2 Mehrdimensionale mechanische Wellen

Transkript

1 TO Stuttgart OII 30 (Physik) Mehrdimensionale mechanische Wellen. Darstellung mehrdimensionaler Wellen Um die Beschreibung von mehrdimensionalen Wellen zu vereinfachen werden in Diagrammen nur die Wellenfronten eingezeichnet 9. Eine Wellenfront ist wie eine Höhenlinie in einer Landkarte. Sie beschreibt den Ort aller Punkte, welche die gleiche Phase haben, zum Beispiel alle Oszillatoren bei denen der erste, zweite, Wellenberg ankommt. Meist werden nur die Wellenberge dargestellt, die Wellentäler werden nicht eingezeichnet. In der Wasser- Wellenwanne sind die Wellenberge die dunklen Streifen und die Wellentäler die hellen Streifen. Aus einer solchen Darstellung lässt sich auch die Ausbreitungsrichtung der Wellen an verschiedenen Orten feststellen: Sie ist immer orthogonal zur Wellenfront. Sie wird auch durch den Wellenstrahl symbolisiert (vgl. Abb.). Die Ausbreitungsgeschwindigkeit an den verschiedenen Orten kann auch bestimmt werden. Die Frequenz der Welle kann sich nicht ändern, lediglich die Wellenlänge kann sich durch unterschiedliche Eigenschaften des Mediums an verschiedenen Orten (z.b. Wassertiefe o.ä.) ändern. Durch Bestimmung der Wellenlänge aus dem Diagramm und der bekannten Frequenz der Welle lässt sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit wie im eindimensionalen Fall ausrechnen.. Erklären Sie warum in der Wellenwanne die hellen Streifen die Wellentäler sind und die dunklen Streifen die Wellenberge.. Kann eine Welle in verschiedene Ausbreitungsrichtungen verschiedene Ausbreitungsgeschwindigkeiten, verschiedene Wellenlängen bzw. verschiedene Frequenzen haben? Begründen Sie kurz.. Huygenssches Prinzip Zur Erklärung der aus der Mittelstufe bekannten Phänomene Reflexion und Brechung kann eine mikroskopische Betrachtung der Welle herangezogen werden. Ähnlich zum Modell der Elementarmagnete in einem magnetisierbaren Material kann eine Welle aus vielen einzelnen Elementarwellen, welche alle die selbe Amplitude und Wellenlänge haben, aufgebaut werden. Aus der Überlagerung (d.h. Summe) aller Elementarwellen ergibt sich dann die resultierende Welle. Dies kann genutzt werden um das Verhalten einer Welle nach einem Hindernis zu bestimmen. 9 Zwar verliert man bei dieser Vorgehensweise Informationen, da der Zustand des einzelnen Oszillators aus dem Diagramm nicht mehr bestimmt werden kann, aber ohne diese Vereinfachung wären zweidimensionale Wellen schon zwingend dreidimensional dazustellen und dreidimensionale Wellen wären nur noch mit sehr großem Aufwand darzustellen. Skript Wellen 4. vom

2 TO Stuttgart OII 30 (Physik) Dieses Konzept wird als Huygenssches Prinzip bezeichnet: Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden, die sich mit gleicher Frequenz 0 wie die ursprüngliche Welle ausbreiten. Die Einhüllende aller Elementarwellen ergibt die neue Wellenfront. Anschaulich wird an jedem Punkt der Wellenfront ein Kreis mit gleichem Radius gezogen und die entstehenden Kreise sinnvoll umfahren. Die Abbildungen a) und b) zeigen die Ausbreitung einer Kugelwelle und einer ebenen Wellenfront nach einem schmalen Spalt. In beiden Fällen werden alle Elementarwellen von der Barriere geblockt bis auf eine einzelne Elementarwelle, welche sich nach der Barriere dann kreisförmig ausbreitet. Das Zustandekommen einer geraden bzw. kreisförmigen Wellenfront bei der Konstruktion durch Elementarwellen zeigen die Abbildungen c) und d).. Benutzen Sie das Huygensche Prinzip um den Verlauf einer ebenen Welle nach einer schmalen Öffnung zu bestimmen.. Zeigen Sie mit Hilfe des Huygenschen Prinzips, dass eine ebene Wellenfront wieder eine ebene Wellenfront bildet..3 Reflexion und Brechung von Wellen Aus der Mittelstufe sind von Optikversuchen die beiden Gesetze für die Reflexion ( EinfallswinkelAusfallswinkel ) und die Brechung bekannt. Beide Gesetze sin α n sin β n 0 Wenn keine Veränderung des Mediums stattfindet heißt dies automatisch auch, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenlänge gleich bleibt. Beide Phänomene werden noch ausführlicher im Bereich Strahlen- bzw. Welle-Optik besprochen. Skript Wellen 4. vom

