FAKULTÄT FÜR PHYSIK Praktikum Klassische Physik. Prak.: P1 Semester: WS15/16. Fehlerrech.: Nein. Versuch: Kreisel (P1-71,74)

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1 FAKULTÄT FÜR PHYSIK Praktikum Klassische Physik Prak.: P1 Semester: WS15/16 Versuch: Kreisel (P1-71,74) Fehlerrech.: Nein Durchgeführt am: Wird vom Betreuer ausgefüllt. 1. Abgabe am: Rückgabe am: Begründung: 2. Abgabe am: Ergebnis: + / 0 / - Fehlerrechnung: Ja / Nein Datum: Handzeichen: Bemerkungen: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung iii 2 Drehimpulserhaltung iii 3 Freie Achsen iii 4 Kreiseldämpfung iv 5 Bestimmung der Trägheitheitsmomente v 5.1 Kräftfreier Kreisel/Nutation v 5.2 Einfluss äußerer Drehmomente/Präzession vi 5.3 Hauptträgheitsmomente vii 6 Kreisel im beschleunigten Bezugssystem (Kreiselkompass) viii

3 1 Einleitung In dieser Versuchsreihe sollen anhand verschiedener Kreiselaufbauten unter anderem die Erhaltung des Drehimpulses, das Verhalten bei Nutation und Präzession, sowie die anwendungsorientierte Verwendung eines Kreisels als Kompass dargestellt und nachvollzogen werden. 2 Drehimpulserhaltung Ziel des ersten Versuchsteils ist die Demonstration der Drehimpulserhaltung. Zur Verfügung stehen dabei einen Fahrradkreisel und einen Drehschemel. Ein Experimentator setzt sich auf den Drehschemel und nimmt den Fahrradkreisel in die Hand. Diese Anordnung ist nur um die z-achse drehbar. Folgende Versuche werden durchgeführt: Zu Beginn wird der Fahrradkreisel als Gewicht verwendet und von dem sich drehenden Experimentator im Abstand zur Drehachse verschoben. Zu erwarten ist eine Erhöhung der Drehfrequenz des Experimentators bei Annäherung der Masse an die Drehachse auf Grund des dadurch verringerten Trägheitsmoments. Analog soll sich die Drehfrequenz verringern, wenn sich der Abstand der Masse zur Drehachse vergrößert. Diese Beobachtung kann in diesem Fall nicht gemacht werden, da die Masse des Fahrradkreisels zu gering, beziehungsweise der Reibungskoeffizient des Drehschemels zu groß ist. In der zweiten Versuchsvariante steht der Drehschemel zu Beginn still und der Experimentator beschleunigt den Fahrradkreisel. Die Fahrradachse steht dabei senkrecht. Auf Grund der Drehimpulserhaltung L ges = L FK + L DS wird eine Rotation des Experimentators in entgegengesetzte Richtung zum Fahrradkreisel erwartet. In der Versuchsdurchführung wird diese Vermutung bestätigt. Ein Umdrehen des Fahrradkreisels ruft hierbei eine Richtungsänderung der Drehschemelrotation hervor, da sich durch das Umdrehen des Rades auch dessen Drehrichtung aus Sicht des Betrachters ändert. Hält der Experimentator die Radachse allerdings waagerecht, wird keine Rotation der Experimentators hervorgerufen, da sich der Drehschemel nur um die z-achse drehen lässt und somit keinen Beitrag für den betrachteten Drehimpuls liefert. Die letzte Variante besteht darin, den Fahrradkreisel erst in Rotation zu versetzten und anschließend dem Experimentator zu übergeben. Wird der Kreisel mit waagerechter Achse übergeben wird, analog zur vorhergehenden Versuchsvariante, keine Rotation des Drehschemels erwartet. Dies kann durch die Versuchsbeobachtung bestätigt werden. Dreht der Experimentator den Kreisel, sodass dessen Achse senkrecht steht, so wird wieder eine dazu entgegengesetzte Rotation des Drehschemels erwartet. In der Durchführung pendelt der Drehschemel allerdings abwechselnd in beide Richtungen. Dies ist durch eine nicht perfekte Zentrierung im Aufbau des Drehschemels zu begründen. Da sich dieser zusätzlich versucht nach seinem Schwerpunkt auszurichten ist eine Überlagerung beider Effekte sichtbar. 3 Freie Achsen Rotationsachsen, welche keine extra Lagerung benötigen, werden freie Achsen genannt. Bei Rotation um diese Achsen zeigen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit in die gleiche Richtung. Nur die freien Achsen mit dem größten und kleinsten Hauptträgheitsmoment sind stabil, die dritte Achse ist somit instabil. Bei der instabilen Achse wird Nutation erwartet, sowie die Änderung der Rotationachse zu einer der stabilen Hauptachsen. Um die theoretischen Überlegungen zu überprüfen, werden in diesem Versuchsteil zwei verschieden schwere Quader an jeweils allen drei Hauptdrehachsen aufgehängt und in Rotation versetzt. Hierbei wird die freie Achse mit dem größten Hauptträgheitsmoment, also mit der kürzesten Achse durch den Schwerpunkt, mit a bezeichnet, die freie Achse mit dem kleinsten Hauptträgheitsmoment, also mit der längsten Achse durch den Schwerpunkt, mit b und die dritte freie Achse mit c bezeichnet.

