1 Loesungen zu Analysis 1/ 1.Uebung

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "1 Loesungen zu Analysis 1/ 1.Uebung"

Transkript

1 Loesungen ausgewaehlter Beispiele zu Analysis I, G. Bergauer, Seite 1 1 Loesungen zu Analysis 1/ 1.Uebung 1.1 Einleitung Gegeben Mengen X, A mit A X. Sei die Menge durch A = {a X : a erfuellt B} gegeben, wobei B die Abkuerung fuer eine Bedingung ist, Z.B. a ist gerade. Dann koennen wir fuer X \ A schreiben: A c = {a X : a erfuellt nicht B} Dadurch verschiebt sich das Problem X/A zu bilden, in das Problem das logische Komplement der Bedingung B zu bilden. Durch Betrachtung der Wahrheitstafeln stellt man schnell die Gleichheit folgender Ausdruecke fest, wobei wir fuer und, fuer oder und fuer nicht schreiben. Des weiteren seien a, b, c entweder wahr = 1 oder falsch = 0: a (b c) = (a b) (a c) (a b) c = (a c) (b c) a b = (a b) a b = (a b) Seien nun B, C :{ X {0, 1} Funktionen, die Bedingungen kodieren, Z.B. B(n) = 0 falls n gerade B : N {0, 1}, B(n) = 1 falls n ungerade Wir sagen dann x erfuellt B, wenn B(x) = 1. Somit koennen wir, statt B(x) = 1, einfach B(x) schreiben. Die Aussagen der Logik sind jetzt mit Mitteln der Analysis fassbar. Wir wenden diese Erkenntnis an: x X B(x) = 1 bedeutet, dass B(x) die Funktion ist, die ganz X auf 1 abbildet. Die Menge der Funktionen von X {0, 1}, die nicht gleich B sind, also alle C im Komplement von B, erfuellen genau die Formel x X, C(x) = 0. Und somit schliessen wir ( x X, B(x) = 1) ( x X, B(x) = 0). Umgekehrt x X, B(x) = 1 sind alle Funktionen die nicht gleich der konstanten 0 Funktion sind und damit ist x X, B(x) = 0 ( x X, B(x) = 1) das Komplement und somit die Negation in X.

2 Loesungen ausgewaehlter Beispiele zu Analysis I, G. Bergauer, Seite 2 3. Beispiel 1. Teil Wir geben uns eine beliebige Grundmenge X vor, in der das Komplement zu bilden ist. Falls wir keine Menge X angeben macht c keinen Sinn. Die allgemeine Aussage ist naemlich im Sinne fuer alle Mengen gilt zu verstehen. Z.z. ( c ( (X i Y i )) = ) ( Wir reduzieren zuerst durch Anwendung der im Beispiel 1 gezeigten Morganschen Regeln: ( c ( (X i Y i )) = i ) (X c ( c ( c Y i )) = (X i )) Y i )). Z.z. bleibt ( ) c (X i ) = Wir verwenden die in der Einleitung beschriebenen Regeln fuer die Komplementbildung und die Definitionen von Komplement, Durchschnitt und Vereinigung: ( c (X i )) = {x X : i I, x X i } c = = {x X : i I, x X i } = Y c i = {x X : i I, x } = ) 2. Teil z.z. ( ) ( ) (X i ) (Y i ) = (X i Y j ) (i,j) I I ( ) ( ) { (X i ) (Y i ) = x : x (X i ) und x } i ) = (X = {x : i I, x X i und j I, x Y j } = = {x : i I, j I, x X i Y j } = (i,j) I I (X i Y j )

3 Loesungen ausgewaehlter Beispiele zu Analysis I, G. Bergauer, Seite 3 4. Beispiel Sei A P und B := {B : C A, B = C C C}. Die Definition von B stimmt offensichtlich mit der Angabe ueberein, da jeder Familie von Mengen, die Menge der Mitglieder der Familie zugeordnet werden kann. Die Zuordnung ist zwar nicht bijektiv, da man zu ein und der selben Menge von Mengen, verschiedenste Indexmengen finden kann. Das stoert jedoch nicht da ohnehin ueber die Familie vereinigt wird. Gerade wenn es darum geht Mengen zu ordnen, Z.B. durch I = N ist die Indexschreibweise sinnvoll. Sei (B i ) eine Familie von Mengen mit B i B. Wir zeigen B = B i B. Dazu benuetzen wir, dass fuer alle B i ein J i und eine Familie von (A j ) j Ji existiert, sodass B i = j J i A j. Wir setzen ein: B = { A j = b : i I, b j J i j J i A j = {b : i I, j J i, b A j } = {b : i, j, i I, j J i, b A j } = = {b : j, i I, j J }{{} i, b A j } = A j j S J j S i J i Damit liegt B in B. 7. Beispiel Q, die rationalen Zahlen, sind, wie aus der Schule bekannt, alle Brueche. Zwei Brueche sind gleich wenn sie die selbe Dezimalzahl ergeben, d.h. wenn wir bei der Division Zaehler durch Nenner das gleiche Ergebniss erhalten, oder anders ausgedrueckt, wenn Zaehler und Nenner kuerzbar sind. Die groesste Zahl durch die man einen Bruch n kuerzen kann heisst m bekanntlich der groesste gemeinsame Teiler ggt(n, m). Mit diesem Wissen loesen wir das Beispiel: Gegeben: f : Z N Q mit (z, n) z n f ist klarerweise surjektiv, da man alle Brueche erzeugt, nicht injektiv, weil f(1, 2) = f(2, 4) (das reicht, um x, y Z N (f(x) = f(y) x = y) zu widerlegen). Damit ist f auch nicht bijektiv. } =