3 TO Stuttgart OII 30 (Physik) gelten auch für andere Wellen (z.b. Wasserwellen), wie in den Abbildungen 36.. und. zu erkennen ist. Mit Hilfe des Huygensschen Prinzips lassen sich nun diese Phänomene nun erklären. Läuft eine ebene Welle auf eine feste, gerade Barriere unter einem Winkel α gegenüber der Orthogonalen zur Grenzfläche auf die Barriere zu, so wird die Welle unter einem Winkel β α reflektiert und bleibt im selben Medium. Dies wird wie folgt begründet: Betrachtet man die Elementarwellen der Wellenfront im Moment des Auftreffens auf die Barriere so geht eine einzelne Kreiswelle von diesem Punkt A aus. Beim Auftreffen der oberen Kante der Wellenfront im Punkt B t später hat sich die Kreiswelle von A ausgebreitet. Der Radius der Elementarwelle beträgt r v t. Analoge Überlegungen für zwei Punkte zwischen den Rändern der Welle liefert zwei weitere Kreise mit kleineren Radien. Wird nun die Einhüllende der vier Kreise (r0 für Kreis um B ) eingezeichnet so ergibt sich die neue Wellenfront nach der Reflexion. Betrachtet man nun den Winkel zwischen Ausbreitungsrichtung vor bzw. nach der Reflexion und dem Lot auf die Barriere, so ergibt sich das Reflexionsgesetz β α. Zur Brechung kommt es wenn eine Welle auf eine Grenze zwischen zwei Gebieten, in denen die Welle unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten hat, trifft 3. Typische Fälle sind etwa der Wechsel des Mediums (Luft-Glas oder Luft-Wasser) oder Wechsel in der Eigenschaft des Mediums (Federn mit verschiedener Härte oder unterschiedliche Tiefe im Wasser). Bei einem senkrechten Auftreffen auf die Grenzfläche bzw. den Grenzbereich ändert sich bis auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit und damit Wellenlänge nichts. Die Frequenz der Welle muss gleich bleiben und auch die Ausbreitungsrichtung wird nicht verändert. Trifft die Welle unter einem Winkel auf die Grenzfläche so ändert sich auch die Ausbreitungsrichtung. Hierbei gilt das Brechungsgesetz: sinα v sin β v Dabei sind die Winkel jeweils zwischen Ausbreitungsrichtung und Lot auf die Grenzfläche.. Eine ehrliche Konstruktion würde natürlich mehr als vier Kreise benötigen, die Darstellung wäre dann aber zu unübersichtlich. 3 Zur Vereinfachung werden nur schlagartige Wechsel der Ausbreitungsgeschwindigkeit betrachtet. Graduelle Wechsel, etwa bei der Brechung in verschieden warmen Luftschichten, werden nicht berücksichtigt. Sie können jedoch meist durch eine einzige Gesamtänderung beschrieben werden. Skript Wellen 4. vom

