Formale Sprachen und Automaten

Transkript

1 Formale Sprachen und Automaten Lischke SS 2004

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3 Vorwort Dieses Dokument wurde als Skript für die auf der Titelseite genannte Vorlesung erstellt und wird jetzt im Rahmen des Projekts Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und Informatik weiter betreut. Das Dokument wurde nach bestem Wissen und ewissen angefertigt. Denoch garantiert weder der auf der Titelseite genannte Dozent, die Personen, die an dem Dokument mitgewirkt haben, noch die Mitglieder des Projekts für dessen Fehlerfreiheit. Für etwaige Fehler und dessen Folgen wird von keiner der genannten Personen eine Haftung übernommen. Es steht jeder Person frei, dieses Dokument zu lesen, zu verändern oder auf anderen Medien verfügbar zu machen, solange ein Verweis auf die Internetadresse des Projekts http: // uni-skripte. lug-jena. de/ enthalten ist. Diese Ausgabe trägt die Versionsnummer 1701 und ist vom 21. Oktober Eine (mögliche) aktuellere Ausgabe ist auf der Webseite des Projekts verfügbar. Jeder ist dazu aufgerufen, Verbesserungen, Erweiterungen und Fehlerkorrekturen für das Skript einzureichen bzw. zu melden oder diese selbst einzupflegen einfach eine an die Mailingliste senden. Weitere Informationen sind unter der oben genannten Internetadresse verfügbar. Hiermit möchten wir allen Personen, die an diesem Skript mitgewirkt haben, vielmals danken: Jörg Sommer (2004) Jens Kubieziel (2006) 3

4 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung und Wiederholung 6 4

5 Auflistung der Theoreme Sätze Satz 5 Pumping-Lemma; Bar-Hillit, Perles, Shamir Definitionen und Festlegungen 5

6 1 Einführung und Wiederholung Definition 1 L heißt (formale) Sprache über dem Alphabet X (d. h. X ist endl. Menge) : L X X... Vereinigung aller Teilmengen e... leeres Wort X + = X \ {e} Definition 2 = [X, N, S, R] heißt (generative) rammatik : 1. X endl. Menge (Menge terminaler Symbole) 2. N endl. Menge (Menge nichtterminaler oder Hilfsymbole), X N = 3. S N Anfangs- oder Startsymbol 4. R (X N) (X N) (R endl. Regelmenge) Die Paare [p, q] R heißen Regel und werden oft auch als p q geschrieben. Definition 3 w heißt unmittelbare Ableitung von w bezgl. einer rammatik = [X, N, S, R] w w : w, w (X N) p q p 1 p 2 (p, q, p 1, p 2 (X N) [p, q] R w = p 1 pp 2 w = p 1 qp 2 ) w heißt Ableitung aus w bezgl., w w oder es gibt endl. viele Wörter w 0, w 1,... w r mit w 0 = w, w i 1 w i für i = 1,..., r und w r = w. Man nennt dies auch eine Ableitung der Länge r und schreibt dafär w 0 w 1... w r oder w 0 r wr Definition 4 L heißt die von der rammatik [...] erzeugte Sprache, L = L() : L = {w : S w} X Definition 5 Zwei rammatiken 1 und 2 heißen äquivalent 1 2 : L( 1 ) = L( 2 ) 6

7 Definition 6 Eine rammatik = [X, N, S, R] heißt Normalfomgrammatik : R N + (X N) Satz 1 Zu jeder rammtik gibt es eine äquivalente Normalformgramatik. Beweis: Es sei = [X, N, S, R] belibige rammatik und zunächst [α, β] R für jedes Wort p X := x : x X wobei X X = X N = R...Menge aller Regeln, die aus der Regel der Menge R entstehen, in dem darin alle Buchstaben x X durch die entspechenden Buchstaben x X ersetzt werden. R := {[x, x] : x X} und := [X, N X, S, R R ] Ist [e, p] R für gewisse p, so sei R wie oben mit Ausnahme aller Regeln [e, p ]. Sei E X N und R E := {[B, BE] : B X N} {[B, EB] : B N} {[E, p ] : [e, p] R p entsteht aus p durch Ersetzen aller x in X durch x X }, E := [N, N X {E}, S, R R R E ] E. Avram Noam Chomsky Definition 7 Eine rammatik = [X, N, S, R] (ohne Einschränkung an die Regelmënge R) heißt rammatik vom Typ 0 heißt rammatik vom Typ 1 oder nicht verkürzende rammtik : p q([p, q] R l(p) l(q)) heißt rammatik vom Typ 1 oder Kontextgrammtik p q([p, q]) R p 1 p 2 u B(p 1, p 2, u (X N) B N u e p = p 1 Bp 2 q = p 1 p 2 heißt rammtik vom Type 2 oder kontextfreie rammtik : p q([p, q] R) p N q(x N) + ehißt rammtik vom Typ 3, Automaten- oder rechtslineare rammtik : p, q([p, q] R p N q X N X) Eine Sprache L heißt vom Typ i, wenn sie von einer rammtik vom Typ i erzeugt wird. rundl i ist die Klasse aller Sprachen vom Typ i (i {0, 1, 1, 2, 3}). Definition 8 Ist L eine Sprache von Typ i, so heißt auch L {e} Sprache vom Typ i (i 0, 1, 1, 2, 3) Ist = [X, N, S, R] eine rammtik vom Typ i und S X N, so heißt auch := [X, N S, S, {[S, e], [S, S]} R] rammatik vom type i (i {0, 1, 1, 2, 3}) 7