4 Loesungen ausgewaehlter Beispiele zu Analysis I, G. Bergauer, Seite 4 Wir behaupten f {(z, n) : ggt( z, n) = 1, z 0} {(0, 1)} ist bijektiv. Wir verwenden den Betrag z und z 0, da in der Schule der ggt(.,.) nur fuer Zahlen aus N definiert wird. Surjektivitaet gilt, weil jeder Bruch z durch ggt( z, n) kuerzbar ist. n Wir zeigen die Injektivitaet: Man weiss z = z z n = z n und deshalb n n muss z, n das Produkt z n teilen. Wegen des ggt( z, n) = 1 gibt es ein k, k N mit k n = n, k n = n und damit k = k = 1, n = n, z = z und die Abbildung ist injektiv. 8. Beispiel Gegeben ist f : M N und F, G N. Wir berechnen das vollstaendige Urbild des Schnittes und der Vereinigung von F und G. Das vollstaendige Urbild ist nur im Falle der Bijektivitaet von f eine Funktion von N M. Um diesen Umstand zu kennzeichnen kann man das Argument in eckige Klammern schreiben, also Z.B. f 1 [F]. f 1 [F G] = {x M : f(x) F G} = = {x M : f(x) F und f(x) G} = = {x M : f(x) F } {x M : f(x) G} = f 1 [F] f 1 [G]. f 1 [F G] = {x M : f(x) F G} = = {x M : f(x) F oder f(x) G} = = {x M : f(x) F } {x M : f(x) G} = f 1 [F] f 1 [G]. Man beachte: Damit Z.B. f(x) F ein sinnvoller Ausdruck ist, muss f wohldefiniert sein. Sei zusaetzlich A B M. Wir betrachten f(a) = f(a B) = {y N : y = f(x) und x A B} = = {y N : y = f(x) und x A und x B} {y N : y = f(x) und (x A oder x B)} = = {y N : y = f(x) und x A B} = f(a B) = f(b). Im Falle F G N schliessen wir aus dem ersten Teil des Beispiels sofort f 1 [F] = f 1 [F G] = f 1 [F] f 1 [G] (f 1 [F]) (f 1 [G]) = f 1 [F G] = f 1 [G].

5 Loesungen ausgewaehlter Beispiele zu Analysis I, G. Bergauer, Seite 5 9. Beispiel f sei wie im 8. Beispiel. A, B M. f(a B) = {y N : x A B, f(x) = y} = = {y N : ( x A, f(x) = y) oder ( x B, f(x) = y)} = = f(a) f(b) Wir sehen zum Unterschied von Beispiel 8. dass in der Beschreibung der Menge ein Existenzquantor auftritt, der aber mit oder distribuiert also: xb(x) xc(x) = x(b(x) C(x)) Im Unterschied dazu ist f(a B) = {y N : x A x B f(x) = y} {y N : x(x A f(x) = y) x(x B f(x) = y)} = f(a) f(b) Und distribuiert naemlich nur mit dem Quantor. Ein Gegenbeispiel reicht aber fuer den Beweis ebenso: M = {1, 2}, A = {1}, B = {2} und N = {a}, f sei die Funktion die alle m M auf a abbildet. Folglich ist = f(a B) f(a) f(b) = N. 10. Beispiel Gegeben M = {1, 2,..., 10}, N = {2, 3,..., 9} und f : N M, f(n) = n + 1. Wenn wir f zu einer Funktion g mit Definitionsbereich M fortsetzen wollen, muessen wir entscheiden auf welche Elemente die Elemente 1 und 10 abgebildet werden. Offensichtlich kann das Paar (g(1), g(10)) beliebig in M M gewaehlt werden, um g zur Funktion zu machen. Somit haben wir = 100 Moeglichkeiten einer Fortsetzung. Wenn g surjektiv werden soll muss g({1, 10}) = {1, 2} sein. Damit bleiben aber nur 2 Moeglichkeiten. 1 1, 10 2 oder 1 2, Wir sehen, dass in diesem Fall g sogar bijektiv ist.

