Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier"

Transkript

1 Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier 1

2 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre Beweisverfahren Kombinatorik: Die Kunst des Zählens algebraische Strukturen 2

3 Boolesche Algebren Syntax (Aussehen) Eine Boolesche Algebra ist beschrieben durch ein 6-Tupel B = (B,,, κ, 0, 1): B: Grundmenge, : B B B: zweistellige Verknüpfungen auf B : Addition; : Multiplikation κ : B B: einstellige Operation auf B: Komplement 0, 1 B: Konstanten (nullstellige Operationen) 3

4 Boolesche Algebren: geforderte Eigenschaften 0 1 Kommutativgesetze: (1) a, b B : a b = b a, (2) a, b B : a b = b a. Distributivgesetze: (1) a, b, c B : a (b c) = (a b) (a c) und (2) a, b, c B : a (b c) = (a b) (a c) Neutralitätsgesetze: (1) 0 ist rechtsneutrales Element bzgl., d.h.: a 0 = a und (2) 1 ist rechtsneutrales Element bzgl., d.h.: a 1 = a Komplementgesetze: (1) κ(a) ist das Komplement von a, d.h.: (1) a κ(a) = 1 und (2) a κ(a) = 0. 0 heiß auch Nullelement, 1 Einselement von B. 4

5 Boolesche Algebren: ein Beispiel ({w, f},,,, f, w) ist eine Boolesche Algebra. In der Schreibweise ({0, 1}, +,,, 0, 1) heißt sie auch Schaltalgebra. Satz: Die Schaltalgebra ist (bis auf Isomorphie) die kleinste Boolesche Algebra. Beweis: Die Eigenschaften einer Booleschen Algebra sind für die Schaltalgebra bekannt. Da 0 1 stets zwei verschiedene Elemente mit definierten Eigenschaften sind, folgt die Minimalität und Eindeutigkeit. Unsere Theorie hat ein Modell (ist also nicht leer)! 5

6 Potenzmengenalgebren: ein weiteres Beispiel Aus unserer 8. Vorlesung wissen wir: Satz: Für jede Menge M bildet (2 M,,,,, M) eine Boolesche Algebra, die so genannte Potenzmengenalgebra (über M). (Das Komplement ist bezüglich M zu verstehen.) Beweis: Möglicherweise noch unbekannt: das Komplementgesetz. Das bedeutet jetzt für A M: A Ā = M und A Ā =. Satz: Die Potenzmengenalgebra einer einelementigen Menge ist isomorph zur Schaltalgebra. 6

7 Boolesche Algebren: Teileralgebra als Beispiel T(n) = {k N k n}: Teiler von n. kgv(a, b): das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b ggt(a, b): der größte gemeinsame Teiler von a und b Erinnerung: kgv(a, b) = ab/ ggt(a, b); ((t a) (t a )) = (ggt(t, t ) ggt(a, a )). Definiere für a T(n): u n (a) := n/a. Problem: Ist, für n 2, T (n) = (T(n), ggt, kgv, u n, n, 1) stets eine Boolesche Algebra? Beachte fehlerhafte Benennung der neutralen Elemente im M/M. Wenn ja, nennen wir sie Teileralgebra. Beobachte: Die betrachtete Schaltalgebra ist zu T (2) isomorph: ggt(1, 1) = ggt(1, 2) = ggt(2, 1) = 1, ggt(2, 2) = 2. kgv(1, 1) = 1, kgv(1, 2) = kgv(2, 1) = kgv(2, 2) = 2. 7

8 Überprüfe geforderte Eigenschaften 0 1: Da n 2, gilt 1 n. Kommutativgesetze: (1) a, b B : a b = b a, (2) a, b B : a b = b a. Nach Def. von kgv und ggt kommt es offenbar nicht auf die Reihenfolge der Argumente an. Neutralitätsgesetze: (1) 0 ist rechtsneutrales Element bzgl., d.h.: a 0 = a und (2) 1 ist rechtsneutrales Element bzgl., d.h.: a 1 = a ad (1): Dies bedeutet in unserem Fall: a n : ggt(a, n) = a. ad (2): Dies bedeutet in unserem Fall: a n : kgv(a, 1) = a. 8

9 Überprüfe geforderte Eigenschaften Distributivgesetze: (1) a, b, c B : a (b c) = (a b) (a c) und (2) a, b, c B : a (b c) = (a b) (a c) ad (1): Dies bedeutet in unserem Fall: a, b, c T(n) : kgv(a, ggt(b, c)) = ggt(kgv(a, b), kgv(a, c)). kgv(a, ggt(b, c)) = a ggt(b, c)/ ggt(a, b, c) versus ggt(kgv(a, b), kgv(a, c)) = ggt(ab/ ggt(a, b), ac/ ggt(a, c)) Sind diese Ausdücke immer gleich?? Wir prüfen zunächst Beispiele: a = 2, b = 6, c = 3: kgv(a, ggt(b, c)) = kgv(2, ggt(6, 3)) = kgv(2, 3) = 6. ggt(kgv(a, b), kgv(a, c)) = ggt(kgv(2, 6), kgv(2, 3)) = ggt(6, 6) = 6. a = 3, b = 6, c = 9: kgv(a, ggt(b, c)) = kgv(3, ggt(6, 9)) = kgv(3, 3) = 3. ggt(kgv(a, b), kgv(a, c)) = ggt(kgv(3, 6), kgv(3, 9)) = ggt(6, 9) = 3. 9

