DGLn v = dx/dt m*dv/dt = - D*x - rv*v - rgl*sign(v) - rt * v * abs(v) + af* sin(2*pi*f*t)

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1 C:\ro\HOMEPAGE\welcome\fedmass\FedMassSchwing.doc, S,6 Download: Feder-Masse-System, berechnet mit Simulink, drei Arten Reibung: viskos, Gleitreibung, turbulent, Fremderregung mit Sinuskraft Fel Masse m, Position, Geschwindigkeit v = d/dt, Feder D, drei Arten Reibung: viskose Reibungskraft - rv*v, Gleitreibungskraft - rgl*sign(v), turbulente Reibungskraft - rt*v*abs(v) Eterne Erregungskraft Fel = af*sin(2*pi*f*t) m D r DGLn v = d/dt m*dv/dt = - D* - rv*v - rgl*sign(v) - rt * v * abs(v) + af* sin(2*pi*f*t) Hinweis: Dies einfache, alltägliche Beispiel der Schwingungslehre wird in keinem Buch der Mathematik für Ingenieure behandelt, auch in keinem Physikbuch und in keinem Buch der Technischen Mechanik. Warum wird das nirgends behandelt? Weil die DGLn wegen der Gleitreibung und insbesondere wegen der turbulenten Reibung nichtlinear sind. Folglich gibt es keine analytische Lösung der DGL. Diese DGLn können nur mit numerischer Mathematik gelöst werden. Hier mit Simulink. Vgl. Auch Man beachte anhand der Ergebnisse, dass die verschiedenen Reibungs- Arten völlig verschiedene Verhaltensweisen des Systems bewirken. Schwing.mdl Aufruf mit rschwing3 t Fet af*sin(2*pi*f*u) v /m /s /s rv*u + rgl * sgn(u) + rt*u * abs(u) D % Datei rschwing3.m

2 C:\ro\HOMEPAGE\welcome\fedmass\FedMassSchwing.doc, S 2,6 %clear;m=;d=;rv=.3;rgl=.3;rt=;tma=2;af=;f=.592*.;st=;vst=;bild=5;rschwing3; %clear;m=;d=;rv=;rgl=.3;rt=.;tma=2;af=;f=.592*.;st=;vst=;bild=6;rschwing3; %clear;m=;d=;rv=.3;rgl=;rt=.;tma=2;af=;f=.592*.;st=;vst=;bild=7;rschwing3; %clear;m=;d=;rv=;rgl=;rt=;tma=2;af=.;f=.592*.2;st=;vst=;bild=9;rschwing3; dtma=.; format compact; % vermeidet unnötige Leerzeichen if bild == schwing; end; % Schaltung auf Bildschirm sim('schwing'); figure(bild); clf reset; plot(t,, t,fet,'m'); legend('','fet'); grid on; label('sec'); Aufruf-Methode: Zuerst aus der Matlab-Datei eine der Vorschlags-Zeilen mit der Maus kopieren und dann in die Matlab-Kommando-Ebene rechts vom Zeichen >> eingefügen. Dann von Hand die Zahlenwerte der Parameter dieser Zeile ändern und die Eingabetaste drücken. Dann mit der Maus die gerade benutzte Aufrufzeile kopieren und als Tet an den oberen Rand des entstandenen Bildes einfügen. Anschließend die freie Schwingung, also ohne Fremderregung, Startwerte vorgeben (hier immer st=, vst=). Variation der Reibungs-Parameter rv, rgl und rt clear;m=;d=;rv=.2;rgl=;rt=;tma=2;af=;f=.592*.;st=;vst=;bild=;rschwing3;».5 Fet -.5 Start st =. vst=, keine eterne Kraft (af=) Nur viskose Reibung ( rv=.2), drum Amplitudenabnahme wie Eponentialfunktion ep( -t/tau ) sec clear;m=;d=;rv=;rgl=.;rt=;tma=2;af=;f=.592*.;st=;vst=;bild=2;rschwing3;.5 Fet -.5 Nur Gleitreibung ( rgl=. ), drum lineare Abanehem der Amplituden sec

3 C:\ro\HOMEPAGE\welcome\fedmass\FedMassSchwing.doc, S 3,6 clear;m=;d=;rv=;rgl=;rt=.;tma=2;af=;f=.592*.;st=;vst=;bild=3;rschwing3;.5 Fet -.5 Nur turbulente Reibung ( rt=. ), drum anfangs starke Dämpfung, später kaum noch Dämpfung sec clear;m=;d=;rv=.3;rgl=.3;rt=;tma=2;af=;f=.592*.;st=;vst=;bild=5;rschwing3;.5 Fet -.5 Gleichzeitig viskose Reibung ( rv=.3 ) und Gleitreibung (rgl=.3) sec clear;m=;d=;rv=;rgl=.3;rt=.;tma=2;af=;f=.592*.;st=;vst=;bild=6;rschwing3;.5 Fet -.5 Gleichzeitig turbulente Reibung ( rt=. ) und Gleitreibung ( rgl =.3 ) sec clear;m=;d=;rv=.3;rgl=;rt=.;tma=2;af=;f=.592*.;st=;vst=;bild=7;rschwing3;.5 Fet -.5 Gleichzeitig viskose Reibung ( rv=.3 ) und turbulente Reibung ( rt=. ) sec

