Abbildung 1.1: Versuchsaufbau für die Messung von Trägheitsmomenten.

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1 Trägheitsmomente Abbildung 1.1: Versuchsaufbau für die Messung von Trägheitsmomenten. Physikalische Grundlagen Definition des Trägheitsmomentes, Satz von Steiner, Direktionsmoment, Schwingungen Einführung Bei einem beliebigen starren Körper, dessen Massenelemente m i den Abstand r i zur Drehachse haben, ist das Trägheitsmoment J = m i ri 2 (1.1) i Für eine punktförmige Masse m auf einer Kreisbahn mit dem Radius r gilt: J = m r 2

2 1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 25 Das Trägheitsmoment wird aus der Schwingungsdauer einer Drillachse bestimmt, J T = 2π (1.2) D auf die der Probekörper gesteckt wird und die über eine Schneckenfeder elastisch mit dem Stativ verbunden ist (siehe Abb. 1.1). Das System wird zu harmonischen Schwingungen angeregt. Aus der Schwingungsdauer T errechnet man bei bekanntem Direktionsmoment D das Trägheitsmoment des Probekörpers gemäß ( ) T 2 J = D (1.3) 2π Die Messwerte werden mit den theoretischen Vorhersagen für einen Körper der Masse m, dessen Massenelemente m i um eine feste Achse im Abstand r i rotieren, verglichen: J = m i ri 2 = r 2 dm (1.4) i Der Schwingungsvorgang wird mit Hilfe eines Winkelaufnehmers (siehe Abb. 1.2) in elektrische Signale umgewandelt. Der Aufnehmer liefert für kleine Auslenkungen eine winkelproportionale Spannung. Er besteht aus einem vernickelten Messingrohr (10 mm Durchmesser) mit angeschraubtem Kleingehäuse für die elektrischen Bauteile. In dem Messingrohr befindet sich eine Nut an deren Ende in einem Langloch eine magnetfeldempfindliche Sonde (Hall- Sonde) eingeklebt ist. Die Sonde ist so orientiert, dass sie auf die zur Nut senkrecht stehende Komponente des Magnetfeldes anspricht. Die zwei felderzeugenden Permanentmagnete sind so auf die Innenseiten einer U-förmigen Gabel geklebt, dass sich Nord- und Südpol gegenüberliegen. Im Ruhezustand verschwindet daher die vertikale Feldkomponente; die Ausgangsspannung des Winkelaufnehmers ist somit 0. Wird nun die Drillachse um den Winkel α aus der horizontalen Richtung ausgelenkt, tritt eine Feldkomponente in vertikaler Richtung auf. Abbildung 1.2: Drillachse mit Winkelaufnehmer.

