1 Drehimpuls und Drehmoment

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1 1 Drehimpuls und Drehmoment Die Rotationsbewegung spielt in der Natur von der Ebene der Elementarteilchen bis zu den Strukturen des Universums eine eine bedeutende Rolle. Einige Beispiele sind 1. Spin der Elementarteilchen, Bewegung der Elektronen um den Atomkern, Rotation von Molekülen, Maschinen, Kreiselkompass Erdrotation, Bewegung der Monde und Planeten, Galaxiendynamik Das Studium dieser Bewegungen erfordert einige neue Begri e: Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung,

2 Zentripetalbeschleunigung, Drehmoment und Drehimpuls. De nition des Drehimpulses: ~L = ~r ~p = m ~r ~ (1) gemäßder De nition des Vektorproduktes können wir für die Richtung von ~ L wieder die rechte-hand-regel zu Hilfe nehmen: Für die Kreisbewegung (~r? ~) gilt für die Beträge L = mr = mr 2! (2) Der Drehimpuls ist KEIN "normaler", d.h. polarer, Vektor im eigentlichen Sinne der De nition, denn bei einer

3 Spiegelung am Ursprung des Koordinatensystems, d.h. beim Übergang von (x; y; z) zu ( x; y; z), wechselt er sein Vorzeichen nicht! Mathematisch korrekt ist der Drehimpuls ein axialer Vektor, oft auch Pseudovektor genannt. Frage: Besitzt ein Körper der sich gleichförmig und geradlinig fortbewegt einen Drehimpuls? Wenn ja, ist dieser erhalten? Solange kein Drehmoment ~M = ~r ~ F (3) auf einen Körper wirkt, ist der Drehimpuls erhalten. Es gilt die fundamentale Bewegungsgleichung ganz analog zu d ~L = M ~ (4) dt d dt ~p = ~ F

4 Beispiel: Ein Fahrrad besitze ein Hinterrad mit einem Durchmesser von 60 cm und eine Masse von 2 kg (in der Felge konzentriert). Der Zahnkranz habe einen Durchmesser von 10 cm. Das Fahrrad sei hochgebockt. Wie lange dauert es, bis die Felge eine Umlaufgeschwindigkeit von 9 m/s erreicht, wenn eine konstante Kraft von 20 N auf die Kette wirkt? Ein wichtiger Spezialfall sind Zentralkräfte, d.h. radialsymmetrische Kraftfelder der Form ~ F (~r) = f(r) ~e r :.Der Drehimpuls eines Massepunkts bezüglich des Zentrums eines radialsymmetrischen Potentials ist konstant Dies ist unabhängig von der speziellen radialen Abhängigkeit f(r) des Feldes und gilt gleichermaßen für anziehende wie für abstoßende Zentralkräfte. Hinweis: Sowohl das Drehmoment als auch der Drehimpuls hängen von der Wahl des Koordinatenursprungs ab. Legt man bei der Zentralkraft den Ursprung in das Kraftzentrum, so ist ~ F immer parallel zu ~r, d.h. es tritt überhaupt kein Drehmoment auf: ~N = ~r ~ F = f(r) (~r ~e r ) = 0:

5 Wenn die Rotationssymmetrie des Kraftfeldes nur bezüglich einer bestimmten Achse A gilt, so ist die Drehimpulskomponente bezüglich dieser Achse erhalten. Beispiel: der Kreisel im Schwerefeld (siehe später) 1.1 Scheinkräfte in rotierenden Bezugssytemen - Die Corioliskraft Die zeitliche Ableitung eines beliebigen Vektors ~u, der sich in einem ruhenden System S mit dt d ~u bewegt, ist in einem rotierenden System Sgegeben durch d dt ~u = d ~u (~! ~u): (5) dt Wichtig: Der Ursprung von S stimme immer überein mit dem von S, deshalb gilt ~r ~r. Daraus erhält man das Transformationsgesetz für Beschleunigungen: ~a= ~a 2(~! ~) ~! (~! ~r) (6)

6 Die einzelnen Terme sind: ~a : Beschleunigung aufgrund der Wirkung einer realen Kraft 2(~! ~) : (scheinbare) Coriolisbeschleunigung (tritt in Snur auf, wenn der Körper in Sbewegt ist) ~! (~! ~r) : (scheinbare) Zentrifugalkraft Größe der Corioliskräfte: Ein Zug von 500 t Masse fährt mit 250 km/h nach Norden. Wie großist die Corioliskraft bei einer geogra schen Breite von 50 Grad n.b. und in welche Richtung wirkt sie? Angenommen der Zug ist 500 m lang und besteht aus 25 Wagen zu je 20 t mit jeweils 4 Achsen. Welche zusätzliche Seitenkraft muss jedes Rad aufbringen um den Zug in der Schiene zu halten? Kann man eine einseitige Abnutzung der Schienen erwarten?