4 Die Versuchsbeobachtung für den leichteren Quader zeigt, dass die Rotation um a, wie erwartet, stabil ist, sich jedoch bei der Rotation um b und c Instabilität zeigt. Für c ist dieses Verhalten erwartungsgemäß. Bei höheren Frequenzen beginnt sich c um die stabilste Achse a des Quaders zu drehen. Die stabilste Achse ist diejenige mit dem größten Hauptträgheitsmoment, da die Rotationsenergie für diese Achse laut der Formel E rot = L2 2J minimal wird. Das zur Rotation um c analoge Verhalten von der Rotation um Achse b ist mit zu großen Störungen durch die Aufhängung an einem leicht verbogenen, wackelnden Draht zu begründen. Für den schwereren Quader kann bei der Rotation um a wieder ein stabiles Verhalten beobachtet werden und auch für die Drehung um b ergibt sich auf Grund der größeren Masse ein näherungsweise stabiles Verhalten. Die Rotation um die Achse c weist bei kleinen Frequenzen ein stabiles Verhalten auf, bis die Rotationsenergie gegenüber der Gewichtskraft groß genug ist und sich somit die Rotation für zunehmende Frequenzen als instabil erweist. Erhalten wird eine Rotation um die stabile Achse a. Insgesamt lassen sich die theoretischen Überlegungen experimentell nachweisen und es wurde gezeigt, dass die freie Achse a mit dem größten Hauptträgheitsmoment die stabilste ist. 4 Kreiseldämpfung In diesem Versuchsteil wird das Abklingverhalten eines rotierenden Kreisels untersucht. Es wird vermutet, dass der Kreisel in seiner Aufhängung durch Stokesche Reibung gebremst wird. Daraus folgt für seine Bewegungsgleichung: Lösen dieser DGL mit Exponentialansatz liefert: L = αl = α Θ L (1) ω(t) = ω 0 e α Θ t = ω 0 e βt (2) Überprüft wird dieser Zusammenhang durch eine Messung mit einem abgeplatteten Kardankreisel. Dieser wird dazu auf 35 Hz beschleunigt. Bis er zum Stillstand kommt werden alle 30 Sekunden mittels eines Photosensors und angeschlossenen Frequenzzählern die Drehfrequenz gemessen. In Abbildung 1 wurden die gemessenen Drehfrequenzen über die Zeit aufgetragen. 40 Messwerte Winkelgeschwindigkeit [1/s] Zeit t [min] Abbildung 1: Dämpfung eines Kardankreisels. Der Verlauf passt zur Erwartung einer exponentiellen Funktion mit negativem Exponenten. Um diese Vermutung zu bestätigen, werden die gemessenen Drehfrequenzen logarithmisch