3 26 Die exakte Abhängigkeit wird durch die Gleichung B = B sin α beschrieben. Im Falle kleiner Winkel kann sin α durch α approximiert werden, so dass die Ausgangsspannung proportional dem Auslenkwinkel α wird. Die Abweichung von diesem linearen Verhalten liegt bis zu einem Winkel von α = ±14 Grad (entsprechend sin α = 0, 24) unter 1%. Die Versorgungsspannung wird über das entsprechend gekennzeichnete Leitungspaar zugeführt und soll im Bereich V liegen. Es ist auf die Polarität gemäß den Farben der Anschlussstecker (rot-positiv, blau-negativ) zu achten. Bei Fehlbeschaltung tritt keine Ausgangsspannung auf. Die von dem Winkelaufnehmer gelieferten Spannungssignale werden mit Hilfe des computerunterstützten Messwerterfassungssystems CASSY aufgezeichnet. Mit Hilfe einer Fourieranalyse lässt sich aus dem aufgezeichneten Schwingungsvorgang mit großer Genauigkeit die Frequenz und damit die Schwingungsdauer bestimmen. Im ersten Teil des Versuches wird das Trägheitsmoment eines Massenpunktes in Abhängigkeit vom Abstand r zur Drehachse bestimmt. Dazu wird ein Stab mit zwei gleichen Massenstücken in Querrichtung auf die Drillachse gesteckt. Die Schwerpunkte der beiden Massenstücke haben den gleichen Abstand r zur Drehachse, so dass das System ohne Unwucht schwingt. Im zweiten Teil des Versuches werden die Trägheitsmomente eines Hohlzylinders, eines Vollzylinders und einer Vollkugel miteinander verglichen. Dazu stehen zwei Vollzylinder mit gleicher Masse jedoch unterschiedlichen Radien zur Verfügung. Weiterhin ein Hohlzylinder, der in Masse und Radius mit einem Vollzylinder übereinstimmt, und eine Vollkugel, deren Trägheitsmoment mit einem der Vollzylinder übereinstimmt. Im dritten Teil des Versuchs wird der Steinersche Satz am Beispiel einer flachen Kreisscheibe experimentell verifiziert. Dazu werden die Trägheitsmomente J a einer Kreisscheibe für verschiedene Abstände a der Drehachse zum Schwerpunkt gemessen und mit dem Trägheitsmoment J 0 um die Schwerpunksachse verglichen. Es soll der Steinersche Satz bestätigt werden. J a = J 0 + m a 2 (1.5) Versuchsbeschreibung Die Versuchskörper zur Drillachse sind so ausgewählt, dass sich folgende Fragestellungen untersuchen lassen: Messung des Zusammenhangs J = f(r 2 ) für einen Massenpunkt, der im Abstand r um eine feste Achse rotiert. Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern mit nahezu gleicher Masse, aber verschiedener Massenverteilung.

4 1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 27 Bestimmung der Trägheitsmomente von Zylindern und Kugeln aus gleichem Material, deren Massen und Radien so abgestimmt sind, dass sich gleiche Trägheitsmomente ergeben. Bestätigung des Steinerschen Satzes Versuchsaufbau Zum Versuchsaufbau gehören 1. Drillachse mit zweifach kugelgelagerter Welle, durch eine Schneckenfeder an eine Gabel angekoppelt. Richtmoment der Feder: Höhe der Drillachse: Gewicht der Drillachse: ca. 0,025 N m ca. 0,2 m ca. 0,39 kg 2. Stab mit Kupplungsstück zum Aufstecken auf die Drillachse; je 5 Kerben in 0, 05 m Abständen zu beiden Seiten der ebenfalls gekerbten Stabmitte. Länge des Stabes: Masse des Stabes: ca. 0,6 m ca. 0,13 kg 3. Zwei Massen (als Modell von Massenpunkten), längs des Stabes (2) verschiebbar, mit Kugelrasten, die in die Kerben des Stabes greifen, so dass die Massen in definierten Abständen von der Stabmitte gehalten werden. Masse jedes Massenstückes: ca. 0,24 kg 4. Vollzylinder aus Holz (Holzscheibe), Durchmesser ca. 225 mm, mit Buchse zum Aufstecken auf die Drillachse. Durchmesser: Höhe: Masse: ca. 0,225 m ca. 0,015 m ca. 0,35 kg

5 28 5. Vollzylinder aus Holz, Durchmesser ca. 90 mm. Durchmesser: Höhe: Masse: ca. 0,09 m ca. 0,09 m ca. 0,35 kg 6. Hohlzylinder aus Metall, Durchmesser ca. 90 mm. Durchmesser: Höhe: Masse: ca. 0,09 m ca. 0,09 m ca. 0,35 kg 7. Aufnahmeteller aus Metall für die Zylinder (5) und (6) mit Buchse zum Aufstecken auf die Drillachse und mit Schraube zum fixieren der Zylinder. Durchmesser: Masse: ca. 0,1 m ca. 0,12 kg Durchmesser und Höhe der Zylinder (5) und (6) stimmen überein (nachmessen!), die Massen der 3 Zylinder (4), (5) und (6) sind näherungsweise gleich (nachmessen!). 8. Kugel aus Holz, Durchmesser ca. 145 mm, mit Buchse zum Aufstecken auf die Drillachse. Die Trägheitsmomente der Kugel und des Zylinders (4) sind etwa gleich. Durchmesser: Masse: ca. 0,145 m ca. 0,99 kg