10 Überprüfe geforderte Eigenschaften: Distributivgesetze (allgemein) Betrachte Zahl t mit t kgv(a, ggt(b, c)). t lässt sich schreiben als t = pq mit p a und q ggt(b, c). Wegen p a gilt: p kgv(a, x) für jedes x, und somit p ggt(kgv(a, b), kgv(a, c)). q ggt(b, c). (q b) (q c) (q kgv(a, b)) (q kgv(a, c)) t ggt(kgv(a, b), kgv(a, c)) mit t = pq; insbesondere t = kgv(a, ggt(b, c)). Umgekehrt: Betrachte Zahl t mit t ggt(kgv(a, b), kgv(a, c)). Dann gilt: t kgv(a, b) und t kgv(a, c). t lässt sich schreiben als t = pq mit p a und q b. t lässt sich schreiben als t = p q mit p a und q c. Mit p = kgv(p, p ) haben wir eine weitere Darstellung t = p q mit p a. Aus der Aufteilung der Primfaktoren von t ergibt sich sofort: q = ggt(q, q ). Es gilt: q ggt(b, c), denn ((q b) (q c)) = (ggt(q, q ) ggt(b, c)). Aus p a und q ggt(b, c) folgt für t = p q : t kgv(a, ggt(b, c)). 10

11 Überprüfe geforderte Eigenschaften Distributivgesetze: (1) a, b, c B : a (b c) = (a b) (a c) und (2) a, b, c B : a (b c) = (a b) (a c) ad (2): Dies bedeutet in unserem Fall: a, b, c T(n) : ggt(a, kgv(b, c)) = kgv(ggt(a, b), ggt(a, c)). Der Beweis folgt ganz analog. 11

12 Überprüfe geforderte Eigenschaften: Komplementgesetze (1) κ(a) ist das Komplement von a, d.h.: (1) a κ(a) = 1 und (2) a κ(a) = 0. (1) bedeutet: ggt(a, u n (a)) = ggt(a, n/a) = 1. Das gilt nur für jedes a n, falls es keine Quadratzahl größer 1 gibt, die n teilt. (2) sieht man entsprechend. Alles zusammen genommen zeigen unsere Überlegungen: Satz: T (n) ist eine Boolesche Algebra genau dann, wenn es keine Zahl größer 1 gibt, deren Quadrat n teilt. 12

13 Ausdruck-Algebra Erinnerung: Wir hatten früher wohlgeformte aussagenlogische Ausdrücke samt der Belegungsfunktion β betrachtet. Wir nannten zwei w.a.a. α, α äquivalent, falls β(α) = β(α ). Es sei A n die Menge aller Äquivalenzklassen von w.a.a. mit Variablenmenge X n = {x 1,..., x n }. Die Äquivalenzklasse von α werde [α] notiert. Definiere: [α] [α ] := [(α) (α )], [α] [α ] := [(α) (α )], C n ([α]) := [ α]. Satz: Für jedes n N ist A n = (A n,,, C n, [f], [w]) eine Boolesche Algebra. Diese ist für n = 0 zur Schaltalgebra isomorph. Beweis: Zu überlegen: Wohldefiniertheit. 13

14 BAs aus BAs: Funktionenalgebren Es sei B = (B,,, κ, 0, 1) eine Boolesche Algebra. B n := B Bn bezeichne die n-stelligen Booleschen Funktionen. Definiere für f, g B n folgende Operationen: (f g)(x 1,..., x n ) := f(x 1,..., x n ) g(x 1,..., x n ) (f g)(x 1,..., x n ) := f(x 1,..., x n ) g(x 1,..., x n ) (Γ(f))(x 1,..., x n ) := κ(f(x 1,..., x n )) 0 und 1 sollen der Einfachheit halber auch die n-stelligen Funktionen bezeichnen, die konstant 0 bzw. 1 liefern. Satz: Für n N ist B n = (B n,,, Γ, 0, 1) eine Boolesche Algebra. Diese ist für n = 0 zu B isomorph. Beweis: Tafel 14

15 Der Plan für die nächste Zeit: Wir haben jetzt heute viele Modelle für Boolesche Algebren kennengelernt. Insbesondere für die Schaltalgebra und die Potenzmengenalgebren wissen wir bereits viele weitere Eigenschaften. Natürliche mathematische Fragen: Gelten diese Eigenschaften allgemein? Können wir vielleicht sogar weitere Eigenschaften herausbekommen? 15

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre

Mehr

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier. Henning Fernau Universität Trier Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@informatik.uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik &

Mehr

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre

Mehr

01. Gruppen, Ringe, Körper

01. Gruppen, Ringe, Körper 01. Gruppen, Ringe, Körper Gruppen, Ringe bzw. Körper sind wichtige abstrakte algebraische Strukturen. Sie entstehen dadurch, dass auf einer Menge M eine oder mehrere sogenannte Verknüpfungen definiert

Mehr

6. Boolesche Algebren

6. Boolesche Algebren 6. Boolesche Algebren 6.1 Definitionen Eine Boolesche Algebra ist eine Algebra S,,,, 0, 1,, sind binäre, ist ein unärer Operator, 0 und 1 sind Konstanten. Es gilt: 1 und sind assoziativ und kommutativ.

