52 Andreas Gathmann. =: f + (z)

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1 52 Andreas Gathmann 9. Laurent-Reihen In den letten beiden Kapiteln haben wir gesehen, dass sich holomorphe Funktionen lokal um jeden Punkt 0 in eine Potenreihe a n( 0 n entwickeln lassen, und daraus viele interessante Eigenschaften holomorpher Funktionen hergeleitet. Wir wollen diese Idee nun dahingehend verallgemeinern, dass wir in diesen Reihen auch negative Potenen von ulassen. Die Untersuchung dieser neuen Reihen wird gan analog u der von Potenreihen verlaufen, aber trotdem am Ende wieder einige neue interessante Resultate abwerfen. Definition 9. (Laurent-Reihen. Es sei 0 C. Eine Laurent-Reihe um 0 ist ein Ausdruck der Form n a n ( 0 n : n a n ( 0 n + : f ( a n ( 0 n : f + ( für gewisse a n C. Dabei nennen wir f (die Summe der Terme mit negativen Exponenten von 0 den Hauptteil und f + (die Summe der restlichen Terme den Nebenteil von f. Wie bei Potenreihen wollen wir natürlich als Erstes untersuchen, für welche Werte eine gegebene Laurent-Reihe konvergiert. Dabei ist von vornherein schon einmal klar, dass wir falls mindestens ein Koeffiient a n mit n < 0 ungleich Null ist den Wert 0 prinipiell nicht einseten dürfen, da in diesem Fall schon der einelne Term a n ( 0 n nicht definiert wäre. 08 Bemerkung 9.2. Beachte, dass wir den doppelten Grenwert in den Laurent-Reihen, also die Summe von bis, durch Aufspalten der Summe in wei Teile f + und f in wei einfache Grenwerte verwandelt haben eine Laurent-Reihe f konvergiert für ein also nach Definition genau dann, wenn die Reihen f + ( und f ( konvergieren. Dies ist. B. nicht das gleiche wie die evtl. auch naheliegende Festlegung wie das Beispiel der Laurent-Reihe also f (? lim N N n N a n ( 0 n, ±, n 0 für n 0, a n n mit a n ( n für n > 0, ( n+ für n < 0 eigt: seten wir hier. B. ein, so gilt N n N a n n 0 für alle N N, d. h. der Grenwert ( ist gleich Null. Die Laurent-Reihe ist für jedoch nicht konvergent, da f + ( + ± (und analog auch f ( divergiert. Bemerkung 9.3. Schreiben wir die Laurent-Reihe aus Definition 9. als ( n f ( + f + ( a n + 0 n a n ( 0 n, so sehen wir sofort, dass f und f + einfach Potenreihen (in bw. 0 sind. Wir können unsere Resultate über Potenreihen aus Kapitel 7 also gan einfach auf den Fall von Laurent-Reihen übertragen. Sind. B. r und R die Konvergenradien dieser beiden Potenreihen f bw. f +, so ist (

