2.5 Diskrete Bewegungsgruppen I: die Punktgruppe,

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1 Diskrete Geometrie (Version 3) 20. November 2011 c Rudolf Scharlau Diskrete Bewegungsgruppen I: die Punktgruppe, Friesgruppen In diesem Abschnitt ist wie bisher ein euklidischer (Vektor-)Raum E von zunächst beliebiger Dimension zugrunde gelegt. Später wird dann dim E = 2 sein. Unter einer Bewegungsgruppe verstehen wir im folgenden eine beliebige Gruppe von Bewegungen (Isometrien) von E, also eine Untergruppe G Iso(E). In folgenden treffen wir zunächst einige allgemeine Vorbereitungen für die Untersuchung von Bewegungsgruppen, insbesondere führen wir die Punktgruppe einer Bewegungsgruppe ein. Dann schränken wir uns auf die Dimension 2 ein. Wir klassifizieren die sogenannten Friesgruppen, das sind diskrete Gruppen mit nur einer Translationsrichtung. Die allgemeine Behandlung des Begriffs diskrete Gruppe wird allerdings in diesem Abschnitt weiterhin vermieden. Mehr hierzu findet sich am Schluss des folgenden Abschnitts 2.6. Wir erinnern daran, daß die Menge T(E) aller Translationen in E eine Untergruppe von Iso(E) ist, die mittels der Abbildung v τ v isomorph zur additiven Gruppe des Vektoraumes E ist. Für eine Bewegungsgruppe G bezeichnen wir mit T(G) die Menge der in G enthaltenen Translationen. Als Schnitt zweier Gruppen ist T(G) ein Untergruppe von G und von T(E); dieser entspricht durch den genannten Isomorphismus eine Untergruppe von E, die wir mit Γ(G) bezeichnen. Die Gruppe Γ(G) bestehtalsoausdenverschiebungsvektorendering enthaltenen Translationen. Wir fassen die bisher benutzten Begriffe und Bezeichnungen zusammen: Bezeichungen E Iso(E) τ v : E E, x x + v T(E) ={τ v v E} G Iso(E) T(G) :=G T(E) Γ(G) ={v V τ v T(G)} ein euklidischer Vektorraum die Isometriegruppe von E die Translation um den Vektor v V die Gruppe aller Translationen von E eine Gruppe von Isometrien die Gruppe der Translationen in G die Gruppe der Translationsvektoren zu G Wir kommen nun zu der besonders wichtigen und weitreichenden Definition der Punktgruppe. Definition Für eine beliebige Untergruppe G AGL(E) heißt die Punktgruppe von G. S(G) :={L GL(E) v E : ϕ v,l G}

2 134 Diskrete Geometrie (Version 3) 20. November 2011 c Rudolf Scharlau Man beachte zunächst den prinzipiellen Charakter dieser Definition: Punktgruppen sind nicht etwa eine besondere Art von Gruppen mit bestimmten Eigenschaften, wie z.b. zyklische Gruppen oder Diedergruppen. Es gibt nicht Punktgruppen schlechthin, sondern für jede Bewegungsgruppe G gibt es eine ihr zugeordnete weitere Gruppe S = S(G), die man dann die Punktgruppe von G nennt. Die betrachteten Gruppen G bestehen aus affinen Abbildungen (in der Regel Isometrien), die Punktgruppe S(G) besteht aus linearen Abbildungen, nämlich den linearen Anteilen der Elemente von G. Wir erläutern dieses Konzept zunächst an einem ausführlichen Beispiel. Beispiel Es sei G die Symmetriegruppe der folgenden doppelten Punktreihe in der Ebene (beidseitig ins Unendliche fortgesetzt): Zur genaueren Beschreibung von G identifizieren wir E mit dem R 2,undzwar so, dass die x 1 -Achse wie üblich horizontal liegt und ferner der Abstand zwischen zwei horizontal benachbarten Punkten des Musters 1 ist. Dann enthält G zunächst einmal alle Translationen um ganzzahlige Vielfache des ersten Einheitsvektors, d.h. die Translationen τ v,v Ze 1.DieTranslationsgruppeistalso zyklisch, erzeugt von τ e1.(gisteine sogenannte Friesgruppe, wie sie unten genauer behandelt werden.) Alle Translationen liefern in der Punktgruppe das neutrale Element. Weiter liegen in G alle Spiegelungen an vertikalen Geraden, die durch einen der Punkte des Musters gehen. Alle diese Spiegelungen haben als linearen Anteil ebenfalls eine Spiegelung, und zwar immer die gleiche, nämlich die Spiegelung σ 0 an der x 2 -Achse, gegeben durch die Matrix ( ). (Wenn einer der Punkte des Musters auf der x 2 -Achse liegt, ist sogar σ 0 G, für die Bestimmung der Punktgruppe ist das aber irrelevant.) Ferner enthält G Drehungen (um 180, also Punktspiegelungen) um Punkte, die in der Mitte zwischen zwei benachbarten Punkte aus der oberen bzw. unteren Reihe liegen:

3 Diskrete Geometrie (Version 3) 20. November 2011 c Rudolf Scharlau 135 Wiederum liefern alle diese Drehungen das gleiche Element der Punktgruppe, nämlich die 180 -Drehung ι 0 um den Nullpunkt des Vektorraumes R 2,gegeben durch die negative Einheitsmatrix ( ). Da die Punktgruppe eine Gruppe ist, muß auch das Produkt σ0 := σ 0 ι 0, also die Spiegelung an der x 1 -Achse des Vektorraumes R 2 in S(G) liegen. Nun enthält G offenbar keinerlei Spiegelungen an horizontalen Achsen. In Frage käme nur die mittlere Parallele g zu den beiden Punktreihen des Musters, die jedoch gegeneinander versetzt sind. g In G liegen jedoch alle Schubspiegelungen τ v σ g mit invarianter Geraden g und Translation um eine halbzahlige Einheit, d.h. v 1e 2 1+Ze 1.DieseSchubspiegelungen liefern das vierte Element σ0 von S(G). Wie früher ist es hierfür unerheblich, ob die Gerade g selbst durch den Nullpunkt geht oder nicht. Zusammengefasst haben wir jetzt die Symmetriegruppe G und damit auch ihre Punktgruppe S(G) vollständig bestimmt: S(G) = , , , 0 1 (Hier identifizieren wir zur Vermeidung weiterer Notation lineare Abbildungen des R 2 mit den zugehörigen Matrizen.) Wir kehren nun zur allgemeinen Definition der Punktgruppe zurück und schauen uns noch etwas genauer die algebraischen Aspekte dieses Konzeptes an. Die Punktgruppe S(G) vong ist nach Definition das homomorphe Bild von G unter dem kanonischen Homomorphismus AGL(E) GL(E), ϕ v,l L. Wir erinnern daran, daß man diesen Homomorphismus auch als ϕ ϕ schreiben kann, wobei ϕ die sogenannte Ableitung der affinen Abbildung ϕ bezeichnet. Aus dem allgemeinen Satz b) über Bilder von Homomorphismen folgt nun zunächst einmal, daß die Punktgruppe wirklich eine Gruppe ist. Durch Einschränkung hat man einen surjektiven Homomorphismus G S(G). Dessen Kern ist genau die Translationsgruppe T(G). Nun kann man den Homomorphiesatz für Gruppen anwenden (Satz im obigen Ergänzungskapitel 2.3): die Punktgruppe S(G) ist isomorph zur Faktorgruppe G/T(G). Wir erinnern daran, daß diese Faktorgruppe aus Äquivalenzklassen von Elementen von G besteht, wobei zwei Abbildungen äquivalent sind, also dasselbe Element der Faktorgruppe liefern, wenn sie sich nur um eine Translation unterscheiden. Die Punktgruppe S(G)

4 136 Diskrete Geometrie (Version 3) 20. November 2011 c Rudolf Scharlau mißt also, was von der gesamten Bewegungsgruppe G übrigbleibt, wenn man die Translationen vernachlässigt (genauer: als trivial ansieht). Wenn G keine Translationen enthält, ist G isomorph zu seiner Punktgruppe (aber in der Regel nicht mit ihr identisch). Wir wollen nun die schon mehrfach angesprochene einfachsten Klasse von unendlichen Bewegungsgruppen systematisch behandeln Definition Es sei dim E =2.EineBewegungsgruppeG Iso(E) heißt Friesgruppe oder Bandornamentgruppe, wennihretranslationsgruppet(g) zyklisch ist. Wir fassen zusammen, was wir nach Satz über die Erzeugung dieser zyklischen Gruppe wissen. Bezeichnung: Es sei dim E = 2 und G Iso(E) einefriesgruppe.mitv G bezeichnen wir ein Element v kleinster Länge = 0inE mit τ v G. Setzekurz := τ vg.dannistv G bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt, und es gilt T(G) =, Γ(G) =Zv G. Lemma Als Punktgruppe einer Friesgruppe kommt nur eine der vier Gruppen (genauer: Äquivalenzklassen) C 1, C 2, D 1 oder D 2 in Frage. Beweis: Für das eben eingeführte Element bzw. v G und ein beliebiges Element ϕ v,l G gilt ϕ v,l ϕ 1 v,l = τ L(v g) G, also L(v G ) Γ(G). Weil L eine Isometrie ist, muß L(v G )=±v G sein. Damit bleiben für L die folgenden Möglichkeiten: L =id V L = ι 0 := id V L = σ 0 := σ v G L = σ0 := σ RvG die Identität die Inversion die Spiegelung an vg die Spiegelung an Rv G Man beachte, dass die Spiegelungen σ 0 und σ0 nur von G, abernichtvon speziellen Elementen von G oder weiteren Auswahlen abhängen. Wir können also die systematische Bezeichnung σ 0 =: σ 0,G, σ0 =: σ0,g benutzen, ähnlich wie oben. Die Punktgruppe S(G) ist also eine Untergruppe der Diedergruppe σ 0,σ 0 = {id,ι 0,σ 0,σ 0} = D 2. Als abstrakte Gruppe ist diese isomorph zu Z 2 Z 2.Diese Gruppe hat offensichtlich 3 Untergruppen der Ordnung 2 und insgesamt 5 Untergruppen:

5 Diskrete Geometrie (Version 3) 20. November 2011 c Rudolf Scharlau 137 S(G) ={id} = C 1 S(G) =ι 0 = C 2 S(G) =σ 0 = D 1 S(G) =σ 0 = D 1 S(G) =σ 0,σ0 = D 2 Die beiden hier mit D 1 und D1 bezeichneten Gruppen sind zueinander ähnlich, nämlich beide Diedergruppen der Ordnung 2, die von einer Spiegelung erzeugt werden. Bezüglich der Ähnlichkeit von Friesgruppen müssen sie aber voneinander unterschieden werden (siehe auch den unten folgenden abschließenden Satz). Wir kommen nun zur Einteilung der Friesgruppen in Äquivalenzklassen, genauer zur Bestimmung aller Klassen von Symmetriegruppen bezüglich Ähnlichkeit. Hierzu werden wir eine Fallunterscheidung mit insgesamt 7 Fällen aufstellen, die sich in erster Linie auf die Punktgruppen S = S(G) bezieht. Wir werden die Unterscheidung so einrichten, daß Gruppen, die zu verschiedenen Fällen gehören, nicht zueiander ähnlich sind. Dieses geschieht in dem folgenden Satz 2.5.5, der auch ein explizite Beschreibung der jeweiligen Gruppe (all ihrer Elemente) enthält. Im ergänzenden Satz wird dann festgehalten, daß je zwei Gruppen, die zum selben Fall gehören, ähnlich zueinander sind. Es ergeben sich somit 7 Ähnlichkeitsklassen von Friesgruppen. Satz (Beschreibung der Friesgruppen) Es sei G Iso(E) eine Friesgruppe in der euklidischen Ebene mit Punktgruppe S(G). Dann liegt bis auf Konjugation mit einer passenden Translation einer der folgenden Fälle vor: F1 S(G) =C 1, G =T(G) besteht nur aus Translationen und ist als abstrakte Gruppe isomorph zu Z. F2 S(G) = C 2, G = ι 0, = ι 0,ι vg/2 besteht aus den Translationen in sowie allen Inversionen ι p an den Punkten p Z(v G /2). Als abstrakte Gruppe ist G isomorph zur unendlichen Diedergruppe Di. F3 S(G) =D 1, G = σ 0, = σ 0,σ vg/2 besteht aus den Translationen in sowie allen Spiegelungen σ p an den Geraden durch die Punkte p Z(v G /2) und senkrecht zur Friesrichtung. G ist ähnlich zur unendlichen Diedergruppe Di. F4.1 S(G) = D 1, G = σ 0, = σ 0 besteht aus den Translationen in sowie allen Schubspiegelungen in Friesrichtung mit den gleichen Verschiebungsvektoren. G ist als abstrakte Gruppe isomorph zu Z 2 Z. F4.2 S(G) =D 1, G = σ 0 τ vg /2 besteht aus den Translationen in sowie allen Schubspiegelungen in Friesrichtung mit Verschiebungsvektor in der Menge v G /2+Zv G. Als abstrakte Gruppe ist G isomorph zu Z.