4 C:\ro\HOMEPAGE\welcome\fedmass\FedMassSchwing.doc, S 4,6 Anschließend Fremderregung, aber ohne Reibung. Variation der Erregerfrequenz in der Nähe der Eigenfrequenz. Man beachte die Phasenlage von und Fet clear;m=;d=;rv=;rgl=;rt=;tma=2;af=.;f=.592*.9;st=;vst=;bild=8;rschwing3; Fet Ohne Reibung, Startwerte = Mit Fremderregung (af=., f=.592*.9 ), etwa phasengleich mit Fet, Schwebungen sec clear;m=;d=;rv=;rgl=;rt=;tma=2;af=.;f=.592*.2;st=;vst=;bild=9;rschwing3;.5 Fet Ohne Reibung, Fremderregung mit Frequenz höher als Eigenfrequenz ( f=.592*.2 ), drum etwa gegenphasig zu Fet, Schwebungen sec Anschließend Fremderregung bei viskoser Reibung, Variation der Amplitude af der Erregerkraft Man beachte das völlig andere Verhalten im Vergleich zur Gleitreibung und zur turbulenten Reibung! Vgl. den Tet in den Bildern! 5 clear;m=;d=;rv=.2;rgl=;rt=;tma=2;af=;f=.592*.2;st=;vst=;bild=3;rschwing3; Fet Viskose Reibung rv =.2. Erregeramplitude riesengross: af=, dennoch völlig "ähnliches" Verhalten wie bei winziger Kraftamplitgude (af=.) Grund: das ist ein "lineares System" sec

5 C:\ro\HOMEPAGE\welcome\fedmass\FedMassSchwing.doc, S 5,6.5 clear;m=;d=;rv=.2;rgl=;rt=;tma=2;af=.;f=.592*.2;st=;vst=;bild=5;rschwing3 Fet viskose Reibung rv=.2. Erregeramplitude sehr klein : af=., dennoch völlig "ähnliches" Verhalten wie bei Amplitde af =. Grund: das ist ein "lineares System" sec Anschließend Fremderregung bei Gleitreibung, Variation der Amplitude af der Erregerkraft Man beachte das völlig andere Verhalten im Vergleich zur viskosen Reibung und zur turbulenten Reibung! Vgl. den Tet in den Bildern! 5 clear;m=;d=;rv=;rgl=.;rt=;tma=2;af=;f=.592*.2;st=;vst=;bild=7;rschwing3; Fet Gleitreibung rgl=., Kraftamplitude af= folglich wenig erkennbare Dämpfung der Schwebung sec clear;m=;d=;rv=;rgl=.;rt=;tma=2;af=.;f=.592*.2;st=;vst=;bild=8;rschwing3; Fet Gleitreibung rgl=.9, Kraftamplitude kleiner (af=. statt ) Folglich erkennbare Dämpfung der Schwebung sec

6 C:\ro\HOMEPAGE\welcome\fedmass\FedMassSchwing.doc, S 6,6 clear;m=;d=;rv=;rgl=.;rt=;tma=2;af=.2;f=.592*.2;st=;vst=;bild=9;rschwing3;.4.2 Fet -.2 Gleitreibung rgl=., Kraftamplitude noch kleiner (af=.2 statt.) folglich starke Dämpfung der Schwebung sec Anschließend Fremderregung bei turbulenter Reibung, Variation der Amplitude af der Erregerkraft Man beachte das völlig andere Verhalten im Vergleich zur viskosen Reibung und zur Gleitreibung! Vgl. den Tet in den Bildern! 3 clear;m=;d=;rv=;rgl=;rt=.;tma=2;af=;f=.592*.2;st=;vst=;bild=22;rschwing3; 2 Fet - -2 Turbulente Reibung rt=., aber Kraftamplitude gross (af=) Folglich starke Dämpfung der Schwebung sec clear;m=;d=;rv=;rgl=;rt=.;tma=2;af=.;f=.592*.2;st=;vst=;bild=2;rschwing3;.5 Fet Turbulente Reibung rt=., Kraftamplitude af=.(also klein), folglich wenig Dämpfung der Schwebung sec