Analysis II. Prof. R. Lasser (SS 2001)

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1 Anlysis II Prof. R. Lsser (SS 2001) 1

2 Inhltsverzeichnis 10 Integrtion Funktionsfolgen und gleichmäßige Konvergenz Spezielle Funktionsreihen Tylor-Reihen Fourier-Reihen Differentition im Mehrdimensionlen Stetige linere Abbildungen Kurven in Vektorräumen Totle Differenzierbrkeit

3 10 Integrtion Wir führen nun uf schnellstem Wege ein Integrl ein. Mn sollte bechten, dß es selbst für einfchste Definitionsbereiche verschiedene Arten von Integrlen gibt (z.b. Cuchy- Integrl, Riemnn-Integrl, Lebesgue-Integrl u.s.w.). Die Grundidee der Integrtion ist es, den Flächeninhlt der Fläche, die zwischen Grph und x-achse innerhlb der Intervllgrenzen liegt, zu berechnen. Für Treppenfunktionen ist dies klr. Mittels eines Grenzübergngs erweitern wir ds Integrl uf llgemeinere Funktionen. Die Vorstellung gilt für R-wertige Funktionen. Wir werden dennoch uch C-wertige Funktionen zulssen. Eine Funktion f : [, b] K heißt Treppenfunktion, wenn es 0,..., n [, b] gibt mit = 0 < 1 <... < n = b, so dß f ] k 1, k [ = c k K gilt für k = 1,..., n. Für die Werte f( 0 ), f( 1 ),..., f( n ) wird nichts weiter vorusgesetzt. = 0 < 1 < 2 <... < n = b heißt Teilung (Prtition) von [, b]. In diesem Fll sprechen wir von einer Teilung von [, b] zu f, weil n jeder Sprungstelle von f ein Teilungspunkt liegt. Mn bechte ber, dß nicht jeder Teilungspunkt eine Sprungstelle von f ist (z.b. der Punkt 4 ). Ist j 1 < < j für ein j = 1,..., n, so heißt die Teilung = 0 < 1 <... < j 1 < < j <... < n = b feiner ls = 0 <... < n = b. Ist f : [, b] K eine Treppenfunktion mit einer Teilung = 0 < 1 <... < n = b zu f und f ] k 1, k [ = c k, k = 1,..., n, so setzen wir f(x) dx := c k ( k k 1 ) K (10.1) b f(x) dx heißt ds Integrl von f. Mn ht nun selbstverständlich zu prüfen, dß f(x) dx unbhängig von der Whl der Teilung von f ist. Für die Teilungen von f, die durch Hinzufügen oder Fortnehmen von pssenden Punkten useinnder hervorgehen, reicht es zu begründen, dß ds Hinzufügen eines Punktes, j 1 < < j, ds Integrl von f nicht ändert: j 1 c k ( k k 1 ) +c j ( j 1 ) +c j ( j ) + k=j+1 c k ( k k 1 ) = c k ( k k 1 ), d die Summe der beiden mittleren Terme gleich c j ( j j 1 ) ist. Mit Blick uf Anwendungen in der Sttistik definieren wir später ds sog. Riemnn- Stieltjes-Integrl und ls Spezilfll dvon ds Riemnn-Integrl. Dbei ist eine beliebige 3

4 monoton wchsende Funktion α : [, b] R vorgegeben und mn betrchtet Summen f(x k ) (α(x k ) α(x k 1 ) und dnn ds Supremum und Infimum derrtiger Summen. Jetzt sei schon erwähnt, dß dnn Sprungstellen in f den Wert des Integrls beeinflussen können (wenn α uch springt), während jetzt f( 0 ), f( 1 ),..., f( n ) ohne Bedeutung für f(x) dx sind. Mit T ([, b]) bezeichnen wir die Menge ller Treppenfunktionen. Sind f, g T ([, b]), so ist uch f + g T ([, b]). Durch Verfeinerung einer Teilung von f und einer Teilung von g erhält mn eine Teilung von f und von g, und somit ist f + g eine Treppenfunktion. Offensichtlich ist uch λf T ([, b]), flls f T ([, b]) und λ K. Dmit ist lso T ([, b]) ein K-Vektorrum. T ([, b]) ist ein K-Untervektorrum vom K-Vektorrum B([, b]), (vgl. Beispiel vor Stz 7.5), dem Rum der beschränkten Funktionen uf [, b]. Ist nämlich f T ([, b]), so gilt f = sup f(x) = x b mx c k,,...,n wobei f ] k 1, k [ = c k uf den jeweiligen Treppenstufen ist. Wir hlten einige Eigenschften des Integrls von Treppenfunktionen fest: () (b) (f(x) + g(x)) dx = λf(x) dx = λ f(x) dx f(x) dx + g(x) dx für f T ([, b]) für f, g T ([, b]) (c) Sind f, g T ([, b]) reellwertig und gilt f(x) g(x) für lle x [, b], (d) f(x) dx f(x) dx g(x) dx. f(x) dx f (b ) für f T ([, b]). so gilt Dß () und (b) gelten, ist einfch zu überprüfen. (Verwende die Definition Gleichung (1) und wähle eine gemeinsme Teilung von f und g.) Ist f 0, so sind lle Stufengrößen c k nichtnegtiv, lso us g f uch g(x) dx f(x) dx. f(x) dx 0. Dmit folgt Für (d) erhält mn direkt us einer Teilung = 0 < 1 <... < n = b zu f: c k (x k x k 1 ) c k (x k x k 1 ) mx c k (b ) Bei der Erweiterung des Integrls uf größere Funktionsklssen ls T ([, b]) ist ds Vorgehen nicht mehr so eindeutig vorgeschrieben. Der einfchste Weg ist der, den Cuchy (1823) gewählt ht. Es läßt sich kurz sgen: Mn dehne ds Integrl, ds liner und stetig ist (() und (d)) us uf den Abschluß von T ([, b]) in (B([, b]), ). 4

5 Definition 10.1 Eine Funktion f : [, b] K heißt Regelfunktion (oder integrierbr im Cuchyschen Sinn), wenn sie im Abschluß von T ([, b]) im Bnchrum (B([, b]), ) liegt. Wir bezeichnen R([, b]) := T ([, b]). Dmit ist f eine Regelfunktion, flls f n T ([, b]), n N existieren mit f = n lim f n bzgl. (d.h. lim f n f = 0. Mn sgt, die f n konvergieren gleichmäßig gegen f). n Wir hben R([, b]) so gewählt, dmit wir ds Integrl, ds bisher für f T ([, b]) erklärt ist, uch für f R([, b]) einfch definieren können. Definition 10.2 Sei f R([, b]) eine Regelfunktion, und f n T ([, b]) mit lim n f n f = 0. Definiere f(x) dx := n lim f n (x) dx. f(x) dx heißt (Cuchy-)Integrl von f R([, b]). Wir hben zu zeigen, dß dieser Grenzwert existiert und unbhängig von der gewählten Folge (f n ) n N us T ([, b]) ist. Die Existenz von lim f n (x) dx sichern wir durch ds Cuchy-Kriterium in K. Es gilt n nämlich mit (d) von vorher: f n (x) dx f m (x) dx f n f m (b ) ( f n f + f f m ) (b ). ( ) b Mit f n f 0 ist f n (x) dx eine Cuchyfolge in K, und die Existenz des Grenzwertes gesichert. Ist (g n ) n N, g n T ([, b]), eine weitere Folge von Treppenfunktionen mit lim n g n f = 0, so gilt wiederum mit (d) f n (x) dx ( f n f n N g n (x) dx f n g n (b ) + f g n ) (b ), und es folgt lim g n (x) dx = lim f n (x) dx. n n Wir hben nun belegt, dß die Definition 10.2 korrekt wr. 5

6 Bemerkungen. (1) Wir werden in Kürze eine Chrkterisierung der Regelfunktionen geben, us der unmittelbr folgt, dß C([, b]) R([, b]) gilt. Also existiert für jede stetige Funktion f : [, b] K ds (Cuchy-)Integrl. (2) R([, b]) ist ein bgeschlossener K-Unterrum von B([, b]) (überprüfen!), lso uch vollständig, wie mn sich schnell überlegt. Somit ist R([, b]) mit der -Norm ein Bnchrum. (3) Wichtige Ergebnisse zur Konvergenz von Funktionsfolgen bzgl. (gleichmäßige Konvergenz) folgen noch. Wir wollen nun ein Beispiel rechnen: Sei f : [0, 1] R, f(x) = x. Wir zeigen, dß f R([0, 1]) und berechnen Wir setzen f n : [0, 1] R, f n (x) := k n Es gilt für x ] k 1 n, k n ] : f n (x) f(x) < k n k 1 n f(x) dx. 1 für x ]k n, k ], k = 1,..., n n und f n (0) = 0 = 1 n lso f n f 1. Somit ist f R([0, 1]) und n und f(0) f n (0) = 0, 1 0 f(x) dx = 1 lim f n (x) dx = lim n 0 n k n 1 n = lim n 1 n 2 k = lim n n(n + 1) 2n 2 = 1 2. (Ds hben wir ntürlich erwrtet!) Die Regeln (), (b), (c), (d) gelten uch für Regelfunktionen: Stz 10.3 Seien f, g R([, b]), λ K. Dnn gelten: () (b) (f(x) + g(x)) dx = λf(x) dx = λ f(x) dx. f(x) dx + 6 g(x) dx.

