2 2 Reguläre Sprachen. 2.2 Endliche Automaten. Übersicht

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1 Formale Systeme, Automaten, Prozesse Übersicht 2 2. Reguläre Ausdrücke 2.3 Nichtdeterministische endliche Automaten 2.4 Die Potenzmengenkonstruktion 2.5 NFAs mit ɛ-übergängen 2.6 Minimale DFAs und der Satz von Myhill-Nerode 2.7 Berechnung des minimalen DFA 2.8 Umwandlung eines Automaten in einen regulären Ausdruck II 2.9 Das Pumping-Lemma 2. Entscheidungsprobleme für reguläre Sprachen

2 Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 36 Deterministische endliche Automaten q q q 2 M DFA: Modell für Spracherkennung

3 Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 37 Formale Definition eines DFAs Definition 2.2. Ein deterministischer endlicher Automat (DFA) ist ein 5-Tupel M = (Q, Σ, δ, q, F ) mit Q, der endlichen Menge der Zustände, Σ, dem Eingabealphabet, δ : Q Σ Q, der Übergangsfunktion, q Q, dem Anfangszustand und F Q, der Menge der Endzustände.

4 Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 38 Beispiel q q q 2 M M = (Q, Σ, δ, q, F ) wobei Q = {q, q, q 2 } Σ = {, } δ : Q Σ Q, δ(q, ) = q, δ(q, ) = q, δ(q, ) = q 2, δ(q, ) = q, F = {q } δ(q 2, ) = q, δ(q 2, ) = q 2

5 Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 39 Die Sprache eines DFA Definition Es sei M = (Q, Σ, δ, q, F ) ein DFA. Erweitere δ : Q Σ Q auf ˆδ : Q Σ Q: ˆδ(q, ɛ) = q 2 ˆδ(q, w a) = δ(ˆδ(q, w), a) für a Σ, w Σ. Definiere die Sprache von M, in Zeichen L(M) als L(M) = {w Σ ˆδ(q, w) F }.

6 Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 4 q q q 2 M Wird das Wort akzeptiert? ˆδ(q, ) = δ(ˆδ(q, ), ) = δ(δ(δ(q, ), ), ) = δ(δ(q, ), ) = δ(q, ) = q 2 Nein, denn ˆδ(q, ) / F

7 Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 4 a a b a b b b a Als regulärer Ausdruck: Welche Sprache wird akzeptiert?

8 Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 42 M = (Q, Σ, δ, q, F ) mit Q = {q,, q n }. Konstruiere einen regulären Ausdruck, der L(M) erzeugt. Definiere L k ij Σ für i, j n, k n: L ij := L k ij := L k ij { { a Σ δ(q i, a) = q j } falls i j, { a Σ δ(q i, a) = q i } {ɛ} falls i = j L k ik (L k kk ) L k kj für k > i... k... k... k... k k k k j

9 Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 42 M = (Q, Σ, δ, q, F ) mit Q = {q,, q n }. Konstruiere einen regulären Ausdruck, der L(M) erzeugt. Definiere L k ij Σ für i, j n, k n: L ij := L k ij := L k ij { { a Σ δ(q i, a) = q j } falls i j, { a Σ δ(q i, a) = q i } {ɛ} falls i = j L k ik (L k kk ) L k kj für k > Spätere Behauptung: L(M) = q j F L n j

10 Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 43 L : ɛ L 2 : L 3 : L 4 : L 2 : a L 22 : a + ɛ L 32 : a L 42 : b L 3 : b L 23 : L 33 : ɛ L 43 : a L 4 : L 24 : b L 34 : b L 44 : ɛ L ij = L ij L 2 : ɛ L2 2 : L2 3 : L2 4 : L 2 2 : a+ L 2 22 : a L 2 32 : a+ L 2 42 : b a L 2 3 : b L2 23 : L2 33 : ɛ L2 43 : a L 2 4 : a+ b L 2 24 : a b L 2 34 : a b L 2 44 : ɛ + b a b L 3 : ɛ L3 2 : L3 3 : L3 4 : L 3 2 : a+ + b a + L 3 22 : a L 3 32 : a+ L 3 42 : b a + a + b L 3 3 : b L3 23 : L3 33 : ɛ L3 43 : a L 3 4 : a+ b + b a b L 3 24 : a b L 3 34 : a b L 3 44 : ɛ + b a b + a + b L(M) = L 4 4 = L3 4 L3 4 (L3 44 ) L 3 44 = (a+ b + b a b) +

11 Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 44 DFAs erkennen reguläre Sprachen Satz M ein DFA L(M) regulär Beweis Idee: w L k ij genau dann wenn ˆδ(q i, w) = q j und 2 ˆδ(q i, u) = q m mit m k für alle u w, u ɛ, u w (u v gdw. u x = v für ein x) Anschaulich: w bringt M von q i nach q j. 2 Dazwischen durchläuft M nur Zustände aus {q,..., q k }.

12 Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 45 Beweis. L ij := L k ij := L k ij { { a Σ δ(q i, a) = q j } falls i j, { a Σ δ(q i, a) = q i } {ɛ} falls i = j, L k ik (L k kk ) L k kj für k >... k... k... k... k k k i k Korrektheit: Induktion über k. Es ist leicht, reguläre Ausdrücke für L k ij zu finden. Regulärer Ausdruck für L(M) = q j F L n j. j

13 Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 46 Der Komplementärautomat Satz Es sei M = (Q, Σ, δ, q, F ) ein DFA. Dann ist Σ \ L(M) regulär. Σ \ L ist das Komplement von L. Beweis. M := (Q, Σ, δ, q, Q \ F ). Es gilt L(M ) = Σ \ L(M): ˆδ(q, w) F ˆδ(q, w) / Q \ F

14 Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 47 Der Produktautomat Definition Es seien M = (Q, Σ, δ, q, F ) und M = (Q, Σ, δ, q, F ) zwei DFAs. Wir definieren den Produktautomaten M = M M : M = (Q Q, Σ, δ, (q, q ), F F ) mit δ((q, p), a) = (δ (q, a), δ (p, a)).

15 Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 48 Beispiel Konstruiere DFA für Sprache aller w mit: Es kommt nicht als Unterwort in w vor., A B C 2 Als Binärzahl ist w durch drei teilbar. 2 Konstruiere M M 2! M M 2

16 Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 49, A B C M A B C M 2 A B C M M 2 2 A2 B2 C2

17 Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 5 Satz Wenn M und M DFAs sind und M = M M, dann L(M) = L(M ) L(M ). Beweis. ˆδ((q, q ), w) = (ˆδ (q, w), ˆδ (q, w)) (Induktion über w ) und damit w L(M) ˆδ((q, q ), w) F F Daher ist L(M) = L(M ) L(M ). (ˆδ (q, w), ˆδ (q, w)) F F ˆδ (q, w) F und ˆδ (q, w) F w L(M ) und w L(M ).

18 Formale Systeme, Automaten, Prozesse Folie 5 Einige Vorteile endlicher deterministischer Automaten: durch Computer schnell simulierbar wenig Speicher benötigt: Tabelle für δ (read-only), aktueller Zustand Eingabe kann vergessen werden, nur von links nach rechts lesen Sie können schön visualisiert werden Sie können automatisch generiert werden (z.b. lex, egrep)