Laborversuche zur Physik I. I-01 Pendelversuche. Versuchsleiter:

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1 Laborversuche zur Physik I I-01 Pendelversuche Versuchsleiter: Autoren: Kai Dinges Michael Beer Gruppe: 15 Versuchsdatum:?.?

2 Inhaltsverzeichnis 2 Aufgaben und Hinweise Federpendel Messung der Federkonstanten Einfluss der Federmasse Fadenpendel Schwingungsdauer als Funktion der Pendellänge Bestimmung der Erdbeschleunigung Schwingungsdauer als Funktion der Anfangsamplitude gekoppeltes Pendel Aufgaben und Hinweise Mit dieser Versuchsreihe sollen elementare Kenntnisse über Pendelbewegungen u2berprüft werden. Dazu muss zunächst die Federkonstante einer Feder zu ermitteln, sodann die Schwingungsdauer von Feder und Fadenpendel in Abhängigkeit von wesentlichen Parametern ermittelt werden. Desweiteren sind Systeme gekoppelter Pendel hinsichtlich ihrer Schwingungseigenschaften sowie die Art der Energieübertragung zwischen derartigen Pendel zu untersuchen. Die das Pendelverhalten wesentlich beeinflussenden Parameter sind für geradlinige Bewegungen die Anfangsauslenkung, die Masse, die Kraft, die Masse wirkt, die Federkonstante bei Federpendeln sowie die für krummlinige Bewegungen korresbondierenden Größen der Anfangsdrehwinkel, das Trägheitsmoment, das einwirkende Drehmoment, die Drehrichtgröße und die für beide Arten gleichermaßen bedeutsamen Reibungs- und Dämpfungskonstanten. 2.1 Federpendel In diesem Abschnitt wird zunächst das Federpendel behandelt Messung der Federkonstanten Zu allererst muss die Federkonstante für die verwandte Feder bestimmt werden. Dazu wird die betreffende Feder aufgehangen, verschiedene Massen an dieselbe gehangen und die dadurch erfolgte Längenänderung der Feder gemessen. Dabei bringt man die Feder am Besten neben einer Längenskala neben der aufgehangenen Feder so an, dass der Nullpunkt der Skala am unteren Ende der unbelasteten Feder anliegt. Soweit man darauf achtet, die Feder nicht zu überdehnen, ist die Längenänderung proportional zur angehangenen Masse, die Federkonstante ist dabei einfach die Proporitonalitätskonstante D zwischen der aus der Masse m = m G +m H mit m H Masse des Gewichthalters und m G Masse der Gewichte resultierenden Gewichtskraft und der Längenänderung s: Ds = gm D = mg s wobei g die Gravitationsbeschleunigung ist. Die unsererseits ermittelten Werte sind in Tabelle 1 einzusehen, wobei die Masse m H des zur Anhängung der Massestücke verwandten Halters 40g (± 0,02g), der Messfehler der Auslenkung s betra gt 0,1 cm, der Wiegefehler beträgt m =0,02 g. Der jeweilige Größtfehler 2 (1)

3 Abbildung 1: Die die dicke Feder dehnende Masse angetragen gegen die Längenäderung der Feder, die Punkte stellen die experimentell gefundenen Werte, die Gerade den sich aus der ermittelten mittleren Federkonstante D ergebenden Verlauf dar. Die Federkonstante D ist die Steigung der Geraden. berechnet sich dabei nach der herkömmlichen Formel D = D m m + D s s (2) = m + m s s s 2 (3) Feder m in g (± 0,02 g) s in cm (± 0,1 cm) D in N m Max. Fehler D in N m dick 40,0 0, ,0 1, ,2 3, ,2 4, ,5 4, Mittelwerte 4775 ± 27 dünn 40 9, , , , , , , , , ,3 Mittelwerte 401 ± 0,5 Tabelle 1: Messwerte zur Ermittlung der Federkonstanten D. Außerdem sind in den Abb. 1 und 2 die Massen gegen die Längenänderung der betreffenden Feder aufgetragen, sowie die mittels Formel 1 aus den Messwerten errechnete mittlere jeweilige Federkonstanten D errechnete Gerade eingetragen. Die Federkonstante ist grafisch interpretiert nichts anderes als deren Steigung. Es zeigt sich, dass die Auslenkung der Federn tatsächlich proportional der dehenden Kraft ist. Der Mittelwert der gefundenen Federkonstanten lautet für die dicke Feder 4775 N m (± 27 N m ), für die dünne Feder 401 N m N m ). 3 (± 0,5