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7 Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz März 2011 Inhalt 1 Mengen 1 1.1 Mengenoperationen.............................. 2 1.2 Rechenregeln.................................. 3 2 Übungsbeispiele zum

Mehr

Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1

Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1 Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1 Aufgabe 1.1 ( Punkte) Schreiben Sie die Definitionen von Injektivität und Surjektivität einer Funktion als prädikatenlogische Formeln auf. Lösung

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 1. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 1. Übungsblatt UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl WS 2008/09 Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik Lösungsvorschläge zum 1. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik Lösungsvorschläge zum 1. Übungsblatt Karlsruhe Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Prof. Dr. W. Reichel Dr. S.Wugalter WS 2017/18 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik Lösungsvorschläge

Mehr

Aufgabensammlung zu Einführung in das mathematische Arbeiten Lineare Algebra und Geometrie WS 2009

Aufgabensammlung zu Einführung in das mathematische Arbeiten Lineare Algebra und Geometrie WS 2009 Aufgabensammlung zu Einführung in das mathematische Arbeiten Lineare Algebra und Geometrie WS 2009 Schulstoffbeispiele 1. Lineare Gleichungssysteme. Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme.

Mehr

i=1 j= 5 2. Verifizieren Sie die Gleichung indem Sie die Ausdrücke ohne Summenzeichen schreiben. j=0

i=1 j= 5 2. Verifizieren Sie die Gleichung indem Sie die Ausdrücke ohne Summenzeichen schreiben. j=0 Übungen zur Einführung in die Analysis (Einführung in das mathematische Arbeiten WS 2017 1. Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke ohne Verwendung von Summen- bzw. Produktzeichen: 7 2 3 5 k 2k+1, a k, 2

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen

Mehr

Analyis I - Grundlagen

Analyis I - Grundlagen Elementare Aussagenlogik October 23, 2008 Elementare Aussagenlogik Definition Eine Aussage im Sinne der Aussagenlogik ist eine sprachliche Aussage, bei der klar entschieden werden kann, ob sie wahr oder

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 015/016 30.10.015 Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 1. Übungsblatt

Mehr

2 Mengen und Abbildungen

2 Mengen und Abbildungen 2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch:

Mehr

Lineare Algebra I. Anhang. A Relationen. Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA. Wintersemester 2009/10

Lineare Algebra I. Anhang. A Relationen. Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA. Wintersemester 2009/10 Fakultät für Mathematik Fachgebiet Mathematische Informatik Anhang Lineare Algebra I Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA Wintersemester 2009/10 A Relationen Definition A.1. Seien X, Y beliebige

Mehr

FU Berlin: WiSe (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5. Aufgabe 18. Aufgabe 20. (siehe Musterlösung Zettel 4)

FU Berlin: WiSe (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5. Aufgabe 18. Aufgabe 20. (siehe Musterlösung Zettel 4) FU Berlin: WiSe 13-14 (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5 Aufgabe 18 (siehe Musterlösung Zettel 4) Aufgabe 20 In der Menge R der reellen Zahlen sei die Relation 2 R 2 definiert durch: x 2 y :

Mehr

Technische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. Aufgaben mit Musterlösung

Technische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. Aufgaben mit Musterlösung Technische Universität München Ferienkurs Lineare Algebra 1 Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen Aufgaben mit Musterlösung 21. März 2011 Tanja Geib 1 Aufgabe 1 Geben Sie zu B = {0, 2, 4} und

Mehr

Vorkurs Mathematik Einführung in das mathematische Denken. Übungsaufgaben

Vorkurs Mathematik Einführung in das mathematische Denken. Übungsaufgaben Justus-Liebig-Universität Gießen Fachbereich 07 Mathematisches Institut Vorkurs Mathematik Einführung in das mathematische Denken Übungsaufgaben PD Dr. Elena Berdysheva Aufgabe 1. Schreiben Sie folgende

Mehr

Tutorium: Diskrete Mathematik

Tutorium: Diskrete Mathematik Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am 01.12.2017 (Teil 1) 22. November 2017 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler 22. November 2017

Mehr

Abbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe

Abbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe Kapitel 5 Abbildungen 5.1 Definition: (Abbildung) Eine Abbildung zwischen zwei Mengen M und N ist eine Vorschrift f : M N, die jedem Element x M ein Element f(x) N zuordnet. Schreibweise: x f(x) 5. Beispiel:

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Mengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } }

Mengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } Mengen Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung aller Elemente: { 1,

Mehr

f(x) = x f 1 (x) = x. Aufgabe 2. Welche der folgenden Funktionen sind injektiv, surjektiv, bijektiv?

f(x) = x f 1 (x) = x. Aufgabe 2. Welche der folgenden Funktionen sind injektiv, surjektiv, bijektiv? Umkehrfunktionen Aufgabe 1. Sei A = {1, 2, 3, 4}. Definieren Sie eine bijektive Funktion f A A und geben Sie ihre Umkehrfunktion f 1 an. Lösung von Aufgabe 1. Zum Beispiel f, f 1 A A mit f(x) = x f 1 (x)

Mehr

Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }

Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { } Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird

