Kapitel 7: Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen

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1 Kapitel 7: Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen Prof.-Dr. Peter Brezany Institut für Softwarewissenschaft Universität Wien, Liechtensteinstraße Wien Tel. : 01/ brezany@par.univie.ac.at Sprechstunde: Dienstag, Kapitel 7: Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen Kellerautomaten Naheliegende Erweiterung endlicher Automaten: unbeschränkt großer Speicher, um Sprachen wie anbn zu erkennen. 2 Page 1

2 Deterministischer Kellerautomat Zustandsübergänge sind abhängig von 1) aktuellem Zustand 2) aktueller Eingabe 3) oberstem Kellerzeichen. Operationen auf dem Keller: ersetze oberstes Kellerzeichen k?k durch u mit u K* (siehe die Definition unten) push(v) wird simuliert durch Schreiben von v K* pop wird simuliert durch Schreiben von e Der Schreib-/Lesekopf steht immer auf oberstem Kellerzeichen. Definition: KA = (E, S, K, d, s 0, k 0, F) deterministischer Kellerautomat : E = {e 1,, e r } Eingabealphabet, S = {s 0,, s n } Zustandsmenge, K = {k 0,,k m } Kelleralphabet, s 0 S Anfangszustand, k 0 K Kellerstartzeichen, F S nichtleere Menge der Endzustände d: Sx (E {e}) x K SxK* partielle Überführungsfunktion 3 mit folgender Bedingung für d: Für alle s S, e E, k K : when d(s, ε, k) definiert d(s, e, k) muß für alle e E undefiniert sein. Bemerkung: falls d(s, ε, k) definiert, ignoriert KA für (Zustand=s, Kellerzeichen=k) das Eingabeband und verändert nur Keller und Zustand. Ohne diese Bedingung wäre der Automat evtl. nicht deterministisch. Ein Kellerautomat, mit dem wir uns in dieser Vorlesung beschäftigen ist ein Automat ohne Ausgabe, d.h. ein Akzeptor (wie ein endlicher Automat). 4 Page 2

3 Arbeitsweise eines Kellerautomaten (KA) anfänglich ist der KA im Zustand s 0, der Lesekopf über dem linkesten Eingabezeichen von w E*, und der Keller enthält nur das Zeichen k 0. KA im Zustand s, der Lesekopf über Zeichen e, und das oberste Kellerzeichen k, dann: 1. d weder definiert für (s, e, k) noch für (s, ε, k) KA hält an. 2. d(s, e, k) = (s, v) : Der neue Zustand von KA ist s, k wird ersetzt durch v, das linkeste Zeichen von v wird das neue oberste Kellerzeichen und der Lesekopf wird um eine Position nach rechts bewegt. 3. d(s, ε, k) = (s, v): wie in 2., nur Position des Lesekopfs unverändert. 5 w wird akzeptiert, falls - LK steht rechts von w (Wort ist vollständig verarbeitet) und - KA in Endzustand Definition: KA = (E, S, K, d, s 0, k 0, F) Kellerautomat. a) Konfiguration von KA: (s, w, v) S x E* x K* s aktueller Zustand, w zu verarbeitendes Restwort v aktueller Kellerinhalt b) Übergangsrelation (S x E* x K*) x (S x E* x K*): Alle möglichen durch dhervorrufbahren Konfigurationsübergänge, d.h. für s, s S, e E {ε}, w E*, k K und v, v K* (s, ew, kv) (s, w, v v) : d(s, e, k) = (s, v ). (s, ew, kv) (s, ew, v v) : d(s, ε, k) = (s, v ). c) steht für die reflexiv-transitive Hülle von. 6 Page 3

4 Definition: (Sprache eines Kellerautomaten) KA = (E, S, K, d, s 0, k 0, F) Kellerautomat. a) KA akzeptiert w E* : (s 0, w, k 0 ) (s, ε, v) mit s F. b) L(KA) := { w E* (s 0, w, k 0 ) (s, ε, v) mit s F }. 7 Beispiel (I): Kellerautomat für die Sprache L = {w E* w = vcv, v {0, 1}*}. Dabei soll v die Umkehrung des Wortes v bedeuten. E = {0, 1, c} S = {s 0, s 1, s 2 } K = {k 0, 0, 1} F = {s 2 } und d: Speicherung des ersten Zeichens von v: (s 0, 0, k 0 ) (s 0, 0k 0 ) (s 0, 1, k 0 ) (s 0, 1k 0 ) Speicherung der folgenden Zeichen von v: (s 0, 0, 0) (s 0, 00) (s 0, 0, 1) (s 0, 01) (s 0, 1, 0) (s 0, 10) (s 0, 1, 1) (s 0, 11) 8 Page 4

