Mathematik 1 -Arbeitsblatt 1-9: Multiplizieren mehrgliedriger Termee. 1F Wintersemester 2012/2013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB
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- Jesko Reuter
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1 Schule Thema Personen Bunesgymnasium für Berufstätige Salzburg Mathematik 1 -Arbeitsblatt 1-9: Multiplizieren mehrglieriger Termee 1F Wintersemester 01/013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB Ein neues Problem ergibt sich, wenn wir mehrere mehrglierige Terme miteinaner multiplizieren 3x x = n sollen, z. B. Um uns ie Lösung klar zu machen, veranschaulichen wir uns as Problem geometrisch: Zahlen miteinaner multipliziert, können wir als ie Fläche eines Rechtecks interpretieren. Als Beispiel hat ein Rechteck mit er Länge 5 un Breite 4 ie Fläche 5 4 = 0. Um as ganze allgemein urchzuführen, sagen wir as Rechteck habe eine Länge h un eine Breite k. k h Die Formel für ie Berechnung er Fläche lautet also: A = h k Wir können aber nun sowohl ie Länge als auch ie Breitee in ie Summe zweier Werte zerlegen: h = a + b k = c + Damit lautet ie Formel fü ür ie Fläche: A = ( a + b) ( c + ) Damit haben wir also nun genau unser Problem. Was beeutet iese Zerlegung nun aber geometrisch? I II IV III c k a b h Durch as Zerlegen er Länge un Breite zerlegen wir as Rechteck in vier kleinere Rechtecke. Die Fläche es großen Rechtecks muss ie Summe er Fläche er vier kleinen Rechtecke sein. 1
2 h k = a + b c + = A + A + A + A I II III IV Nun setzen wir ie Flächen er kleinen Rechtecke ein: a + b c + = a c + a + b c + b Wenn wir as Ergebnis betrachten fällt auf, ass jees Element es ersten Terms mit jeem Element es zweiten Terms multipliziert wir. ( a + b) ( c + ) = a c + a + b c + b Natürlich muss ein erartiger mehrglieriger Term nicht unbeingt immer aus zwei Elementen bestehen, sonern kann beliebig viele Elemente haben. Satz: Zwei mehrglierige Terme weren multipliziert, inem man jees Element es ersten Terms mit jeem Element es zweiten Terms multipliziert. Beachte abei ie Vorzeichen. a + b c + = a c + a + b c + b Zur Bestimmung er Vor- un Rechenzeichen fassen wir einfach as Rechenzeichen vor einem Element wie sein Vorzeichen auf, wenen ie entsprechene Regel an un schreiben as entsprechene Vorzeichen gegebenenfalls als Rechenzeichen. Beispiel: ( x 5y) ( x y ) + = Jees Element es erste Terms muss mit jeem Element es zweiten multipliziert weren. x 5y x + y = x + 4xy 4x + 5xy 10 y + 10 y Nun können wir noch ie entsprechenen Potenzen zusammenfassen x + 4xy 4x + 5xy 10y + 10y = x 4x + 9xy + 10y 10y Natürlich können bei zusammengesetzten Ausrücken neben Multiplikationen auch Aitionen vorkommen. Wie immer gilt: Punkt- vor Strichrechnung
