Grundlagen der Theoretischen Informatik

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1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Wintersemester 2007 / 2008 Prof. Dr. Heribert Vollmer Institut für Theoretische Informatik

2 Reguläre Sprachen

3 Ein (deterministischer) endlicher Automat (kurz: DEA) ist ein 5-Tupel M = (Z, Σ, δ, z 0, E), wobei für die einzelnen Komponenten gilt: Z ist eine endliche Menge, die so genannte Zustandsmenge Σ ist ein Alphabet, das so genannte Eingabealphabet, Z Σ = δ: Z Σ Z ist die so genannte Überführungsfunktion z 0 Z ist der so genannte Startzustand E Z ist die Menge der so genannten Endzustände

4 Ein (deterministischer) endlicher Automat (kurz: DEA) ist ein 5-Tupel M = (Z, Σ, δ, z 0, E), wobei für die einzelnen Komponenten gilt: Z ist eine endliche Menge, die so genannte Zustandsmenge Σ ist ein Alphabet, das so genannte Eingabealphabet, Z Σ = δ: Z Σ Z ist die so genannte Überführungsfunktion z 0 Z ist der so genannte Startzustand E Z ist die Menge der so genannten Endzustände

5 Ein (deterministischer) endlicher Automat (kurz: DEA) ist ein 5-Tupel M = (Z, Σ, δ, z 0, E), wobei für die einzelnen Komponenten gilt: Z ist eine endliche Menge, die so genannte Zustandsmenge Σ ist ein Alphabet, das so genannte Eingabealphabet, Z Σ = δ: Z Σ Z ist die so genannte Überführungsfunktion z 0 Z ist der so genannte Startzustand E Z ist die Menge der so genannten Endzustände

6 Ein (deterministischer) endlicher Automat (kurz: DEA) ist ein 5-Tupel M = (Z, Σ, δ, z 0, E), wobei für die einzelnen Komponenten gilt: Z ist eine endliche Menge, die so genannte Zustandsmenge Σ ist ein Alphabet, das so genannte Eingabealphabet, Z Σ = δ: Z Σ Z ist die so genannte Überführungsfunktion z 0 Z ist der so genannte Startzustand E Z ist die Menge der so genannten Endzustände

7 Ein (deterministischer) endlicher Automat (kurz: DEA) ist ein 5-Tupel M = (Z, Σ, δ, z 0, E), wobei für die einzelnen Komponenten gilt: Z ist eine endliche Menge, die so genannte Zustandsmenge Σ ist ein Alphabet, das so genannte Eingabealphabet, Z Σ = δ: Z Σ Z ist die so genannte Überführungsfunktion z 0 Z ist der so genannte Startzustand E Z ist die Menge der so genannten Endzustände

8 Ein (deterministischer) endlicher Automat (kurz: DEA) ist ein 5-Tupel M = (Z, Σ, δ, z 0, E), wobei für die einzelnen Komponenten gilt: Z ist eine endliche Menge, die so genannte Zustandsmenge Σ ist ein Alphabet, das so genannte Eingabealphabet, Z Σ = δ: Z Σ Z ist die so genannte Überführungsfunktion z 0 Z ist der so genannte Startzustand E Z ist die Menge der so genannten Endzustände

9 Sei M = (Z, Σ, δ, z 0, E) ein DEA. Die erweiterte Überführungsfunktion ˆδ: Z Σ Z ist (induktiv) deniert wie folgt: ˆδ(z, ε) = z für alle z Z ˆδ(z, ax) = ˆδ(δ(z, a), x) für alle z Z, a Σ und x Σ Die von M akzeptierte Sprache ist L(M) = { x Σ ˆδ(z 0, x) E }.

10 Ein nichtdeterministischer endlicher Automat (kurz: NEA) ist ein 5-Tupel M = (Z, Σ, δ, z 0, E), wobei für die einzelnen Komponenten gilt: Z, Σ, z 0 und E sind wie bei deterministischen endlichen Automaten deniert Für die Überführungsfunktion gilt: δ: Z Σ P(Z). P(Z) ist die Potenzmenge von Z. Für z Z und a Σ ist also δ(z, a) eine Menge von möglichen Folgezuständen

11 Ein nichtdeterministischer endlicher Automat (kurz: NEA) ist ein 5-Tupel M = (Z, Σ, δ, z 0, E), wobei für die einzelnen Komponenten gilt: Z, Σ, z 0 und E sind wie bei deterministischen endlichen Automaten deniert Für die Überführungsfunktion gilt: δ: Z Σ P(Z). P(Z) ist die Potenzmenge von Z. Für z Z und a Σ ist also δ(z, a) eine Menge von möglichen Folgezuständen

12 Ein nichtdeterministischer endlicher Automat (kurz: NEA) ist ein 5-Tupel M = (Z, Σ, δ, z 0, E), wobei für die einzelnen Komponenten gilt: Z, Σ, z 0 und E sind wie bei deterministischen endlichen Automaten deniert Für die Überführungsfunktion gilt: δ: Z Σ P(Z). P(Z) ist die Potenzmenge von Z. Für z Z und a Σ ist also δ(z, a) eine Menge von möglichen Folgezuständen

13 Wir denieren ˆδ : P(Z) Σ P(Z) wie folgt: ˆδ(Z, ε) = Z für alle Z Z ˆδ(Z, ax) = z Z ˆδ(δ(z, a), x) für alle Z Z, a Σ und x Σ. Die von M akzeptierte Sprache ist L(M) = { x Σ ˆδ({z 0 }, x) E }.

14 Satz Zu jedem NEA M existiert ein DEA M mit L(M) = L(M ).

15 Satz Sei L Σ eine Sprache. Es gibt einen DEA M mit L = L(M) gdw. es eine reguläre Grammatik G mit L = L(G) gibt.

16 Satz (Pumping-Lemma, uvw-theorem) Sei L eine reguläre Sprache. Dann gibt es eine Zahl n, sodass sich alle Wörter x L mit x n zerlegen lassen in x = uvw, sodass folgende Eigenschaften gelten: 1 v 1 2 uv n 3 Für alle i 0 gilt: uv i w L.

17 Satz (Pumping-Lemma, uvw-theorem) Sei L eine reguläre Sprache. Dann gibt es eine Zahl n, sodass sich alle Wörter x L mit x n zerlegen lassen in x = uvw, sodass folgende Eigenschaften gelten: 1 v 1 2 uv n 3 Für alle i 0 gilt: uv i w L.

18 Satz (Pumping-Lemma, uvw-theorem) Sei L eine reguläre Sprache. Dann gibt es eine Zahl n, sodass sich alle Wörter x L mit x n zerlegen lassen in x = uvw, sodass folgende Eigenschaften gelten: 1 v 1 2 uv n 3 Für alle i 0 gilt: uv i w L.

19 Satz (Pumping-Lemma, uvw-theorem) Sei L eine reguläre Sprache. Dann gibt es eine Zahl n, sodass sich alle Wörter x L mit x n zerlegen lassen in x = uvw, sodass folgende Eigenschaften gelten: 1 v 1 2 uv n 3 Für alle i 0 gilt: uv i w L.

20 Logische Struktur der Aussage des Pumping-Lemmas: (L regulär) ( n)( x L, x n)( u, v, w), [x = uvw und (1)(3) gelten] }{{} Aussage ( ) Nach dem Pumping-Lemma gilt: L regulär ( ). Die Umkehrung (d. h. ( ) L regulär) gilt im Allgemeinen nicht! Aber: ( ) gilt nicht L nicht regulär. In dieser Form wird das Pumping-Lemma meistens verwendet.

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