7 (c) Sind f, g reellwertig, f g, so gilt f(x) dx (d) f ist eine Regelfunktion, und wir hben f(x) dx f(x) dx f Beweis. g(x) dx. (b ). () und (b) folgen sofort us den Regeln für den Limes. Für (c) reicht es zu zeigen, dß us f 0 folgt f(x) dx 0. Ist f 0 und f n T ([, b]) mit f f n 0, so gilt für f + n := mx{f n (x), 0} erst recht f f + n 0. Mit f + n T ([, b]) und f(x) dx 0. f + n (x) dx 0 folgt uch Für (d) bechte mn, dß f(x) f n (x) f(x) f n (x) für lle x [, b]. Also gilt f f n f f n. D mit f n T ([, b]) uch f n T ([, b]) ist, folgt f R([, b]). Für die Treppenfunktionen f n wissen wir f n (x) dx f n (x) dx f n (b ) und n lim f f n = 0. D jeweils lim f n n (x) dx = f(x) dx, lim f n (x) dx = n und lim n f n = f, folgen die Ungleichungen uch für f. Bemerkung. Ist f : [, b] C, f R([, b]), Außerdem gilt (Re f)(x) dx = Re f(x) dx und f(x) dx so folgt uch Re f, Im f R([, b]). (Im f)(x) dx = Im f(x) dx. Stz 10.4 Seien < b < c reelle Zhlen, f : [, c] K. Dnn gilt: f R([, c]) genu dnn, wenn f [, b] R([, b]) und f [b, c] R([b, c]). Es gilt, flls f R([, c]), c f(x) dx = f(x) dx + c b f(x) dx. Beweis. Der Nchweis ist elementr. Mn ht nur f [, b] und f [b, c] mit Treppenfunktionen zu pproximieren. Mn nehme diese Treppenfunktionen zur Approximtion von f. Umgekehrt liefert jede Treppenfunktion-Approximtion von f unter eventueller Hinzunhme von b ls Stufe Approximtionen von f [, b] und f [b, c]. Vereinbrungsgemäß setzt mn für > b f(x) dx := und ußerdem f(x) dx = 0. 7 b f(x) dx

8 Stz 10.5 Sei f : [, b] K. Es gilt f R([, b]) genu dnn, wenn für jedes x ], b[ sowohl der linksseitige Grenzwert f(x ) ls uch der rechtsseitige Grenzwert f(x+) existiert, und wenn für x = der rechtsseitige Grenzwert f(+) und für x = b der linksseitige Grenzwert f(b ) exisitert. Beweis. Sei f pproximierbr durch Treppenfunktionen bzgl.. Ferner sei x 0 [, b[, ɛ > 0. Es existiert g T ([, b]), so dß f g < ɛ. Dnn existiert 2 ein Intervll ]x 0, j [, so dß g ]x 0, j [ = c wobei j us einer Teilung von g. Für x, y ]x 0, j [ gilt f(x) f(y) f(x) g(x) + g(y) f(y) < ɛ Mit dem Cuchy-Kriterium in K existiert f(x 0 +). Anlog rgumentiert mn für x 0 ], b], um die Existenz von f(x 0 ) zu begründen. Für die umgekehrte Beweisrichtung sei vorusgesetzt, dß f(x 0 +) für x 0 [, b[ und f(x 0 ) für x 0 ], b] existieren. Wir nehmen n, dß f nicht durch Treppenfunktionen pproximiert werden knn. D.h., es gibt ein ɛ > 0, so dß f g ɛ für lle g T ([, b]) gilt. Wir konstruieren drus induktiv eine Intervllschchtelung ([ n, b n ]) n N0, so dß gilt sup f(x) g(x) ɛ für lle g T ([ n, b n ]) ( ) x [ n,b n] Setze [ 0, b 0 ] = [, b]. Seien [ 0, b 0 ], [ 1, b 1 ],..., [ n, b n ] mit ( ) (und ntürlich 0... n < b n... b 0 ) gefunden. Setze M = 1 ( 2 n + b n ). Dnn müssen uf mindestens einer der Hälften [ n, M] oder [M, b n ] uch lle Treppenfunktionen den -Abstnd von f größer oder gleich ɛ hben. Sei x 0 = [ n, b n ]. Wir nehmen n, dß x 0 ], b[. D f(x 0 +), f(x 0 ) existieren, n N 0 gibt es zu ɛ > 0 ein δ > 0 mit f(x) f(x 0 +) < ɛ x ]x 0, x 0 + δ[ und f(x) f(x 0 ) < ɛ x ]x 0 δ, x 0 [. Nun gibt es n N, so dß [ n, b n ] ]x 0 δ, x 0 + δ[. Definiert mn g : [ n, b n ] K eine Treppenfunktion uf [ n, b n ] f(x 0 ) x [ n, x 0 [ g(x) = f(x 0 ) x = x 0 f(x 0 +) x ]x 0, b n ] so gilt sup x [ N,b N ] f(x) g(x) < ɛ im Widerspruch zu ( ). Dmit ist gezeigt, dß f R([, b]). Korollr 10.6 Jede stetige Funktion ist Regelfunktion, d.h. C([, b]) R([, b]). monotone Funktion ist Regelfunktion. Jede 8

9 Beweis. Ist f C([, b]), so gilt f(x+) = f(x) = f(x ) für x ], b[ und f(+) = f(), f(b ) = f(b). Mit Stz 10.5 gilt f R([, b]). Ist f monoton, so benutze Stz Stz 10.7 Sei f R([, b]), und setze für x [, b] F (x) := x f(t) dt. Dnn ist F : [, b] K gleichmäßig stetig. Ist f in x 0 [, b] stetig, so ist F in x 0 differenzierbr, und es gilt F (x 0 ) = f(x 0 ) Beweis. Für x < y b gilt mit Stz 10.4 y F (y) F (x) = f(t) dt f (y x) x ɛ Ist ɛ > 0 so wähle δ =, f F gleichmäßig stetig ist. (f soll nicht die Nullfunktion sein), und mn sieht, dß Sei nun f in x 0 stetig. Zu ɛ > 0 gibt es δ > 0, so dß f(t) f(x 0 ) < ɛ für lle t ]x 0 δ, x 0 + δ[ [, b]. Dnn gilt für solche t x 0 F (t) F (x 0 ) f(x 0 ) t x 0 = Drus folgt F (x 0 ) = f(x 0 ). = 1 t x 0 1 t x 0 t t x 0 f(s) ds 1 t x 0 (f(s) f(x 0 )) ds < ɛ. x 0 f(x 0 ) ds x 0 Der folgende Stz zeigt uns, wie die meisten Integrle zu lösen sind, nämlich über die Stmmfunktionen, vgl. Definition Mn nennt dieses Theorem zusmmen mit Stz 10.7 uch Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung, d Differenzieren und Integrieren in Beziehung gesetzt werden. t Stz 10.8 Ist f R([, b]) und existiert eine differenzierbre Funktion F : [, b] K mit F (x) = f(x) für lle x [, b], so gilt f(x) dx = F (b) F (). F ist eine (bis uf eine dditive Konstnte eindeutig bestimmte) Stmmfunktion von f. 9

10 Beweis. Sei m N. Es gibt g T ([, b]) mit f g < 1 m(b ), dzu eine Teilung von g: = 0 < 1 <... < nm = b, so dß g ] k 1, k [ = c k für k = 1,..., n m. Mit dem Mittelwertstz (Stz 9.11) existieren ξ k ] k 1, k [ mit F ( k ) F ( k 1 ) = f(ξ k ) ( k k 1 ), d F ls differenzierbr vorusgesetzt ist. Wir hben nun n m und ndererseits n m n m f(ξ k ) ( k k 1 ) f(ξ k ) c k ( k k 1 ) < 1 m(b ) c k ( k k 1 ) n m ( k k 1 ) = 1 m und n m f(ξ k ) ( k k 1 ) = n m (F ( k ) F ( k 1 )) = F (b) F (), und folglich Mit m streben die Summen Beweis vollständig geführt. nm (F (b) F ()) c k ( k k 1 ) n m c k ( k k 1 ) gegen < 1 m. f(x) dx, und dmit ist der Bemerkung: Setzt mn in Stz 10.8 sogr f C([, b]) vorus, so folgt die Behuptung sofort us Stz Denn bezeichnet mn für den Moment G(x) = x f(t) dt, so gilt G (x) = f(x) mit Stz Dmit hben wir F (x) = G (x) für lle x [, b], und folglich ist G F eine Konstnte. D G() = 0, ist diese Konstnte gleich F (). Somit gilt G(x) = F (x) F () und f(t) dt = G(b) = F (b) F (). Mit Stz 10.8 ht mn nun eine sehr prktische Methode, ds Integrl f(x)dx zu berechnen, vorusgesetzt mn kennt eine Stmmfunktion von f. Stz 10.7 sgt uns, dß zumindest jedes stetige f eine Stmmfunktion besitzt. Es gibt zhlreiche Tbellen, in denen eine Stmmfunktion zu gegebenem f ngegeben ist. (1) f(x) = x, F (x) = x ( 1) x > 0 (2) f(x) = 1, F (x) = ln(x) x > 0 x (3) f(x) = e x, F (x) = e x x R (4) f(x) = ln(x), F (x) = x ln(x) x x > 0 10