7 Corioliskraft am Kran: An einem Turmdrehkran hängt eine Last und wird in radialer Richtung entlang des Auslegers bewegt während sich der Kran dreht. In welche Richtung (gegen oder in Drehrichtung?) wirkt die Corioliskraft wenn sich die Last vom Turm weg bzw. zum Turm hin bewegt? Wirkt eine Corioliskraft beim freien Fall aus großer Höhe? 2 Impulserhaltung Der Impuls eines Körpers ist das Produkt ~p = m ~ (7) und damit kann das Newtonsche Kraftgesetz geschrieben werden als ~F = d dt ~p = : ~p: (8)

8 Aus dem 3. Newtonschen Axiom leitet sich sofort die Impulserhaltung in einem abgeschlossenem System ab: Impulssatz ~F 1 = F2 ~ (9) d dt ~p 2 (10) d dt ~p 1 = d dt (~p 1 + ~p 2 ) = 0 (11) In einem abgeschlossenem System, in dem nur innere Kräfte zwischen den Körpern wirken, ist die Summe aller Impulse ~ P konstant und der Schwerpunkt bewegt sich mit der Geschwindigkeit ~R = P Ni=1 m i ~r i P Ni=1 m i (12) ~V = ~ P M im Laborsystem, während der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem gerade verschwindet..

9 3 Stoßprozesse Generell unterscheidet man bei Stößen zweier Körper zwischen solchen, bei denen die mechanische Energie des Systems erhalten bleibt (elastische Stöße) und solche bei denen es zu einer Umwandlung in andere Energieformen (inelastische Stöße) kommt (Deformationsenergie, Reibungswärme, Schwingungs- und Rotationsenergie). Bei elastischenstößen gilt neben der Impuls- auch die Energieerhaltung. Energie- und Impulssatz schränken die Bewegungsfreiheit der Partner nach dem Stoßerheblich ein. Je weniger Dimensionen die Bewegung hat, desto stärker ist diese Einschränkung. Im zweidimensionalen Stoßwie er z.b. auf dem Billardtisch statt ndet, erhalten wir 2 Gleichungen aus der Impulserhaltung und eine weitere aus der Energieerhaltung. Für insgesamt vier Unbekannte (2 Geschwindigkeitsvektoren mit je 2 Komponenten) gibt es also insgesamt 3 Gleichungen als Randbedingung. Daraus folgert man sofort,

10 dass es ausreichend sein sollte in einem solchen Streuexperiment den Winkel nur eines der Stoßpartner exakt zu messen. Im nichtelastischen Stoßzweier Körper mit den Geschwindigkeiten ~ 1 und ~ 2 vor und ~ 0 1 und ~0 2 nach dem Stoßist die Änderung der kinetischen Energie gegeben durch: E k E 0 k 0 = 2 h (~1 ~ 2 ) 2 (~ 0 1 ~ 0 2 )2i (13) mit der reduzierten Masse = m a + m b m Beispielaufgabe: Elastischer und inelastischer Stoß Eine Bleikugel mit m = 10 g und einer Geschwindigkeit x = 1000 m/s wird in einen ruhenden Gummiball der Mass M 1 = 1 kg geschossen und bleibt darin stecken. 1. Welche physikalische Größen bleiben hierbei erhalten?

11 2. Mit welcher Geschwindigkeit iegt der Gummiball davon? Der Gummiball prallt zentral auf einen anderen, ruhenden Gummiball mit der Masse M 2 = 9 kg. Der Stoßsei elastisch. 1. Welche physikalischen Größen bleiben hierbei erhalten? 2. Wie großsind die Geschwindigkeiten der beiden Bälle nach dem Stoß?

12 4 Krummlinige Koordinatensysteme 4.1 Zylinderkoordinaten Zylinderkoordinaten verwendet man bei rotationssymmetrischen Problemstellungen: mit 0; 0 2 und Volumenelement lautet x = cos (14) y = sin (15) z = z (16) 1 z +1. Das d d dz (17) 4.2 Kugelkoordinaten Anschaulich haben die Kugelkoordinaten folgende Bedeutung: Sei r der Ortsvektor von P (also der Vektor, der

13 den Koordinatenursprung O mit P verbindet) und r xy die Projektion von r in die x-y-ebene. Dann haben die Kugelkoordinaten von P folgende Bedeutung: r (Radius) ist der Abstand des Punktes P vom Koordinatenursprung O, also die Länge des Vektors r; (Polarwinkel) ist der Winkel zwischen der positiven z- Achse und r xy, 1gezählt von 0 bis (0 bis 180 ), und (Azimutwinkel) ist der Winkel zwischen der positiven x- Achse und r xy, gezählt von 0 bis 2 (0 bis 360 ) gegen den Uhrzeigersinn.

14 Die Transformationsgleichungen von Kuglekoordinaten in karteische Koordunaten lauten: x = r sin() cos() (18) x = r sin() sin() (19) z = r cos() (20) Die Rücktransformation erfolgt gemäß q r = x 2 + y 2 + z 2 (21) tan = y xq x 2 + y 2 tan = z (22) (23) Das Volumenelement dxdydz lautet in Kugelkoordinaten r 2 sin dr d d (24) und das Integral über das Volumen einer Kugel dementsprechend Z R 0 r2 dr Z Z 2 sin d 0 0 d: (25)

15 r dθ dr r dθ π/2 θ dφ r sin θ dφ Beispiel: Volumen einer Halbkugel die oberhalb des 50. Breitengrades abgeschnitten ist. R R0 r 2 dr R =2 50=180 sin d R 2 0 d = 2 3 R3 cos 5 18