5.1 Operationen 5.2 Boolsche Algebren 5.3 Monoide, Gruppen, Ringe, Körper 5.4 Quotientenalgebren

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1 5. Algebra 5.1 Operationen 5.2 Boolsche Algebren 5.3 Monoide, Gruppen, Ringe, Körper 5.4 Quotientenalgebren 5. Algebra GM 5-1

2 Black Box Allgemein ist eine Black Box ein Objekt, dessen innerer Aufbau und innere Funktionsweise unbekannt sind oder als nicht von Bedeutung erachtet werden. Von Interesse ist vielmehr nur das Verhalten der Black Box,. Die Motivation bei der Verwendung des Begriffs tendiert zu das Innere interessiert (jetzt) nicht, auch wenn er manchmal im Sinn von wir wissen es (sowieso) nicht verwendet wird. Diese Herangehensweise wird oft verwendet, um die Komplexität des Beobachtungsgegenstandes zu reduzieren. Das bewusste Weglassen von detaillierterer Information (Tiefeninformation) wird auch als Geheimnisprinzip bezeichnet. Der Systembearbeiter erhält dadurch einen energetischen Vorteil, den er für andere (theoretische und praktische) Belange verwenden kann.... In der Systemtheorie wird die Black-Box-Betrachtungsweise methodisch eingesetzt, indem zur Analyse des Systemverhaltens lediglich die Beziehung zwischen Reiz bzw. Input und Reaktion bzw. Output analysiert wird.... Wikipedia, 4. August 2008 Eine Algebra besteht aus einer Menge mit Operationen. Eine n-stellige Operation kann als Abstraktion einer Black Box mit n Eingängen und einem Ausgang aufgefasst werden. 5. Algebra GM 5-2

3 5. 1 Operationen Operation Algebra 5.1 Operationen GM 5-3

4 Definition 5.1.1: Operation Sei A eine Menge und n IN. Eine Abbildung f:a n A heißt n-stellige Operation auf A. Die Menge A heißt Trägermenge. x 1 x 2... x n f f(x 1, x 2,..., x n ) Beispiele: Operationen bei Zahlen Formale Logik Mengen Vektoren Schaltalgebra (siehe nächste Folie) 5.1 Operationen GM 5-4

5 Definition 5.1.2: Operationen der Schaltalgebra Bei digitalen Schaltungen unterscheidet man zwei Zustände und bezeichnet diese mit 0 und 1. Auf der Menge dieser Zustände definiert man die einstellige Operation und die zweistelligen Operationen und +. Negation (nicht) Konjunktion (und) Disjunktion (oder) x x x y x y x y x+y Übungsaufgabe Operationen GM 5-5

6 Satz 5.1.1: Gesetze der Schaltalgebra Für die Operationen, + und auf der Menge { 0, 1 } gelten folgende Gleichungen: x y = y x x+y = y+x x (y+z) = (x y)+(x z) x+(y z) = (x+y) (x+z) x 1 = x x+0 = x x x = 0 x+x = 1 Kommutativität Distributivität neutrale Elemente Komplement Übungsaufgabe Operationen GM 5-6

7 Definition 5.1.3: Algebra Eine Algebra ist ein (n+1)-tupel ( A, f 1, f 2,, f n ), wobei A eine Menge und f 1, f 2,, f n Operationen auf A sind. Beispiel: Schaltalgebra: ( {0,1},, +, ) Übungsaufgabe Operationen GM 5-7

8 5.2 Boolsche Algebra Formale Logik Mengenalgebra Schaltalgebra P Q Q P P Q Q P P (Q R) (P Q) (P R) P (Q R) (P Q) (P R) P w P P f P P P f P P w A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A G = A A Ø = A A A = Ø A A = G x y = y x x+y = y+x x (y+z) = (x y)+(x z) x+(y z) = (x+y) (x+z) x 1 = x x+0 = x x x = 0 x+x = Boolsche Algebra GM 5-8