4 Abbildung 2: Die die dünne Feder dehnende Masse angetragen gegen die Längenäderung der Feder, die Punkte stellen die experimentell gefundenen Werte, die Gerade den sich aus der ermittelten mittleren Federkonstante D ergebenden Verlauf dar. Die Federkonstante D ist die Steigung der Geraden Einfluss der Federmasse Nun sollte die Beziehung m T = 2π D für Federpendel verifiziert werden. Dabei bezeichnet T die Schwingungsdauer, m wiederum die gesamte die Feder dehnende Masse, also m = m G + m H. Dafür wurden von uns beide Federn mit verschiedenen Massen belastet, ausgelenkt und die Dauer von jeweils fünf Schwingungen ermittelt. Die Messergebnisse (bereits auf eine Schwingungsdauer heruntergerechnet) sind in Tabelle 2 einzusehen, wobei der Wägefehler wiederum 0,02g, der Fehler der Zeitmessung circa 0,10s bei optimistischer Schätzung beträgt, da die Zeitmessung manuell erfolgte und die gemesssenen Intervalle äußerst kurz waren. Auf beiliegenden Blatt wurden die Schwingungsdauern zum Quadrat über der jeweiligen Masse angetragen. Die gewonnene Kurve geht anders als mit Gleichung 4 vorhergesagt nicht durch den Usprung, was daran liegt, dass die Federmasse vernachlässigt wurde. Sie muss wie folgt bercksichtigt werden : T = 2π m m F D Mit m F als die Masse der Feder. Die Federkonstante D ist aus den auf dem Beiblatt befindlichen Grafen leicht zu ermitteln. Die Steigung der Geraden ist (4) (5) S = D = D = 2π D 1 2πS m 2π T (6) 4

5 wobei m und T jeweils zwei zueinander gehörende Differenzen zweier Werte von m und von T sind. Der maximale Fehler errechnet sich hierbei aus der bekannten Formel D = D = D m m + D T 2 T 2 m 2π T 2 + m T 2 2π( T 2 ) 2 (7) Die Federmasse ergibt sich aus dem y-achsenabschnitt T 0 bei gegebenen D laut Beziehung 5 zu m F = 3 T 2 0 D 2π ihr maximaler Fehler ergibt sich aus m F = m F m F D = 3 T 2 0 D 2π D + m F T0 2 T D T 2 0 2π (8) (9) Für die dicke Feder ergibt sich also mit m = 120g und T 2 = 0, 1s 2 für D Di = 1910 N m ± 271 N m, wobei eine Ungenauigkeit T = 0, 05s und m = 5g angenommen wurde, da die Ausgleichsgerade nur äußerst ungenau zu legen war. Für T0 2 findet man 0, 05s2 und damit m F = 45, 6g ±32, 65g, wobei ein Fehler T0 2 von 0, 01s2 angenommen werden musste. Bei der Geraden der dünnen Feder wurden dieselben Fehlerwerte angenommen wie bei der dickeren Feder. Mit m = 60g und T 2 = 0, 35s 2 findet man für D Du = 273 N m ± 61N m, für die Federmasse findet man mit T0 2 = 0, 06s2 und T0 2 = 0, 01s2 m F = 7, 8g ±3, 1g. Offensichtlich sind bereits die Federkonstanten um mehr als 50% der in gefundenen Werte zu klein. Dies mag daran liegen, dass die Messung der Schwingungsdauer per Hand bei so kleinen Intervallen äußerst fehlerbehaftet ist, besonders wird dies bei den Messungen der dicken Feder deutlich, bei der die Messwerte extrem schwanken. Vergleicht man die hier ermittelten Federmassen mit den von uns gewogenen von m F = 74g ±0, 02g für die dicke und m F = 16g ±0, 02g für die dünne Feder, so zeigt sich auch hier wie nach dem Ergebnis des Vergleichs der Federkonstanten erwartet ein Fehler von circa 50% der tatsächlich gefundenen Massen. 2.2 Fadenpendel Nachdem im letzten Abschnitt das Federpendel untersucht wurde, soll nun das Fadenpendel genauer betrachtet werden. Daz uverwandten wir einen Versuchsaufbau, der einmal aus dem eigentlichen Pendel, welches aus einem langen Draht mit einer schweren Kugel am einen Ende, am anderen eine Schraube zum Befestigen in dafür vorgesehene Aufhängungen bestand, der Aufhängung, welche aus einem an der Decke befestigten Brett bestand, in welches die Schraube des eigentlichen Pendels zu schrauben war, sowie der Lichtschranke, die neben dem aufgehangenen Pendel so postiert war, dass das Pendel beim Schwingen diese jeweils zweimal durchquerte, sowie schließlich der zur Lichtschranke gehörende Zähler. Dieser konnte 5