11 (5) f(x) = sin(x), F (x) = cos(x) x R (6) f(x) = cos(x), F (x) = sin(x) x R u.s.w. Es gibt uch sehr nützliche Regeln für die Berechnung von Integrlen. Stz 10.9 (Prtielle Integrtion) Seien f, g R([, b]), zu denen differenzierbre Funktionen F und G existieren mit F (x) = f(x), G (x) = g(x) für lle x [, b]. Dnn gilt: F (x) g(x) dx = F (b)g(b) F ()G() f(x) G(x) dx. Beweis. Mn setze H(x) = F (x)g(x). Mit der Produktregel (Stz 9.3) gilt H (x) = f(x)g(x) + F (x)g(x) für lle x [, b]. Mn bechte, dß H eine Regelfunktion ist (etw wegen Stz 10.5). Nun wende Stz 10.8 n, und mn erhält F (b)g(b) F ()G() = H(b) H() = H (x) dx = f(x) G(x) dx + F (x) g(x) dx. Stz (Substitutionsregel) Sei f C([A, B]), und bezeichne F eine Stmmfunktion von f. Sei ferner ϕ : [, b] R stetig differenzierbr (d.h. ϕ existiert und ist stetig) mit ϕ([, b]) [A, B]. Dnn gilt f(ϕ(y)) ϕ (y) dy = ϕ(b) ϕ() f(x) dx. Beweis. D wir f stetig vorusgesetzt hben, besitzt f eine Stmmfunktion. Bechte uch, dß (f ϕ) ϕ C([, b]) R([, b]) gilt. Mit der Kettenregel (Stz 9.4) gilt: Ist F Stmmfunktion von f, so ist F ϕ eine Stmmfunktion von (f ϕ) ϕ. Mit Stz 10.8 folgt nun f(ϕ(y)) ϕ (y) dy = F ϕ(b) F ϕ() = ϕ(b) ϕ() f(x) dx. Meistens schreibt mn für die Stmmfunktionen F +c von f einfch ds Symbol f(x)dx. Ntürlich ist f(x)dx lso uch bis uf eine dditive Konstnte festgelegt. (Mn nennt f(x)dx ds unbestimmte Integrl von f.) 11

12 Beispiel: Berechnung der Integrle cos n (x) dx und sin n (x) dx. Dzu leiten wir eine Rekursionsformel mit prtieller Integrtion her. Mn nehme F = cos n 1, G = sin. Dnn ist f = (n 1) cos n 2 sin, g = cos. Mit Stz 10.9 cos n (x) dx = cos n 1 (x) sin(x) + (n 1) cos n 2 (x) sin 2 (x) dx, lso cos n (x) dx = cos n 1 (x) sin(x) + (n 1) cos n 2 (x) ( 1 cos 2 (x) ) dx. Einfches Umstellen ergibt n cos n (x) dx = cos n 1 (x) sin(x) + (n 1) cos n 2 (x) dx (10.2) Genuso folgt n sin n (x) dx = sin n 1 (x) cos(x) + (n 1) sin n 2 (x) dx (10.3) Mit den speziellen Grenzen = 0, b = π 2 erhält mn für die Folge c n := (2n) c 2n Drus folgt π/2 = 2n cos 2n (x) dx = (2n 1) 0 π/2 0 π/2 0 cos n (x) dx : cos 2n 2 (x) dx = (2n 1) c 2n 2 c 2n = 2n 1 2n Ebenso gilt c 2n 2 = 2n 1 2n 2n 3 2n π/2 0 dx = 2n 1 2n 2n 3 2n (2n + 1) c 2n+1 = 2n c 2n 1, und folglich π 2 (10.4) c 2n+1 = 2n 2n + 1 2n 2 2n π/2 3 cos(x) dx = 0 Dmit können wir ds Wllissche Produkt berechnen. Setze w n := c 2n+1 Wir begründen nun, dß n lim c 2n (2n)(2n) (2n 1)(2n + 1) = c 2n+1 c 2n = 1, worus dnn 2n 2n + 1 2n 2 2n (10.5) π 2. lim n w n = π 2 (10.6) 12

13 folgt. Aus cos 2n cos 2n+1 cos 2n+2 uf [0, π], folgt c 2 2n c 2n+1 c 2n+2 und drus erhält mn 1 c 2n+1 c 2n+2 = 2n + 1 c 2n c 2n 2n Dmit ist (10.6) bewiesen. Nun können wir uch eine offene Frge us Kpitel 4, Beispiel 2 (nch Korollr 4.6) erledigen. Dort ist p n = n 2n 1. Nun ist ber w n = p 2 1 n 2n + 1. Aus Kpitel 4 wissen wir, dß p 2 n 2n + 1 w n π 2 nch dem gerde Bewiesenen, folgt α = π. Anwendungen der Substitutionsregel finden sich in den Übungsufgben. α2 2. D Als nächstes führen wir ds Riemnn-Stieltjes-Integrl ein. Eine Motivtion liegt in der Sttistik. Auch eine physiklische Überlegung führt zu diesem Integrl. Die Punkte 1,..., n der x-achse seien mit den Mssen m 1,..., m n belegt. Der Schwerpunkt dieses Punktesystems ist x s = n m k k / n m k. Als kontinuierliches Anlogon sei uf dem Intervll [, b] Msse verteilt, und zwr gemäß einer Belegungsfunktion m(x), für die m(x) die im Intervll [, x] vorhndene Msse beschreibt, lso ist m(b) =: M die Gesmtmsse uf [, b]. Ist nun = 0 < 1 <... < n = b eine Teilung von [, b] und η k [ k 1, k ], so ist rein von der Anschuung x s = 1 η k (m( k ) m( k 1 )) M eine Näherung für den Schwerpunkt des Mssesystems. Im folgenden ist α : [, b] R eine monoton wchsende Funktion. Für jede reellwertige, beschränkte Funktion f B([, b]) und jede Teilung < 0 < 1 <... < n = b (wir benutzen bkürzend P für eine Teilung) setzen wir M k := sup f(x), m k := inf f(x) k 1 x k k 1 x k und schließlich Offensichtlich gelten: O(f, P, α) := U(f, P, α) := M k (α( k ) α( k 1 )), m k (α( k ) α( k 1 )). (i) U(f, P, α) O(f, P, α) 13

14 (ii) Ist P 1 feiner ls P 2, so ist U(f, P 2, α) U(f, P 1, α) und O(f, P 2, α) O(f, P 1, α). (iii) Sind P, P zwei beliebige Teilungen, so gilt U(f, P, α) O(f, P, α). Während (i) und (ii) unmittelbr us der Definition von U(f, P, α) und O(f, P, α) folgen, erhält mn (iii), indem mn eine Teilung P wählt, die feiner ls P und P ist. Mit (i) und (ii) folgt dnn U(f, P, α) U(f, P, α) O(f, P, α) O(f, P, α). Insbesondere ist mit feiner werdenden Teilungen U(f, P, α) monoton wchsend und nch oben beschränkt, und O(f, P, α) monoton fllend und nch unten beschränkt. Dmit existieren f(x) dα(x) := inf O(f, P, α) R P und und es gilt mit (ii) f(x) dα(x) := sup U(f, P, α) R, P f(x) dα(x) b f(x) dα(x) (10.7) Definition Sei f B([, b]). Gilt in (10.7) sogr Gleichheit, so heißt f bezüglich α Riemnn-Stieltjes-integrierbr, und mn bezeichnet dnn f(x) dα(x) := f(x) dα(x) = b f(x) dα(x) und nennt f(x) dα(x) [, b]. In Zeichen: f R(α). ds Riemnn-Stieltjes-Integrl von f bezüglich α über Bemerkung; Ist speziell α(x) = x, so schreibt mn Riemnn-Integrl von f. f(x)dx und nennt dieses Integrl Ds Riemnn-Integrl ist lso ein Sonderfll des Riemnn-Stieltjes-Integrls. Betrchtet mn die gebildeten Summen O(f, P, α), U(f, P, α) für α(x) = x, so läßt sich vermuten, dß Cuchy-Integrl und Riemnn-Integrl für Regelfunktionen f R([, b]) identisch sind. Es gibt llerdings Riemnn-integrierbre Funktionen f, die nicht in R([, b]) liegen. Ist α(x) = x, so schreiben wir künftig f R sttt f R(α). Mn sollte einige der folgenden Resultte für den besonderen Fll α(x) = x mit den Ergebnissen zum Cuchy- Integrl vergleichen. Stz Es gilt f R(α) uf [, b] genu dnn, wenn für jedes ɛ > 0 eine Teilung P existiert mit O(f, P, α) U(f, P, α) < ɛ. (10.8) 14