Mehr

Brückenkurs Mathematik 2015

Brückenkurs Mathematik 2015 Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch Brückenkurs Mathematik 2015 1. Vorlesung Logik, Mengen und Funktionen Ich behaupte aber, dass

Mehr

HM I Tutorium 1. Lucas Kunz. 27. Oktober 2016

HM I Tutorium 1. Lucas Kunz. 27. Oktober 2016 HM I Tutorium 1 Lucas Kunz 27. Oktober 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Logische Verknüpfungen............................ 2 1.2 Quantoren.................................... 3 1.3 Mengen und ihre

Mehr

Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit

Mengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit Mengen! Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor)! Notation 1. Aufzählung aller Elemente: {

Mehr

13. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

13. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 3. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 00/ 07.0.-.0. Aufgabe G Stetigkeit) a) Gegeben

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 3 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P4) Wir betrachten die Menge M := P({1, 2, 3, 4}). Dann gilt 1 / M,

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 19. Oktober 2017 1/27 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage

Mehr

2 Mengen, Abbildungen und Relationen

2 Mengen, Abbildungen und Relationen Vorlesung WS 08 09 Analysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff 2 Mengen, Abbildungen und Relationen Definition 2.1 (Mengen von Cantor, 1845 1918) Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohl

Mehr

0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper

0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper 0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper In diesem Paragrafen behandeln wir einige für die Lineare Algebra und für die Analysis wichtige Grundbegriffe. Wir beginnen mit dem Begriff der Menge. Auf Cantor

Mehr

Analysis für Informatiker

Analysis für Informatiker Analysis für Informatiker Wintersemester 2017/2018 Carsten.Schneider@risc.jku.at 1 Bemerkung: Dies ist kein Skript, welches den gesamten Inhalt der Vorlesung abdeckt. Es soll den Studierenden aber während

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv Injektiv, Surjektiv, Bijektiv Aufgabe 1. Geben Sie einen ausführlichen Beweis für folgende Aussage: Wenn f A B surjektiv ist und R A A A eine reflexive Relation auf A ist, dann ist R B = {( f(x), f(y)

Mehr

A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E ( ) 1. Übungstest (FR, ) (mit Lösung )

A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E ( ) 1. Übungstest (FR, ) (mit Lösung ) Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien W. Auzinger WS 05/6 A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E (03.088). Übungstest (FR, 6..05) (mit Lösung ) Aufgabe. a ) Wandeln Sie die periodische Dezimalzahl

Mehr

2. Übungsblatt zur Differentialgeometrie

2. Übungsblatt zur Differentialgeometrie Institut für Mathematik Prof. Dr. Helge Glöckner Dipl. Math. Rafael Dahmen SoSe 11 15.04.2011 2. Übungsblatt zur Differentialgeometrie (Aufgaben und Lösungen) Gruppenübung Aufgabe G3 (Atlanten) (a) In

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 15. Oktober 2015 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage veröffentlicht

Mehr

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2016 Prof. Manfred Einsiedler Philipp Wirth. Lösung 3

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2016 Prof. Manfred Einsiedler Philipp Wirth. Lösung 3 D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analsis I HS 016 Prof Manfred Einsiedler Philipp Wirth Lösung 3 Diese Woche werden nur Lösungen zu den Aufgaben 4, 5 und 6 zur Verfügung gestellt 4 a Nach Folgerung (i aus den Axiomen

Mehr

Bemerkungen zur Notation

Bemerkungen zur Notation Bemerkungen zur Notation Wir haben gerade die Symbole für alle und es gibt gebraucht. Dies sind so genannte logische Quantoren, und zwar der All- und der Existenzquantor. Die Formel {a A; ( b B)[(a, b)

Mehr

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund Lineare Algebra 1 Detlev W. Hoffmann WS 2013/14, TU Dortmund 1 Mengen und Zahlen 1.1 Mengen und Abbildungen Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung/unseres Denkens/unserer

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen Mengen

Kapitel 1. Grundlagen Mengen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 )

Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 ) Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 ) Wintersemester 2015/16 Dr. J. Jordan Institut für Mathematik Universität Würzburg Germany 1 Modulbezeichnung 10-M-VKM 1 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik 4 2

Mehr

Technische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. 21. März 2011.

Technische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. 21. März 2011. Technische Universität München Ferienkurs Lineare Algebra 1 Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen 21. März 2011 Tanja Geib Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen 1 2 Mengenlehre 3 2.1 Grundlegende Definitionen

Mehr

Grundbegriffe und Beweismethoden der Mathematik (Vorkurs)

Grundbegriffe und Beweismethoden der Mathematik (Vorkurs) Grundbegriffe und Beweismethoden der Mathematik (Vorkurs) Dr. Florian Möller 16.09.2014 Inhaltsverzeichnis 0 Grundlagen 2 0.1 Natürliche und ganze Zahlen............................ 2 0.2 Ungleichungen

Mehr

Kapitel 2 MENGENLEHRE

Kapitel 2 MENGENLEHRE Kapitel 2 MENGENLEHRE In diesem Kapitel geben wir eine kurze Einführung in die Mengenlehre, mit der man die ganze Mathematik begründen kann. Wir werden sehen, daßjedes mathematische Objekt eine Menge ist.