6 daruaf eingestellt werden, für eine vorgegebene Zahl Durchschwünge durch die Schranke die benötigte Zeit zu stoppen und diese auszugeben. Dabei wurde automatisch berücksichtigt, dass die Schranke je Schwingung zweimal unterbrochen wurde Schwingungsdauer als Funktion der Pendellänge Zunächst war die Abhängigkeit T 2 l (10) mit T als die Schwingungsdauer und l als die Pendellänge zu überprüfen. Dazu wurde von uns die Dauer von 50 und 100 Schwingungen von Pendeln jeweils derselben Pendelmasse, jedoch verschiedenen Pendellängen gemessen. Das längste Pendel sollte mit 2 verschiedenen Massen gemessen werden. Die Ergebnisse befinden sich in Tabelle 3. Die Messwerte für das kurze, mittlere und lange Pendel der leichteren Masse sind außerdem in die Abbildung 3 für die Messung von 50, in die Abbildung 4 für die Messung mit 100 Schwingungen eingetragen. Es ist offensichtlich, dass sich die Schwingungsdauern zum Einen bei Erhöhung der gemessenen Schwingungen nicht wahrnehmbar ändern. Verdoppelt man die für 50 Schwingungen gemessene Schwingungsdauer des kürzesten Pendels, findet man eine Abweichung von nur 6 ms verglichen mit dem für 100 Schwingungen gemessenen Wert. Ähnlich genau liegen auch die anderen Messwerte für jeweils 50 und 100 Schwingungen beieinander. Die Reibung sollte keinen großen Fehler verursachen, da die Schwingungsdauer unabhängig von der Auslenkung ist, und der Enerigeverlust durch Reibung sich genau in einer niedrigeren Maximalamplitude umsetzt. Auch ist offensichtlich, dass alle Messwerte zum Quadrat gegen die jeweilige Pendellänge aufgetragen zum Anderen nahezu auf einer Geraden liegen. Es ist offenbar, dass das Quadrat der Schwinungsdauer also proportional zur Pendellänge ist. Aus der Messung des längsten Pendels mit den verschiedenen Massen lässt isch außerdem erkennen, dass die Schwingungsdauer auch unabhängig von der Pendelmasse ist. Zwischen T und l besteht also folgender Zusammenhang T = σl (11) wobei sich σ durch und also σ = (T 1 T 2 ) 2 l 1 l 2 ( )2 138, 7 200, 8 ms 2 cm 3701s2 m T 3701 s2 m l (12) egibt. Für den maximalen Fehler folgt mit T 1ms 6

7 σ = σ T T + σ l l (13) σ = 2 T T l + ( T) 2 l ( l) 2 (14) σ 6, 13 s2 m Abbildung 3: Quadratische Schwingungsdauer angetragen gegen die Pendellänge. Die Messung erfolgte mit Messung von jeweils 50 Schwingungen Abbildung 4: Quadratische Schwingungsdauer angetragen gegen die Pendellänge. Die Messung erfolgte mit Messung von jeweils 100 Schwingungen Bestimmung der Erdbeschleunigung Es soll nun mittels der Ergebnisse aus die Erdbeschleunigung errechnet werden. Dazu ist der Zusammenhang 7

8 T g = l = 2π g 4π2 l T 2 nötig. Der Maximalfehler bei dieser Berechnung ergibt sich durch (15) (16) g = g l l + g T g = 4π2 T 2 l + 4π2 l T (17) T 3 Die aus diesen Formeln folgenden Ergebnisse für g und g sind in Tabelle 4 aufgeführt. Als Messfehler wurde für die Längenmessung ein Fehler von l = 1cm, für die Zeitmessung ein Fehler von T = 0, 001s angenommen. Als gewichteter Mittelwert ergibt sich bei einer Gewichtung von 1 für die Messwerte des kurzen, 2 für die Messwerte des mittleren und 3 für die Mittelwerte des langen Pendels g gewichtet = 9, 80 m s Schwingungsdauer als Funktion der Anfangsamplitude Hier sollte nun untersucht werden, ob und inwiefern die Anfangsamplitude Einfluss auf die Schwingungsdauer hat. Dazu war die Schwingungsdauer von jeweils 20 Schwingungen in Abhängigkeit der Auslenkung zu messen. Dies geschah mit Hilfe einer Messbank, auf der sich ein verschiebbarer Kantpfosten befndet. Diese Bank wurde unter das hängende lange Pendel gestellt und der Nullpunkt auf die Ruhelage des Penels ausgerichtet (x 0 = 0). Dann wurde der Messpfosten in einen gewissen Abstand geschoben und das Pendel bis zum Anschlag an den Pfosten ausgelenkt, nach 20 Schwingungen war der Pfosten soweit ans schwingende Pendel heranzuführen, bis das Pendel gerade nicht anschlägt, aus diesen beiden Messwerten die mittlere Auslenkung und aus dieser den mittleren Auslenkwinnkel zu berechnen. Die Schwingungsdauer, die diese 20 Schwingungen benötigten, war ebenfalls zu erfassen. In Tabelle 5 stehen die gemessenen Auslenkungen sowie die sich ergebenden mittleren Auslenkungen. Aus ihnen kann man den zugehörigen Auslenkwinkel Φ über Φ = 1 2 arcsin ( 2x l ) (18) Bei diesem Versuch betrug die Pendellänge wiederum l = 266cm. Die berechneten Winkel sowie die zugehörige Schwingungsduer liegen in Tabelle 6 vor. Tatsächlich ist der Verlauf der so gefundenen Funktion T(Φ) nicht konstant, wie in Abbildung 5 zu erkennen. Dies liegt daran, dass die Näherung sinφ Φ nur in einem kleinem Bereich um den Nullpunkt möglich, in welchem sich ie Sinusfunktion nahezu linear verhält. In der Grafik wäre der letzte Wert, welcher noch in diesem Bereich liegt, der Winkel 0,31. Die Schwingungsdauer sollte also vielmehr der Formel ( ( ) l 1 2 T(Φ) = 2π 1 + sin 2Φ ( ) ) g sin 4Φ (19) 8