15 Beweis. Gelte (10.8). D für jedes P gilt folgt us (10.8), dß U(f, P, α) f(x) dα(x) f(x) dα(x) = b f(x) dα(x) O(f, P, α), b f(x) dα(x) gilt. Sei nun f R(α) vorusgesetzt. Dnn exisitiert zu ɛ > 0 eine Teilung P 1 mit O(f, P 1, α) f(x) dα(x) < ɛ 2, und eine Teilung P 2 mit P feiner ls P 1 und P 2, so folgt f(x) dα(x) U(f, P 2, α) < ɛ. Ist nun 2 O(f, P, α) O(f, P 1, α) < lso (10.8). f(x) dα(x) + ɛ 2 < U(f, P 2, α) + ɛ U(f, P, α) + ɛ, Ds folgende Ergebnis besgt, dß ds Riemnn-Stieltjes-Integrl nicht nur durch Infim bzw. Suprem von f uf den kleinen Teilungsintervllen [ k 1, k ] bestimmt wird, sondern dß wir beliebige Funktionswerte f(ξ k ), ξ k [ k 1, k ] wählen dürfen. Stz Sei f R(α), und seien ɛ > 0, P = { 0,..., n } dzu bestimmt, so dß (10.8) in Stz gilt. Dnn folgt wobei ξ k [ k 1, k ], k = 1,..., n. f(ξ k ) (α( k ) α( k 1 )) f(x) dα(x) < ɛ, (10.9) Beweis. Offensichtlich gilt f(ξ k ) [m k, M k ], lso U(f, P, α) f(ξ k ) (α( k ) α( k 1 )) O(f, P, α) Drus folgt sofort (10.9). Ob eine konkrete Funktion f in R(α) liegt, hängt ntürlich uch von α b. Der folgende Stz beinhltet ber, dß C([, b]) R(α) gilt für lle α. (Vorusgesetzt ist nch wie vor, dß α monoton wchsend ist.) Stz Es gelten: (1) C([, b]) R(α) (2) Ist α zusätzlich stetig uf [, b], so liegt jede monotone Funktion f : [, b] R in R(α). 15

16 Beweis. Wir merken n, dß der Fll α c immer f(x) dα(x) = 0 für lle f B([, b]) liefert. Dieser uninteressnte Rndfll wird im folgenden usgeschlossen. ɛ (1) Sei ɛ > 0. Setze η =. D f gleichmäßig stetig ist (siehe Stz 8.20), α(b) α() existiert ein δ > 0, so dß f(x) f(y) < η 2 für lle x, y [, b], x y < δ. Sei P = { 0,..., n } eine Teilung von [, b] mit M k m k η, k = 1,..., n. Folglich 2 min ( k k 1 ) < δ, so folgt dmit,...,n O(f, P, α) U(f, P, α) = (M k m k ) (α( k ) α( k 1 )) Stz liefert die Behuptung. η 2 (α(b) α()) = ɛ 2 < ɛ. (2) Wir betrchten nur den Fll, dß f monoton wächst. Sei n N. Mit dem Zwischenwertstz (Korollr 7.8) ngewendet uf α können wir sukzessive Punkte = 0 < 1 <... < n = b bestimmen, so dß α( k ) α( k 1 ) = α(b) α(). n D f monoton wchsend ist, gilt M k = f( k ), m k = f( k 1 ), und folglich für P = { 0,..., n } O(f, P, α) U(f, P, α) = α(b) α() n (f( k ) f( k 1 )) = α(b) α() n (f(b) f()). Mit n (und Stz 10.12) folgt die Behuptung. Bisher hben wir ds Riemnn-Stieltjes-Integrl nur für reellwertige f B([, b]) erklärt. Ist f B([, b]) komplexwertig, so betrchte Re f B([, b]) und Im f B([, b]). Sind Re f R(α) und Im f R(α), so setzen wir f(x) dα(x) := Re f(x) dα(x) + i Im f(x) dα(x) (10.10) und schreiben f R(α) und nennen f Riemnn-Stieltjes-integrierbr bzgl. α. Ntürlich heißt ds in (10.10) erklärte Integrl uch Riemnn-Stieltjes-Integrl von f bzgl. α. Wir hben die Eigenschften wie Linerität, Monotonie, Beschränktheit, wie erwrtet. Stz Seien f, g R(α), λ K. Es gelten 16

17 (i) f + g R(α), λf R(α) und (f(x) + g(x)) dα(x) = f(x) dα(x) + g(x) dα(x) (ii) Sind f, g reellwertig, f g, so gilt λf(x) dα(x) = λ f(x) dα(x) f(x) dα(x) g(x) dα(x) (iii) Es gilt f R(α) und f(x) dα(x) f(x) dα(x) f (α(b) α()) Beweis. (i) und (ii) folgen unmittelbr us der Definition. Gegebenenflls ht mn Relteil und Imginärteil seprt zu studieren. (iii) Den Nchweis von f R(α) verschieben wir bis nch dem folgenden Hilfsstz. Sei u C, u = 1 so gewählt, dß u f(x)dα(x) = f(x)dα(x). Dmit folgt us (i) und (ii) f(x) dα(x) = u f(x) dα(x) = uf(x) dα(x) = Re (uf)(x) dα(x) + i Im (uf)(x) dα(x) = Re (uf)(x) dα(x) uf (x) dα(x) = f(x) dα(x) f (α(b) α()). Lemm Sei f R(α) uf [, b] und reellwertig mit m f M. Ferner sei ϕ : [m, M] R stetig. Setze h(x) := ϕ f(x) für lle x [, b]. Dnn gilt h R(α) uf [, b]. Beweis. Sei ɛ > 0. D ϕ gleichmäßig stetig ist, existiert δ > 0 mit 0 < δ < ɛ und ϕ(x) ϕ(y) < ɛ für lle x, y [m, M] mit x y < δ. Sei P = { 0,..., n } eine Teilung von [, b] mit O(f, P, α) U(f, P, α) < δ 2. Seien m k, M k die Infim und Suprem von f uf [ k 1, k ] und m k, M k diejenigen von h uf [ k 1, k ]. Wir teilen {1,..., n} ein in zwei Klssen A := {k : M k m k < δ}, B := {k : M k m k δ} 17

18 Für k A folgt nch Whl von δ > 0, dß M k m k ɛ gilt. Für k B gilt sicherlich M k m k 2 ϕ mit ϕ := mx ϕ(x). Wir hben nun x [m,m] δ (α( k ) α( k 1 )) k m k ) ((α( k ) α( k 1 )) k B k B(M (M k m k ) (α( k ) α( k 1 )) < δ 2, lso k B(α( k ) α( k 1 )) < δ. Folglich gilt O(h, P, α) U(h, P, α) = ( M k m k ) (α( k ) α( k 1 )) + k A k B( M k m k ) (α( k ) α( k 1 )) ɛ (α(b) α()) + 2 ϕ δ ɛ (α(b) α() + 2 ϕ ). D ɛ > 0 beliebig gewählt werden knn, folgt h R(α). Korollr Sind f, g R(α), so sind f g R(α) und f R(α). reellwertig, so gilt mx(f, g), min(f, g) R(α). Sind f, g Beweis. Seien f und g zunächst reellwertig. Setze in Lemm ϕ(x) = x 2. Dmit ist f 2 R(α), flls f R(α). Aus fg = 1 ((f + 4 g)2 (f g) 2 ) folgt fg R(α). Über gesonderte Betrchtung von Relteil und Imginärteil folgt f g R(α) uch für komplexwertige f, g R(α). Mit f(x) = ( Re f 2 (x) + Im f 2 (x)) 1/2 und zwr mit ϕ(x) = x. reicht es nochmls, Lemm hernzuziehen, Schließlich bechte: mx(f, g) = f + g 2 Eine weitere Rechenregel ist: + f g, min(f, g) = f + g 2 2 f g. 2 Ist f R(α 1 ) und f R(α 2 ), so gilt f R(α 1 + α 2 ) und f(x) d(α 1 + α 2 )(x) = f(x) dα 1 (x) + f(x) dα 2 (x) (Der Beweis folgt direkt us der Definition) Wir wollen nun zwei wichtige Spezilfälle für α genuer studieren. Bezeichne für x R H(x) := { 0 x 0 1 x > 0 (Heviside-Funktion) Stz Sei s ], b[, f B([, b]) und stetig in s. Bezeichne α s (x) := H(x s). Dnn gilt: f(x) dα s (x) = f(s) 18

19 Beweis. Betrchte die Teilung P = { 0, 1, 2, 3 } mit = 0 < 1 = s < 2 < 3 = b. Dnn gilt O(f, P, α s ) = M 1 (0 0) + M 2 (1 0) + M 3 (1 1) = M 2 und nlog U(f, P, α s ) = m 2. D f stetig in s ist, folgt mit 2 s uch M 2 = Dnn muß ber f(x)dα s (x) = f(s) gelten. sup f(x) f(s) und m 2 f(s). s x 2 Stz Seien c k 0 mit c k konvergent. Ferner seien s n, n N verschiedene Punkte in ], b[. Betrchte die monoton wchsende Sprungfunktion α : [, b] R, α(x) = c k α Sk (x) = c k H(x s k ) Sei f C([, b]). Dnn gilt f(x) dα(x) = c k f(s k ) (10.11) (D.h. für derrtige Sprungfunktionen α wird ds Riemnn-Stieltjes-Integrl zu einer Reihe.) Beweis. Mn bechte, dß α(x) für jedes x [, b] existiert. Mn benutze etw ds Mjorntenkriterium, us dem uch α(x) α(y) folgt für x y. Desweiteren ist α() = 0, α(b) = c k. (Mit c k = 0 für k = N + 1, N + 2,... ht mn uch endliche Summen.) Sei ɛ > 0. Wähle N N mit c k k=n+1 < ɛ, und setze α 1 (x) := N c k α sk (x), α 2 (x) := k=n+1 c k α sk (x) Mit Stz und Stz 10.15(i) folgt f(x) dα 1 (x) = N c k f(s k ). 19

