ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK III-IV Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern

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1 ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK III-IV Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern WS 12/13, Aufgabe: (TM III)

2 Um vom Boden aufzustehen, rutscht ein Mensch mit konstanter Geschwindigkeitv 0 mit seinem Oberkörper CD senkrecht nach oben an der glatten Wand entlang. Der Oberkörper CD ist durch das Hüftgelenk im Punkt D mit dem Oberschenkel DE verbunden. An den Oberschenkel schließt verbunden durch das Kniegelenk im Punkt E der Unterschenkel EF an. Während der Bewegung sind die Füße im PunktF fixiert (siehe Skizze). a) Zeichnen Sie den Momentanpol Π DE des Oberschenkel DE in die obige Zeichnung für den momentanen Bewegungszustand ein. Lösungen die nicht auf Kreuzungen der Gitterlinien liegen können nicht gewertet werden. b) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω DE des Oberschenkels DE, den Geschwindigkeitsvektor v E im Kniegelenk (PunktE) und die Winkelgeschwindigkeitω EF des UnterschenkelsEF. c) Zeichnen Sie die Richtungen der Winkelgeschwindigkeitenω DE undω EF sowie die Richtung des Geschwindigkeitsvektors v E in die obige Skizze ein. Während des Aufstehens hält sich der Mensch im Punkt A mit seiner Hand fest. Dabei ist der Unterarm BA im Punkt B durch ein Gelenk mit dem Oberarm CB verbunden. Der Oberarm schließt durch das Schultergelenk im PunktC an den OberkörperCD an. d) Zeichnen Sie den Momentanpol Π CB des Oberarms CB in die obige Zeichnung für den momentanen Bewegungszustand ein. Lösungen die nicht auf Kreuzungen der Gitterlinien liegen können nicht gewertet werden. e) Berechnen Sie die Zeit t nach welcher der Arm CBA komplett durchgestreckt ist, so dass die Hand in PunktAgelöst werden muss. Gegeben: a, v 0

3 a) b) ω DE = v 0 3a v 03 v E = v 0 30 ω EF = v 0 9a c+d) siehe Skizze in a) e) t = 4a v 0

4 2. Aufgabe: (TM III) x 4m 2R g R masselos m 2R r P S w α S z Aus einem homogenen Zylinder (Radius 2R, Masse 4m) werden 4 Zylinder (Radius r = R 2, Masse m ) ausgeschnitten. Man erhält eine Walze (Masse 3m), die in ihrem Massenmittelpunkt S w durch eine starre masselose Stange mit dem MassenmittelpunktS z eines homogenen 4 Zylinders (Radius 2R, Masse 4m) verbunden ist. Beide rollen gemeinsam ohne zu gleiten eine rauhe schiefe Ebene hinunter. Berechnen Sie a) die Massenträgheitsmomente Θ z des Zylinders und Θ w der Walze bezüglich ihrer Massenmittelpunkte, b) die Beschleunigung des Systems (Koordinatex), c) den erforderlichen Haftreibungskoeffizienten µ min H im Berührungspunkt P des Zylinders mit der Ebene, so dass der Zylinder rollt, ohne zu gleiten. Gegeben: m, R, r = R 2, α, g

5 a) Θ Z = 8mR 2 Θ W = 55 8 mr2 b) c) ẍ = gsin(α) µ min H = tanα

6 3. Aufgabe: (TM III) R m u 0 x v 0 y ϕ 30 Eine homogene Kugel (Masse m, Radius R) stößt gegen ein laufendes Förderband (Stoßzahl e). Die Geschwindigkeit der Kugel beträgt unmittelbar vor dem Stoß v 0. Während des Stoßes bewegt sich das rauhe Förderband mit der konstanten Geschwindigkeit u 0 über eine starre Unterlage. Die Kugel haftet während des Stoßes, d.h. unmittelbar nach dem Stoß entspricht die Tangentialgeschwindigkeit der Kugel der Förderbandgeschwindigkeit u 0. Verwenden Sie zur Beantwortung der Fragen das angegebene Koordinatensystem. a) Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Kugelschwerpunktes ( v x, v y ) und die Winkelgeschwindigkeit ω der Kugel unmittelbar nach dem Stoß. b) Ermitteln die Stoßkräfte, die während des Stoßes auftreten. Nun sei die Förderbandgeschwindigkeitu 0 = 5 2 v 0. c) Für welche Stoßzahl e hat die Kugel unmittelbar nach dem Stoß eine Geschwindigkeit lotrecht nach oben (Richtung entgegen der Aufprallgeschwindigkeitv 0 )? Gegeben: m, R, v 0, u 0, für a) und b): e

