Fourier- und Laplace- Transformation

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1 Skriptum zur Vorlesung Mathematik für Ingenieure Fourier- und Laplace- Transformation Teil : Fourier-Transformation Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) Fachhochschule Pforzheim FB-Ingenieurwissenschaften, Elektrotechnik/Informationstechnik

2 Inhalt. Fourier- und Laplace-Transformation. Fourier-Reihenentwicklung.. Zielsetzung, Begründung und Vorgehensweise.. Ableitung der reellen Fourierreihe... Reelle Fourierreihe mit Sinus- und Kosinusschwingungen... Vereinfachte Bestimmung der reellen Fourierkoeffizienten...3 Reelle Fourierreihe in Sinusform...4 Reelle Fourierreihe in Cosinusform...5 Anschauliche Darstellung der verschiedenen Formen der reellen Fourierreihe..3 Ableitung der komplexen Fourierreihe..4 Rechenbeispiel..5 Graphische Darstellung periodischer Zeitfunktionen im Frequenzbereich..5. Amplitudenspektrum..5. Amplitudenbetrags- und Phasenspektrum..5.3 Komplexe Darstellung Übungsblatt Fourierreihe. Fourier-Transformation.. Herleitung des Fourier-Integrals.. Rechenbeispiele... Rechteckimpuls... Zeitbegrenzte Cosinusschwingung...3 Delta-Impuls Übungsblatt Fourier-Transformation.3 Laplace-Transformation.3. Einführung.3. Rechenregeln der Laplace-Transformation.3.. Linearitätssatz.3.. Änlichkeitssatz.3..3 Verschiebungssatz.3..4 Dämpfungssatz.3..5 Differentiationssatz.3.3 Korrespondenztabelle.3.4 Beispiele.3.5 Periodische Funktionen.3.6 Laplace-Rücktransformation.3.7 Anwendungsbeispiele Übungsblatt Laplace-Transformation Ergänzungsaufgaben Fourier-Reihen und Transformation / Lösungen Ergänzungsaufgaben zur Laplace-Transformation / Lösungen Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner)

3 . Fourier-Transformation.. Herleitung des Fourier-Integrals Die Fourier-Analyse mittels Fourier-Reihenentwicklung (s. Kap..) ist auf periodische Funktionen beschränkt, d.h. f(t+kt) = f(t). In der Technik kommen jedoch auch nichtperiodische (aperiodische) Funktionen vor (z.b. zufälliges Datensignal in der Kommunikationstechnik). Die Fourier-Transformation bzw. das Fourier-Integral bietet eine Möglichkeit, solche Funktionen im Frequenzbereich darzustellen. Eine aperiodische Funktion kann prinzipiell als eine periodische Funktion mit -langer Periodendauer beschrieben werden, d.h. T. Für die Zeitfunktion f(t) in Bild.. würde das bedeuten, daß nur noch der Impuls um t = 0 übrig bleibt, die Impulse links und rechts davon wandern nach, treten also nicht mehr in Erscheinung. Wir betrachten eine periodische Funktion f(t). Nach Kap...3 kann f(t) in eine komplexe Fourier-Reihe entwickelt werden: jω t πn n f ( t) = cn e mit ω n = T n= (..) wobei c n die komplexen Fourier-Koeffizienten sind: c n T jω nt = f ( t) e dt T T (..) Bild.. zeigt als Beispiel eine Folge von Rechteck-Impulsen der Dauer τ mit dem zugehörigen Spektrum. Bild..: Impuls-Folge f(t) und zugehöriges Betragsspektrum Der Abstand zwischen den einzelnen Spektrallinien c n beträgt: ω n+ - ω n = ω = π/t Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 3