5 4 3.5 Messwerte f(x) 3 log(winkelgeschwindigkeit [1/s]) Zeit t [min] Abbildung 2: Dämpfung eines Kardankreisels, logarithmisch aufgetragen. Der Fit ergibt f(x) = 0.081x über der Zeit aufgetragen. Ist der Verlauf exponentiell, so ist eine Gerade zu erwarten. Die Werte werden deshalb in Abbildung 2 über eine Gerade gefittet. Die negative Steigung der Fitgeraden zeigt, dass die Drehfrequenz tatsächlich exponentiell mit der Zeit abfällt. Die Abbildung 2 zeigt außerdem, dass bis zum Zeitpunkt t = 12s, bis zu dem die Messwerte im Fit berücksichtig wurden, der Verlauf einer Geraden entspricht (Standardabweichung der Steigung: 0.9%). Die Abweichungen für t > 12s lassen sich dadurch erklären, dass bei niedrigen Drehfrequenzen die Reibung der Aufhängung relevant wird und diese nicht stokescher Reibung entspricht. Dann ist der zuvor hergeleitete Zusammenhang nicht mehr gegeben. 5 Bestimmung der Trägheitheitsmomente Die Trägheitsmomente eines Kreisels lassen sich aus Nutations- und Präzessionsfrequenz berechnen. Diese Frequenzen werden über Messungen unter unterschiedlichen Bedingungen ermittelt. 5.1 Kräftfreier Kreisel/Nutation Unter Nutation versteht man die kegelförmige Bewegung der Figurenachse um die Drehachse. Sie tritt auf wenn bei einem kräftfreien Kreisel die Drehachse nicht parallel zur Hauptträgheitsachse mit den größten oder kleinsten Trägheitsmoment liegt. Für den Versuch wird wieder ein abgeplatteter Kardankreisel auf einem Drehteller verwendet, sodass möglichst keine äußeren Drehmomente auf ihn einwirken. Die Nutation wird durch wiederholtes Anschlagen des inneren Kardanrahmens angeregt. Die Drehfrequenz und die Nutationsfrequenz wird wieder über Photosensoren und Frequenzzähler gemessen. Aufgrund der Position des Photosensors für die Nutationsmessung wird das Doppelte der eigentlichen Frequenz gemessen. Deshalb müssen die erhaltenen Messwerte durch zwei geteilt werden. Der Kreisel wird auf 33 Hz beschleunigt, gemessen wird einmal nur mit dem Kreisel und einmal mit zusätzlichem Gewicht am äußeren Kardanrahmen. Anschließend werden die Messwerte der Nutationsfrequenz über die der Drehfrequenz aufgetragen. Aus der Vorbereitunghilfe ist bekannt, dass ω n = C A B ω =: γω (3) Deshalb wird ein linearer Zusammenhang der Messwerte in Abbildung 3 erwartet.

6 18 16 Messreihe ohne Zusatzgewichte Messreihe mit Zusatzgewichten f(x) g(x) 14 Nutationsfrequenz [Hz] Kreisfrequenz [Hz] Abbildung 3: Messung der Nutationsfrequenz, aufgetragen über die Drehfrequenz. Lineare Fits der Messwerte ergeben: f(x) = x und g(x) = x Die Erwartung eines linearen Zusammenhangs wird bestätigt (Abweichung von der Geradensteigung für f(x) und g(x) beträgt 0.2% bzw 0.5%). Wird nochmals Gleichung (3) betrachtet, so gilt für die durch die Fits bestimmten Koeffizienten γ 1,2 : γ 1 = γ 3 = (4) Der Wert der Trägheitsmomente A, B und C ist nicht bekannt, ihre Zusammensetzung aus den verschiedenen Trägheitsmomenten des Kreisels jedoch schon: A = A Rotor + A innen + A aussen B = B Rotor + B innen C = C Rotor Daher kann durch die Ergänzung einer zusätzlichen Masse auf dem äußeren Kardanrahmen nur das Trägheitsmoment A beeinflusst werden: A 2 = A 1 + A. Aus den gegebenen Werten des Kreisels und der zylindrischen Zusatzgewichte lässt sich A aus den gegebenen Werten m = 1kg und r = 0.149m berechnen: 5.2 Einfluss äußerer Drehmomente/Präzession A = 2mr 2 = 0.044kgm 2 (5) Unter Präzession wird die Richtungsänderung der Drehachse eines Kreisels auf den ein äußeres Drehmoment wirkt verstanden. Um dieses äußeres Drehmoment zu erzeugen, wird ein Gewicht in Form einer Stange einseitig am inneren Kardanrahmen befestigt. Die resultierenden Nutationen werden per Hand weggedämpft. Gemessen werden wieder die Drehfrequenz und die Präzessionsdauer, einmal nur mit der Stange und einmal mit einem zusätzlichen Gewicht. Die Präzessionsdauer wird dabei mit einer Stoppuhr gemessen, die Drehfrequenz mit den Photosensoren. Nach der Herleitung der Vorbereitungshilfe folgt: ω P = rmg C 1 ω Demnach wird auch hier ein linearer Zusammenhang erwartet, wenn 2π T präz über die Drehfrequenz aufgetragen wird. Der lineare Zusammenhang ist auch hier als gegeben zu betrachten, da die Standardabweichungen der Geradensteigungen 3.9% und 3.1% betragen. (6)