Mehr

Diskrete Strukturen 5.9 Permutationsgruppen 168/558 c Ernst W. Mayr

Diskrete Strukturen 5.9 Permutationsgruppen 168/558 c Ernst W. Mayr Bemerkung: Der folgende Abschnitt Boolesche Algebren ist (im WS 2010/11) nicht Teil des Prüfungsstoffs, soweit nicht Teile daraus in der Übung behandelt werden! Diskrete Strukturen 5.9 Permutationsgruppen

Mehr

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre

Mehr

Algebraische Strukturen und Verbände

Algebraische Strukturen und Verbände KAPITEL 4 Algebraische Strukturen und Verbände Definition 4.1. Sei M eine Menge. Eine Abbildung : M M M nennt man eine (zweistellige) Verknüpfung in M. Man schreibt dafür auch a b := (a, b) mit a, b M.

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 19. Oktober 2017 1/27 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage

Mehr

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre

Mehr

4. ggt und kgv. Chr.Nelius: Zahlentheorie (SS 2007) 9

4. ggt und kgv. Chr.Nelius: Zahlentheorie (SS 2007) 9 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SS 2007) 9 4. ggt und kgv (4.1) DEF: Eine ganze Zahl g heißt größter gemeinsamer Teiler (ggt) zweier ganzer Zahlen a und b, wenn gilt: GGT 0 ) g 0 GGT 1 ) g a und g b GGT 2 )

Mehr

3.4 Algebraische Strukturen

3.4 Algebraische Strukturen 3.4 Algebraische Strukturen 9 3.4 Algebraische Strukturen Man sagt, eine Menge hat eine algebraische Struktur, wenn in ihr eine Operation definiert ist, d.h. eine Verknüpfung von zwei Elementen der Menge,

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 4: Zahlentheorie

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 4: Zahlentheorie Prof. Dr. Sebastian Iwanowski DM4 Folie 1 Referenzen zum Nacharbeiten: Diskrete Mathematik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 4: Zahlentheorie Beutelspacher 5 Lang 7, Biggs 20, 22, 23 (jeweils teilweise,

Mehr

Lineare Algebra I 5. Tutorium Die Restklassenringe /n

Lineare Algebra I 5. Tutorium Die Restklassenringe /n Lineare Algebra I 5. Tutorium Die Restklassenringe /n Fachbereich Mathematik WS 2010/2011 Prof. Dr. Kollross 19. November 2010 Dr. Le Roux Dipl.-Math. Susanne Kürsten Aufgaben In diesem Tutrorium soll

Mehr

Kapitel II. Algebraische Grundbegriffe

Kapitel II. Algebraische Grundbegriffe Kapitel II. Algebraische Grundbegriffe 1 Ringe und Körper Für das Rechnen in Z haben wir in Kap. I, 1 Regeln aufgestellt, welche auch in Q und R gelten. Damit werden Z, Q und R zu Ringen im folgenden Sinn:

Mehr

Informatik 3 Übung 09 Georg Kuschk

Informatik 3 Übung 09 Georg Kuschk Informatik 3 Übung 09 Georg Kuschk 9.1) Das Tupel ( {1,2,3,5,6,10,15,}, kgv, ggt, inv,, 1 ) mit inv()=/ ist eine boolesche Algebra, wenn für alle,y,z M folgende 7 Regeln gelten ( Zur besseren Übersicht

Mehr

3 Allgemeine Algebren

3 Allgemeine Algebren Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 3 Allgemeine Algebren Definition 3.1 Für eine Menge A nennen wir eine n-stellige Funktion ω : A n A eine n-äre algebraische Operation. Bemerkung zum Fall n

Mehr

5.9 Permutationsgruppen. Sei nun π S n. Es existiert folgende naive Darstellung: Kürzer schreibt man auch

5.9 Permutationsgruppen. Sei nun π S n. Es existiert folgende naive Darstellung: Kürzer schreibt man auch 5.9 Permutationsgruppen Definition 103 Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung einer endlichen Menge auf sich selbst; o. B. d. A. sei dies die Menge U := {1, 2,..., n}. S n (Symmetrische Gruppe für

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen

Vorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen Vorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen Bernhard Ganter WS 2009/10 Alles ist Zahl? Wenn in der modernen Mathematik alles auf Mengen aufgebaut ist, woher kommen dann die Zahlen? Sind Zahlen

Mehr

1.4 Gruppen, Ringe, Körper

1.4 Gruppen, Ringe, Körper 14 Gruppen, Ringe, Körper Definition 141 Eine Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung : M M M : (a, b a b Die Verknüpfung heißt assoziativ falls gilt: a (b c = (a b c a, b, c M; kommutativ falls

Mehr

Mathematische Strukturen

Mathematische Strukturen Mathematische Strukturen Lineare Algebra I Kapitel 3 18. April 2012 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 14-16 Webseite: www.math.tu-berlin.de/ holtz Email: holtz@math.tu-berlin.de

Mehr

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier. Henning Fernau Universität Trier Diskrete Strukturen und Logik WiSe 006/07 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@informatik.uni-trier.de 1 Was wir alles können Rückblick, Einblick, Ausblick,... Diskrete Strukturen und Logik

Mehr

Kapitel 2: Multiplikative Funktionen. 3 Multiplikative Funktionen. Definition 2.1 (arithmetische Funktion, (vollständig) multiplikative Funktion)

Kapitel 2: Multiplikative Funktionen. 3 Multiplikative Funktionen. Definition 2.1 (arithmetische Funktion, (vollständig) multiplikative Funktion) Kapitel 2: Multiplikative Funktionen 3 Multiplikative Funktionen Definition 2.1 (arithmetische Funktion, (vollständig) multiplikative Funktion) (a) Eine Funktion α : Z >0 C heißt arithmetisch (oder zahlentheoretisch).