4 Das Linienspektrum der c n geht damit für größer werdende T immer mehr in ein kontinuierliches Spektrum über, d.h. ω n ω. Erweitern wir Gl. (..) mit ω, erhalten wir: Für ω n ω gilt: f ( t) T jωnt = cn e ω (..3) π n= c n ω ( ) j t = f t e dt T (..4) lim T : F( ω ) = ( T cn ) T F(ω) ist eine komplexe, kontinuierliche Spektralfunktion, die sich aus dem "Zusammenrücken" der c n ergibt. Der Einfachheit halber lassen wir im folgenden den "Komplex-Unterstrich _" bei den Funktionen entfallen, gehen aber weiterhin davon aus, daß alle Funktionen komplex sein können. Für T bzw. ω dω geht die Summe in Gl. (..3) in ein Integral über. Wir erhalten damit aus Gl. (..3) das Fourier-Integral: jωt f ( t) = F( ω) e dω π (..5) mit dem Spektrum F( ω) = f ( t) e dt (..6) Schreibweisen: f(t) ο F(ω) bzw. F(ω) ο f(t) oder: F(ω) = I{f(t)} bzw. f(t) = I - {F(ω)} Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 4

5 .. Rechenbeispiele... Rechteckimpuls Es soll das Spektrum des nachstehenden Signals bestimmt werden: f ( t) τ ; τ < t < + τ = 0 ; sonst Spektralfunktion Gl.(..6): ( ω) ( ) F = f t e dt + τ τ τ jω F( ω) = e dt = [ e ] ( ω) + τ = = τ jω jω τ ( ω τ ) sin F = = si( ω τ ) ω τ ωτ ωτ + ωτ ωτ [ e j / e j / ] [ e j / e j / ] sin x j e jx ( ) [ e jx = ] F(ω) -3/τ -/τ 0 /τ 3/τ ω/(π) Sehr wichtiger Zusammenhang z.b. in der Kommunikationstechnik (Übertragung von Datenbits)! Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 5

6 ... Zeitbegrenzte Cosinusschwingung Es soll das Spektrum des nachstehenden Signals bestimmt werden: ( ) f t ( t) τ cos ω0 ; τ < t < + τ = 0 ; sonst Spektralfunktion Gl.(..6): ( ω) ( ) F = f t e dt + τ j t jω t jω t F = t e dt = e + e e dt τ τ ω 0 0 ( ω) cos( ω0 ) ( ) + τ / j t j t ( ) ( ω ω0 ) ( ω + ω0 ) ( ) = + + τ F ω e e dt τ j( ω + ω 0 ) t j( ω ω0 ) t e e = + τ j( ω + ω0 ) j( ω ω0 ) mit cos( x) ( e jx jx = + e ) + τ j( + 0 ) + j( + 0 ) j( 0 ) + j( 0 ) e e e e = + τ j( ω + ω0 ) j( ω ω 0 ) ω ω τ / ω ω τ / ω ω τ ω ω τ ( ) ( ) ( ) ( ) + j + 0 j j 0 j 0 e e e e = + j( ω + ω 0 ) τ j( ω ω 0) τ ω ω τ / ω ω τ / ω ω τ ω ω τ ω ω ω τ ω ω τ F( ) = si ( + ) si ( ) Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 6

7 Spektrum der geschalteten Cos-Schwingung: = um ± f 0 = ω 0 /π verschobenes Spektrum des Rechteck-Impuls (Modulation!) Beispiel: Modulation eines Datenbits auf eine hochfrequente Schwingung...3 Delta-Impuls (Dirac-Impuls, "Einheitshammerschlag") f(t) / nadelförmiger Impuls Fläche = d -> 0 t Def: Fläche =, Breite ε ω ω F( ω) = δ( t) e dt = e dt = ε j ω ε ε ω [ e ] j t j t j t ε + ε ε = e e = e jωε jωε jω ε jω ε jω ε jω ε e Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 7

8 ω ε cos + j sin cos + j sin = j sin F( ω ) = sin ω ε sin x x ω ε sin ω ε ε ω = = 0 F( ) lim sin lim ω ε ω ε ε 0 ε 0 = L' Hopital ω ε ω cos lim ω ε 0 F( ω) = cos( 0) = f(t) F(w) t w Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 8