3. Logik 3.1 Aussagenlogik

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1 3. Logik 3.1 Aussagenlogik WS 06/07 mod 301 Kalkül zum logischen Schließen. Grundlagen: Aristoteles v. Chr. Aussagen: Sätze, die prinzipiell als ahr oder falsch angesehen erden können. z. B.: Es regnet., Die Straße ist nass. aber Dieser Satz ist falsch. ist in sich idersprüchlich, ist keine Aussage. Junktoren verknüpfen Aussagen: Es regnet nicht, oder die Straße ist nass. Aussagenlogische Formeln als Sätze einer formalen Sprache: z. B. regen straßenass regen straßenass Belegung der Aussagen mit f Wahrheitserten: Interpretation der Formel liefert Wahrheitsert: 2006 bei Prof. Dr. Ue Kastens überarbeitet 2005 Prof. dr. Wilfried Hauenschild Formales Schließen im Gegensatz zur empirischen Beurteilung, z. B. ob die Straße nass ist. Aus Wenn es regnet, ist die Straße nass. und Es regnet. folgt Die Straße ist nass. Aussagen in der Spezifikation, in der Modellierung von Aufgaben

2 Vorschau auf Begriffe WS 06/07 mod 302 Aussagenlogische Formeln definiert durch Signatur der boolschen Algebra Belegung von Variablen mit Wahrheitserten Interpretation aussagenlogischer Formeln Gesetze der boolschen Algebra zur Umformung von Formeln erfüllbare und allgemeingültige Formeln logischer Schluss: Folgerung aus einigen Annahmen 2006 bei Prof. Dr. Ue Kastens

3 Beispiel: Aussagenlogik in der Spezifikation Unfall durch fehlerhafte Spezifikation: WS 06/07 mod 303 Airbus A320, Warschau (1993). Der zuständige Rechner blockiert bei der Landung die Aktivierung von Schubumkehr und Störklappen, odurch das Flugzeug über das Landebahnende hinausschießt. Es herrschen starker Wind von schräg hinten und Aquaplaning auf der Landebahn bei Prof. Dr. Ue Kastens Beabsichtigte Spezifikation der Störklappenfreigabe: Die Störklappen dürfen benutzt erden im Reise- und Sinkflug (Bremsirkung) nach der Landung (Vernichtung des Auftriebes und Bremsirkung) Sie dürfen nicht benutzt erden im Endanflug (gefährlicher Auftriebsverlust) Tatsächliche Spezifikation der Störklappenfreigabe: Stellung der Landeklappen < 35 Störklappen freigeben Räder schneller als 133 km/h (72 kt) Höhe < 3m oder und Geicht auf linkem Fahrerk > x und Geicht auf rechtem Fahrerk >x

4 Aussagenlogische Formeln WS 06/07 mod 304 Aussagenlogische Formeln sind korrekte Terme mit Variablen zur Signatur der boolschen Algebra in der Regel ohne die Konstanten true und false: false: -> Bool falsch true: -> Bool ahr : Bool x Bool -> Bool Konjunktion : Bool x Bool -> Bool Disjunktion : Bool -> Bool Negation Abgekürzte Schreibeise: : Bool x Bool -> Bool Implikation A B für A B : Bool x Bool -> Bool Äquivalenz A B für (A B) (A B) Operatoren (Junktoren) in fallender Präzedenz: (Klammern sind empfohlen) 2006 bei Prof. Dr. Ue Kastens überarbeitet 2004 Prof. Dr. W. Hauenschild Variable sind atomare Aussagen oder einfach Atome, die übrigen Formeln sind zusammengesetzt. Für Atome schreiben ir meist große lateinische Buchstaben: A, B,... für allgemeine Formeln kleine griechische Buchstaben: α, β, γ,.... Die Definition der Struktur der Formeln heißt Syntax der Aussagenlogik.