Mehr

Aufgabenblatt 1: Abgabe am vor der Vorlesung

Aufgabenblatt 1: Abgabe am vor der Vorlesung Aufgabenblatt 1: Abgabe am 17.09.09 vor der Vorlesung Aufgabe 1. a.) (1P) Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung an: 6x + y = 10. Zeichnen Sie die Lösungsmenge in ein Koordinatensystem. b.)

Mehr

Klausur zur Vorlesung Analysis I für Lehramtskandidaten. (Sommersemester 2008) Dr. C. Lange, J. Schütz

Klausur zur Vorlesung Analysis I für Lehramtskandidaten. (Sommersemester 2008) Dr. C. Lange, J. Schütz Klausur zur Vorlesung Analysis I für Lehramtskandidaten (Sommersemester 008) Dr. C. Lange, J. Schütz Beginn: 17. Juli 008, 10:00 Uhr Ende: 17. Juli 008, 11:30 Uhr Name: Matrikelnummer: Ich studiere: Bachelor

Mehr

8 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN

8 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 8 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Beweis. 1. Sei A X abgeschlossen, dann ist X \ A offen und jede offene Überdeckung von A lässt sich durch Hinzunahme von X \ A auf ganz X fortsetzen. Die Kompaktheit von X erlaubt

Mehr

4. Übung zur Linearen Algebra I -

4. Übung zur Linearen Algebra I - 4. Übung zur Linearen Algebra I - en Kommentare an Hannes.Klarner@Fu-Berlin.de FU Berlin. WS 2009-10. Aufgabe 13 Auf dem Cartesischen Produkt Z Z werden 2 Verknüpfungen, definiert durch: Man zeige: (a

Mehr

Lösungsvorschlag zu den Präsenzaufgaben der 1. Übung

Lösungsvorschlag zu den Präsenzaufgaben der 1. Übung Michael Winkler Johannes Lankeit 8.4.2014 Lösungsvorschlag zu den Präsenzaufgaben der 1. Übung Präsenzaufgabe 1: Rufe dir die folgenden Definitionen wieder in Erinnerung: C = {(x, y); x R, y R} bildet

Mehr

Lineare Algebra I. Lösung 3.1:

Lineare Algebra I. Lösung 3.1: Universität Konstanz Wintersemester 2009/2010 Fachbereich Mathematik und Statistik Lösungsblatt 3 Prof. Dr. Markus Schweighofer 18.11.2009 Aaron Kunert / Sven Wagner Lineare Algebra I Lösung 3.1: (a) Sei

Mehr

Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 )

Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 ) Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 ) Wintersemester 2011 Dr. J. Jordan und Dr. F. Möller Institut für Mathematik Universität Würzburg Germany 1 Modulbezeichnung 10-M-VKM 1 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik

Mehr

B Grundbegriffe zu Mengen und Abbildungen

B Grundbegriffe zu Mengen und Abbildungen B Grundbegriffe zu Mengen und Abbildungen Die Sprache der Mengen und Abbildungen hat sich als Basissprache in der modernen Mathematik durchgesetzt. Da sie sehr praktisch ist, wird sie auch in diesem Buch

Mehr

Topologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen

Topologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen Topologische Grundbegriffe I Vortrag zum Proseminar Analysis, 26.04.2010 Nina Neidhardt und Simon Langer Im Folgenden soll gezeigt werden, dass topologische Konzepte, die uns schon für die Reellen Zahlen

Mehr

Vorlesung. Beweise und Logisches Schließen

Vorlesung. Beweise und Logisches Schließen Vorlesung Beweise und Logisches Schließen Der folgende Abschnitt dient nur zur Wiederholung des Stoffes der ersten Vorlesung und sollten nur genannt bzw. Teilweise schon vor der Vorlesung angeschrieben

Mehr

2. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 1. Wintersemester 2012/2013. z 3 + 4z 2 + z 26 z 2. = z 2 + 6z i und 2

2. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 1. Wintersemester 2012/2013. z 3 + 4z 2 + z 26 z 2. = z 2 + 6z i und 2 O. Alaya, S. Demirel M. Fetzer, B. Krinn M. Wied. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester 0/0 Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 4. Komplexe

Mehr

Grundbegriffe der Mathematik - Blatt 1, bis zum

Grundbegriffe der Mathematik - Blatt 1, bis zum Grundbegriffe der Mathematik - Blatt 1 bis zum 9.3.01 1. I.) Formalisieren Sie die folgenden Aussagen a) bis c) wie im folgenden Beispiel: Sei K ein Teilmenge der reellen Zahlen. Aussage: K ist genau dann

Mehr

Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 6. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6. Vorlesung 1 / 36 Themen

Mehr

4.1 Definition. Gegeben: Relation f X Y f heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y, wenn. = y 1. = y 2. xfy 1. xfy 2

