Aufgabe 3.1. Aufgabe 3.2. Aufgabe 3.3. Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik. Technische Mechanik IV

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1 ZÜ 3. Aufgabe 3. Ein Wagen Masse M) kann eibungsfei auf eine waagechten Bahn fahen. An eine Achse uch seinen Schwepunkt S que zu Fahtichtung hängt eibungsfei gelaget ein Massenpenel Masse, Länge l, Stab asselos). Die Masse e Räe ist zu venachlässigen. x x S M S g Bestien Sie ie Bewegungsgleichungen es Sstes it Hilfe e Lagange schen Gleichungen. At. Aufgabe 3. Ein Rütteltisch T Masse M) kann sich auf eine hoizontalen Untelage eibungsfei bewegen. Auf e Rütteltisch T ist i Punkt A eine asselose Stange ehba gelaget, an een Ene eine Unwucht befestigt ist. Die Unwucht wi uch einen Moto it e konstanten Winkelgeschwinigkeit Ω angetieben. De Rütteltisch ist übe eine asselose Fee Feekonstante c) un einen asselosen, geschwinigkeitspopotionalen Däpfe Däpfekonstante ) it eine festen Wan vebunen. In e Ruhelage x ist ie Fee geae entspannt. ϕ l g M T glatt A Ωt x l c h h a) Wie viele Feiheitsgae besitzt as Sste? Legen Sie ie veallgeeineten) Kooinaten) fest. b) Stellen Sie it Hilfe e Lagange schen Gleichungen. At ie Bewegungsgleichungen) es Sstes auf. Aufgabe 3.3 Die Stange AB hoogen, Masse, Länge g l) ist i Punkt A ehba gelaget un i Punkt B it e Stange BC hoogen, Masse, Länge l) gelenkig vebunen. Die Stan-,l B,l ge BC ist it ihe Ene C it e Mittelpunkt eine Walze hoogen, Masse, A S S C c ϕ Raius ) ehba vebunen. Die Walze ist x übe eine Fee Feekonstante c) it e Wan vebunen un ollt ohne zu gleiten auf e Untelage ab. I Punkt B geift eine vetikal wikene, zeitabhängige, nicht konsevative Kaft an. Zu Lagebescheibung e Anonung wi ie veallgeeinete Kooinate ϕ vewenet. Die Fee ist bei ϕ 45 entspannt. Reibungseinflüsse ween venachlässigt. Bestien Sie ie Bewegungsgleichung es Sstes ittels e Lagange schen-gleichungen. At.

2 ZÜ 3. Lösung zu Aufgabe 3. Die veallgeeineten Kooinaten üssen ie Lage es Sstes vollstänig bescheiben. Man wählt q x S un q ϕ In e voliegenen Sste teten keine nicht-konsevativen Käfte Q k auf. Zu Bestiung e Lagangefunktion L benötigt an ie kinetische Enegie T un ie potentielle Enegie U als Funktion e veallgeeineten Kooinaten x S un ϕ. Zu Eittlung e kinetischen Enegie es Sstes benötigt an Lage un Geschwinigkeit e Masse : ) xs +l sinϕ l cosϕ v ) ẋs +l ϕ cosϕ t l ϕ sinϕ Dait ehält an fü as Quaat e Geschwinigkeit von Masse : v ẋ S +lẋ S ϕ cosϕ+l ϕ Die kinetische Enegie es Gesatsstes ist folglich: T M ẋ S + v ) T M +)ẋ S + l ϕ +lẋ S ϕ cosϕ ) Die potentielle Enegie es Sstes lautet it e x-achse als Nullniveau: U l cosϕg Beekung: Das Nullniveau kann beliebig festgelegt ween. Die potentielle Enegie untescheiet sich bei unteschielichen Nullniveaus nu uch einen konstanten Te, e abe bei späteen Ableiten ohnehin veschwinet. Mit ) un ) ehält an ie Lagangefunktion: L M +)ẋ S + l ϕ +lẋ S ϕ cosϕ+l cosϕg 3) Zu Bestiung e Bewegungsgleichungen benötigt an folgene Ableitungen: x S 4) ϕ lẋ S ϕ sinϕ lg sinϕ 5) ẋ S M +)ẋ S +l ϕ cosϕ ϕ l ϕ+lẋ S cosϕ )