6 1.3. TRÄGHEITSMOMENTE Kreisscheibe mit Halterung zum Aufstecken auf die Drillachse mit 9 Löchern zum Aufspannen der Scheibe auf der Halterung in der Scheibenmitte, sowie im Abstand von 0, 02; 0, 04;... 0, 14; 0, 16 m von der Scheibenmitte. Durchmesser: Masse: ca. 0,4 m ca. 0,74 kg Hinweise zum Experimentieren Schrauben (10) welche die federnden Kugelrasten der Massen (3) gen den Stab (2) drücken, nicht betätigen. Die Schrauben sind so eingestellt, dass man einerseits die Massen entsprechend den Versuchsbedingungen längs des Stabes verschieben kann, und dass die Massen anderseits gegen die Zentrifugalkraft auf dem Stab gehalten werden. Die Anordnung stets so aus der Gleichgewichtslage auslenken, dass die Feder zusammengedrückt und nicht aufgebogen wird. Die maximale Auslenkung wird druch die Halterungen für die Magnete auf ca. 60 Grad beschränkt. Die Schwingungsdauern sollten zweckmäßigerweise durch Mittelwertbildung aus mehreren Messungen für z.b. 5 Schwingungen bestimmt werden. Aus der Varianz der Messwerte ergibt sich auch der Fehler für die Schwingungsdauern. Zusätzlich gibt es Fehler durch die Art und Weise wie mit der CASSY-Software der Schwerpunkt im Frequenzspektrum bestimmt wird. Um diesen Fehler abzuschätzen, sollte zumindestens eine Messung mit MAPLE ausgewertet werden, d.h. die mit CASSY aufgzeichneten Spannungswerte werden in MAPLE eingelesen, die Fouriertransformation mit der Prozedur fourier aus der MAPLE-Bibliothek app maple durchgeführt und mit der Prozedur peak der Schwerpunkt der Verteilung bestimmt. Durch Variation des Messbereichs für die Fouriertransformation, durch Variation des Fensters in dem der Schwerpunkt bestimmt wird und durch Vergleich mit dem Ergebnis aus der CASSY Software kann der systematische Fehler in der Frequenzbestimmung abgeschätzt werden. Ein Beispiel einer solchen Messung mit dem Messwerterfassungssystem CASSY ist in Abb. 1.3 gezeigt. Aus der Fouriertransformation (siehe Abb. 1.4) ergibt sich in diesem Beispiel eine Schwingungsdauer von 4.88 s. Die gleiche Messung wurde 5 mal wiederholt um die statistischen Schwankungen zu ermitteln. Es ergaben sich die Messwerte: 4,88s, 4,87s, 4,87s, 4,88s, 4,87s. Für den Mittelwert also: T = (4, 874 ± 0, 002) s.

7 30 Abbildung 1.3: Messreihe eines Schwingungsvorgangs mit der Drillachse. Abbildung 1.4: Fouriertranformation der in Abb. 1.3 gezeigten Messreihe. Mit dem Peakfinder aus der CASSY Software ergibt sich eine Schwingungsdauer von 4,87 s.