9 Definition 5.2.1: Boolsche Algebra Eine Algebra (A,, +,, 0, 1) heißt Boolsche Algebra, falls folgende Gleichungen gelten: x y = y x x+y = y+x x (y+z) = (x y)+(x z) x+(y z) = (x+y) (x+z) x 1 = x x+0 = x x x = 0 x+x = 1 Kommutativität Distributivität neutrale Elemente Komplement 5.2 Boolsche Algebra GM 5-9

10 Beispiele für Boolsche Algebren Formale Logik: Mengenalgebra: Schaltalgebra: ( {f,w},,,, f, w ) ( P(G),,,, Ø, G ), wobei G eine beliebige Menge ist ( {0,1},, +,, 0, 1 ) 5.2 Boolsche Algebra GM 5-10

11 Dualitätsprinzip Führt man in einer in Boolschen Algebren gültigen Gleichung folgende Ersetzungen durch, erhält man wieder eine gültige Gleichung Beispiele: x y = y x x (y+z) = (x y)+(x z) x 1 = x x x = 0 x+y = y+x x+(y z) = (x+y) (x+z) x+0 = x x+x = Boolsche Algebra GM 5-11

12 Satz 5.2.1: Gleichungen in einer Boolschen Algebra Sei (A,, +,, 0, 1) eine Boolsche Algebra sowie x A, y A und z A. Dann gelten folgende Gleichungen: x x = x x+x = x x 0 = 0 x+1 = 1 x (x+y) = x x+(x y) = x x (y z) = (x y) z x+(y+z) = (x+y)+z x y = x+y x+y = x y Idempotenz Absorption Assoziativität De Morgansche Gesetze x = x 0 = 1 1 = Boolsche Algebra Übungsaufgaben bis GM 5-12

13 Folgerung: weitere Gesetze der Schaltalgebra Für die Schaltalgebra ({0,1},, +,, 0, 1) gelten folgende Gleichungen: x x = x x+x = x x 0 = 0 x+1 = 1 x (x+y) = x x+(x y) = x x (y z) = (x y) z x+(y+z) = (x+y)+z x y = x+y x+y = x y Idempotenz Absorption Assoziativität De Morgansche Gesetze x = x 0 = 1 1 = 0 Beweis ({0,1},, +,, 0, 1) ist nach Satz Boolsche Algebra 5.2 Boolsche Algebra GM 5-13

14 Satz 2.2.3: weitere Gesetze der Aussagenlogik Es gelten folgende Äquvalenzen aussagenlogischer Formeln: P P P P P P P f f P w w P (P Q) P P (P Q) P P (Q R) (P Q) R P (Q R) (P Q) R (P Q) P Q (P Q) P Q ( P) P Idempotenz Absorption Assoziativität De Morgansche Gesetze f w w f Beweis ( {f,w},,,, f, w ) ist nach Satz Boolsche Algebra 5.2 Boolsche Algebra GM 5-14

15 Satz 2.4.6: weitere Gesetze der Mengenoperationen Es seien A, B und C Teilmengen der Grundmenge G. Dann gilt: A A = A A A = A A Ø = Ø A G = G A (A B) = A A (A B) = A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A B = A B A B = A B Idempotenz Absorption Assoziativität De Morgansche Gesetze A = A Ø = G G = Ø Beweis ( P(G),,,, Ø, G ), ist nach Satz Boolsche Algebra 5.2 Boolsche Algebra GM 5-15

16 5.3 Monoide, Gruppen, Ringe, Körper Monoide Gruppen Ringe Körper Wozu braucht man solche algebraische Strukturen? z.b. in der Kryptographie 5.3 Monoide, Gruppen, Ringe, Körper GM 5-16

17 Asymmetrische Verschlüsselung RSA-Algorithmus (Rivest, Shamir, Adleman; 1978): Basiert auf einem Ring Z/ n und zahlentheoretischen Erkenntnissen. Diffie-Hellman Algorithmus (1976): Basiert auf einem Körper Z/ p (p Primzahl) und zahlentheoretischen Erkenntnissen. Was ist ein Ring? Was ist ein Körper? 5.3 Monoide, Gruppen, Ringe, Körper GM 5-17