7 a+b) v x = e 3 2 v 0 v y = 5 14 v u 0 ω = 5 v 0 14 R + 5 u 0 7 R 3 ˆF = m(1+e) Ĥ = m 2 v 0 ) ( 1 7 v u 0 c) e = 5 7

8 4. Aufgabe: (TM IV) d B ρ M(t) A ϕ C r 6c c 2c Ein Teilstück einer homogenen zylindrischen Walze (Länge l, Radius r, Dichte ρ) ist wie abgebildet entlang der Achse A gelenkig gelagert. Im Punkt B ist ein viskoser Dämpfer (Dämpfungskonstante d) angebracht. Zusätzlich besteht im Punkt C eine Verbindung zu einem System von Federn. Die Federn sind in der skizzierten Lage entspannt. Das Walzenstück wird einer periodischen Anregung durch ein MomentM(t) = M 0 cos(ωt) ausgesetzt. a) Zeichnen Sie das Freikörperbild für das Walzenteilstück. b) Ermitteln Sie für die erregte Schwingung die Differentialgleichung des Winkels ϕ. Nehmen Sie dabei kleine Auslenkungen um die dargestellte Lage an. c) Berechnen Sie für den eingeschwungenen Zustand die Amplitude und die Phasenverschiebung. Hinweise: - Der Einfluss der Erdbeschleunigung darf vernachlässigt werden. - Das Massenträgheitsmoment des dargestellten Zylinderausschnitts (Dichte ρ) bezüglich der RotationsachseA A lässt sich wie folgt berechnen: r A z y x A Gegeben: l = 8 3π r, r, ρ, d, c, M 0, Ω α ρ l Θ A = 1 4 ρlαr4

9 a) F d M(t) A ϕ F c ϕ b) ρr 5 ϕ+dr 2 ϕ+2cr 2 ϕ = M 0 cos(ωt) c) Â = M 0 1 2cr 2 d 2 (1 η 2 ) cρr 2η2 tanϕ = d η 2cρr 31 η 2

10 5. Aufgabe: (TM IV) l l l l l c 2 c 1 m 3 m 1 A m 4 G B m2 m 5 x 3 x 5 Zwei starre Balken der Massen m 1 und m 2 und Längen 2l und 3l sind in den Punkten A und B gelagert und über das Gelenk G miteinander verbunden. Drei Massenm 3, m 4 und m 5 sowie die Feder c 2 werden wie skizziert mit dem Balkensystem verbunden. Die Masse m 3 ist über eine Feder der Steifigkeit c 1 verbunden und die Massen m 4 und m 5 über starre Stäbe. In der skizzierten Lage befindet sich das System in der statischen Ruhelage. Ermitteln Sie in Abhängigkeit vonx 3 und x 5 : a) die potentielle und die kinetische Energie des Systems, b) die Bewegungsgleichungen, c) das charakteristische Polynom zur Ermittlung der Eigenfrequenzen. Für die Werte c 1 = 15 N/m, c 2 = 96 N/m, m = 1 kg sind d) die Eigenkreisfrequenzen und die Amplitudenverhältnisse der freien Schwingung zu ermitteln. Hinweise: Für die gesamte Aufgabe wird angenommen, dass die Ausschläge klein sind und die Massenm 3, m 4 undm 5 nicht pendeln. Lageenergien sind zu vernachlässigen. Gegeben: m 1 = 6m, m 2 = m, m 3 = 4m, m 4 = m, m 5 = 2m, l, c 1, c 2

11 a) T = 2mẋ mẋ2 5 Π = 1 2 c 1x c 1x 3 x (c 1 +c 2 )x 2 5 b) 4mẍ 3 +c 1 x c 1x 5 = 0 3mẍ c 1x (c 1 +c 2 )x 5 = 0 c) 12m 2 ω 4 (3mc 1 +m(c 1 +c 2 ))ω c 1c 2 = 0 d) Fürω 2 1 = 10 a 2 = 10 a 1 3 Fürω 2 2 = 3 a 2 a 1 = 2 5

12 6. Aufgabe: (TM IV) Kreuzen Sie bei jeder Frage die richtige Antwort an. a) In der Wellengleichung 2 w x = 1 2 w hat die Konstante c die Dimension 2 c 2 t 2 kg/m m/s 2 m/s N/m 2 b) Der Lösungsansatzw(x,t) nach Bernoulli für die Saitengleichung lautet w(x,t) = W(x)+T(t) w(x,t) = W(x)T(t) w(x,t) = w 0 (x ct)+w 0 (x+ct) c) Die Grundfrequenz eines kontinuierlichen Systems ist die Frequenz die am stärksten abklingt das arithmetische Mittel aller Eigenfrequenzen die größte Eigenfrequenz die kleinste Eigenfrequenz

13 a) 3. Antwort, b) 2. Antwort, c) 4. Antwort

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