3 Beispiel: Stelle en Term ohne Klammer ar un vereinfache: 3p + 4q 5r 8s p 3q r + 7s = Rechnung Anmerkungen ( 3p + 4q)( 5r 8s) ( p 3q)( r + 7s ) = Die beien Multiplikationen müssen vor er Subtraktion ausgeführt weren. 3pr + 4ps + 0qr 3qs pr + 14ps 3qr 1qs = Klammern auflösen 3pr + 4ps + 0qr 3qs pr 14ps + 3qr + 1qs = Entsprechene Elemente zusammenfassen = 5pr 10ps + 3qr 11qs QUADRIEREN VON BINOMEN Manche Rechenausrücke kommen nun besoners häufig vor, wie z.b. ( 3x + ) ( 3x + ) = ( 3x + ) oer ( y ) ( y ) = ( y ) ( x y) ( x + y) oer Jeen ieser Ausrücke könnten wir nach obiger Rechenweise natürlich ausmultiplizieren un zusammenfassen. Da iese aber so häufig vorkommen wollen wir iese Ausrücke extra untersuchen un schauen, ob es nicht ein einfacheres Rechengesetz afür gibt. Betrachten wir en ersten Ausruck: ( x + ) ( x + ) = ( x + ) In einer Klammer stehen also zwei Ausrücke, welche urch + verbunen sin. Die zwei Klammern, welche urch Multiplikation verbunen sin, sin ientisch. Wir schreiben also einfach für en ersten Teil a un für en zweiten b: a + b a + b = a + b Nun multiplizieren wir ie beien Terme aus: a + b a + b = a + ab + ab + b = a + ab + b Es gilt also folgener Zusammenhang: a + b = a + ab + b 3
4 Wenen wir ies nun an unserem Beispiel an: ( 3x + ) = Dem a un em b er Formel entsprechen folgene Teile: ( 3 ) x + = a b Setzen wir nun für a un b ie entsprechenen Terme ein: a + b = a + a b + b ( x ) ( x) ( x) 3 + = Wenn wir ies nun ausmultiplizieren un potenzieren, erhalten wir: 3x + = 9x + 1x + 4 Betrachten wir en nächsten Ausruck: ( y ) ( y ) = ( y ) Es gilt also: a b = a ab + b Nun haben wir statt em + ein -. Wir leiten zunächst unsere Formel her: ( a b) = a b a b = a ab ab + b = a ab + b Auf unser Beispiel angewant erhalten wir folgenes: y 3 = y y = y 6y + 9 4
5 Betrachten wir en nächsten Ausruck: ( x y) ( x + y) Wir leiten wieer allgemein unsere Formel her: a + b a b = a ab + ab b = a b Es gilt also allgemein: a + b a b = a b Auf unser Beispiel angewant erhalten wir folgenes: x y x + y = x y = 4x y Besoners sei betont, ass wir Ausrücke er Form a können. + b nicht zerlegen Auch ie Rechenregeln für as Potenzieren müssen natürlich beachtet weren: Beispiel: 3 x y = 3x ( x ) y = Rechnung 3 y y 3x + 3 = Anmerkungen Wir wenen zunächst ie Formel a b = a ab + b an. Für en ersten Ausruck gilt: a b = a b n n n 3 y y Für en ersten Ausruck gilt: x x = r s r s ( a ) = a 4 y y 9x 3x + 3 = 4 y 9x x y + = 4 y = 9x x y + 9 Den zweiten Ausruck fassen wir urch Multiplikation zusammen. Interpretieren Sie abei 3x als 3x 1 Für en ritten Ausruck gilt: n n a a = n b b 5
6 Das Potenzieren von Binomen kann natürlich auch gemeinsam mit Strichrechnungen un Punktrechnungen auftreten: Hier gilt: Potenzieren ist wichtiger als Punkt- oer Strichrechnung. Beispiel: ( p 3q) 3( 3p q) + + = Rechnung ( p q) ( p q) Anmerkungen = Potenzieren ist am wichtigsten. ( p pq q ) ( p pq q ) Wir wenen also ie binomischen Formeln an = Nun müssen wir ie Multiplikationen urchführen. In ie erste Klammer multiplizieren wir mit, in ie zweite Klammer mit (-3). 8p + 4pq + 18q 7p 36pq 1q = Nun können wir noch = 19p 1pq + 6q gleiche Terme zusammenfassen. Zum Abschluss noch einmal zusammengefaßt: Binomische Formeln: a + b = a + ab + b a b = a ab + b a + b a b = a b 6
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