20 Mit α 2 (b) α 2 () = c k k=n+1 < ɛ gilt f(x) dα 2 (x) f ɛ. D α = α 1 + α 2, folgt dmit f(x) dα(x) N c k f(s k ) f ɛ. Ds heißt ber c k f(s k ) = f(x) dα(x). Stz Sei α : [, b] R monoton wchsend und differenzierbr derrt, dß α R. Ferner sei f B([, b]). Dnn gilt f R(α) genu dnn, wenn fα R ist. In diesem Fll ht mn f(x) dα(x) = f(x)α (x) dx (10.12) (D.h. ds Riemnn-Stieltjes-Integrl von f bzgl. α ist nichts nderes ls ds Riemnn- Integrl von fα.) Beweis. Mit α R können wir Stz nwenden. Also existiert zu ɛ > 0 eine Teilung P = { 0,..., n } von [, b] mit O(α, P, id) U(α, P, id) < ɛ. Diese Abschätzung gilt uch für jede feinere Teilung P P. Außerdem gibt es mit dem Mittelwertstz (Stz 9.11) ξ k ] k 1, k [ mit α( k ) α( k 1 ) = α (ξ k ) ( k k 1 ) für lle k = 1,..., n. Für ein beliebiges η k [ k 1, k ] folgt α (ξ k ) α (η k ) ( k k 1 ) O(α, P, id) U(α, P, id) < ɛ. Drus erhält mn mit α( k ) α( k 1 ) = α (ξ k )( k k 1 ) : f(η k ) (α( k ) α( k 1 )) f(η k )α (η k ) ( k k 1 ) = f(η k )α (ξ k ) ( k k 1 ) f(η k )α (η k ) ( k k 1 ) f Insbesondere gilt n α (ξ k ) α (η k ) ( k k 1 ) < f ɛ. (10.13) f(η k ) (α( k ) α( k 1 )) O(fα, P, id) + f ɛ 20

21 für beliebige η k [ k 1, k ], und folglich Genuso folgt O(f, P, α) O(fα, P, id) + f ɛ. O(fα, P, id) O(f, P, α) + f ɛ. Dies gilt für jede feinere Teilung P P, worus b f(x) dα(x) f(x)α (x) dx f ɛ folgt. D ɛ > 0 beliebig wählbr ist, gilt für jede beschränkte Funktion f. b f(x) dα(x) = b f(x)α (x) dx Entsprechend zeigt mn f(x) dα(x) = Nun folgt die komplette Behuptung des Stzes. f(x)α (x) dx. Am Ende dieses Prgrphen hben wir noch einen wichtigen Punkt zu erläutern. Für α = id hben wir nämlich zwei Integrle: Ds Cuchy-Integrl und ds Riemnn-Integrl uf [, b]. Ds Riemnn-Integrl ist ds llgemeinere Integrl. Denn es gilt R([, b]) R, und uf R([, b]) stimmen beide Integrle überein. Dzu ht mn nur zu bechten, dß beide Integrle uf T ([, b]) den gleichen Wert ergeben. Alsdnn ht mn einen Stz über gleichmäßige Konvergenz und Integrtion im nächsten Prgrphen zu zitieren, und mn ist fertig. Insbesondere sind lle stetigen Funktionen und monotonen Funktionen uf [, b] Riemnn-integrierbr, ws wir bereits mit Stz wissen. Ntürlich sollte mn eine Funktion f R\R([, b]) ngeben. Bezeichne f : [ 1, 1] R f(x) = ( 1 sin x) für x 0 0 für x = 0. Nun gilt f / R([ 1, 1]), denn f(0+) und f(0 ) existieren nicht. Andererseits gilt f R, wie us folgendem Kriterium folgt. Stz (Riemnn) Sei f B([, b]) reellwertig. Es gilt f R genu dnn, wenn für lle ν > 0, σ > 0 ein δ > 0 existiert, so dß für jede Teilung P = { 0, 1,..., n } mit l(p ) := mx,...,n ( k k 1 ) δ folgende Eigenschft gilt: S σ := k A( k k 1 ) < ν, wobei A := { k P : M k m k σ} 21

22 Beweis. Sei f R. Wähle mit Stz ein δ > 0 so, dß O(f, P, id) U(f, P, id) < σν, flls l(p ) δ. Dnn gilt σs σ lso S σ < ν. (M k m k ) ( k k 1 ) = O(f, P, id) U(f, P, id) < σν, Für die umgekehrte Beweisrichtung sei D = sup f(x) inf f(x). Dnn existiert zu x [,b] x [,b] ν > 0, σ > 0 ein δ > 0, so dß O(f, P, id) U(f, P, id) = (M k m k ) ( k k 1 ) = (M k m k ) ( k k 1 ) + k m k ) ( k k 1 ) νd + σ (b ) k A k / A(M für lle P mit l(p ) < δ. Zu gegebenem ɛ > 0 wähle nun ν = O(f, P, id) U(f, P, id) < ɛ. ɛ 2D, σ = ɛ. Dnn gilt 2(b ) Kehren wir zum Beispiel f(x) = ( 1 sin x) x 0 0 x = 0 zurück. Seien ν, σ > 0. Wähle α > 0 mit 0 < 2α < ν. Nun ist f (x) C x [ 1, α] [α, 1], und folglich existiert mit dem Mittelwertstz ein δ > 0 mit 2α + 2δ < ν so dß für lle P mit l(p ) δ gilt A = { k P : M k m k σ} [ δ α, α + δ] Somit folgt S σ = k A( k k 1 ) 2α + 2δ < ν. Mit Stz gilt lso f R. Ein Beispiel für f / R ist f : [0, 1] R, f(x) = { 1 x Q 0 x R\Q Betrchte hier ν = 1, σ = 1. Für jede Teilung P gilt M 2 3 k m k = 1, somit S 1/3 = ( k k 1 ) = 1 > 1 2. Wir merken noch n, dß Stz 10.7 und Stz 10.8 wortwörtlich für f R gelten. Der Beweis von Stz 10.8 läßt sich mit Stz direkt übertrgen. Bei Stz 10.7 ist überhupt nichts zu ändern. 22

23 Uneigentliche Integrle der Art f(x) dx = lim f(x) dx b (flls der Grenzwert existiert), werden wir nicht näher behndeln. Mit dem Lebesgue- Integrl werden wir später einen sehr llgemeinen Zugng entwickeln. 23

24 11 Funktionsfolgen und gleichmäßige Konvergenz Die Problemstellung knn mn m einfchsten n einigen Beispielen erörtern (1) Sei f n : R R, f n (x) = sin(nx) n sin(nx) Offensichtlich gilt für die Grenzfunktion f(x) := lim = 0 n n Für die Ableitungen gilt: : f n(x) = n cos(nx), ber f (x) = 0. Somit konvergiert f n keinesflls gegen f. (2) Sei f n : [0, 1] R, f n (x) = n 2 x (1 x 2 ) n Wir hben f n (0) = 0 = f n (1) und für x ]0, 1[ gilt uch Hingegen gilt und folglich 1 Somit konvergiert 0 lim f n(x) = 0 (d n 2 q n 0 für 0 < q < 1) n x(1 x 2 ) n dx = y n dy = 1 2 y n n + 1 f n (x) dx = n 2 1 2n + 2 f n (x)dx nicht gegen Setzt mn g n (x) = nx (1 x 2 ) n, so gilt 1 0 (3) Sei lim g n(x)dx = 0. n f m (x) = n lim (cos(m! πx)) 2n = Insbesondere gilt f m [0, 1] R([0, 1]) = lim f n(x)dx = 0. n g n (x)dx 1 2, ber 1 2n flls x = k m!, k Z 0 sonst Für die Grenzfunktion f(x) = lim m f m(x) hben wir f(x) = { 1 flls x Q 0 flls x R\Q Ist nämlich x R\Q, so gilt f m (x) = 0 für lle m N. Ist x Q, etw x = p (p, q Z), so hben wir für m q uch m! x = q m p q Z. Also f m(x) = 1 flls m q. Dmit ist f [0, 1] / R. 24