9 Abbildung 5: Für die Aulenkwinkel erreichnete Werte gegen die Schwingungsdauer von jeweils 20 Schwingungen aufgetragen. Die Länge des Pendels ist beim qualitativen Vergleich der Kurven daher von untergeordneter Bedeutung, da sie nur einen Vorfaktor darstellt udn die Gestalt der Kurve nicht so nicht wesentlich bestimmt. 2.3 gekoppeltes Pendel Dieser Abschnitt wurde von meinem Partner durchgefã1 4hrt und liegt mir nicht vor. 9

10 Dicke Feder Dünne Feder m in g (±0, 02g) T in s (±0, 10s) m in g (±0, 02g) T in s(±0, 10s) 90 0, ,71 0,34 0,76 0,34 0,71 0,35 0,73 0,37 0,73 Mittelwerte 0,34 ± 0,02 0,73 ± 0,02 140,2 0, ,79 0,39 0,81 0,41 0,77 0,37 0,77-0,82 Mittelwerte 0,39 ± 0,02 0,79 ± 0,02 190,5 0, ,89 0,33 0,85 0,34 0,87 0,43 0,86-0,88 Mittelwerte 0,36 ± 0,04 0,87 ± 0,02 240,5 0, ,93 0,46 0,95 0,44 0,92 0,46 0,96-0,96 Mittelwerte 0,46 ± 0,03 0,94 ± 0,02 291,0 0, ,01 0,54 0,97 0,51 1,01 0,51 0,99-0,98 Mittelwerte 0,50 ± 0,03 0,99 ± 0,02 Tabelle 2: Schwingungsdauer T für eine Schwingung bei unterschiedlichen belastenden Massen m, für eien dicke und eine dünnere Feder. Der bei den Mittelwerten angegeben Fehler ist die Standardabweichung des jeweiligen Mittelwertes. Pendellänge /cm (±0, 1cm) Zeit 50T / ms Zeit 100T /ms 138, , , ,0(schwerere Masse) Tabelle 3: Die Messergebnisse der Schwingungsdauermessung verschiedener Fadenpendel. 10

11 Pendellänge in cm /Zahl Schwingungen g in m g in m s 2 s 2 138,7 / 50 9,76 0,18 138,7 / 100 9,76 0,18 200,8 / 50 9,77 0,15 200,8 / 100 9,77 0,15 266,0 / 50 9,83 0,13 266,0 / 100 9,84 0,13 Mittelwert g 9,79 0,04 Tabelle 4: Ergebnisse für die Ermittlung der Erdbeschleunigung. Der Fehler des Mittelwertes ist hier nicht als Durchschnitt der Maximalfehler, sondern als die Standardabweichung angegeben. Anfangsauslenkung x 1 /cm Endauslenkung x 2 / cm mittlere Auslenkung x / cm 40 38,6 39, , ,5 19, ,5 48, ,7 58, ,9 67, , Tabelle 5: Auslenkungen vor und nach 20 Schwingungen sowie die sich daruas ergebende mittlere Auslenkung. mittlere Auslenkung x errechneter Winkel Φ Schwingungsdauer 20T / ms 39,3 0, ,5 0, ,75 0, ,75 0, ,35 0, ,95 0, ,5 0, , Tabelle 6: Zu den mittleren Auslenkungen gehörenden Auslenkwinkel Φ sowie die gemessene Schwingungsdauer für 20 Schwingungen. 11