4 TO Stuttgart OII 30 (Physik) Die Erklärung der Brechung und Herleitung des Brechungsgesetzes mit Hilfe des Huygensschens Prinzip erfolgt ähnlich zur Reflexion. Zum Zeitpunkt an dem der untere Rand der Welle die Grenzfläche im Punkt A erreicht, ist am oberen Rand der Welle der Punkt B noch s B B v t entfernt. Wenn der obere Rand die Wellenfront die Barriere im Punkt B erreicht, hat sich der untere Rand im zweiten Medium um s A A v t weiterbewegt. Wird nun ein Kreis um A mit t r s v t gezogen und weitere Elementarwellen, hier exemplarisch für r v in der Mitte der Wellenfront, eingezeichnet, so ergibt sich die neue Wellenfront wieder als Einhüllende der Elementarwellen. Aus der Überlegung lässt sich auch das Brechungsgesetz direkt ableiten. Dazu werden BB v t die Dreiecke A BB und A A B betrachtet. Im ersten Dreieck gilt sinα. Ebenso gilt im zweiten Dreieck A A sin β lässt sich das Brechungsgesetz herleiten: v t. Aus den beiden Gleichungen sinα sin β B B A B A A v t A B v t v v. Lassen Sie die Simulation mehrmals laufen und vollziehen Sie die einzelnen Schritte nach.. Leiten Sie analog zum Brechungsgesetz das Reflexionsgesetz durch geometrische Überlegungen her. Skript Wellen 4. vom

5 TO Stuttgart OII 30 (Physik) 3. Eine Wasserwelle geht vom Schwimmerbecken (c0m/s) ins Nicht-Schwimmerbecken (c5m/s) über. Es läuft unter einem Winkel von 30 gegenüber dem Lot ein. Berechnen Sie den Winkel unter dem die Welle im Nichtschwimmerbecken verläuft. 4. Berechnen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht in Glass mit dem Brechungsindex n,33. Hinweis: Schauen Sie in der Formelsammung bzw. Ihrem Buch nach wie der Brechungsindex definiert ist..4 Beugung von mehrdimensionalen Wellen Beugung tritt auf, wenn eine Welle auf einem Gegenstand trifft der etwa eine Ausdehnung in der Größenordnung der Wellenlänge hat, z.b. wenn die Welle durch einen Spalt geht der etwa Faktor 0-00 mal so breit ist wie die Wellenlänge. Beugung ist grundsätzlich von Brechung zu unterscheiden. Brechung tritt an einer Grenzfläche, d.h. beim Wechsel zwischen zwei Medien auf und ist mit dem Brechungsgesetz zu erklären. Beugung tritt auch und gerade dann auf wenn kein Wechsel des Mediums stattfindet und ist nur mit dem Huygenschen Prinzip zu erklären. Beugung ist nicht Teil der klassischen Optik und kann auch nicht mit dem Lichtstrahlmodell der Mittelstufe erklärt werden. Im Bild dargestellt ist das Verhalten einer ebenen Wellenfront nach dem Durchgang durch einen schmalen Spalt 4. Es ist eindeutig zu erkennen, dass die Welle sich nach dem Spalt nicht länger geradlinig ausbreitet. Die Wellenfront existiert auch in den Bereichen, in denen bei geradliniger Ausbreitung keine Welle vorhanden sein dürfte, den Schattenbereichen. Dieses Phänomen wird als Beugung bezeichnet. Die Beugung lässt sich am besten für einen sehr schmalen Spalt erklären. Der Spalt soll so klein sein, dass lediglich eine einzelne Elementarwelle entsteht. Diese breitet sich anschließend kreisförmig aus, d.h. nach dem Spalt entsteht ein Wellenbild, als wäre an der Stelle des Spaltes ein einzelner Wellenerreger. Somit entsteht auch eine Wellenfront im Schattenbereich des Spaltes. Wird der Spalt nun breiter, so überlagern sich die 4 Ob die Welle durch einen schmalen Spalt tritt oder um ein Objekt gleicher Größe herumfließt ist für den weiteren Verlauf der Welle ab einem gewissen Abstand ( Fernfeld ) zu dem Spalt bzw. Objekt egal. Skript Wellen 4. vom 3..00