4.1 Definition. Gegeben: Relation f X Y f heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y, wenn. = y 1. = y 2. xfy 1. xfy 2 4.1 Definition Gegeben: Relation f X Y f heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y, wenn xfy 1 xfy 2 = y 1 = y 2 Y heißt Zielbereich oder Zielmenge von f. Statt (x, y) f oder xfy schreibt man y = f(x). Vollständige

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume

Mehr

Algebraische Kurven - Vorlesung 29. Projektion weg von einem Punkt

Algebraische Kurven - Vorlesung 29. Projektion weg von einem Punkt Algebraische Kurven - Vorlesung 29 Definition 1. Die Abbildung P n K Projektion weg von einem Punkt {(1, 0,..., 0)} Pn 1 K, (x 0, x 1...,x n ) (x 1,..., x n ), heißt die Projektion weg vom Punkt (1, 0,...,

Mehr

Natürliche, ganze und rationale Zahlen

Natürliche, ganze und rationale Zahlen Natürliche, ganze und rationale Zahlen Zunächst haben die zum Zählen verwendeten natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3,... nichts mit dem reellen Zahlen zu tun. Durch die ausgezeichnete reelle Zahl 1 (Maßeinheit!)

Mehr

Funktionen. Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet.

Funktionen. Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet. 1 Der Funktionsbegriff Funktionen Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet. Dabei nennt man die Menge A Definitionsmenge

Mehr

Mengen, Funktionen und Logik

Mengen, Funktionen und Logik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Schubfachprinzip. Lea Jacobs. November 9, 2015

Schubfachprinzip. Lea Jacobs. November 9, 2015 Schubfachprinzip Lea Jacobs November 9, 2015 Inhalt 1. Definition und Beweis 2. Haare zählen 3. Beispiel mit Differenz 4. Abbildungseigenschaften 5. Grade in ungerichteten Graphen 6. Teilbarkeit 7. Summen

Mehr

Mathematik für Ökonomen 1

Mathematik für Ökonomen 1 Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstemester 2008 Mengen, Funktionen und Logik Inhalt: 1. Mengen 2. Funktionen 3. Logik Teil 1 Mengen

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 3: Alphabete, Abbildungen, Aussagenlogik Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2010/2011 1/32 Überblick Alphabete

Mehr

Musterlösung zum Weihnahchtsübungsblatt. Teil 1 von Martin Fabricius. Aufgabe 1

Musterlösung zum Weihnahchtsübungsblatt. Teil 1 von Martin Fabricius. Aufgabe 1 Musterlösung zum Weihnahchtsübungsblatt Teil von Martin Fabricius Aufgabe a) Diese Aufgabe kann z. B. durch ausmultiplizieren gelöst werden: (433) 7 = 4 7 3 +3 7 + 7 +3 7 0 = 4 343+3 49+ 7+3 = 37+47+4+3

Mehr

Analysis I Marburg, Wintersemester 1999/2000

Analysis I Marburg, Wintersemester 1999/2000 Skript zur Vorlesung Analysis I Marburg, Wintersemester 1999/2000 Friedrich W. Knöller Literaturverzeichnis [1] Barner, Martin und Flohr, Friedrich: Analysis I. de Gruyter. 19XX [2] Forster, Otto: Analysis

Mehr

Ferienkurs Analysis 1: Übungsblatt 1

Ferienkurs Analysis 1: Übungsblatt 1 Ferienkurs Analysis : Übungsblatt Marta Krawczyk, Andreas Schindewolf, Simon Filser 5.3.00 Aufgaben zur vollständigen Induktion. Verallgemeinerte geometrische Summenformel. Zeigen Sie mittels vollständiger

Mehr

3 Topologische Gruppen

3 Topologische Gruppen $Id: topgr.tex,v 1.4 2010/05/31 08:41:53 hk Exp hk $ 3 Topologische Gruppen Nachdem wir jetzt gezeigt haben das Quotienten G/H topologischer Gruppen wieder topologische Gruppen sind, wollen wir das Ergebnis

Mehr

Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2

Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2 TU Dortmund Mathematik Fakultät Proseminar zur Linearen Algebra Ausarbeitung zum Thema Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2 Anna Kwasniok Dozent: Prof. Dr. L. Schwachhöfer Vorstellung des

Mehr

x 2 + y 2 = f x y = λ

x 2 + y 2 = f x y = λ Lineare Abbildungen Def Es seien (V 1,+, ) und (V 2,+, ) zwei Vektorräume Eine Abbildung f : V 1 V 2 heißt linear, falls für alle Vektoren u,v V 1 und für jedes λ R gilt: f (u + v) = f (u) + f (v), f (λu)

Mehr

Institut für Stochastik, Fernstudienzentrum

Institut für Stochastik, Fernstudienzentrum Institut für Stochastik, Fernstudienzentrum Vorkurs Mathematik für die Fachrichtung Wirtschaftswissenschaften im Herbst 2014 Präsenzwoche Übungsaufgaben zum Thema Abbildungen Aufgabe 8 Es seien Ω := {0,

