P RS S. Definition : Beispiel : PQ und RS sind Repräsentanten des gleichen Vektors v. Man schreibt kurz, aber leider nicht ganz richtig : v = PQ

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1 I. Vektorräume ================================================================== 1. Geometrische Definition von Vektoren Verschieungen im Rum vernschulicht mn durch Pfeile, die von den Punkten zu den jeweiligen Bildpunkten gerichtet sind. R T TU P RS S U PQ Q Definition : Eine Klsse prllelgleicher Pfeile der Eene oder des Rumes heißt Vektor v. Jeder einzelne Pfeil us der Klsse heißt Repräsentnt des Vektors. Beispiel : PQ und RS sind Repräsentnten des gleichen Vektors v. Mn schreit kurz, er leider nicht gnz richtig : v = PQ Bemerkungen : 1. Ein Pfeil ist ein geordnetes Punktepr PQ = P Q. 2. Eine Aufteilung einer Menge in ein System disjunkter, d. h. durchschnittsfremder Teilmenen,heißt Klsseneinteilung. Eine dieser Teilmengen heißt dnn Klsse.

2 1.2 Vektorddition Die Addition zweier Vektoren erfolgt nch der Vorschrift PQ + QR = PR + R und ist unhängig von der Whl der Repräsentnten. P Q Gesetze der Vektorddition : K Kommuttivgesetz + = + + = A Assozitivgesetz + + c = + + c c + c + ( + ) + c = + ( + c ) N Neutrles Element - der Nullvektor Der Vektor o = PP ist ein Vektor, dessen Repräsentnten den Betrg (Länge) Null hen und keine Richtung esitzen. Es gilt + o = o + =

3 Eine geschlossene Vektorkette ht ls Summenvektor den Nullvektor. c + + c = o I Inverses Element Der Vektor, dessen Repräsentnten die gleiche Länge, er die entgegengesetzte Richtung wie die des Vek- tors esitzen, heißt dessen Gegenvektor. Also = PQ = QP Es gilt : + ( ) = PQ + QP = PP = o

4 1.3 Die Vektorsutrktion Definition : Mn sutrhiert den Vektor vom Vektor, indem mn den Gegenvektor ddiert. + + ( ) = Anwendung : B AB = O A Wird ein Dreieck OAB von den Vektoren und ufgespnnt, dnn gilt AB =. Beweis : + AB + = o AB =

5 1.4 Die Sklrmultipliktion von Vektoren Unter dem λ -Fchen (λ R + ) eines Vektors i. Z. λ = λ λ versteht mn den Vektor, dessen Repräsentnten die λ-fche Länge und die gleiche Richtung wie die Repräsentnten von hen. Speziell gilt dnn : 1 = Weiter definiert mn : 0 = o ( λ) = (λ ) D mn richtungslose Größen uch Sklre nennt, ezeichnet mn die so definierte Multipliktion mit reellen Zhlen ls S(klr)-Multipliktion. Gesetze der S-Multipliktion A Distriutivgesetz für Vektoren B Distriutivgesetz für Sklre λ ( + ) = λ + λ C Assozitivgesetz (λ + µ) = λ + µ (λ µ) = λ (µ ) Die Menge ller Vektoren der Eene oder des Rumes ildet zusmmen mit der Vektorddition und der Sklrmultipliktion einen sog. geometrischen Vektorrum.

6 1.5 Der strkte Vektorrum Definition : Eine Menge V, deren Elemente mn Vektoren nennt, heißt Vektorrum üer dem Körper R der reellen Zhlen, wenn gilt 1. In V ist eine Verknüpfung (Addition) mit Nullelement und inversem Element definiert und für diese Addition gilt ds Kommuttiv- und Assozitivgesetz. 2. Auf V ist eine Verknüpfung mit reellen Zhlen (Sklrmultipliktion) definiert, zgl. der gilt (1) λ ( + ) = λ + λ (2) (λ + µ) = λ + µ (3) (λ µ) = λ (µ ) (4) 1 = Beispiel : Der Vektorrum der n-tupel Die Menge der n-tupel reeller Zhlen T n = ( n ) i R, 1 i n ildet mit der Addition ( n ) + ( n ) : = ( n + n ) und der Sklrmultipliktion k ( n ) : = (k 1 k 2... k n ), k R einen reellen Vektorrum.

7 1.6 Untervektorräume Definition : Eine nichtleere Teilmenge U eines Vektorrumes V heißt ein Untervektorrum von V, wenn U mit der in V definierten Addition und der uf V erklärten Sklrmultipliktion selst ein Vektorrum ist. Beispiele : ) Die Pfeilklssen, deren Repräsentnten zu ein und derselen Gerden prllel sind, ilden einen Untervektorrum des Vektorrums der Pfeilklssen der Eene. ) Die Pfeilklssen, deren Repräsentnten zu ein und derselen Eene prllel sind, ilden einen Untervektorrum des Vektorrums der Pfeilklssen des Rumes. ) Alle n-tupel, deren 1. Tupelstelle gleich Null ist, ilden einen Untervektorrum des Vektorrumes der n-tupel. Bemerkung : Der Nchweis, dss eine nichtleere Teilmenge U einesvektorrums V ein Untervektorrum ist, ist ereits errcht, wenn mn zeigt, dss U1 die Summe zweier Vektoren us U wieder in U liegt. U2 für jeden Vektor us U uch sein Gegenvektor in U liegt. Begründung : D U nicht gleich der leeren Menge ist,git es ein u U: Wegen U2 ist dnn uch u U. Wegen U1 ist dnn uch u + ( u ) = o U.

8 Alle nderen Anforderungen n einen Vektorrum (Assozitivgesetz, Kommuttivgesetz für die Addition, Assozitivgesetz und Distriutivgesetze für die Sklrmultipliktion ) erfüllt U ls Teilmenge von V trivilerweise.

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