Mehr

Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }

Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { } Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird

Mehr

Chr.Nelius: Zahlentheorie (WS 2006/07) ggt und kgv

Chr.Nelius: Zahlentheorie (WS 2006/07) ggt und kgv ChrNelius: Zahlentheorie (WS 2006/07) 8 3 ggt und kgv Wir erinnern uns hoffentlich an die folgenden Definitionen des ggt s und des kgv s zweier ganzer Zahlen (31) DEF: Eine ganze Zahl g heißt größter gemeinsamer

Mehr

Stefan Ruzika. 24. April 2016

Stefan Ruzika. 24. April 2016 Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April 2016 1 / 21 Gliederung 1 1 Schulstoff 2 Körper Definition eines Körpers

Mehr

Ordnungen und Verbände

Ordnungen und Verbände Ordnungen und Verbände Diskrete Strukturen Uta Priss ZeLL, Ostfalia Sommersemester 2016 Diskrete Strukturen Ordnungen und Verbände Slide 1/28 Agenda Klausur Hausaufgaben Ordnungsrelation Baum-Ordnung Verbände

Mehr

für alle a, b, x, y R.

für alle a, b, x, y R. Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 33 1.5 Ringe Definition 1.5.1 Ein Ring ist eine Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen + und, genannt Addition und Multiplikation, für die folgendes

Mehr

1 Algebraische Strukturen

1 Algebraische Strukturen Prof. Dr. Rolf Socher, FB Technik 1 1 Algebraische Strukturen In der Mathematik beschäftigt man sich oft mit Mengen, auf denen bestimmte Operationen definiert sind. Es kommt oft vor, dass diese Operationen

Mehr

Operationen. auch durch. ausgedrückt. ist die Trägermenge der Operation. Mathematik I für Informatiker Algebren p.1/21

Operationen. auch durch. ausgedrückt. ist die Trägermenge der Operation. Mathematik I für Informatiker Algebren p.1/21 Operationen Eine Operation auf einer Menge ist eine Abbildung ist dabei die Menge aller -Tupel mit Einträgen aus. Man nennt auch durch die Stelligkeit der Operation ; dies wird ausgedrückt. Die Menge ist

Mehr

Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier

Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 8. November 2012 1 Diskrete Strukturen Gesamtübersicht Organisatorisches und Einführung Mengenlehre Relationen

Mehr

1. Eine rechtstotale Funktion heißt surjektive Funktion oder Surjektion. 2. Eine linkseindeutige Funktion heißt injektive Funktion oder Injektion

1. Eine rechtstotale Funktion heißt surjektive Funktion oder Surjektion. 2. Eine linkseindeutige Funktion heißt injektive Funktion oder Injektion Transitiv-reflexive Hülle Definition 24. Sei R M M eine Relation. Dann ist die transitiv-reflexive Hülle R von R definiert als die kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften: 1. a M : (a, a) R 2. R R 3.

Mehr

Diskrete Strukturen. Restklassenringe WS 2013/2014. Vorlesung vom 24. Jänner 2014

Diskrete Strukturen. Restklassenringe WS 2013/2014. Vorlesung vom 24. Jänner 2014 Diskrete Strukturen WS 2013/2014 Vorlesung vom 24. Jänner 2014 Thomas Vetterlein Institut für Wissensbasierte Mathematische Systeme Johannes-Kepler-Universität Linz 10.1 Die Modulo-n-Relation Definition

Mehr

Erweiterter Euklidischer Algorithmus

Erweiterter Euklidischer Algorithmus Erweiterter Euklidischer Algorithmus Algorithmus ERWEITERTER EUKLIDISCHER ALG. (EEA) EINGABE: a, b N 1 If (b = 0) then return (a, 1, 0); 2 (d, x, y) EEA(b, a mod b); 3 (d, x, y) (d, y, x a b y); AUSGABE:

Mehr

3.6 Bemerkungen zur Umformung boolescher Formeln (NAND): doppelte Negation

3.6 Bemerkungen zur Umformung boolescher Formeln (NAND): doppelte Negation 3.6 Bemerkungen zur Umformung boolescher Formeln (NAND): Häufig verwendeten Umformungen sind: Idempotenz doppelte Negation De Morgan a = a a a = a a + b = a b ADS-EI 3.6 Bemerkungen zur Umformung boolescher

Mehr

Mathematik für Informatiker I. Musterlösungen zum Hausübungsblatt 5. Aufgabe 1. Christoph Eisinger Wintersemester 2010/11

Mathematik für Informatiker I. Musterlösungen zum Hausübungsblatt 5. Aufgabe 1. Christoph Eisinger Wintersemester 2010/11 Mathematik für Informatiker I Christoph Eisinger Wintersemester 2010/11 Musterlösungen zum Hausübungsblatt 5 Aufgabe 1 (a) Additionstafel in Z 7 : + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [0] [1] [2] [3] [4]