8 1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 31 Das Trägheitsmoment der Drillachse liegt in der Grössenordung von 10 5 kgm 2. Es ist in der Auswertung nicht berücksichtigt, so dass die experimentell ermittelten Trägheitsmomente stets etwas größer als die theoretisch erwarteten Werte sind Bestätigung von J = f(r 2 ) und Bestimmung des Direktionsmomentes D Zunächst wir das Gewicht der Massen m W 1, m W 2 und das Gewicht des Stabes m Stab mit einer Waage gemessen und die Länge des Stabes l Stab mit einem Massband bestimmt. Dann wird der Stab ohne Massen auf die Drillachse gesteckt und die Schwingungsdauer gemessen. Anschliessend werden die Massen (m W 1, m W 2 ) symmetrisch im Abstand r = 0, 05; 0,10; 0,15; 0,20; 0,25 m von der Stabmitte angeordnet und ebenfalls die Schwingungsdauern gemessen. Beispiel einer solchen Messreihe: Das Trägheitsmoment für den Stab alleine ist r m 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 T s 2,52 2,71 3,76 4,86 6,08 7,40 J Stab = 1 12 m Stab l 2 Stab und für die Massenpunkte im Abstand r von der Drillachse: J Massen = (m W 1 + m W 2 ) r 2 = m W r 2 Es sollte also folgender funktionaler Zusammenhang gelten: T 2 = 4π 2 J Massen + J Stab D = 4π2 D m W r 2 + 4π2 D J Stab Die Messung mit dem Stab alleine entspricht also dem Messwert für r = 0. Der linearer Zusammenhang zwischen dem Quadrat der Schwingsdauern (T 2 ) und dem Quadrat des Abstandes (r 2 ) (siehe Abb. 1.5) erlaubt es, mit Hilfe einer linearen Regression, T 2 = m r 2 + a = 737, 34 s2 m 2 r2 + 6, 36 s 2 aus der Steigung der Geraden m das Direktionsmoment D zu bestimmen: D = 4π2 m m W 4π 2 = 0, 48 N m 737, 34 = 0, 0257 N m

9 32 Abbildung 1.5: Grafische Darstellung der Messwerte T 2 (r 2 ) zusammen mit der Ausgleichsgeraden. Mit bekanntem Direktionsmoment D kann anschliessend aus dem Achsenabschnitt a das Trägheitsmoment des Stabes experimentell bestimmt werden und mit der theoretischen Vorhersage verglichen werden. J exp. Stab = ad 4π 2 6, 36 0, 0257 = 4π 2 = 0, kg m 2 J theo. Stab = 1 12 m Stab l 2 Stab = , 132 0, 62 kg m 2 = 0, kgm Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern gleicher Masse mit verschiedener Massenverteilung Dünner Vollzylinder aus Holz Die Masse des Vollzylinders aus Holz (Holzscheibe - HS) m HS wird durch wiegen und sein Durchmesser d HS mit dem Massband bestimmt. Dann wird die Holzscheibe auf der Drillachse befestigt und die Schwingungsdauer gemessen. Beispiel: T HS = 1, 82 s J exp HS = 1 4π 2 D T 2 HS = 1 4π 2 0, , 822 Nms 2 = 2, kg m 2

10 1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 33 Der theoretisch zu erwartende Wert ergibt sich zu: J theo HS = 1 2 m HS ( ) 2 dhs 2 = 2, kg m 2 Vollzylinder (VZ) und Hohlzylinder (HZ) Beide Zylinder werden auf einen Aufnahmeteller (T) gesetzt, so dass sich die Trägheitsmomente J V Z und J HZ nicht unmittelbar experimentell, sondern durch Differenzbildung ermitteln lassen: J V Z = J V Z+T J T Aufnahmeteller: J HZ = J HZ+T J T Aufnahmeteller + Vollzylinder: T = 0, 564 s J exp T = 1 4π 2 D T 2 T = 1 4π 2 0, , 5642 Nms 2 = 0, kg m 2 T = 0, 92 s J V Z+T = 1 4π 2 D T 2 V Z+T = 1 4π 2 0, , 922 Nms 2 = 0, kg m 2 Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Vollzylinders J exp V Z = J V Z+T J T = 0, kg m 2 im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von JV theo Z = 1 ( ) 2 2 m dv Z V Z 2 Aufnahmeteller + Hohlzylinder: = 0, kg m 2 T = 1, 18 s J V Z+T = 1 4π 2 D T 2 V Z+T = 1 4π 2 0, , 182 Nms 2 = 0, kg m 2