Mehr

3 Vollständige Induktion

3 Vollständige Induktion 3.1 Natürliche Zahlen In den vorherigen Kapiteln haben wir die Menge der natürlichen Zahlen schon mehrfach als Beispiel benutzt. Das Konzept der natürlichen Zahlen erscheint uns einfach, da wir es schon

Mehr

(1.18) Def.: Eine Abbildung f : M N heißt

(1.18) Def.: Eine Abbildung f : M N heißt Zurück zur Mengenlehre: Abbildungen zwischen Mengen (1.17) Def.: Es seien M, N Mengen. Eine Abbildung f : M N von M nach N ist eine Vorschrift, die jedem x M genau ein Element f(x) N zuordnet. a) M = N

Mehr

Weitere Eigenschaften

Weitere Eigenschaften Weitere Eigenschaften Erklärung der Subtraktion: x y := x + ( y) (5) Die Gleichung a + x = b hat die eindeutig bestimmte Lösung x = b a. Beweis: (a) Zunächst ist x = b a eine Lösung, denn a + x = a + (b

Mehr

$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $

$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $ Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 9. $Id: linabb.tex,v.3 9//9 3:7:34 hk Exp hk $ II. Lineare Algebra 9 Lineare Abbildungen 9. Lineare Abbildungen Der folgende Satz gibt uns eine einfachere Möglichkeit

Mehr

2 Mengen, Relationen, Funktionen

2 Mengen, Relationen, Funktionen Grundlagen der Mathematik für Informatiker Grundlagen der Mathematik für Informatiker Mengen, Relationen, Funktionen. Mengen Definition. [Georg Cantor 895] Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter,

Mehr

Ein Beispiel aus dem MINT-Lernzentrum

Ein Beispiel aus dem MINT-Lernzentrum Armin P. Barth Umkehrfunktion in einer Hochschul-Anfängervorlesung: Sei f : A B eine Funktion. Im f : f x x A Im Allgemeinen ist die Bildmenge der Funktion eine echte Teilmenge des Wertevorrates, also:

Mehr

Diskrete Strukturen Vorlesungen 5 und 6

Diskrete Strukturen Vorlesungen 5 und 6 Sebastian Thomas RWTH Aachen, WS 2016/17 07.11.2016 09.11.2016 Diskrete Strukturen Vorlesungen 5 und 6 3 Abbildungen In diesem Abschnitt führen wir Abbildungen zwischen Mengen ein. Während Mengen von der

Mehr

Übung: Teilmengen. Beweis: Für alle Elemente einer Menge, die Teilmenge einer Menge ist, gilt, dass auch Element von ist. (Definition der Teilmenge)

Übung: Teilmengen. Beweis: Für alle Elemente einer Menge, die Teilmenge einer Menge ist, gilt, dass auch Element von ist. (Definition der Teilmenge) 15 Übung: Teilmengen seien Mengen. Zu zeigen ist: wenn Beweis: dann auch Für alle Elemente einer Menge, die Teilmenge einer Menge ist, gilt, dass auch Element von ist. (Definition der Teilmenge) für alle

Mehr

Vorkurs Mathematik Abbildungen

Vorkurs Mathematik Abbildungen Vorkurs Mathematik Abbildungen Philip Bell 19. September 2016 Diese Arbeit beruht im Wesentlichen auf dem Vortrag Relationen, Partitionen und Abbildungen von Fabian Grünig aus den vorangehenden Jahren.

Mehr

Grundbegriffe und Beweismethoden der Mathematik (Vorkurs) Wintersemester 2016/2017

Grundbegriffe und Beweismethoden der Mathematik (Vorkurs) Wintersemester 2016/2017 Grundbegriffe und Beweismethoden der Mathematik (Vorkurs) Wintersemester 2016/2017 Dr. Florian Möller 5. September 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 1.1 Natürliche und ganze Zahlen.................................

Mehr

Wir betrachten nun das Deformieren einer Abbildung in eine andere.

Wir betrachten nun das Deformieren einer Abbildung in eine andere. Abschnitt 1 Quotienten Homotopie, erste Definitionen Wir betrachten nun das Deformieren einer Abbildung in eine andere. 1.1 Definition. Seien X, Y topologische Räume und f 0, f 1 : X Y stetige Abbildungen.