8 1 Einführung und Wiederholung Satz 2 Jede rammtik = [X, N, S, R] mit R N (X N) gibt es eine äquivalente rammatik = [X, N, S, R] mit R N (X N X ) gibt es eine äquivalente rechtslineare rammatik. Beweis: 1. = [X, N, S, R] ist rammatik mit R N (X N) Algo: Falls keine Regel [A, e] R, so kontextfrei gemäß D7, andernfalls konstruiere nach Algo setze W 0 := A : [A, e] R und W i+1 := W i A : q([a, q] R q W i ) solange bis W i+1 = W i Dann W := W i, = [X, N, S, R ] mit R := [p, q ] : q e q([p, q] R (q = q q entsteht a kontextfrei gemäß D7 und A W A N A e. Behauptung: L( ) = L(){e} : B w [B, w ] R ex. w = b 1... b n mit b r X N, [B, w] R w = b i1... b ik, wobei b i1... b ik Teilfolge von b 1... b n undb W für b {b 1,..., b n } \ {b i1,..., b ik } B w. p L( ) S p S p p L().L L( ), da nicht verkürzend L( ) L() \ {e} rückw : := [X, N, S, R R ] L() L( ) L() \ {e} L( ) \ {e} reicht z. z. L( ) \ {e} L() Entsprechend ex. w L() \ {e}, w L( ). Es sei w 0 w 1... w t eine Ableitung von w aus S bzgl. kürzester Länge w 0 S, w t = w Da w L( ) \ L( ) auf wenigstens einmal eine Regel aus R \ R angewandt worden sein, d. h. eine Regel [A, e] erwa bei w i w i+1 A W, w i = w i+1 Aw i+2, w i+1 = w 1 w 2 ej < imitw j = w j+1 Bw j2, w j+1 = w j1 q j Aq i w j2, q 1 q 2 q [B, q 1 Aq 2 ] R, w j1 q 1 i (i+1) w 1, q 1 w j2 r w j2, 0 i i (j + 1) [B, q 1 q 2 ] R w q j w 1 Bw 2 w j1 q 1 q 2 w j2 i j(+1) w 1 w 2 t+(i+1) ist Ableitung von w aus S der Länge t 1 Widerspruch dazu, dass t eine stets kürzeste Länge ist. L( ) \ {e} L( ) Ist q 1 q 2 = e[b, A] R B W αj < jnitw j = w j 1Cw j 2w j +1 = w j Schluss analog mit BX statt AB e L() e L() ex. kontextfreie gram. für L( ) e nach D7! 8

9 Satz 3 RE = L 3 L 2 L 1 = L 1 REC RE = L 0 Definition 9 7 CS := L 1 = L 1 heißt Klasse der kintextsensitiven oder kontextsprachen CF := L 2 heißt Klasse der kontextfreien oder Chompsky-Spachen. RE := L 3 heißt Klasse der regulären, Automaten- oder rechstlinearen Sprachen. Satz 4 RE CF CS REC RE = L 0 Beweis: CF noteq L := {a n b n c n : n N\{0}} = [a, b, c, S, A, B, S, [S, asba], [A, aba], [AB, BA], [bb, bb], [A, c]] L() = L es ist leicht ersichtlich, dass L erzeugt und kontextsensitiv ist. Satz 5 (Pumping-Lemma; Bar-Hillit, Perles, Shamir) Zu jeder kontextfreien Sprache L existiert eine Zahl n N, so dass jedes Wort w L mit l(w) > m in der Fom w = w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 dargestellt werden kann, wobei w 2 w 4 e, l(w 2 w 3 w 4 ) < m mit w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 L für jedes i N. Satz 6 Jede kontextfreie Sprache über einbuchstabigem Alphabet ist regulär. Beweis: Sei L CE, L a. Nach Satz 4 existiert n N, so dass für jedes Wort a l L mit l > m folgt: l = i + j mit i j < mmita i+kj L für jedes k N L 0 := a i : 1 i m L Falls L \ L 0 seil 1 := minl : a l L \ L 0 Nach Satz 4 ist l 1 = i 1 + j 1 mit 1 j 1 m, 0 i 1 m mit a i 1+kj 1 : k N L L 1 := a i1 +kj 1 : k N Seien L 1, L 2,..., L i konstruiert mit L\ i i=0, sol i +1 := minl : a l L \ i r=0 L r l i+j = i + jmit1 j m, 0 i und L i+1 := a i+kj : k N L. Nach endl. vielen Schritten muss L\ i r=0 L r = eintreten L = i r=0 L r, L 0,..., L i RE L RE (A4)CF 1 CS 1 REC 1 RE 1 9