122 KAPITEL 7. POTENZREIHEN

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1 Kapitel 7 Potenzreien 7.1 Der Konvergenzradius Definition 7.1: (Komplexe Potenzreien) Eine Potenzreie um den Punt z 0 C ist eine Reie der Form a (z z 0 ), a, z, z 0 C. Dort, wo die Reie onvergiert, definiert sie eine Funtion von z, deren Eigenscaften untersuct werden sollen. Satz 7.2: (Konvergenz von Potenzreien) Zur Potenzreie a (z z 0 ) existiert ein r 0 (der Konvergenz- radius ), so dass a) die Reie für alle z mit z z 0 < r absolut onvergiert, b) die Reie für ein z mit z z 0 > r onvergiert. Beweis: Gibt es einen Punt Z, in dem die Reie a (Z z 0 ) onvergiert, so bildet a (Z z 0 ) eine Nullfolge. Es gilt also a (Z z 0 ) 1 für inreicend grosses 0. Mit a (z z 0 ) a (Z z 0 ) z z 0 }{{} Z z ist also für edes z mit z z 0 < Z z 0 die geometrisce Reie z z 0 Z z 0 eine onvergente Maorante, d.., a (z z 0 ) onvergiert absolut. Damit 121 1

2 122 KAPITEL 7. POTENZREIHEN ist { r sup Z z 0 ; } a (Z z 0 ) onvergiert, falls die Menge der Konvergenzpunte bescränt ist. Konvergiert die Reie für alle Z C, setzt man formal r. Für edes z mit z z 0 > r muss die Reie nac dieser Konstrution von r divergieren. Q.E.D. Bemerung 7.3: Der Konvergenzbereic einer Potenzreie bestet also prinzipiell aus einer Kreissceibe um den Entwiclungspunt z 0. Der Radius r ann allerdings 0 sein (d.., die Potenzreie onvergiert nur am Punt z z 0 ). Im Folgenden interessieren natürlic nur Potenzreien mit einem Konvergenzradius r > 0. Über den Rand des Konvergenzreises {z C; z z 0 r} ann man eine allgemeine Aussagen macen. In folgendem Beispiel onvergiert die Reie für einen der Randpunte (denn für z 1 ist z eine Nullfolge): z (Konvergenz für z < r 1.) In folgendem Beispiel onvergiert die Reie für alle Randpunte mit z 1 außer für z 1 (z 1 fürt auf die divergente armonisce Reie): z (Konvergenz für z r 1, z 1). Im folgenden Beispiel onvergiert die Reie für alle Randpunte: z 2 (Konvergenz für z r 1.) Beispiel 7.4: Die geometrisce Reie at den Konvergenzradius 1. Die Reie z 1 1 z ( 1) z 2 ( z 2 ) 1 1 ( z 2 ) z 2 at ebenfalls den Konvergenzradius 1.

3 7.1. DER KONVERGENZRADIUS 123 Der Konvergenzradius eine Potenzreie ann unmittelbar aus den Koeffizienten a der Reie bestimmt werden: Satz 7.5: (Caucy-Hadamard-Formel für den Konvergenzradius) Der Konvergenzradius der Reie a (z z 0 ) 1 ist r 1 lim a, wenn lim a existiert. Gilt lim a 0, so setze r. Gilt a, so setze r 0. lim Beweis: Der Grenzwert lim z z 0 < r. Dann gilt c : lim a existiere. Betracte ein beliebiges z mit a z z 0 < 1. Es folgt, dass für alle N (mit geeignetem N) a z z 0 C < 1 mit C : 1+c 2 [ 1 2, 1) gelten muss. Damit ann die Reie durc eine onvergente geometrisce Reie abgescätzt werden: ( a (z z 0 ) ) a z z 0 C N. Nac Satz 3.16 onvergiert a z z 0, da C mit C < 1 eine onvergente Maorante ist. Dies ist die absolute Konvergenz von a (z z 0 ). Das Argument greift auc für den Grenzfall r. Betracte nun ein beliebiges z mit z z 0 > r. Diesmal gilt a z z 0 > 1, lim also ( a (z z 0 ) ) a z z 0 > 1 für große, d.., die Reienglieder von a (z z 0 ) bilden eine Nullfolge. Nac Satz 3.8 ann die Reie a (z z 0 ) nict onvergieren. Das Argument greift auc für den Grenzfall r 0. Q.E.D. Bemerung 7.6: Die allgemeine Form der Caucy-Hadamard-Formel ist 1 Konvergenzradius lim sup a, wo lim sup ( Limes superior ) der größte Häufungspunt der Folge a ist. Der Limes superior existiert für ede reelle Folge (bei unbescränten Folgen definiert man in formal als ).