18 Definition 5.3.1: Monoid Ein Monoid (M,, e) ist eine Algebra mit einer 2-stelligen Operation und einer Konstanten (0-stelligen Operation) e, für die gilt: a) a M b M c M: a (b c) = (a b) c (Assoziativität) b) a M: a e = e a = a (neutrales Element) Beispiele: (Z,, 1) (Z, +, 0) Menge aller Wörter über einem Alphabet mit der Konkatenation als Operation und dem leeren Wort als neutralem Element e. a 1 a 2 a n b 1 b 2 b m = a 1 a 2 a n b 1 b 2 b m Übungsaufgabe Monoide, Gruppen, Ringe, Körper GM 5-18

19 Definition 5.3.2: Gruppe Eine Algebra (M,, -1, e) heißt Gruppe, wenn (M,, e) ein Monoid ist und -1 eine 1-stelligen Operation, für die gilt: a M: a a -1 = a -1 a = e (inverse Elemente) Beispiele: (Z, +, -, 0) (Q\{0}, I, -1, 1) Es sei M die Menge aller invertierbaren 2 2 Matrizen und E die 2 2 Einheitsmatrix. (M,, -1, E) ist eine Gruppe. Es gibt keine Gruppen (Z,, -1, 1) und (Q, I, -1, 1). Übungsaufgabe Monoide, Gruppen, Ringe, Körper GM 5-19

20 Definition 5.3.2: Abelsche Gruppe Eine Gruppe (M,, -1, e) heißt abelsch, wenn gilt: a M b M: a b = b a Beispiele: (Z, +, -, 0) (Q\{0}, I, -1, 1) Es sei M die Menge aller invertierbaren 2 2 Matrizen und E die 2 2 Einheitsmatrix. (M,, -1, E) ist keine abelsche Gruppe. 5.3 Monoide, Gruppen, Ringe, Körper GM 5-20

21 Definition 5.3.3: Ring Eine Algebra (R, +,, -, 0, 1) heißt Ring, wenn gilt: a) (R, +, -, 0) ist eine abelsche Gruppe, b) (R,, 1) ist ein Monoid c) a R b R c R: a (b+c) = a b+a c (b+c) a = b a+c a Ein Ring heißt kommutativ, wenn gilt a R b R: a b = b a Beispiele: (Z, +,, -, 0, 1) (Q, I +,, -, 0, 1) (IR, +,, -, 0, 1) 5.3 Monoide, Gruppen, Ringe, Körper GM 5-21

22 Satz 5.3.1: Absorbierendes Element In einem Ring (R, +,, -, 0, 1) gilt: a R: a 0 = 0 a = 0 Übungsaufgabe Monoide, Gruppen, Ringe, Körper GM 5-22

23 Definition 5.3.4: Körper (K, +,, -, -1, 0, 1) heißt Körper, wenn gilt: a) (K, +,, -, 0, 1) ist ein Ring, b) (K\{0},, -1, 1) ist eine abelsche Gruppe Beispiele: (Q, I +,, -, -1, 0, 1) (IR, +,, -, -1, 0, 1) Es gibt keinen Körper (Z, +,, -, -1, 0, 1) 5.3 Monoide, Gruppen, Ringe, Körper GM 5-23

24 5.4 Quotientenalgebren Um Verschlüsselungsalgorithmen, wie RSA oder Diffie- Hellman zu verstehen, brauchen wir Ringe Z/ Z/. p und Körper Was ein Ring oder ein Körper ist, wissen wir jetzt. Was aber ist Z/ oder Z/? n p n 5.4 Quotientenalgebren GM 5-24

25 Definition 5.4.1: Kongruenzrelation Sei (A, f 1, f 2,, f s ) eine Algebra und ~ eine Äquvalenzrelation auf A. ~ heißt Kongruenzrelation auf der Algebra (A, f 1, f 2,, f s ), falls f {f 1, f 2,, f s } x 1 A, x 2 A,, x n A, y 1 A, y 2 A,, y n A: ( x 1 ~y 1 x 2 ~y 2... x n ~y n ) f(x 1,x 2,,x n ) ~ f(y 1,y 2,,y n ) ~ ~ ~ x 1 x 2... x n y 1 y 2... y n f f f(x 1, x 2,..., x n ) f(y 1, y 2,..., y n ) 5.4 Quotientenalgebren ~ GM 5-25