5 Interpretation aussagenlogischer Formeln WS 06/07 mod 305 Eine passende Belegung ordnet allen Variablen, die in einer Menge von Formeln F vorkommen, jeeils einen Wahrheitsert oder f für ahr oder falsch zu. Die Belegung kann ie eine Substitution betrachtet erden, z.b. σ = [ A/, B/f]. Eine Interpretation I σ einer aussagenlogischen Formel α bildet α auf einen Wahrheitsert ab: Für Variable ist die Interpretation I σ durch die Belegung σ definiert. Man kann die Konstanten als Abkürzung auffassen: false für A A, soie true für A A. Für zusammengesetzte Formeln ird sie durch folgende Wahrheitstafeln ereitert: 2006 bei Prof. Dr. Ue Kastens überarbeitet 2006 Prof. Dr. Wilfried Hauenschild I(false) = f I(true) = I(α) f I( α) I(α) I(β) I(α β) f f f f f f f f Eine Interpretation I σ mit einer Belegung σ für eine Formel α bestimmt einen Wahrheitsert der Formel α: I σ (α) Wenn I σ (α) = gilt, heißt I σ auch ein Modell der Formel α. I(α β) I(α β) I(α β) f f f f

6 WS 06/07 mod 306 Vorsicht beim Formalisieren umgangssprachlicher Aussagen Vorsicht bei Implikationen; mit Belegungen prüfen, as gemeint ist: 1. Wenn es regnet, benutze ich den Schirm. regnet Schirm 2. Ich benutze den Schirm, enn es regnet. regnet Schirm 3. Ich benutze den Schirm, nur enn es regnet. Schirm regnet 2006 bei Prof. Dr. Ue Kastens überarbeitet 2005 Prof. Dr. Wilfried Hauenschild Wann kann Oder durch das nicht-ausschließende ausgedrückt erden: 4. Hast Du ein Markstück oder zei Fünfziger? mark zei50er 5. Morgen fahre ich mit dem Zug oder mit dem Auto nach Berlin. zug auto? 6. x ist kleiner y oder x ist gleich y. x<y x=y? 7. Der Händler gibt Rabatt oder ein kostenloses Autoradio. rabatt radio? 8. Aussagen sind häufig kontext-abhängig: 9. Weil ich die SWE-Klausur nicht bestanden habe, nehme ich am zeiten Termin teil. 10. Weil ich die Modellierungs-Klausur bestanden habe, nehme ich am zeiten Termin nicht teil. se-k se-k2 mod-k mod-k2 Klammern sind meist nur aus dem Kontext erkennbar: 11. Sie ollten nicht verlieren oder unentschieden spielen. (verlieren unentschieden)

7 Erfüllbarkeit von Formeln WS 06/07 mod 307 Eine Formel α heißt erfüllbar, enn es eine Interpretation I σ mit einer Belegung σ gibt, so dass gilt I σ (α) =, sonst ist sie iderspruchsvoll, z. B. A B ist erfüllbar; A A ist iderspruchsvoll. Eine Formel α heißt allgemeingültig oder Tautologie, enn für alle ihre Interpretationen I σ (α) = gilt. sonst ist sie falsifizierbar, z. B. A A. Eine Formel α ist genau dann allgemeingültig, enn α iderspruchsvoll ist bei Prof. Dr. Ue Kastens überarbeitet 2004 Prof. Dr. W. Hauenschild α iderspruchs- voll erfüllbar und nicht allgemeingültig falsifizierbar und nicht iderspruchsvoll allgemeingültig α

8 Gesetze der booleschen Algebra WS 06/07 mod 308 Zei Formeln α, β sind logisch äquivalent, in Zeichen α β, enn sie für alle Interpretationen I dasselbe Ergebnis haben: I(α) = I(β) Für alle aussagenlogischen Fomeln α, β, γ gelten folgende logische Äquivalenzen: (α β) γ α (β γ) (α β) γ α (β γ) Assoziativität α β β α α β β α Kommutativität α α α α α α Idempotenz α ( β γ) (α β) (α γ) α (β γ) (α β) (α γ) Distributivität α (α β) α α (α β) α Absorption α false false α false α Neutrale Elemente α true α α true true α α false α α true Komplement 2006 bei Prof. Dr. Ue Kastens α α Involution (α β) α β (α β) α β De Morgan