4 124 KAPITEL 7. POTENZREIHEN 7.2 Eigenscaften von Potenzreien Auf dem Inneren des Konvergenzreises sind durc Potenzreien dargestellte Funtionen beliebig armlos und angenem. Sie sind automatisc unendlic oft diff bar und werden durc ire Taylor-Entwiclung dargestellt (Funtionen, die durc ire Taylor-Reien dargestellt werden, nennt man analytisc). Dies darf nict verwundern, denn (gliedweise Differenzierbareit mal vorausgesetzt): dz n zz0 a (z z 0 ) } {{ } f(z) ( ) n! a n + (..) (z z 0 ) + (..) (z z 0 ) zz 0 n! a n, also a n f (n) (z 0 )/n!. Damit ist die Potenzreie ire eigene Taylor-Reie: f(z) a (z z 0 ) f () (z 0 ) (z z 0 ).! Diese euristisce Überlegung gilt in der Tat: Satz 7.7: (Potenzreien stellen analytisce Funtionen dar) Auf dem Inneren des Konvergenzreises {z C; z z 0 < r} einer Potenzreie mit Konvergenzradius r > 0 stellt f(z) a (z z 0 ) eine unendlic oft differenzierbare Funtion dar. Es gilt dz n f(z) a ( 1)... ( n + 1) (z z 0 ) n, n d.., die Potenzreie ann gliedweise differenziert werden. Der Konvergenzradius der abgeleiteten Reien ist wiederum r. Speziell gilt a f () (z 0 )/!. Beweis: Für die Potenzreie ist der Differenzenquotient f(z + ) f(z) 1 a (z + z 0) (z z 0 ).

5 7.2. EIGENSCHAFTEN VON POTENZREIHEN 125 Mit der Binomialentwiclung folgt f(z + ) f(z) (z + z 0 ) (z z 0 ) (z z 0 ) ( ) (z z 0 ) ( ) 2 (z z 0 ) ( ) a (z z 0 ) 1 + a 2 (z z 0 ) }{{} g() Die die Funtion g() definierende Reie ist dabei woldefiniert, da die line Seite der Gleicung für inreicend leines definiert ist (z+ muss im Konvergenzreis von f(z) liegen) und die Reie a (z z 0 ) 1 onvergiert (in den Übungen wird gezeigt, dass f(z) a (z z 0 ) und f(z) a (z z 0 ) den selben Konvergenzradius aben). Die Funtion g() ist bescränt in, denn für 0 (mit noc zu wälendem 0 ) gilt: g() a ( a ) 2 (z z 0 ) ( ) 0 2 z z ( a a 2 0 a ( z z ). 2 ) 0 2 z z 0 ( ) 0 z z 0 Ist r > 0 der Konvergenzradius von a (z z 0 ) (und damit auc von a z z 0 ), so wäle 0 (r z z 0 )/2, womit z z < r gilt, d.., die obige Reie onvergiert und liefert eine Scrane für g(). Damit folgt g() O(): f f(z + ) f(z) (z) lim 0 1 a (z z 0 ) 1. 1 a (z z 0 ) 1 + lim 0 O()

6 126 KAPITEL 7. POTENZREIHEN Damit ist gezeigt, dass die Potenzreie einmal differenzierbar ist. Die Ableitung ist wieder als Potenzreie dargestellt. Die öeren Ableitungen folgen nun sofort per Indution nac der Ableitungsordnung. Q.E.D. Bemerung 7.8: Die Formel dz n a (z z 0 ) a ( 1)... ( n + 1) (z z 0 ) n n ist leict zu meren. Sie besagt lediglic, dass man Differentiation und Summation vertauscen darf: dz n a (z z 0 ) a dn dz n (z z 0) a ( 1)... ( n + 1) (z z 0 ) n. n Beispiel 7.9: Die in Beispiel 3.24 bzw. Definition 5.10 eingefürten Funtionen e z z!, sin(z) ( 1) z 2 +1, cos(z) (2 + 1)! ( 1) z 2 (2 )! aben den Konvergenzradius r und sind damit auf ganz C differenzierbar. Aus diesen Darstellungen erält man sofort: d dz ez e z, d dz sin(z) cos(z), d dz cos(z) sin(z). Bemerung 7.10: Die (reelle) Reie x ( x 2 ) ( 1) x 2 um x 0 0 at offensictlic den Konvergenzradius 1. Für x < 1 stellt sie nac Konstrution die Funtion 1/(1 + x 2 ) da, die längs der reellen Acse eine armlose Funtion darstellt (überall stetig, beliebig oft differenzierbar). Warum onvergiert die Reie aber nur für Werte von x mit x < 1, wo doc 1/(1 + x 2 ) für alle x R woldefiniert ist?

7 7.2. EIGENSCHAFTEN VON POTENZREIHEN 127 Im Komplexen ist die Teorie der Differentiation und Taylor-Entwicelbareit wesentlic weitreicender (und einfacer) als im Reellen. Man muss sic in der Tat 1/(1 + x 2 ) im Komplexen vorstellen. Die Funtion z C 1/(1 + z 2 ) C at Singularitäten (Polstellen) bei z ±i. In der Tat ist der Konvergenzradius 1 bei Entwiclung um den Nullpunt der Abstand vom Entwiclungspunt 0 zur näcsten Singularität! Im Komplexen ist der leine Konvergenzradius 1 der Reie daer unmittelbar verständlic. Im Reellen siet man die omplexen Singularitäten nict und wundert sic, dass die nette Funtion 1/(1 + x 2 ) nict überall durc ire Taylor-Reie dargestellt wird.