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 2.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 2.1 .1 Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen & Gleichungssysteme Quadratische und Gleichungen

Mehr

Einführung in die mathematische Logik

Einführung in die mathematische Logik Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Einführung in die mathematische Logik Vorlesung 7 Sprachen erster Sufe Die in der letzten Vorlesung erwähnten Konstruktionsmöglichkeiten für Aussagen sind im Wesentlichen

Mehr

Skript und Übungen Teil II

Skript und Übungen Teil II Vorkurs Mathematik Herbst 2009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil II Das erste Semester wiederholt die Schulmathematik in einer neuen axiomatischen Sprache; es ähnelt damit dem nachträglichen Erlernen

Mehr

Mengenoperationen, Abbildungen

Mengenoperationen, Abbildungen TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Z6 Rechengesetze für Mengenoperationen Lineare Algebra 1 WS 2006/07 en Blatt 3 06.11.2006 Mengenoperationen,

Mehr

Analysis II 14. Übungsblatt

Analysis II 14. Übungsblatt Jun.-Prof. PD Dr. D. Mugnolo Wintersemester 01/13 F. Stoffers 04. Februar 013 Analysis II 14. Übungsblatt 1. Aufgabe (8 Punkte Man beweise: Die Gleichung z 3 + z + xy = 1 besitzt für jedes (x, y R genau

Mehr

3. Funktionen. 3.1 Grundbegriffe [Kö 4.1; Sch-St 4.3]

3. Funktionen. 3.1 Grundbegriffe [Kö 4.1; Sch-St 4.3] 13 3. Funktionen 3.1 Grundbegriffe [Kö 4.1; Sch-St 4.3] Definition 1. A und B seien Mengen. a Eine Abbildung (oder Funktion f von A nach B (Schreibweise: f: A B ist eine Vorschrift, die jedem x A genau

Mehr

: G G G. eine Abbildung. Gelten die folgenden Eigenschaften, so nennen wir (G,,e) eine Gruppe: (x,y) x y

: G G G. eine Abbildung. Gelten die folgenden Eigenschaften, so nennen wir (G,,e) eine Gruppe: (x,y) x y 5 GRUPPEN 5 Gruppen Hier fehlt eine schöne Einleitung oder ein motivierendes Beispiel. Definition [5.1] Sei G eine nicht-leere Menge, e G ein (ausgezeichnetes) Element in G und : G G G eine Abbildung.

Mehr

Funktionen oder Abbildungen sind wir schon mehrere Male begegnet. Es wird Zeit mal genau fest zu legen, was gemeint ist.

Funktionen oder Abbildungen sind wir schon mehrere Male begegnet. Es wird Zeit mal genau fest zu legen, was gemeint ist. Analysis, Woche 5 Funktionen I 5. Definition Funktionen oder Abbildungen sind wir schon mehrere Male begegnet. Es wird Zeit mal genau fest zu legen, was gemeint ist. Definition 5. Eine Funktion f : A B

Mehr

Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1

Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1 Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1 Aufgabe 1.1 (2+2+2 Punkte) a) Stellen Sie folgende Formel mit möglichst wenig Aussagevariablen dar und überprüfen Sie Ihr Ergebnis anhand einer

Mehr

Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah

Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah www.schema-f-hagen.de Sie erhalten hier einen Einblick in die Dokumente Aufgaben und Lösungen sowie Erläuterungen Beim Kauf erhalten Sie zudem

Mehr

Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl.

Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl. Unterräume und Lineare Hülle 59 3. Unterräume und Lineare Hülle Definition.1 Eine Teilmenge U eines R-Vektorraums V heißt von V, wenn gilt: Unterraum (U 1) 0 U. (U ) U + U U, d.h. x, y U x + y U. (U )

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

1 Aussagenlogik und Mengenlehre

1 Aussagenlogik und Mengenlehre 1 Aussagenlogik und engenlehre 1.1 engenlehre Definition (Georg Cantor): nter einer enge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres

Mehr

Musterlösung. 1 Relationen. 2 Abbildungen. TUM Ferienkurs Lineare Algebra 1 WiSe 08/09 Dipl.-Math. Konrad Waldherr

Musterlösung. 1 Relationen. 2 Abbildungen. TUM Ferienkurs Lineare Algebra 1 WiSe 08/09 Dipl.-Math. Konrad Waldherr TUM Ferienkurs Lineare Algebra WiSe 8/9 Dipl.-Math. Konrad Waldherr Musterlösung Relationen Aufgabe Auf R sei die Relation σ gegeben durch (a, b)σ(c, d) : a + b c + d. Ist σ reflexiv, symmetrisch, transitiv,

Mehr

Wiederholung: lineare Abbildungen

Wiederholung: lineare Abbildungen Wiederholung: lineare Abbildungen Def Es seien (V,+, ) und (U, +, ) zwei Vektorräume Eine Abbildung f : V U heißt linear, falls für alle Vektoren v 1, v 2 V und für jedes λ R gilt: (a) f (v 1 + v 2 ) =

Mehr

Kapitel 11. Dimension und Isomorphie

Kapitel 11. Dimension und Isomorphie Kapitel 11. Dimension und Isomorphie Bestimmung der Dimension Satz. Sei (v 1, v 2,..., v n ) ein minimales Erzeugendensystem von V, d.h. dieses System ist ein Erzeugendensystem von V, aber keines der nach

Mehr

Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen

Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen Axel Wagner 18. Juli 2009 1 Voraussetzungen Zunächst wollen wir festhalten, was wir als bekannt voraussetzen: Es sei (Q, +, ) der Körper der rationalen

Mehr