25 An diesen Beispielen sehen wir, dß bei (punktweiser) Konvergenz von Folgen (f n (x)) n N Differentition, Integrtion mit der Limesbildung nicht vertuscht werden dürfen. Ds letzte Beispiel zeigt sogr, dß für die Grenzfunktion ds Riemnn-Integrl gr nicht gebildet werden knn. Mit nderen Worten: R ist nicht bgeschlossen unter punktweiser Konvergenz. Wir kennen inzwischen für beschränkte Funktionen f B(M) mit f = sup f(x) x M einen Konvergenzbegriff: f n f sup f n (x) f(x) 0 x M (gleichmäßige Konvergenz!). Störend ist hierbei noch, dß wir prinzipiell nur beschränkte Funktionen betrchten können. Definition 11.1 Sei M eine Menge, f n : M K, n N und f : M K Funktionen. (f n ) n N heißt gleichmäßig konvergent gegen f, flls für lle ɛ > 0 ein N N existiert mit f n (x) f(x) ɛ für lle n N und lle x M Letzteres ist äquivlent zu Wir schreiben f n f gleichmäßig uf M. sup f n (x) f(x) 0 mit n x M Bemerkung: Sind lle f n, f B(M), so gilt f n f gleichmäßig uf M genu dnn, wenn f n f bzgl.. Ds erste Ergebnis behndelt die gleichmäßige Konvergenz und die Stetigkeit. Stz 11.2 Sei M ein metrischer Rum mit Metrik d, und sei (f n ) n N eine Folge K- wertiger Funktionen f n : M K, die uf M gegen eine Grenzfunktion f : M K gleichmäßig konvergieren. Sind lle f n (in einer Stelle M) stetig, so ist f uch (in M) stetig. Beweis. Sei ɛ > 0. Es gibt ein N N mit f n (x) f(x) < ɛ für lle x M, n N, 3 wegen der gleichmäßigen Konvergenz. Mit der Stetigkeit von f N in gibt es δ > 0 mit f N (x) f N () < ɛ für lle x M mit d(x, ) < δ. Für die Grenzfunktion gilt dnn 3 f(x) f() f(x) f N (x) + f N (x) f N () + f N () f() < ɛ für lle x M mit d(x, ) < δ. Bemerkung: Es muß nicht notwendigerweise gleichmäßige Konvergenz vorliegen, dmit eine punktweise Grenzfunktion f stetiger Funktionen f n stetig ist. Die f n von Beispiel (2) hben die Nullfunktion ls Grenzfunktion. Die Funktionen f n konvergieren ber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion. 25

26 D f n ( 1 n ) = n 3/2 ( 1 1 n) n, (denn 0. ( 1 1 n) n e 1 ) gilt sogr: f n Ein Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz ist in Übungsufgbe H17 (Kriterium von Dini) zu finden. Betrchten wir den K-Vektorrum C(M) = {f : M K : f stetig } so ist wie wir wissen C(M) mit f = sup f(x) (vgl. Korollr 8.9) ein normierter x M Rum. Mit Stz 11.2 erhält mn Korollr 11.3 Sei M ein kompkter metrischer Rum. Dnn ist C(M) mit ein Bnchrum. Beweis. Mn ht die Vollständigkeit zu zeigen. Vergleiche hierzu H19. Als nächstes behndeln wir gleichmäßige Konvergenz und Integrtion. Stz 11.4 Sei α : [, b] R monoton wchsend. Seien f n : [, b] K Funktionen us R(α), die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f : [, b] K konvergieren. Dnn ist f R(α), und es gilt f(x) dα(x) = lim n f n (x) dα(x) ( ) b (Insbesondere konvergiert uch f n (x)dα(x).) n N Beweis. Es reicht, reellwertige f n zu betrchten. Setzt mn ɛ n = sup f n (x) f(x), x [,b] so gilt für lle x [, b] f n (x) ɛ n f(x) f n (x) + ɛ n und dmit (f n (x) ɛ n ) dα(x) Umgeordnet erhält mn 0 b f(x) dα(x) f(x) dα(x) b f(x) dα(x) f(x) dα(x) 2ɛ n (α(b) α()). Mit ɛ n 0 folgt f R(α). Desweiteren folgt us Obigem: f(x) dα(x) f n (x) dα(x) ɛ n (α(b) α()). (f n (x) + ɛ n ) dα(x). Bemerkung: Mit Stz 11.4 folgt R([, b]) R. Mn vergleiche die Diskussion m Ende von Prgrph

27 Korollr 11.5 Sind f n R(α), und konvergiert die Reihe gleichmäßig uf [, b] f(x)), so ist f R(α) und f(x) = f n (x) n=1 (d.h. die Prtilsummen N f(x) dα(x) = n=1 f n (x) konvergieren gleichmäßig gegen f n (x) dα(x). n=1 Mit Blick uf Stz 11.4 betrchte mn nochmls die Beispiele (2) und (3). Nun wenden wir uns den Beziehungen zwischen gleichmäßiger Konvergenz und Differentition zu. Mit Beispiel (1) sehen wir, dß gleichmäßige Konvergenz von (f n ) n N es nicht ermöglicht, dß Differentition und Grenzwert vertuscht werden dürfen. Stz 11.6 Seien f n : [, b] K stetig differenzierbre Funktionen, die punktweise gegen die Funktion f : [, b] K konvergieren. Die Folge (f n) n N konvergiere gleichmäßig uf [, b]. Dnn ist f differenzierbr und es gilt f (x) = lim f n n(x) für lle x [, b]. Beweis. Sei f = n lim f n. Mit Stz 11.2 ist f : [, b] K eine stetige Funktion. Mit Stz 10.8 gilt für lle x [, b], n N Mit Stz 11.4 konvergiert x Dmit gilt f(x) = f() + vergleiche Stz f n (x) = f n () + x f n(t)dt gegen f(t)dt. x x f(t)dt. f n(t) dt. Mit Differentition erhlten wir f (x) = f(x), Im Prgrphen 6 hben wir Potenzreihen eingeführt und untersucht. Im Prgrphen 7 (Korollr 7.6) hben wir die Stetigkeit einer Potenzreihe im Inneren des Konvergenzkreises hergeleitet, und zwr mittels eines Stzes über Mjornten, Stz 7.5. Zur Differentition von Potenzreihen benötigen wir ein Resultt zur gleichmäßigen Konvergenz, um Stz 11.6 nwenden zu können. Stz 11.7 Sei M eine Menge, f k : M K beschränkte Funktionen mit f k M := f k (x). Es gelte sup x M f k M <. Dnn konvergiert die Reihe f k gleichmäßig (und bsolut) uf M gegen eine beschränkte Funktion f : M K mit f M f k M. 27

28 Beweis. Wie im Beweis von Stz 7.5 gilt: f(x) = f k (x) ist für jedes x M wohldefiniert, die Reihe konvergiert bsolut in jedem x M, und es gilt f(x) f k (x) f k M, lso f M f k M. Bleibt die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen. Bezeichne die n-te Prtilsumme S n (x) := f k (x). Sei ɛ > 0. Dnn existiert N N, so dß x M und n N gilt dnn k=n+1 f k M < ɛ für lle n N. Für lle S n (x) f(x) = f k (x) f k (x) f k M < ɛ, k=n+1 k=n+1 k=n+1 d.h. die S n konvergieren gleichmäßig gegen f. Korollr 11.8 Sei c k z k eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R > 0. Sei 0 < ϱ < R. Dnn konvergiert die Potenzreihe gleichmäßig (und bsolut) uf K ϱ (0). Die Potenzreihe kc k z k 1 konvergiert ebenflls gleichmäßig (und bsolut) uf K ϱ (0). Insbesondere gilt für die Funktion f : ] R, R[ K, f(x) := c k x k folgendes: Die Ableitung ist für x ] R, R[ gleich f (x) = kc k x k 1. Mehr noch, f ist beliebig oft differenzierbr uf ] R, R[, und es gilt für n N, x ] R, R[ f (n) (x) = k(k 1)... (k n + 1) c k x k n. k=n (Ist f in einem Punkt x differenzierbr, so heißt f (x) = (f ) (x) die zweite Ableitung von f in x. Allgemein bezeichnet, flls sie existiert, f (k) (x) = (f (k 1) ) (x) die k-te Ableitung. Mn schreibt uch f (k) (x) = dk f dx k (x).) Beweis. Bezeichne f k (z) = c k z k, z K ϱ (0). Es gilt für z ϱ f k (z) = c k z k = c k ϱ k zk ϱ k c k ϱ k, 28

29 d.h. f k Kϱ(0) c k ϱ k. D ϱ < R ist, konvergiert c k ϱ k Konvergenz von c k z k uf K ϱ (0). D k k 1, folgt lim sup k wie eben erhält mn, dß uch k k c k = lim sup k bsolut, und mit Stz 11.7 folgt die gleichmäßige k c k = R. Mit der gleichen Argumenttion kc k z k 1 gleichmäßig uf K ϱ (0) konvergiert. Für die Aussgen zu den Ableitungen wähle zu x ] R, R[ ein ϱ > 0 mit x < ϱ < R. Mn wende nun Stz 11.6 n, und zwr uf die Prtilsummen S n (x) = n c k x k, [ ϱ, ϱ]. So erhält mn die Behuptung zu f. Durch Wiederholung der Beweisführung folgt uch die Behuptung zu f und llgemein f (k). Bemerkung: Korollr 11.8 beinhltet speziell f (n) (0) = n! c n n N 0 ( ) (Konvention: f (0) := f). Diese Formel ist bemerkenswert: Mn erhält die Koeffizienten der Potenzreihe von f durch Ableitungen f (k) n einer einzigen Stelle. Umgekehrt lssen sich die Ableitungen n dieser Stelle direkt us den Koeffizienten bestimmen. Mn bechte ber: Es gibt Funktionen f, die beliebig oft differenzierbr sind; bildet mn jedoch die Potenzreihe c n z n mit c n = f (n) (0) gemäß ( ), so konvergiert diese Reihe n=0 n! für kein z 0. Ds heißt insbesondere, dß diese Funktionen nicht in eine Potenzreihe entwickelt werden können (mit R > 0). Denn wäre f(z) = k z k mit positivem Konvergenzrdius, so gilt f (n) (0) = n! n, lso n = c n. Wir wollen nun den Approximtionsstz von Weierstrß herleiten. Dzu wählen wir einen konstruktiven Weg und betrchten ds sog. n-te Bernsteinpolynom zu einer Funktion f : [0, 1] K ( ) ( ) k n B n (t; f) := f t k (1 t) n k n k Wir werden gleich zeigen: Ist f C([0, 1]), so gilt mit n x B n (.; f) f = sup B n (t; f) f(t) 0. t [0,1] Um dies zu zeigen, hben wir B n (t; f) für f(t) = f j (t) = t j, j = 0, 1, 2 zu bestimmen. Mit der Binomilformel gilt B n (t, f 0 ) = ( ) n t k (1 t) n k k = (t + (1 t)) n = 1 (11.1) und für n 1 B n (t, f 1 ) = k n ( ) n t k (1 t) n k = k 29 ( ) n 1 t k (1 t) n k k 1