Mehr

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier. Henning Fernau Universität Trier Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2006/07 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@informatik.uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik &

Mehr

Einführung in die mathematische Logik

Einführung in die mathematische Logik Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Einführung in die mathematische Logik Vorlesung 7 Sprachen erster Sufe Die in der letzten Vorlesung erwähnten Konstruktionsmöglichkeiten für Aussagen sind im Wesentlichen

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Rechnen mit 0 und 1

Vorlesung Diskrete Strukturen Rechnen mit 0 und 1 Vorlesung Diskrete Strukturen Rechnen mit 0 und 1 Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2009/10 1 Bernhard Ganter, TU Dresden Modul Einführung

Mehr

Die reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte. Iwan Otschkowski

Die reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte. Iwan Otschkowski Die reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte Iwan Otschkowski 14.12.2016 1 1 Einleitung In dieser Ausarbeitung konstruieren wir einen vollständig geordneten Körper aus gewissen Teilmengen von Q, den Dedekindschen

Mehr

Allgemeine Algebren. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden

Allgemeine Algebren. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden Allgemeine Algebren Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Operationen Eine Operation auf einer Menge A ist eine Abbildung f : A n A. A n ist dabei

Mehr

Einführung in die Algebra. Algebra I. Alfred Geroldinger. Franz Halter-Koch. und. und. basierend auf dem Skriptum von

Einführung in die Algebra. Algebra I. Alfred Geroldinger. Franz Halter-Koch. und. und. basierend auf dem Skriptum von Einführung in die Algebra und Algebra I basierend auf dem Skriptum von Alfred Geroldinger und Franz Halter-Koch i ii Vorbemerkungen Wir bezeichnen mit N = {0, 1, 2, 3,... } die Menge der natürlichen Zahlen

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik Einführung in die Theoretische Informatik Woche 4 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Modus Ponens A B B A MP Axiome für

Mehr

Kapitel 1 Die natürlichen und die ganze Zahlen

Kapitel 1 Die natürlichen und die ganze Zahlen Kapitel 1 Die natürlichen und die ganze Zahlen Inhalt 1.1 1.1 Vollständige Induktion z.b. z.b. 1+ 1+ 2 + 3 +...... + n = n(n+1)/2 1.2 1.2 Die Die Peano-Axiome Ein Ein Axiomensystem für für die die natürlichen

Mehr

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre

Mehr

15. Gruppen, Ringe und Körper

15. Gruppen, Ringe und Körper Chr.Nelius: Lineare Algebra II (SS2005) 1 15. Gruppen, Ringe und Körper A) Mengen mit Verknüpfungen (15.1) DEF: Eine Verknüpfung (oder Rechenoperation) auf einer nichtleeren Menge M ordnet je zwei Elementen

Mehr

3. Algebra und Begriffsverbände. Algebraische Strukturen

3. Algebra und Begriffsverbände. Algebraische Strukturen 3. Algebra und Begriffsverbände Algebraische Strukturen Def.: Eine n-stellige (n-äre) [algebraische] Operation [auch: Verknüpfung] auf einer Menge A ist eine Abbildung f : A n A. Der Spezialfall n = 0:

Mehr

5.1 Operationen 5.2 Boolsche Algebren 5.3 Monoide, Gruppen, Ringe, Körper 5.4 Quotientenalgebren

5.1 Operationen 5.2 Boolsche Algebren 5.3 Monoide, Gruppen, Ringe, Körper 5.4 Quotientenalgebren 5. Algebra 5.1 Operationen 5.2 Boolsche Algebren 5.3 Monoide, Gruppen, Ringe, Körper 5.4 Quotientenalgebren 5. Algebra GM 5-1 Black Box Allgemein ist eine Black Box ein Objekt, dessen innerer Aufbau und

Mehr

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre

Mehr

2.2 Konstruktion der rationalen Zahlen

2.2 Konstruktion der rationalen Zahlen 2.2 Konstruktion der rationalen Zahlen Wie wir in Satz 2.6 gesehen haben, kann man die Gleichung a + x = b in Z jetzt immer lösen, allerdings die Gleichung a x = b im allgemeinen immer noch nicht. Wir

Mehr

30 Ringe und Körper Motivation Definition: Ring. Addition und eine. Häufig gibt es auf einer Menge zwei Verknüpfungen: eine

30 Ringe und Körper Motivation Definition: Ring. Addition und eine. Häufig gibt es auf einer Menge zwei Verknüpfungen: eine 30 Ringe und Körper 30.1 Motivation Häufig gibt es auf einer Menge zwei Verknüpfungen: eine Addition und eine Multiplikation. Beispiele: (Z, +, ) hier gibt es sogar noch eine Division mit Rest. (IR, +,

Mehr

3 Boole'sche Algebra und Aussagenlogik

3 Boole'sche Algebra und Aussagenlogik 3 Boole'sche Algebra und Aussagenlogik 3- Boole'sche Algebra Formale Grundlagen der Informatik I Herbstsemester 22 Robert Marti Vorlesung teilweise basierend auf Unterlagen von Prof. emer. Helmut Schauer

Mehr

Die Ringe Z n. Invertierbare Elemente ( Einheiten ) für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n