5 Beispiel (I): Bei Auftreten von c geht der Automat in den Zustand s1: (s 0, c, k 0 ) (s 1, k 0 ) (s 0, c, 0) (s 1, 0) (s 0, c, 1) (s 1, 1) Wenn der Zustand s 1 erreicht ist, kann es nur noch Tripel geben, bei denen Eingabe- und Kellerzeichen übereinstimmen: (s 1, 0, 0) (s 1, ε ) (s 1, 1, 1) (s 1, ε ) Schließlich muss der Automat noch in den Endzustand übergehen, falls es sich tatsächlich um ein korrektes Eingabewort gemäß der Sprache handelt: (s 1, ε, k 0 ) (s 2, k 0 ) Für L = {w E* w = vv, v E*} gibt es keinen deterministischen Kellerautomaten! 9 Nichtdeterministische Kellerautomaten Nichtdeterministische Kellerautomaten (NKA) sind mit Ausnahme der Überführungsfunktion d identisch mit den deterministischen Kellerautomaten Wie bei den nichtdeterministischen Endlichen Automaten, wird die Überführungsfunktion so erweitert, dass nicht mehr nur ein bestimmtes Tupel (s, v) als Funktionswert definiert wird sondern eine Teilmenge aus der Menge aller Tupel (s, v) S K* Die Überführungsfunktion ist daher wie folgt definiert: d : S (E {ε}) K Endliche Teilmengen von (S K). Analog zum nichtdeterministischen endlichen Automaten können nun die Begriffe Konfiguration, Übergangsrelation und Sprache eines nichtdeterministischen Kellerautomaten exakt definiert werden. 10 Page 5

6 Beispiel (II): Nehmen wir an, dass die Menge von Überführungsregeln eines NKA enthält d (q 1, a, b) = {(q 2, cd), (q 3, e)} Zwei Sachen können passieren: 1. Die Kontrolleinheit geht in den Zustand q 2 und die Zeichenkette cd ersetzt b als oberstes Kellerzeichen. 2. Die Kontrolleinheit geht in den Zustand q 3 und b ist beseitigt. 11 Beispiel (III): Für die Sprache L = {w E* w = vv, v E*} kann, wie das folgende Beispiel zeigt, ein nichtdeterministischer Kellerautomat entworfen werden. E = {0, 1} S = {s 0, s 1, s 2, s 3 } K = {k 0, 0, 1} F = {s 0, s 3 } und d : Verarbeitung des ersten Zeichens: (s 0, 0, k 0 ) {(s 1, 0k 0 )} (s 0, 1, k 0 ) {(s 1, 1k 0 )} Vom Vorgängerzeichen verschiedene Zeichen können ohne Probleme weiter in den Kellerspeicher abgelegt werden: (s 1, 0, 1) {(s 0, 01)} (s 1, 1, 0) {(s 0, 10)} 12 Page 6

7 Beispiel (III): Ist ein Eingabezeichen gleich seinem Vorgängerzeichen, so kann die Mitte des Wortes erreicht sein! Hier benötigt man die nichtdeterministische Überführungsfunktion: (s 1, 0, 0) {(s 0, 00), (s 2, ε )} (s 1, 1, 1) {(s 0, 11), (s 2, ε )} Im Zustand s 2 gilt als sicher, dass die Mitte des Wortes erreicht wurde, es muß nur noch die Übereinstimmung von v mit v getestet werden: (s 2, 0, 0) {(s 2, ε )} (s 2, 1, 1) {(s 2, ε )} Schließlich muß der Automat noch in den Endzustand gebracht werden: (s 2, ε, k 0 ) {(s 3, k 0 )} L det-ka L ndet-ka 13 Page 7