30 (d k n ( ) n k = = n 1 ( n 1 k 1 ( ) n 1 t k+1 (1 t) n (k+1) k = t (t + (1 t)) n 1 = t (11.2) ) ) B n (t, f 2 ) = ( ) 2 ( ) k n t k (1 t) n k = n k n 1 k + 1 n ( ) n 1 t k+1 (1 t) n (k+1) k = 1 ( ) ( ) n 1 n 1 n 1 t k+1 (1 t) n 1 k k n 1 + n k n t t k (1 t) n 1 k k = t ( ) n 1 t(n 1) k n 1 + t k (1 t) n 1 k = t t(n 1) t(1 t) + t = + t 2 n n n 1 k n n n (11.3) Mn bechte uch: B n (t, λf) = λb n (t, f) und B n (t, f + g) = B n (t, f) + B n (t, g) und B n (t, f) B n (t, g) flls f g. Stz 11.9 (Weierstrßscher Approximtionsstz) Sei f C([, b]). Dnn existiert eine Folge von Polynomen P n derrt, dß lim P n f = 0 n (gleichmäßige Konvergenz) Ist f reellwertig, so können die P n reell gewählt werden. Für = 0 und b = 1 knn mn P n (t) = B n (t, f) wählen. Beweis. Wir können [, b] = [0, 1] nnehmen. (Mn trnsformiere [, b] uf [0, 1] durch ϕ(t) = t.) Sei lso f C[0, 1]), f 0. D f gleichmäßig stetig ist, existiert zu b ɛ > 0 ein δ > 0, so dß f(s) f(t) < ɛ für lle s, t [0, 1] mit s t < δ. Setze α := 2 f. Dnn gilt δ f(s) f(t) ɛ + α (s t) 2 für lle s, t [0, 1] (11.4) Flls s t < δ gilt, folgt dies nch oben. Sonst ist ɛ + α (s t) 2 ɛ + αδ = ɛ + 2 f > f(s) + f(t) f(s) f(t). Bezeichne g s (t) = (s t) 2. g s ist stetig, und mit (11.4) gilt ɛ αg s f(s) f ɛ + αg s (11.5) 30

31 für lle s [0, 1]. Mit (11.5) folgt B n (., ɛ + αg s ) = B n (., α αg s ) B n (., f(s) f) B n (., ɛ + αg s ) und dmit für lle t [0, 1] f(s) B n (t, f) (11.1) = B n (t, f(s) f) B n (t, ɛ + αg s ) ( ɛ + αb n (t, g s ) (11.2),(11.3) t(1 t) = ɛ + αs 2 α 2st + α n Setzt mn s = t, so folgt + t 2 ) f(t) B n (t, f) ɛ + α t(1 t) n ɛ + α n für lle t [0, 1]. Mit n folgt die Behuptung, d ɛ > 0 beliebig wählbr ist. 31

32 12 Spezielle Funktionsreihen Wir wenden uns nun der Entwicklung von Funktionen in Reihen zu. Es hndelt sich dbei um Tylorentwicklungen und Fourierentwicklungen, zwei grundsätzlich verschiedene Zugänge Tylor-Reihen Stz 12.1 (Tylor) (Brook Tylor, , Cmbridge) Sei f : [, b] K, n N. f (n 1) sei stetig uf [, b] und f (n) (t) existiere für t ], b[. Ferner seien c, x [, b], c x. Dnn existiert ein ξ zwischen c und x, so dß gilt f(x) = n 1 f (k) (c) k! (x c) k + f (n) (ξ) n! (x c) n Beweis. Für n = 1 ist dies genu der Mittelwertstz (Stz 9.11). Bezeichne T n 1 (t; f) := n 1 f (k) (c) (t c) k, und definiere M durch k! f(x) = T n 1 (x; f) + M (x c) n, (d.h. M = f(x) T n 1(x, f) (x c) n ). Wir hben zu zeigen: n!m = f (n) (ξ) für ein ξ ]c, x[ bzw. ξ ]x, c[ ) Betrchte g(t) := f(t) T n 1 (t; f) M (x c) n. D T n 1 (. ; f) ein Polynom höchstens (n 1)-ten Grdes ist, folgt g (n) (t) = f (n) (t) n! M für lle t ], b[ Somit ist nur zu zeigen: Es gibt ein ξ zwischen x und c mit g (n) (ξ) = 0. Nun gilt T (k) n 1(c; f) = f (k) (c) für k = 0,.., n 1, lso g (k) (c) = 0 für k = 0,..., n 1. Nun ist g(x) = 0 (nch der Whl von M). Mit dem Mittelwertstz gibt es ein x 1 ]c, x[ (bzw. x 1 ]x, c[ ) mit g (x 1 ) = 0. Mit dem Pr c, x 1 folgt nlog, dß ein x 2 ]c, x 1 [ (bzw. x 2 ]x 1, c[ ) existiert mit g (x 2 ) = 0. Nch n Schritten kommt mn zu einem x n ]c, x n 1 [ (bzw. x n ]x n 1, c[ ) mit g (n) (x n ) = 0. Nun setze ξ = x n. Bemerkung: Der Tylorsche Stz 12.1 zeigt, dß f durch ein Polynom vom Grd n 1 pproximiert werden knn mit einer möglichen Fehlerbschätzung gemäß der Formel im Stz. Dzu ht mn eine Schrnke für f (n) zu kennen. Ds Restglied R n (x) := f (n) (ξ) (x c) n us Stz 12.1 nennt mn Lgrnge-Restglied n! (Joseph Louis Lgrnge, , Berlin, Pris). 32

33 Die Polynome T n 1 (t, f) := n 1 f (k) (c) k! nennt mn Tylor-Polynome mit Entwicklungspunkt c. Ist f beliebig oft differenzierbr, so heißt (t c) k T f (t) := f (k) (c) k! (t c) k Tylor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt c. Ob die Tylor-Reihe von f uch f drstellt, knn nur über Abschätzung der Restglieder erfolgen. Es gibt weitere Drstellungen des Restgliedes (Cuchy, Schlömilch), siehe Übungsufgben. Verschärft mn etws die Vorussetzung n f, so erhält mn ein Restglied in Integrlform. Stz 12.2 Sei f : [, b] K, n N. f sei n-ml stetig differenzierbr. Ferner seien c, x [, b], c x. Dnn gilt f(x) = n 1 f (k) (c) k! (x c) k + 1 (n 1)! x c (x t) n 1 f (n) (t) dt Beweis. Bezeichne R n (t) := f(t) T n 1 (t, f). R n ist n-ml stetig differenzierbr, und es gilt R n (n) (t) = f (n) (t). Mit T n 1(c; (k) f) = f (k) (c) für k = 0,..., n 1 gilt desweiteren R n (k) (c) = 0 für k = 0,..., n 1. Mit prtieller Integrtion folgt x c (x t) n 1 f (n) (t) dt = = (x t) n 1 R (n 1) n (t) x t=c x c (x t) n 1 R (n) n (t) dt x + (n 1) (x t) n 2 R (n 1) (t) dt x = (n 1) (x t) n 2 R n (n 1) (t) dt c Wiederholung der prtiellen Integrtion führt schließlich zu x (n 1)(n 2) (x t) 0 R n(t) dt = (n 1)! (R n (x) R n (c)) = (n 1)! R n (x). c Beispiele: c n 33

34 (1) Sei f(t) = exp(t), t R. Mit c = 0 gilt für jedes feste x 0 (d f (k) (0) = 1) : n 1 f(x) x k k! (für ein ξ zwischen 0 und x). = f (n) (ξ) n! Dmit knn mn leicht zeigen, dß e nicht rtionl ist. x n e x x n n! Annhme: e = p q, p, q N, q 2. Dmit ist q!e N und α := q! (e 1 1 1! 1 2!... 1 q! ) N. Mit der Restgliedbschätzung folgt ber 0 < α = q!r q+1(1) eq! (q + 1)! = e q + 1 (2) Sei f : R R, < 1, ein Widerspruch. f(x) := exp ( 1 ) x 2 für x 0 0 für x = 0 Wir zeigen, dß f beliebig oft differenzierbr ist und f (n) (0) = 0 gilt für lle n N 0. (Dmit ist die Tylorreihe von f um den Nullpunkt identisch 0, obwohl f ungleich der Nullfunktion ist.) Wir zeigen sogr: f (n) (x) = p n ( 1 x ) exp ( 1 ) x 2 für x 0 0 für x = 0 wobei p n ein Polynom ist. Dies beweisen wir mit Induktion. Für n = 0 ist nichts zu zeigen. Gelte die Behuptung für n. Für x 0 gilt f (n+1) (x) = d ( ( ) 1 p n exp ( 1 )) dx x x 2 = exp ( 1 ) [ ( ) ( ] p x 2 n x x + 2p 2 n x) x 3, Setze p n+1 (t) = p n(t) t 2 + 2p n (t) t 3. Für x = 0 ht mn f (n+1) (0) = lim t 0 f (n) (t) f (n) (0) t (vgl. T35), Bltt 12). ( ) ( ) p 1 n t exp 1 t = lim 2 t 0 t = 0 Häufig berechnet mn Tylor-Reihen durch Umformung beknnter Reihen. Wir benötigen hierzu ein Ergebnis über Umstellungen in der Reihenfolge der Summtion. (Ein Nchweis ähnlich dem Umordnungsstz Z21, Bltt 9 wäre möglich, ber sehr ufwendig). Lemm 12.3 Gegeben sei eine Doppelfolge ( ij ) i N,j N von Zhlen ij K. Es gelte 34