11 34 Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Hohlzylinders J exp HZ = J HZ+T J T = 0, kg m 2 im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von J theo HZ = m V Z Trägheitsmoment der Kugel T = 1, 82 s ( ) 2 dhz 2 = 0, kg m 2 J exp K = 1 4π 2 D T 2 V Z+T = 1 4π 2 0, , 822 Nms 2 = 2, kg m 2 Um das experimentelle Ergebnis mit der theoretischen Vorhersage J theo K = 2 5 m KR 2 K vergleichen zu können, benötigen wir den Radius der Kugel R K. Dieser lässt sich mit dem Massband nur sehr ungenau abschätzen. Wesentlich genauer ist es, die Dichte der Kugel ρ K zu verwenden, um über die Beziehung m K = V K ρ K = 4 3 πr3 Kρ K den Radius zu bestimmen. Mit ρ K = (0, 63 ± 0, 02) 10 3 kg/m 3 erhalten wir: und damit R K = J theo K = 2 5 m KR 2 K [ mk 4 3 πρ K ] 1 3 = 0, 0716 m = 2 5 0, 99 kg 0, m 2 = 2, kg m 2 Der Vergleich mit der Messung für die Holzscheibe zeigt, dass die Trägheitsmomente übereinstimmen. Bestimmt man Massen und Radien der Versuchskörper, so lässt sich experimentell bestätigen, dass Kugel und Holzscheibe das gleiche Trägheitsmoment haben wenn gilt: m HS R 2 HS = 4 5 m K R 2 K

12 1.3. TRÄGHEITSMOMENTE Bestätigung des Steinerschen Satzes In diesem Versuchsteil soll die Abhängigkeit des Trägheitsmomentes J vom Abstand a zwischen Rotations- und Schwerpunktachse untersucht werden. Der Steinersche Satz J a = J 0 + m a 2 soll bestätigt werden. J 0 ist hierbei das Trägheitsmoment bei Rotation um die Schwerpunktsachse. Die Kreisscheibe wird zunächst um ihre Schwerpunktsachse rotieren gelassen (a = 0). Zur besseren Genauigkeit und um die Schwankung der Messwerte abzuschätzen wird die Messung mehrfach wiederholt und die Schwingungsdauer durch Mittelwertbildung bestimmt. In gleicher Weise wird die Schwingungsdauer T als Funktion des Abstandes a = 0, 02; 0, 04;... 0, 16 m zwischen Rotations- und Schwerpunktsachse bestimmt. Wichtig: Nach jeder Änderung von a den Stativfuss mit Hilfe der Dosenlibelle wieder so ausrichten, dass die Kreisscheibe in der Horizontalen rotiert. Ergebnis: a[m] T[s] J [kg m 2 ] 10 2 J J 0 [kg] a 2 0,00 4,782 1,490 0,02 4,800 1,501 0,04 4,961 1,604 0,06 5,230 1,782 0,08 5,532 1,994 0,75 0,10 5,884 2,256 0,12 6,313 2,597 0,14 6,710 2,951 0,16 7,220 3,400 Für das Trägheitsmoment J eines Körpers der Masse m, dessen Rotationsachse um a von der Schwerpunktsachse entfernt ist, gilt: J a = J 0 + const. a 2 Die Auswertung des Diagramms J = f(a 2 ) liefert für den konstanten Proportionalitätsfaktor in befriedigender Übereinstimmung mit der Masse der Kreisscheibe von 0, 75 kg. Damit bestätigt der Versuch den Steinerschen Satz: J a = J 0 + m a 2