Die Ringe Z n. Invertierbare Elemente ( Einheiten ) für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n Definitionen Die Ringe Z n für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: Beispiel n = 15 + n : Z n Z n Z n : (a, b) (a + b) mod n n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n 9 + 15 11 = 5 9 15 11 = 9

Mehr

Übung: Teilmengen. Beweis: Für alle Elemente einer Menge, die Teilmenge einer Menge ist, gilt, dass auch Element von ist. (Definition der Teilmenge)

Übung: Teilmengen. Beweis: Für alle Elemente einer Menge, die Teilmenge einer Menge ist, gilt, dass auch Element von ist. (Definition der Teilmenge) 15 Übung: Teilmengen seien Mengen. Zu zeigen ist: wenn Beweis: dann auch Für alle Elemente einer Menge, die Teilmenge einer Menge ist, gilt, dass auch Element von ist. (Definition der Teilmenge) für alle

Mehr

Proseminar: Primzahlen 1. Vortrag Der erweiterte euklidische Algorithmus

Proseminar: Primzahlen 1. Vortrag Der erweiterte euklidische Algorithmus Proseminar: Primzahlen 1. Vortrag Der erweiterte euklidische Algorithmus Max Zoller 14. April 8 1 Der klassische euklidische Algorithmus Beispiel: ggt 15, 56? 15 = 1 56 + 49 56 = 1 49 + 7 49 = 7 7 + =

Mehr

Zahlentheorie I - Tipps & Lösungen. Aktualisiert: 15. Oktober 2016 vers Teilbarkeit

Zahlentheorie I - Tipps & Lösungen. Aktualisiert: 15. Oktober 2016 vers Teilbarkeit Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Zahlentheorie I - Tipps & Lösungen Aktualisiert: 15. Oktober 2016 vers. 1.2.0 1 Teilbarkeit Einstieg 1.1 Zeige, dass 900 ein Teiler von 10! ist. Tipp: Schreibe 900

Mehr

a i x i, (1) Ein Teil der folgenden Betrachtungen gilt auch, wenn man den Körper durch einen Ring ersetzt.

a i x i, (1) Ein Teil der folgenden Betrachtungen gilt auch, wenn man den Körper durch einen Ring ersetzt. Polynome Definition 1. Ein Polynom f über einem Körper K mit der Unbestimmten x ist eine formale Summe f(x) = i 0 a i x i, (1) wobei nur endlich viele der Koeffizienten a i K von Null verschieden sind.

Mehr

= k 0+k 0 ( ). Wir addieren (0 k) zu den Seiten der Gleichung ( ): 0 = k 0.

= k 0+k 0 ( ). Wir addieren (0 k) zu den Seiten der Gleichung ( ): 0 = k 0. Def 4 Eine Menge K mit zwei Abbildungen + : K K K und : K K K (heißen Addition und Multiplikation; wir werden a b bzw a+b statt (a,b), +(a,b) schreiben) ist ein kommutativer Ring, falls: (R1) (K, +) ist

Mehr

Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik

Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik Vorlesung Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik.1 Gruppentheorie WiewirinVorlesung2gesehenhaben,hatdieMengeZmitderAdditiongewisse Eigenschaften. Wir fassen nun bestimmte Eigenschaften zusammen und

Mehr

Technische Informatik - Eine Einführung

Technische Informatik - Eine Einführung Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Fachbereich Mathematik und Informatik Lehrstuhl für Technische Informatik Prof. P. Molitor Technische Informatik - Eine Einführung Boolesche Funktionen - Grundlagen

Mehr

Seminar zum Thema Kryptographie

Seminar zum Thema Kryptographie Seminar zum Thema Kryptographie Michael Hampton 11. Mai 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 1.1 Konventionen.................................. 3 1.2 Wiederholung.................................. 3

Mehr

Kapitel 2. Ganze Zahlen. 2.1 Teilbarkeit

Kapitel 2. Ganze Zahlen. 2.1 Teilbarkeit Kapitel 2 Ganze Zahlen In diesem Kapitel setzen wir voraus, dass die Menge Z der ganzen Zahlen, ihre Ordnung und die Eigenschaften der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen dem Leser vertraut sind.

Mehr

SS 2017 Torsten Schreiber

SS 2017 Torsten Schreiber 14 Wenn man mindestens einen Operator mit einer definierten Menge in Verbindung setzt, dann fällt es unter dem Bereich der Strukturen. Bei der kleinsten möglichen Struktur handelt es sich um eine. Eine

Mehr

Körperaxiome und Anordnungsaxiome. Analysis I. Guofang Wang. Universität Freiburg

Körperaxiome und Anordnungsaxiome. Analysis I. Guofang Wang. Universität Freiburg Universität Freiburg 25.10.2011 Körperaxiome Wir setzen in dieser Vorlesung die reellen Zaheln als gegeben aus. Mit R bezeichnen wir die Menge aller reellen Zahlen, auf der folgende Strukturen gegeben

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

(1.18) Def.: Eine Abbildung f : M N heißt

(1.18) Def.: Eine Abbildung f : M N heißt Zurück zur Mengenlehre: Abbildungen zwischen Mengen (1.17) Def.: Es seien M, N Mengen. Eine Abbildung f : M N von M nach N ist eine Vorschrift, die jedem x M genau ein Element f(x) N zuordnet. a) M = N