35 (i) j=1 ij = b i (bsolute Konvergenz bei festem i) (ii) b i i=1 konvergiert. Dnn folgt ij = i=1 j=1 ij. j=1 i=1 Bemerkung: Dß mn die Summtion im llgemeinen nicht einfch vertuschen drf, belegt folgendes Beispiel (Übung!) ij = 0 für i < j 1 für i = j 2 j i für i > j Beweis. Sei M eine bzählbre Menge {x 0, x 1, x 2,...} von Punkten in R mit x n x 0 für n (z.b. x n = 1 1 n, x 0 = 1). M ist mit der ntürlichen Metrik ein metrischer Rum. Wir definieren Funktionen f i : M K, ij j=1 i N, durch f i (x 0 ) = ij und f i (x n ) = für n N. Dnn gilt lim n f i (x n ) = f i (x 0 ), d.h. jedes f i ist stetig in x 0. j=1 D f i (x 0 ) b i und f i (x n ) b i für lle n N, konvergiert die Reihe uf M = {x 0, x 1,...} gegen eine Grenzfunktion g, verwende Stz f i i=1 gleichmäßig Mit Stz 11.2 ist g : M K in x 0 M uch stetig. Ds heißt ber nichts nderes ls ij = i=1 j=1 f i (x 0 ) = g(x 0 ) = i=1 n lim g(x n ) = lim f i (x n ) = lim ( i1 + i in ) = lim ij = ij. n n n i=1 i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 (Mn bechte i1 = g(x 1 ), i2 = g(x 2 ) g(x 1 ) usw. Dmit konvergieren die i=1 i=1 Spltenreihen wegen Stz 11.7) Stz 12.4 Sei f : ] R, R[ K durch eine Potenzreihe f(x) = c k x k, 35 x < R

36 mit Konvergenzrdius R > 0 definiert. Ist c ] R, R[, so gilt für x ]c (R c ), c + (R c )[ = U R c (c) f (k) (c) f(x) = (x c) k k! (D.h. die Tylor-Reihe von f um c stellt in U R c (c) die Funktion f dr.) Beweis. Mn ht für x U R c (c) f(x) = c k ((x c) + c) k = = j=0 k=j ( ) k j c k k j=0 c k c k j (x c) j, ( ) k (x c) j c k j j wobei die letzte Gleichung sich us Lemm 12.3 ergibt, indem mn setzt: kj := c k ( k j) (x c) j c k j j = 0,..., k und kj := 0 j = k + 1, k + 2,... Es gilt dbei: k c k j=0 ( ) k c k j (x c) j = j c k ( x c + c ) k und diese Reihe konvergiert, d x c + c < R gilt. Somit drf mn die Reihenfolge der Summtion vertuschen und erhält k kj = j=0 kj = j=0 kj = j=0 kj, j=0 k=j ws genu obiger Gleichheit entspricht. Bleibt noch festzustellen, dß mit der Formel us Korollr 11.8 gilt f (j) (c) j! = 1 j! k(k 1)... (k j + 1) c k c k j = k=j k=j ( ) k c k c k j. j Bemerkung: Der gerde hergeleitete Stz 12.4 gilt ntürlich uch für R =. 36

37 Im Beweis hben wir gezeigt, dß nschließende Trnsformtionsformel gilt. Dbei lssen wir ndere Mittelpunkte ls Null zu. Ds heißt, wir betrchten Potenzreihen Mit Stz 6.13 gilt dnn: Es gibt genu ein R, so dß c k (z z 0 ) k, z 0 C. c k (z z 0 ) k bsolut konvergiert für z U R (z 0 ) und divergiert für z C\K R (z 0 ). Mn ersetze nur u = z z 0. R heißt ebenflls Konvergenzrdius von c k (z z 0 ) k. z 0 heißt Entwicklungspunkt. Stz 12.5 Sei z 0 C. Die Potenzreihe c k (z z 0 ) k hbe Konvergenzrdius R > 0. Sei z 1 U R (z 0 ). Dnn gilt für lle z U R z1 z 0 (z 1 ) die Gleichung c k (z z 0 ) k = b j (z z 1 ) j j=0 mit b j = k=j ( ) k c k (z 1 z 0 ) k j j Beweis. Wie im Nchweis von Stz 12.4 folgt mit Lemm 12.3: c k (z z 0 ) k = c k ((z z 1 ) + (z 1 z 0 )) k ( ) k k = c k (z z 1 ) j (z 1 z 0 ) k j j=0 j ( ) = k c k (z 1 z 0 ) k j (z z 1 ) j. j=0 k=j j Die letzte Gleichung beruht uf Lemm 12.3, denn k c k j=0 ( ) k (z 1 z 0 ) k j (z z 1 ) j = j c k ( z z 1 + z 1 z 0 ) k konvergiert, flls z z 1 + z 1 z 0 < R, d.h. z z 1 < R z 1 z 0. Wir wollen noch festhlten: (1) f(z) = c k (z z 0 ) k, (z 0 C), ist in U R (z 0 ) stetig (siehe Korollr 7.6). 37

38 (2) f(x) = c k (x c) k, (c R), ist in ]c R, c + R[ beliebig oft differenzierbr, und es gilt f (n) (x) = (siehe Korollr 11.8). k(k 1)... (k n + 1) c k (x c) k n k=n (3) Ist f(x) = c k (x c) k durch seine Potenzreihe für lle x ]c R, c + R[ drgestellt (R > 0), so ist die Tylor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt c genu die Potenzreihe. (Dies folgt direkt us (2), denn es ist j f (n) (c) = n! c n ). Insbesondere gilt folgender Identitätsstz: Ist für x ]c ϱ, c + ϱ[, ϱ > 0 c k (x c) k = so gilt c k = d k für lle k N 0. d k (x c) k, Folgendes Beispiel soll Stz 12.4 ergänzen: f(x) = x k = Für c = 1 2 erhlten wir f (k) ( 1 2 ) k! nch Stz x = f(x) = ( x für x < R = 1 ( ) 2 k+1 =, und somit 3 ) k+1 ( x + 1 2) k für x ] 1, 0[ Letztere Reihe ht ber Konvergenzrdius R = 3, konvergiert lso für x ] 2, 1[. 2 Ähnlich wie im Nchweis von Korollr 11.8 mchen wir wegen k k Beobchtung: c k (z z 0 ) k c k und k + 1 (z z 0) k+1 hben denselben Konvergenzrdius R, und wie in Korollr 11.8 folgt: folgende (4) Ist f(x) = c k (x c) k durch eine Potenzreihe für lle x ]c R, c+r[ (R > 0) drgestellt, so ist F (x) = eine Stmmfunktion von f. c k k + 1 (x c)k+1 für lle x ]c R, c + R[ 38

39 Beispiel: Wir wissen x = ( 1) k x k für x < 1. D d 1 ln(1 + x) =, folgt mit (4) dx 1 + x F (x) = ( 1) k xk+1, x < 1, k + 1 ist eine Stmmfunktion von f, d.h. ln(1 + x) = F (x) + c mit einer Konstnte c. Setzt mn x = 0, so folgt c = 0. Dmit hben wir ln(1 + x) = ( 1) k xk+1 k + 1 für x < 1 Mit dem Leibniz-Kriterium konvergiert die Reihe rechts uch für x = 1. Wenn wir wissen würden, dß diese Potenzreihe uch m Rndpunkt x = 1 stetig ist (vgl. (1)), so hätten wir ln(2) = ( 1) k 1 k + 1 = Dzu hilft uns der sog. Abelsche Grenzwertstz Stz 12.6 Es sei f(x) = c k (x c) k eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R > 0, c R. Auf dem Rndpunkt x = c + R sei die Reihe c k R k uch konvergent. Dnn ist lim f(x) = x (c+r) Insbesondere ist f : ]c R, c + R] K, c k R k. f(x) = c k (x c) k stetig. Beweis. Es bleibt die Stetigkeit uf dem Rndpunkt x = c + R nchzuweisen. Ersetzt mn x durch Ry + c, so hben wir eine Potenzreihe um Null mit Konvergenzrdius 1. Es reicht lso, Potenzreihen f(x) = c k x k mit R = 1 und konvergenter Reihe c k zu betrchten. Bezeichne S n = n c k für n N 0 und S 1 = 0. N c k x k = N (S k S k 1 ) x k = (1 x) Für x < 1 folgt mit N N 1 S k x k + S N x N f(x) = (1 x) S k x k 39 ( )

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