunahme von 1* m. Major v S tern eck hat dagegen in dem Bergwerke von Pribram bei einer Tiefe von 1000 t u die Beobachtung gemacht, dass eine Uhr, welche an der Oberfläche richtig ging, unter der Erde um 3*88 Secunden pro T ag vorauseilte. Diesem Betrage entspricht eine Zunahme der Schwerebeschleunigung von 8* '///, also für 1 u i 0* '*. Bilden wir das Mittel aus dem A ir v schen und dem S t e r n e c k schen Werthe, so ergibt sich X 10 ///, also eine Zahl, welche mit dem von uns berechneten Werthe sehr nahe übereinstimmt. Zum Schlüsse habe ich noch den Druck berechnet, welchen die Massen der Erde bei dem oben ausgesprochenen Dichtigkeitsgesetz im Mittelpunkte ausüben würden, wenn die Erde ganz flüssig wäre. Indem ich dabei die Erde als eine Kugel vom Radius A ansah, erhielt ich einen Druck von Atmosphären. Die Wassersäule, welche bei constantem Gewichte denselben Bodendruck ausübt, ist 5 *0746mal grösser als der Erdradius. Durch diesen ungeheueren Druck würde ein Stück Eisen vorausgesetzt, dass die Zusammendrückbarkeit vom Drucke unabhängig ist auf das 2*373 fache verdichtet werden, d. h. es würde die Dichte von 7*76 auf 18*41 erhöht werden. Freilich können wir mit Sicherheit annehmen, dass die genannte Voraussetzung nicht richtig ist. H. A m a g a t hat gefunden, dass die Compressibilität des Wassers mit dem Drucke abnimmt, so dass bei 3000 Atmosphären der Compressibilitätscoefficient halb so gross ist wie bei 1 Atmosphäre, und wir können daraus vermuthen, dass die anderen Stoffe sich ähnlich verhalten.

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