6 138 Diskrete Geometrie (Version 3) 20. November 2011 c Rudolf Scharlau F5.1 S(G) =D 2, G = σ 0,σ 0, = σ 0,σ 0,σ vg/2 besteht aus allen unter F2, F3, F4.1 beschriebenen Abbildungen. Als abstrakte Gruppe ist G isomorph zu Z 2 Di. F5.2 S(G) =D 2, G = ι 0,σ 0 τ vg /2 besteht aus allen unter F2, F3, F4.2 beschriebenen Abbildungen, wobei die Spiegelachsen aus F3 hier durch die Punkte in v G /4+Z(v G /2) gehen. Als abstrakte Gruppe ist G isomorph zur unendlichen Diedergruppe Di. Beweisskizze: Wir gehen aus von Lemma und der in seinem Beweis gegebenen Unterscheidung von fünf Fällen für die Punktgruppe S(G). Jedes Element S S(G) hat nach Definition ein Urbild ϕ = ϕ u,s in G selbst. Das Urbild einer Drehung, hier der Punktspiegelung ι 0 ist selbst eine Drehung; nach Konjugation mit einer geeigneten Translation ist einer der Drehpunkte der Nullpunkt, so daß dann ι 0 G ist. Das Urbild einer Spiegelung kann eine Spiegelung oder eine Gleitspiegelung sein. Für die obige Spiegelung σ 0 (Spiegelachse senkrecht zur Friesrichtung) entfällt die Gleitspiegelung, sonst gäbe es auch Translationen senkrecht zur Friesrichtung. Wie eben kann man annehmen, daß eine der Spiegelachsen den Nullpunkt enthält, m.a.w. σ 0 G. FallsdieSpiegelungσ0 in S(G) liegt, sind zwei Fälle zu unterscheiden. Falls eine Spiegelung als Urbild existiert, so kann man wie eben einrichtem, daß sogar σ0 G ist. Wir kommen dann auf die Fälle F4.1 oder F5.1. Es kann dann nur eine solche Spiegelgerade parallel zur Friesrichtung geben, denn mehrere (dann zueiander parallele) solche Spiegelungen würden auch eine Translation senkrecht zur Friesrichtung liefern. Falls σ0 nur Schubspiegelungen als Urbilder besitzt, muß man sich noch überlegen, daß die Gesamtheit dieser Schubspiegelungen so aussieht wie in den Fällen F4.2 bzw. F5.2 beschrieben. Friesgruppe F 1 O Friesgruppe F 2

7 Diskrete Geometrie (Version 3) 20. November 2011 c Rudolf Scharlau 139 g Friesgruppe F 3 f Friesgruppe F 4,1 τ 0 f Friesgruppe F 4,2 g O f Friesgruppe F 5,1

8 140 Diskrete Geometrie (Version 3) 20. November 2011 c Rudolf Scharlau g O Friesgruppe F 5,2 Vor der Formulierung des nächsten Satzes erinnern wir daran, daß zwei Bewegungsgruppen zueiander ähnlich heißen, wenn sie mittels einer Affinität konjugiert sind, d.h. konjugiert in der affinen Gruppe AGL(E). Satz (Klassifikation der Friesgruppen) Zwei Friesgruppen, die zum gleichen Fall gemäß Satz gehören, sind zueinander ähnlich. Es gibt genau 7 Ähnlichkeitsklassen (affine Konjugiertenklassen) von Friesgruppen. Beweis: Die wesentliche Arbeit ist bereits getan. Wir müssen die Überlegungen zu Lemma und dem vorigen Satz nur noch ein klein wenig abrunden. Es seien also G Iso(E) undh Iso(E) diebeidenfriesgruppen,v G und v H erzeugende Translationsvektoren und die Spiegelungen σ 0,G,σ 0,H,σ0,G,σ 0,H wie früher. Indem wir G und H jeweils mit einer Translation konjugieren, können wir annehmen, daß sie die in Satz angegebene Form haben (Nullpunkt auf Spiegelachsen usw.). Die gesuchte Affinität, die die so modifizierten Gruppen ineinander konjugiert, wird sogar eine lineare Abbildung L sein. Sie wird wie folgt konstruiert: wähle zunächst eine Drehung R, diev G auf ein Vielfaches von v H abbildet. Setze dann L := ρr, wobeiderstreckungsfaktorρ so gesetzt wird, daß L(v G )=v H ist. Zunächst einmal werden dann die erzeugenden Translationen ineinander konjugiert: L L 1 = Lτ vg L 1 = τ L(vG ) = τ vh = τ H.DaLauch zu v G senkrechte Vektoren auf zu v H senkrechte Vektoren abbildet, gilt entsprechendes für die Spiegelungen: Lσ 0,G L 1 = σ 0,H,Lσ0,G L 1 = σ0,h. Nun sieht man unmittelbar, daß in jedem der 7 Fälle von Satz die angegebenen Erzeuger für G in die entsprechenden von H konjugiert werden. Andererseits überlegt man sich leicht, daß Gruppen, die nicht zum gleichen Fall gehören, nicht konjugiert sein können (benutze die Punktgruppen und ggf. die Spiegelungen bzw. Schubspiegelungen zu σ0).