7 Messwerte ohne Gewicht f(x) Messwerte mit Gewicht g(x) 0.4 Praezessionsfrequenz [Hz] Drehfrequenz [Hz] Abbildung 4: Messung der Präzessionsfrequenz, aufgetragen über der Drehfrequenz. Lineare Fits ergeben: f(x) = x und g(x) = x Hauptträgheitsmomente Aus den Ergebnissen der vorherigen beiden Versuchsteile lassen sich nun die Hauptträgheitsmomente des Kreisels berechnen. C ergibt sich aus der Steigung des Fits bei der Messung der Präzessionsfrequenz: Die C rmg Steigung der Fitgerade gibt γ 3,1 = = 0.011, wobei r der Abstand des Schwerpunkts der Stange zum Schwerpunkt des Kreisels und m die Masse der Stange ist. Sie sind gegeben mit r = 0.273m und m = 0.330kg. Es folgt für C 1 : C 1 = r 1 m 1 gγ 3,1 = 9.72gm 2. (7) Der Schwerpunkt des zusätzlichen Gewichts hat einen Abstand von r g = 0.146m von dem des Kreisels und hat eine Masse von 0.375kg. Daraus ergibt sich der neue Schwerpunkt bei r 2 = 0.145m für die Masse m 2 = 0.705kg. Die Fitgerade gibt hier γ 3,2 = und damit C 2 = r 2 m 2 gγ 3,2 = 7.32gm 2. (8) Die beiden Ergebnisse stimmen im Rahmen der Messgenauigkeit dieses Versuches überein. C wird aus dem Mittelwert von C 1 und C 2 bestimmt: C = 8.52gm 2 (9) Da dieses C ein Trägheitsmoment des Rotors ist, kann hieraus die Masse des Rotors abgeschätzt werden. Dieser ist zylinderförmig und homogen. Damit gilt: Mit gemessenem Radius R = 0.075m folgt: C = 1 2 M RR 2. (10) M R = 2C = 3.03kg (11) R2 Zudem wurde die Höhe des Zylinders (h = 0.04m) gemessen und daraus das Volumen V = m 2 berechnet, was eine Dichte des Rotors von ρ = kg ergibt. Diese m 3 Dichte entspricht näherungsweise der des Elementes Titan mit ρ Ti = 4.50 g. Titan cm 3 ist ein sehr leichtes Metall mit einer hohen Festigkeit, weshalb es sehr wertvoll ist. Für den Kreisel wird eine Dichte eines einfacheren und günstigeren Metalls, wie Eisen mit

8 ρ Fe = 7.87 g cm 3, erwartet. Die große Abweichung zu der erwarteten Dichte lässt Rückschlüsse auf die Genauigkeit der Messungen zu. Reibungsverluste und Messungenauigkeiten müssten folglich für ein repräsentables Ergebnis genauer untersucht und in die Rechnungen mit einbezogen werden. Aus der Messung der Nutation lassen sich die verbliebenen Trägheitsmomente A und B berechnen. Die erste Messung gibt: Sowie die Messung mit Gewicht: f n1 f 1 = C 2 AB = γ 1 = (12) f n2 f 2 = Umstellen dieser Formeln nach A und B liefert: A = B = C2 A C (A + A)B = (13) ( γ 1 ( 1 γ 2 2 A γ 2 ) 2 1 = 19.84gm2 (14) 1 ) γ1 2 = 13.85gm 2 (15) Die Ergebnisse entsprechen der Erwartung, dass A > B > C, da sich A aus den Trägheitsmomenten des inneren und äußeren Kardans, B sich nur aus denen des inneren Kardans und C sich nur aus dem des Rotors zusammensetzt. 6 Kreisel im beschleunigten Bezugssystem (Kreiselkompass) Schließlich soll noch eine anwendungsbezogene Verwendung des Kreisels behandelt werden, der Kreiselkompass. Dazu wird der Kreisel in der Horizontalen festgehalten und auf einer Drehplatte aufgebaut, da die Erdrotation in der Praxis eine weitaus höhere Drehfrequenz des Kreisels erfordert, als mit diesem Versuchsaufbau möglich ist. Wird nun die Erdrotation durch Rotation der Drehplatte simuliert erhält der Kreisel ein Drehmoment gemäß der Formel: M = L ω E (16) Basierend auf der Formel wird eine Ausrichtung des Kreisels Richtung Norden erwartet. An den Polen kann keine Ausrichtung des Kreisels stattfinden, da er horizontal gebunden ist. Zunächst wird der Kreisel auf der Drehplatte, als stände er am Nordpol, horizontal in Rotation versetzt. Eine Ausrichtung ist nicht zu beobachten. Anschließend wird der Kreisel um 30 zur Drehplatte gekippt und erneut in Rotation gebracht. Ist die Drehfrequenz hoch genug pendelt sich der Kompass immer mehr ein, bis er in Richtung Norden ausgerichtet ist. Je höher die Drehfrequenz, desto schneller läuft dieser Prozess ab. Experimentell bestätigten sich also die beide anfänglich gestellten Überlegungen.