26 Definition 5.4.2: Die Relation m Sei m IN. Für x Z und y Z wird die Relation m auf Z definiert durch x m y z Z: x-y = z m m ist eine Äquivalenzrelation. Äquvalenzklassen von 3 [0] = {, -6, -3, 0, 3, 6, } [1] = {, -5, -2, 1, 4, 7, } [2] = {, -4, -1, 2, 5, 8, } [3] = [0] [-1] = [2] 5.4 Quotientenalgebren GM 5-26

27 Satz 5.4.1: Kongruenzrelation auf (Z, +, 0) Sei m IN. m ist Kongruenzrelation auf dem Monoid (Z, +, 0). Beispiel: Quotientenalgebren 3 GM 5-27

28 Satz 5.4.2: Kongruenzrelation auf (Z, +,, -, 0, 1) Sei m N. m ist Kongruenzrelation auf dem Ring (Z, +,, -, 0, 1) Beispiel für die einstellige Operation Übungsaufgabe Quotientenalgebren GM 5-28

29 Definition 5.4.3: Quotientenalgebra Sei (A, f 1, f 2,, f s ) eine Algebra und ~ eine Kongruenzrelation auf A. Für jede Operation f {f 1, f 2,, f s } definieren wir eine Operation f ~ auf A/ ~ durch x 1 A, x 2 A,, x n A: f ~ ([x 1 ],[x 2 ],,[x n ]) = [f(x 1,x 2,,x n )] Die Algebra (A/ ~, f 1~, f 2~,, f s~ ) heißt Quotientenalgebra von (A, f 1, f 2,, f s ) bezüglich ~. Statt (A/ ~, f 1~, f 2~,, f s~ ) schreiben wir einfacher (A/ ~, f 1, f 2,, f s ). [x 1 ] [x 2 ]... [x n ] x 1 x 2... x n f ~ f [f(x 1, x 2,..., x n )] f(x 1, x 2,..., x n ) 5.4 Quotientenalgebren GM 5-29

30 Beispiel: (Z/, +) 3 3 [1] [2] [15] = [0] = [3] Quotientenalgebren GM 5-30

31 Satz 5.4.3: Unabhängigkeit von Repräsentanten Sei (A, f 1, f 2,, f s ) eine Algebra, ~ eine Kongruenzrelation auf A, f {f 1, f 2,, f s } eine n-stellige Operation, A 1 A/ ~, A 2 A/ ~,, A n A/ ~ und x 1 A 1, x 2 A 2,, x n A n, y 1 A 1, y 2 A 2,, y n A n. Dann ist [f(x 1, x 2,..., x n )] = [f(y 1, y 2,..., y n )]. 5.4 Quotientenalgebren GM 5-31

32 Beispiel: Restklassenring (Z/, +,, -, 0, 1) 5 Z/ = { [0], [1], [2], [3], [4] } 5 + [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [1] [1] [2] [3] [4] [0] [2] [2] [3] [4] [0] [1] [3] [3] [4] [0] [1] [2] [4] [4] [0] [1] [2] [3] [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [2] [0] [2] [4] [1] [3] [3] [0] [3] [1] [4] [2] [4] [0] [4] [3] [2] [1] - [0] [0] [1] [4] [2] [3] [3] [2] [4] [1] Bezüglich existieren auch inverse Elemente auf Z/ \{[0]}: 5 Übungsaufgabe Quotientenalgebren [1] [2] [3] [4] -1 Ein Restklassenring (Z/ p, +,, -, 0, 1) lässt sich genau dann durch Hinzunahme einer Operation -1 zu einem Körper machen, wenn p eine Primzahl ist. (ohne Beweis). [1] [3] [2] [4] GM 5-32