2.8 Multiplikation Anschaulicher Weg (bei der Situation Bruch mal Bruch) Wichtig: Möglichst vielseitige Veranschaulichung.
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- Waltraud Ute Gerhardt
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1 2.8 Multiplikation Anschaulicher Weg (bei der Situation Bruch mal Bruch) Wichtig: Möglichst vielseitige Veranschaulichung (1) Sachsituation (2) Materialien [Beispiel: Siehe F. Padberg: Abschnitt III.9.2]
2 (3) Ikonische Darstellungen: Rechtecke/Quadrate Wir kommen darauf sofort, nämlich in Abschnitt 2.8.2, Teil C, zurück Systematische Behandlung A Natürliche Zahl mal Bruch Regel: Für n N 0und p + gilt: q p n p n =. q q Zugangsmöglichkeiten: (a) Rückgriff auf die Einführung der Multiplikation als wiederholte Addition in der Menge : ( 1) ( 2) ( 3 p p p p + + p ) n p n = + + = = (jeweils n Summanden). q q q q q + (1) Multiplikation als wiederholte Addition (in ) (2) Regel: Addition gleichnamiger Brüche (3) Multiplikation als wiederholte Additon (in ) (b) Rückgriff auf kleinere Maßeinheiten 1 3 Beispiel: 3 kg = 3 250g = 750 g = kg. 4 4 (c) Quasikardinalzahlaspekt 2 6 Beispiel: 3 = 3 2 Siebtel = 6 Siebtel =. 7 7 B Bruch mal natürliche Zahl Regel: Für n N 0 und p q + gilt: p p n = n. q q Frage: Warum ist hier kein Zugang über die wiederholte Addition möglich? Antwort: In der Grundschule steht bei einem Produkt immer links der Multiplikator und rechts der Multiplikand.
3 Zugangsmöglichkeiten: (a) Standardzugang: Kommutativgesetz (KG) Die Gültigkeit des KG wird einfach unterstellt. (b) Alternativer Zugang: Von-Ansatz: p n q wird interpretiert als p von n.[siehe Teil C!] q C Bruch mal Bruch m p + Regel: Für, gilt: m p m = p n q n q n q. m p + Zugangsmöglichkeiten: Seien Brüche, gegeben. n q (1) Von-Ansatz Enaktive Ebene: Falten. Ikonische Ebene: <Skizze in der Vorlesung! > Symbolische Ebene: Fall 1: n p und m = 1 : Etwa: 1 6 = 1 von 6 = Fall 2: n p und m 1. Etwa: von = = von = 3 2 = Fall 3: Allgemeiner Fall Etwa: von 4 2 von 4 2 von 2 4 = = = = = = Allgemeine Regel: m p m p 1 p 1 von m von m von n p p m m = = = = = p n q n q n q n n q n q n q. (2) Flächeninhalt-Ansatz Ikonische Ebene: < Skizze in der Vorlesung! > Bewertung der beiden Wege:
4 Kriterien Ist die Strategie zur Herleitung der Regel - klar erkennbar? - gut zu verstehen? Besteht enger Zusammenhang zwischen dem Herleitungsweg und wichtigen Anwendungssituationen? Motivation durch - praktische Anwendung oder - innermathematische Fragestellung Ist bei den Schüler/inn/en die Entwicklung anschaulicher/inhaltlicher Vorstellungen möglich? Selbstständige Entdeckung durch die Schüler/inn/en möglich? Brauchbarkeit: Ist der Herleitungsweg in allen Fällen A, B, C brauchbar? Begündung für die Multiplikation einsichtig? Grundvorstellungsumbruch beim Multiplizieren Menge : Multiplizieren vergrößert den Multiplikanden Menge : Multiplizieren vergrößert im Allgemeinen nicht den Multiplikanden [Der Multiplikand wird nur vergrößert, wenn der Multiplikator eine Bruchzahl größer als 1 ist.] Radikaler Grundvorstellungsumbruch! Empirische Untersuchung: Es ist möglich, dass die Schüler/inn/en beim Lösen von Aufgaben, bei denen das Ergebnis kleiner als der Multiplikand ist, durchaus beim Rechnen das richtige Ergebnis erhalten, aber gleichzeitig die Aussage Die Multiplikation von Brüchen vergrößert immer. als richtig ankreuzen Problembereiche A Multiplikation gleichnamiger Brüche
5 Fehlerstrategien: M I: a c a c = b b b M II: a c a c = b b b + b Ursachen: Bei M I: Übertragung der Regeln zur Addition/Subtraktion gleichnamiger Brüche auf die Multiplikation gleichnamiger Brüche. Bei M II: Im Nenner: Verwechslung von b 2 mit 2b (statt b b = b 2 wird b b = 2b gerechnet). Therapie: (1) Gründliche Verankerung inhaltlicher Vorstellung zur Multiplikation von Brüchen unter besonderer Berücksichtigung der Grundvorstellungsumbrüche (2) Bewusstes Gegenüberstellen von Aufgaben zur Addition und zur Multiplikation gleichnamiger Brüche B Multiplikation ungleichnamiger Brüche Fehlerstrategien: a c M III: Seien, b d gegeben. Hauptnennerbildung und dann Benutzung von M I Etwa: = = a c a + c M IV: = b d b d Dieser Fehler tritt oft bei Aufgaben mit gleichen Zählern ( a = c) auf. Etwa: 3 3 = Ursachen: Bei M III: Gleiche Ursache wie bei MI. Bei M IV: Im Zähler: Verwechslung von a 2 mit 2a (statt a a = a 2 wird a a = 2a gerechnet). Therapie: Es können dieselben Gesichtspunkte genannt werden wie in Fall A.
6 C Natürliche Zahl mal Bruch / Bruch mal natürliche Zahl Fehlerstrategie: a n a M V: n = oder b n b a a n n = b b n Ursachen: (a) Zu geringe Verinnerlichung des Wissens über die Einbettung der Menge der + n natürlichen Zahlen in die Menge der Bruchzahlen (, n ). 1 (b) Mangelnde Diskrimination der Regel des Erweiterns und der Regel des Multiplizierens (c) Übergeneralisierung der vertrauten Multiplikationsregel (die Regel Zähler mal Zähler durch Nenner mal Nenner wird krampfhaft benutzt: Da bei der natürlichen Zahl n scheinbar kein Nenner zur Verfügung steht, multipliziert man halt sowohl den Zähler als auch den Nenner mit dieser Zahl n). Therapie: (1) Bewusstes Gegenüberstellen von Aufgaben zum Erweitern und Aufgabenzum Multiplizieren. (2) Betonung des quasikardinalen Aspekts [damit erfolgt ein Rückgriff auf die vertrauten Analogien im Bereich der natürlichen Zahlen] D Multiplikation gemischter Zahlen Fehlerstrategien: M VI: Gemischte Zahl mal Bruch: Die natürliche Zahl wird beibehalten, die Brüche werden multipliziert. M VII: Gemischte Zahl mal natürliche Zahl: Die natürlichen Zahlen werden multipliziert, der Bruch wird beibehalten. M VIII: Gemischte Zahl mal gemischte Zahl: Die natürlichen Zahlen werden multipliziert, die Brüche werden multipliziert. Ursache: Konzept: Verknüpfe Gleichartiges! Therapie: Man wandelt vor der Multiplikation die gemischten Zahlen in Brüche um!
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