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 21. Januar 2016 Definition 8.1 Eine Menge R zusammen mit zwei binären Operationen

Mehr

3. Diskrete Mathematik

3. Diskrete Mathematik Diophantos von Alexandria um 250 Georg Cantor 1845-1918 Pythagoras um 570 v. Chr Pierre de Fermat 1607/8-1665 Seite 1 Inhalt der Vorlesung Teil 3: Diskrete Mathematik 3.1 Zahlentheorie: Abzählbarkeit,

Mehr

Anwendungen der Logik, SS 2008, Martin Goldstern

Anwendungen der Logik, SS 2008, Martin Goldstern Anwendungen der Logik, SS 2008, Martin Goldstern Total geordnete Körper Ein total geordneter Körper ist ein Körper (K, +,, 0, 1, ) mit einer totalen (=linearen) Ordnung, die mit den Operationen verträglich

Mehr

Eine Menge K, auf der eine Addition. + und eine Multiplikation definiert sind, nennt man einen Körper, wenn folgende Eigenschaften gelten: Körper 1-1

Eine Menge K, auf der eine Addition. + und eine Multiplikation definiert sind, nennt man einen Körper, wenn folgende Eigenschaften gelten: Körper 1-1 Körper Eine Menge K, auf der eine Addition + und eine Multiplikation definiert sind, nennt man einen Körper, wenn folgende Eigenschaften gelten: Körper 1-1 Körper Eine Menge K, auf der eine Addition +

Mehr

WS 2008/09. Diskrete Strukturen

WS 2008/09. Diskrete Strukturen WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/2018 11. Januar 2018 1/32 Erinnerung: Eine Gruppe ist eine algebraische Struktur (G, )

Mehr

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 11

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 11 Dipl.Inf. Malte Isberner Dr. Oliver Rüthing Dipl.Inf. Melanie Schmidt Dr. Hubert Wagner Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 11 Für die Abgabe der Bearbeitungen

Mehr

Vollständigkeit. 1 Konstruktion der reellen Zahlen

Vollständigkeit. 1 Konstruktion der reellen Zahlen Vortrag im Rahmen des Proseminars zur Analysis, 17.03.2006 Albert Zeyer Ziel des Vortrags ist es, die Vollständigkeit auf Basis der Konstruktion von R über die CAUCHY-Folgen zu beweisen und äquivalente

Mehr

2 Grundstrukturen. 2.1 Gruppen. Prof. Dr. Peter Schneider. Vorlesung WS Lineare Algebra 1 2 GRUNDSTRUKTUREN

2 Grundstrukturen. 2.1 Gruppen. Prof. Dr. Peter Schneider. Vorlesung WS Lineare Algebra 1 2 GRUNDSTRUKTUREN Vorlesung WS 08 09 Lineare Algebra 1 Prof. Dr. Peter Schneider 2 Grundstrukturen Notation: Sind M und N zwei Mengen, so heißt die Menge M N := {(m, n) : m M, n N} das cartesische Produkt oder auch die

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Algebren

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Algebren Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Algebren Dozentin: Wiebke Petersen 5. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 116 Algebren (algebraische Strukturen) Eine Algebra A ist eine Menge A

Mehr

Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 4. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 1 / 21 Themen

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 15. Oktober 2015 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage veröffentlicht

Mehr

Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung

Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Kapitel 1 Schaltfunktionen und ihre Darstellung Literatur: Oberschelp/Vossen, Kapitel 1 Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 1 Motivation

Mehr

Lineare Algebra. Jung Kyu Canci. Mit der Hilfe von: Stefano Iula, Olivia Ebneter, Katharina Laubscher, Viviane Wehrle

Lineare Algebra. Jung Kyu Canci. Mit der Hilfe von: Stefano Iula, Olivia Ebneter, Katharina Laubscher, Viviane Wehrle Lineare Algebra Jung Kyu Canci Mit der Hilfe von: Stefano Iula, Olivia Ebneter, Katharina Laubscher, Viviane Wehrle Herbstsemester 2015 2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in die Lineare Algebra 5 1.1 Elementare

Mehr

Aufgabensammlung zu Einführung in das mathematische Arbeiten Lineare Algebra und Geometrie WS 2009

Aufgabensammlung zu Einführung in das mathematische Arbeiten Lineare Algebra und Geometrie WS 2009 Aufgabensammlung zu Einführung in das mathematische Arbeiten Lineare Algebra und Geometrie WS 2009 Schulstoffbeispiele 1. Lineare Gleichungssysteme. Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme.

Mehr

0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper

0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper 0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper In diesem Paragrafen behandeln wir einige für die Lineare Algebra und für die Analysis wichtige Grundbegriffe. Wir beginnen mit dem Begriff der Menge. Auf Cantor

Mehr

Rückblick. Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen. 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen

Rückblick. Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen. 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen Rückblick Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits 66 Rückblick Gleitkommazahlen (IEEE Floating Point Standard 754) lassen das Komma bei der Darstellung

Mehr

Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen

Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen 09.10.2014 Herzlich Willkommen zum 2. Teil des Vorschaukurses für Mathematik! Organisatorisches Der Vorkurs besteht aus sechs Blöcken

Mehr

2. Reelle und komplexe Zahlen [Sch-St ]

2. Reelle und komplexe Zahlen [Sch-St ] 7 2. Reelle und komplexe Zahlen [Sch-St 6.4-6.5] 2.1 Körperstruktur und Anordnung von R [Kö 2.1-2.2] Für (beliebige) reelle Zahlen a, b, c R gelten die folgenden (algebraischen) Körperaxiome: (K1) a +

Mehr

Kapitel II. Vektorräume. Inhalt: 7. Vektorräume 8. Basis und Dimension 9. Direkte Summen und Faktorräume

Kapitel II. Vektorräume. Inhalt: 7. Vektorräume 8. Basis und Dimension 9. Direkte Summen und Faktorräume Kapitel II. Vektorräume Inhalt: 7. Vektorräume 8. Basis und Dimension 9. Direkte Summen und Faktorräume Die fundamentale Struktur in den meisten Untersuchungen der Linearen Algebra bildet der Vektorraum.