6 TO Stuttgart OII 30 (Physik) Elementarwellen in der Mitte des Spaltes wieder zu einer (näherungsweisen) ebenen Wellenfront, wie sie bei der geradlinigen Ausbreitung der Welle zu erwarten wäre. In den Randbereichen des Spaltes bleiben die letzten Elementarwellen übrig und es entsteht ein viertelkreisförmige Wellenfront im Schattenbereich. Dieses Verhalten ist auch an scharfen Kanten zu beobachten: die Welle geht ums Eck. Dieses Phänomen ist in der Alltagswelt ganz leicht bei Schallwellen zu beobachten: Obwohl kein direkter Weg von der Schallquelle (Sprecher) zum Empfänger (Ohr) besteht, hören wir das Geräusch, zum Beispiel durch eine offene Tür. Auch Wasserwellen in einem Hafenbecken breiten sich nicht nur geradlinig im Bereich der Hafeneinfahrt aus, sondern nehmen die gesamte Wasserfläche ein. Auch hier sind Wellenart und Wellenform gleichgültig, bei allen ist Beugung zu beobachten, wenn der Spalt klein genug oder die Kante scharf genug wird. Mit Hilfe der Beugung lässt sich sehr leicht nachweisen, dass Licht eine Welle ist. Entgegen jeder klassischen Alltagserfahrung zeigt Licht Beugung, wenn der Spalt in den Bereich von 0 µm und weniger kommt. Damit lässt sich auch auf die Wellenlänge von Licht schließen: Sie muss in der Größenordnung von µm sein 5. Der Grundeffekt der Beugung wird in den weiteren Betrachtungen sehr wichtig zur Erklärung der Beobachtungen sein.. Nennen Sie weitere Beispiele in denen Beugung eine Rolle spielt.. Schätzen Sie die Wellenlänge von Schall ab und erläutern Sie damit, warum Sie auch um die Ecke hören können. Warum können Sie nicht um die Ecke sehen?.5 (*) Absorption, Streuung, Polarisation Beim Durchgang durch Medien wird ein Teil der Welle absorbiert, d.h. die Welle schwächt sich ab. Man spricht von Absorption. Dabei werden die Grundeigenschaften der Welle nicht verändert, wie etwa Wellenlänge und Frequenz. Lediglich die Amplitude fällt ab. Die Art der Abnahme hängt vom Medium ab, meist erfolgt er exponentiell mit der Eindringtiefe. Das Maß der Abnahme hängt extrem von der Wellenlänge hab. Typisch Beispiel ist das Verhalten von Glas für verschiedene Lichtwellenlängen: Infrarot wird kaum absorbiert, das Ultraviolette innerhalb von Millimetern. Physikalischer Einschub: Die Absorption von Wellen wird in der Wellenfunktion berücksichtigt, indem ein Faktor eingefügt wird. Im eindimensionalen Fall ergibt sich: k x t x y( x, t) yˆ e cos π + + ϕ T λ Der Absorptionskoeffizient k legt die Geschwindigkeit der Abnahme fest. 5 Vorgriff: Licht ist eine elektromagnetische Welle, d.h. vom Prinzip her nichts anderes als Mikrowellen. Es besitzt lediglich eine andere Wellenlänge ( λ 0,4 0,8µm nm ) im Vergleich zu Mikrowellen ( λ, 0cm ). 0 Skript Wellen 4. vom 3..00

7 TO Stuttgart OII 30 (Physik) Das Phänomen Streuung beschreibt die Reflexion von Wellen an einer nicht ebenen glatten Oberfläche oder mehreren kleinen Objekten. Typisches Auftreten ist an Kieselsteinen in Bächen, mattierte Glasscheiben oder Nebeltropfen. Streuung ist beispielsweise verantwortlich für das Himmelsblau und Abendrot. Mathematisch ist Streuung nur sehr schwer zu beschreiben, alle Reflexionen gehorchen dem Reflexionsgesetz, aber durch die gekrümmten Oberflächen müssen an jedem Objekt eine Vielzahl von Elementarwellen betrachtet werden. Auch bei mehrdimensionalen Wellen tritt Polarisation auf, ist jedoch schwer vorstellbar und noch schwerer zweidimensional darstellbar. Skript Wellen 4. vom