2 9. Laurent-Reihen 53 nach den Bemerkungen 7.2 und 9.2 klar, dass die Laurent-Reihe konvergiert, wenn < r (also > r und < R gilt, und dass sie divergiert, falls < r oder > R ist. Damit ergibt sich sofort das folgende Resultat: Folgerung 9.4. Es sei n a n ( n eine Laurent-Reihe. Ferner seien r und R wie oben die Konvergenradien des Hauptteils f bw. Nebenteils f + dieser Reihe es ist nach Bemerkung 7.2 also n r limsup a n und R n limsup n n a n. Dann gilt: (a Die Reihe f ( ist (absolut konvergent für alle in dem Kreisring U { C : r < 0 < R}. Sie ist divergent für alle mit 0 < r oder 0 > R. Auf dem Rand, also falls 0 r oder 0 R ist, kann sowohl Konvergen als auch Divergen auftreten. (b Die Konvergen ist gleichmäßig in auf jedem kompakten Kreisring um 0, der gan in U liegt (siehe Bemerkung 7.2. Wir nennen U den Konvergenring von f (beachte, dass U auch leer sein kann, falls nämlich r R ist. Bemerkung 9.5. r R 0 divergent konvergent divergent (a Ein wichtiger Speialfall von Folgerung 9.4 ist der, wenn r, der innere Radius r also gleich Null ist was. B. stets dann passiert, wenn der Hauptteil f nur aus endlich vielen Termen besteht und somit stets konvergiert. In diesem Fall ist der Kreisring { C : r < 0 < R} einfach eine punktierte Kreisscheibe, also eine Kreisscheibe ohne ihren Mittelpunkt. Wir werden diesen Speialfall in Kapitel 0 noch genauer untersuchen. (b Da eine Laurent-Reihe einfach die Summe weier Potenreihen (in 0 bw. ist, ist aufgrund von Folgerung 7.6 klar, dass eine solche Reihe in ihrem Konvergenring eine holomorphe Funktion darstellt und ihre Ableitungen wie erwartet gliedweise berechnet werden können. Beispiel 9.6. (a Wir betrachten die Laurent-Reihe n n f + n f + Der Hauptteil f ist ein Polynom in und konvergiert damit natürlich für alle 0. Der Nebenteil f + hat bekanntlich Konvergenradius und ist einfach gleich der geometrischen Reihe. Also ist der Konvergenring von f der Kreisring { C : 0 < < }, und die dort durch f dargestellte holomorphe Funktion + (. (b Für die nur aus dem Hauptteil bestehende Laurent-Reihe 2 n n ist der Konvergenradius des Hauptteils wieder gleich, und der Konvergenradius des (nicht existierenden Nebenteils trivialerweise. Also ist der Konvergenring von f gleich. U

3 54 Andreas Gathmann Aufgabe 9.7. { C : < }. Die auf diesem Gebiet durch f dargestellte Funktion lässt sich wieder mit Hilfe der geometrischen Reihe einfacher hinschreiben: ( n ( n n2 2 2 (. Wir erhalten also dieselbe Funktion wie in (a nur in einem anderen (disjunkten Kreisring! Das folgende Bild verdeutlicht dies. (a (b 0 (a Für welche C konvergiert die Laurent-Reihe ( in (a: in (b: n n n 2 n n + n n ( n? (b Es sei a n n eine Potenreihe mit Konvergenradius r. Was ist dann der Konvergenring der Laurent-Reihe g( : n a n n? Welche Funktion wird durch g dargestellt? Wir haben gerade schon festgestellt, dass jede Laurent-Reihe in ihrem Konvergenring eine holomorphe Funktion definiert. Die besondere Bedeutung der Laurent-Reihen liegt nun darin, dass wie ihr vielleicht schon erwartet genau wie bei Potenreihen auch hier die Umkehrung gilt, also dass sich jede holomorphe Funktion auf jedem Kreisring, der noch im Definitionsgebiet liegt, dort in eine Laurent-Reihe entwickeln lässt. Dies besagt der folgende Sat, dessen Aussage und Beweis völlig analog u Sat 7.0 sind: Sat 9.8 (Laurent-Entwicklung holomorpher Funktionen. Es seien D C offen und f : D C eine holomorphe Funktion. Weiterhin seien 0 C (nicht notwendig in D! und r < R reelle Zahlen, so dass der Kreisring U { C : r < 0 < R} gan in D liegt. Dann gilt: (a Die Funktion f lässt sich auf U als Laurent-Reihe schreiben. n a n ( 0 n (b Die Koeffiienten dieser Reihe sind eindeutig; sie sind bestimmt durch die Formel a n f ( d 2πi ( 0 n+ für ein beliebiges ρ mit r < ρ < R. ρ Beweis. Wie im Beweis von Sat 7.0 gilt unächst für alle U aufgrund der Cauchyschen Integralformel aus Sat 6.7 2πi γ w dw für eine Kreislinie γ, die wie im folgenden Bild links in U liegt und einmal um den Punkt herumläuft:

4 9. Laurent-Reihen 55 γ γ r 2 r U U U Nach der Homotopieinvarian des Wegintegrals (siehe Folgerung 5.3 (a können wir diesen Weg nun durch einen anderen in U\{} homotopen Weg erseten, denn der Integrand ist auf dieser Menge holomorph. Wie im Bild oben iehen wir ihn dau im Kreisring U auseinander, bis er aus wei Kreislinien um 0 (mit Radien r und r 2, wobei r < 0 < r 2 besteht, die in entgegengesetter Richtung durchlaufen werden und durch ein Geradenstück miteinander verbunden sind (das in beiden Richtungen durchlaufen wird und sich damit weghebt. Es gilt also 2πi ( w dw (A w dw (B Den Term (A behandeln wir nun wörtlich genauso wie im Beweis von Sat 7.0: wir schreiben (A w 0 dw 0 w 0 und können den rechten Faktor im Integranden wegen w 0 r 2 < in die geometrische Reihe entwickeln: (A w 0 ( n 0 dw w 0. (w 0 n+ ( 0 n dw. Wegen der gleichmäßigen Konvergen des Integranden können wir die Summe mit dem Integral vertauschen und erhalten so die Potenreihe ( (A dw ( (w 0 n+ 0 n. Den Term (B können wir gan analog behandeln: hier schreiben wir allerdings (B 0 w dw 0 und entwickeln den rechten Faktor im Integranden wegen w 0 r < in die folgende geometrische Reihe: (B 0 ( w n 0 dw 0 ( 0 n+ (w 0 n dw. Vertauschen wir auch hier wegen der gleichmäßigen Konvergen des Integranden die Summe mit dem Integral, so erhalten wir die Laurent-Reihe ( (B (w 0 n dw ( 0 n. Also lassen sich sowohl (A als auch (B und damit auch f in U als Laurent-Reihen schreiben. Dies eigt Teil (a des Sates.

5 56 Andreas Gathmann Für die Eindeutigkeit und die Formel aus (b sei nun n a n ( 0 n eine solche Darstellung als Laurent-Reihe. Für alle ρ mit r < ρ < R und alle n Z gilt dann f ( d 2πi ρ ( 0 n+ 2πi a k ( 0 k n d k ρ 2πi a k w k n dw (mit Substitution w 0 k w ρ a n (nach Beispiel 3. (b. Beispiel 9.9. (a Liegt in Sat 9.8 nicht nur der Kreisring U { C : r < 0 < R}, sondern sogar die gane Kreisscheibe U { C : 0 < R} in D, so erhalten wir unsere Taylor- Entwicklung aus Sat 7.0 urück: dann ist nämlich unächst für n < 0 a n 2πi ρ f ( d 0 ( 0 n+ nach der Cauchyschen Integralformel aus Sat 4., da der Integrand dann holomorph in U ist. Für n 0 hingegen stimmt die in Sat 9.8 angegebene Formel für die Koeffiienten a n mit der aus Sat 7.0 überein. Die Taylor-Entwicklung ist also ein Speialfall der Laurent- Entwicklung. (b Analog u Beispiel 7. können wir auch im Fall von Laurent-Reihen holomorpher Funktionen oft die Konvergengebiete angeben, ohne die Reihen expliit u kennen. Wollen wir. B. die Funktion f : C\{±,±i} C, 4 (die genau in den vierten Einheitswureln nicht definiert ist als Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt schreiben, so gibt es wie im Bild rechts genau drei maximale Kreisringe mit Mittelpunkt, auf denen f holomorph ist, nämlich U { C : 0 < < 2}, U 2 { C : 2 < < 2}, U 3 { C : 2 < }. i i U U 2 U 3 Also besitt f nach Sat 9.8 genau drei Laurent-Entwicklungen mit Entwicklungspunkt, nämlich je eine in U, U 2 und U 3. (c In manchen Fällen kann man die Laurent-Entwicklung einer holomorphen Funktion auch aus bekannten Reihenentwicklungen gewinnen. So ergibt sich. B. die Laurent-Reihe der Funktion f : C\{0} C, e auf dem Kreisring C\{0} einfach aus der Definition der Exponentialfunktion als (/ n n! Aufgabe 9.0. Wie viele verschiedene Laurent-Reihen mit Entwicklungspunkt 0 0 besitt die Funktion? Berechne diese Reihen expliit und gib ihre Konvergenringe an. 2 2 n n!.