Mehr

1. Gruppen. 1. Gruppen 7

1. Gruppen. 1. Gruppen 7 1. Gruppen 7 1. Gruppen Wie schon in der Einleitung erläutert wollen wir uns in dieser Vorlesung mit Mengen beschäftigen, auf denen algebraische Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften definiert sind.

Mehr

Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2015/2016

Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2015/2016 Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2015/2016 Teil 1: Wiederholung 1 Mengen 2 Abbildungen 3 Exkurs Beweistechniken 4 Relationen Definition Operationen Eigenschaften Äquivalenzrelationen

Mehr

1.4 Die rellen Zahlen

1.4 Die rellen Zahlen 1.4 Die rellen Zahlen Die reellen Zahlen R Beobachtung Es gibt physikalische Größen (dh. Abstände, Flächeninhalte... ), die nicht in Q liegen. Beispiele 2 (Diagonale im Quadrat mit Seitenlänge 1) π (Flächeninhalt

Mehr

1 Modulare Arithmetik

1 Modulare Arithmetik $Id: modul.tex,v 1.11 2012/04/16 19:15:39 hk Exp $ $Id: gruppen.tex,v 1.11 2012/04/17 10:30:56 hk Exp $ 1 Modulare Arithmetik 1.3 Restklassen Wir waren gerade damit beschäftigt eine Beispiele zum Rechnen

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik. Inhalte der Lehrveranstaltung. Definition (Boolesche Algebra) Einführung in die Logik

Einführung in die Theoretische Informatik. Inhalte der Lehrveranstaltung. Definition (Boolesche Algebra) Einführung in die Logik Zusammenfassung Einführung in die Theoretische Informatik Woche 5 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung der letzten LV Jede binäre Operation hat maximal ein

Mehr

Kap. II Ringe und Körper

Kap. II Ringe und Körper Chr.Nelius:Grundzüge der Algebra (WS 2005/06) 1 Kap. II Ringe und Körper Zur Untersuchung von Gruppen haben wir einige Methoden herangezogen, die für die Algebra typisch sind: Bildung von Untergruppen

Mehr

Mathematische Strukturen

Mathematische Strukturen Mathematische Strukturen Lineare Algebra I Kapitel 3 16. April 2013 Kartesisches Produkt Das kartesische Produkt (benannt nach René Descartes) von n Mengen M 1,..., M n ist M 1 M n := {(x 1,..., x n )

Mehr

Boolesche Algebra. Ein algebraischer Ansatz - konsequent verfolgt. Studie

Boolesche Algebra. Ein algebraischer Ansatz - konsequent verfolgt. Studie Ein algebraischer Ansatz - konsequent verfolgt Studie Autor: Helmut Vetter Ort, Datum: Arlesheim, 2.9.24 Diese Arbeit wurde mit TexLive erstellt. Boolesche Algebra Ein algebraischer Ansatz - konsequent

Mehr

Ringe. Kapitel Einheiten

Ringe. Kapitel Einheiten Kapitel 8 Ringe Die zahlreichen Analogien zwischen Matrizenringen und Endomorphismenringen (beides sind zugleich auch Vektorräume) legen es nahe, allgemeinere ringtheoretische Grundlagen bereitzustellen,

Mehr

Seminararbeit zur Zahlentheorie. Die Gaußschen Zahlen

Seminararbeit zur Zahlentheorie. Die Gaußschen Zahlen Universität Paderborn WS 2007/2008 Warburger Str. 100 33098 Paderborn Seminararbeit zur Zahlentheorie Die Gaußschen Zahlen Tatjana Linkin, Svetlana Krez 20. November 2007 INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Aufgaben zur Verbandstheorie

Aufgaben zur Verbandstheorie TU Bergakademie Freiberg WS 2005/06 Institut für Diskrete Mathematik & Algebra Prof. Dr. Udo Hebisch Aufgaben zur Verbandstheorie 1. Für ein beliebiges n IN sei X n die Menge aller Teiler von n. Definiert

Mehr

Grundkurs Mathematik I

Grundkurs Mathematik I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2016/2017 Grundkurs Mathematik I Vorlesung 19 Kommutative Ringe Wir erfassen die in der letzten Vorlesung etablierten algebraischen Eigenschaften der ganzen Zahlen mit

Mehr

Tutorium: Diskrete Mathematik

Tutorium: Diskrete Mathematik Tutorium: Diskrete Mathematik Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 I Eine algebraische Struktur ist ein Paar A; (f i ) ; bestehend aus einer nichtleeren Menge A, der TrÄagermenge

Mehr