9 WS 06/07 mod 309 Umformen mit Gesetzen der booleschen Algebra Beispiel: (A (B A)) (C (D C)) De Morgan (A ( B A)) (C (D C)) Kommutativität (A ( A B)) (C (D C)) Assoziativität ((A A) B) (C (D C)) (true B) (C (D C)) Komplement Kommutativität ( B true) (C (D C)) Neutrale Elemente true (C (D C)) Kommutativität (C (D C)) true Neutrale Elemente (C (D C)) Kommutativität 2006 bei Prof. Dr. Ue Kastens (C (C D)) Assoziativität ((C C) D) Idempotenz C D

10 Logischer Schluss WS 06/07 mod 310 Sei F eine Menge von Formeln und α eine Formel. Wenn für alle Interpretationen I, die alle Formeln in F erfüllen, auch I (α) gilt, dann sagen ir α folgt (semantisch) aus F und schreiben: F = α. F = α heißt auch logischer Schluss, F Annahme oder Antezedent, α Folgerung oder Konsequenz. Die Korrektheit eines logischen Schlusses F = α mit F = {α 1,..., α n } kann man prüfen: a. durch Prüfen aller Interpretationen, die alle Formeln in F erfüllen b. durch Widerspruchsbeeis: α 1... α n α ist nicht erfüllbar. Beeise erden aus logischen Schlüssen aufgebaut bei Prof. Dr. Ue Kastens6 überarbeitet 2006 Prof. Dr. W. Hauenschild Beispiel: α: Wenn alle Menschen gleich sind, gibt es keine Privilegien. β: Es gibt Privilegien. γ: Nicht alle Menschen sind gleich. nacheisen: {α, β } = γ ist ein korrekter logischer Schluss.

11 Normalformen WS 06/07 mod 311 Wir betrachten hier aussagenlogische Formeln o.e.d.a. ohne die Zeichen und. Ein Literal ist ein Ausdruck der Form A bz. A mit einem Atom A. Eine Klausel ist ein Ausdruck der Form α = ( L 1... L n ) mit Literalen L i. Ein Monom ist ein Ausdruck der Form α = ( L 1... L n ) mit Literalen L i. Negationsnormalform (NNF): Eine Formel α ist in NNF genau dann, enn Negationszeichen nur in Literalen auftauchen. Konjunktive Normalform (KNF): Für Klauseln α 1,..., α n ist die Formel α = (α 1... α n ) in KNF. Disjunktive Normalform (DNF): Für Monome α 1,..., α n ist die Formel α = (α 1... α n ) in DNF Prof. Dr. W. Hauenschild Satz: Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es logisch äquivalente Formeln in NNF, KNF und DNF

12 Hineise zur Notation in der Aussagenlogik WS 06/07 mod 312 Die syntaktische Ebene:,,,, erzeugen in Verbindung mit AL-Formeln neue AL-Formeln Die semantische Ebene: erfüllbar, allgemeingültig, falsifizierbar, iderspruchsvoll, folgt logisch ( = ), logisch äquivalent ( ) erzeugen in Verbindung mit AL-Formeln Aussagen auf der semantischen Ebene Die allgemeine Sprachebene der Beeise und Definitionen: nicht, und, oder, folgt, genau dann enn (gd), für alle, es gibt erzeugen in Verbindung mit Aussagen neue Aussagen (häufig auf der semantischen Ebene) 2006 bei Prof. Dr. W. Hauenschild Beispiele: Für alle α gilt: α erfüllbar gd es gibt eine Interpretation I mit I(α) = Für alle α und β gilt: ( α β ) gd ( α β ) allgemeingültig Man benutzt die Symbole der syntaktischen Ebene als Abkürzung in der allgemeinen Ebene.

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