3 ZÜ 3.3 ) M +)ẍ S +l ϕ cosϕ l ϕ sinϕ 6) t ẋ S ) l ϕ+lẍ S cosϕ lẋ S ϕ sinϕ 7) t ϕ Einsetzen von 4),5),6) un 7) in Lagange schen Gleichungen. At liefet ie gesuchten Bewegungsgleichungen: Gl. : M +)ẍ S +l ϕ cosϕ l ϕ sinϕ 8) Gl. : l ϕ+lẍ S cosϕ lẋ S ϕ sinϕ+lẋ S ϕ sinϕ+lg sinϕ l ϕ+lẍ S cosϕ+lg sinϕ 9) Die este Bewegungsgleichung 8) lässt sich in iese Fall noch nach ẍ S auflösen un in ie zweite einsetzen, u entkoppelte Diffeentialgleichungen zu ehalten. Lösung zu Aufgabe 3. a) Das Sste besitzt einen Feiheitsga. Als veallgeeinete Kooinate wi q x gewählt. Die Dehung e Unwucht ist kein zweite Feiheitsga, a ies eine Zwangsbewegung ist Ω ist uch en Moto vogegeben). b) Es teten in iese Sste folgene Käfte auf: konsevative Käfte: Gewichtskaft es Wagens, Gewichtskaft e Unwucht, Feekaft nicht konvevative Käfte: Däpfekaft Es ween ie kinetische Enegie T, ie potentielle Enegie U un ie veallgeeinete Däpfekaft Q benötigt: Kinetische Enegie: Otsvekto zu Masse : ) x+ sinωt cosωt ẋ+ω ) cosωt v Ω sinωt v ẋ +Ωẋ cosωt+ Ω cos Ωt+ Ω sin Ωt ẋ +Ωẋ cosωt+ Ω T M ẋ + ẋ +Ωẋ cosωt+ Ω ) )

4 ZÜ 3.4 Potentielle Enegie NN auf Untelage): U M gh +g h + cosωt)+ cx ) Mit ) un ) ehält an ie Lagangefunktion: L T U L M +)ẋ +Ωẋ cosωt+ Ω M +)gh + g cosωt cx 3) Nicht konsevative Däpfekaft: ) ẋ F, F Q F F x ẋ l +x h ), F x ) 4) Zu Bestiung e Bewegungsgleichung it Hilfe e Lagange schen Gleichungen. At ween noch folgene Ableitungen benötigt: x 3) cx 5) t ẋ ẋ ) 3) M +)ẋ+ω cosωt 6) 6) M +)ẍ+ } Ω {{ cosωt } Ω sinωt 7), a Ωconst. Einsetzen von 4), 5) un 7) in ie Lagange schen Gleichungen. At liefet ie gesuchte Bewegungsgleichung: M +)ẍ Ω sinωt+cx ẋ M +)ẍ+ẋ+cx Ω sinωt Lösung zu Aufgabe 3.3 Die Bewegungsgleichung ehält an, in e an ie Lagange schen Gleichungen. At anwenet. U ie kinetische un potentielle Enegie zu beechnen, ween ie Otsvektoen un een Ableitungen benötigt:

5 ZÜ 3.5 [ ] cosϕ Stange AB: S l sinϕ Stange BC: S l [ ] 3cosϕ sinϕ [ ] lcosϕ Walze: C, S l [ ] 3sinϕ ϕ cosϕ [ ] l ϕsinϕ, C Potentielle Enegie: U U +U +U W +U Fee, Nullniveau bei ) U U g l sinϕ, U W U Fee c x Cϕ) x C 45 )) U gl sinϕ+cl cosϕ ) x C ϕ)l cosϕ cl cosϕ ) Kinetische Enegie T: T T +T +T W, ω W C T JA ϕ J A 3 l 6 l ϕ T S + JS ϕ J S l T W C + JC ωw ) T l ϕ 3 +7 sin ϕ 6 l ϕ +6 sin ϕ) J C 6l ϕ sin ϕ Veallgeeinete nichtkonsevative Kaft Q ϕ : F B ϕ l [ ] Bewegungsgleichung t ϕ [ sinϕ cosϕ [ ] cosϕ, B l sinϕ ] [ ] Q ϕ l [ ] sinϕ l cosϕ cosϕ L T U l ϕ 3 +7 sin ϕ ) gl sinϕ cl cosϕ ) ) [ ) ] l 3 +7 sin ϕ ϕ+4 ϕ sinϕ cosϕ ϕ 4l ϕ sinϕ cosϕ gl cosϕ+4cl cosϕ )sinϕ ) 3 +7 sin ϕ ϕ+7 ϕ sinϕ cosϕ+ g l cosϕ c cosϕ ) sinϕ cosϕ l