Wir wünschen Ihnen viel Erfolg bei der Klausur.

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1 Klausur zur Vorlesug Aalysis I Bo, de. Februar 009 Prof. Dr. W. Müller Dr. A. Wotze Nachame, Vorame: Matrielummer: Nummer der Übugsgruppe: A Drehe Sie diese Zettel bitte erst auf Aufforderug um. Sollte Sie ebe jemade aus Ihrer Übugsgruppe sitze, so setze Sie sich bitte um. Trage Sie auf diesem Decblatt Ihre Nach- ud Vorame, Ihre Matrielummer ud Ihre Übugsgruppe ei. Hefte Sie dieses Decblatt vor der Abgabe mit Ihre Lösugsblätter zusamme. Zum Bearbeite der Klausur habe Sie 80 Miute. Hilfsmittel wie Sripte, Notize, Vorlesugsmitschriffte, Bücher sid icht zugelasse. Techische Geräte wie Tascherecher, Noteboos, Hadys sid icht zugelasse. Schreibe Sie leserlich ud verwede Sie eie Bleistift oder Füller. Bitte fülle Sie die Zeile Bearbeitet i folgeder Tabelle aus: Aufgabe Bearbeitet Ja/Nei maximale Putezahl Σ 00 erreichte Putezahl Σ Wir wüsche Ihe viel Erfolg bei der Klausur. Bewertug: Bo, de

2 Klausuraufgabe Aalysis I Witersemester 008/009 Es seie (x ) eie Folge reeller Zahle ud x R. Kezeiche Sie wahre Aussage mit W ud falsche Aussage mit F. Sei (x ) overget ud für alle N gelte x < C, C R. Da folgt lim x < C. We (x ) icht gege x overgiert, da gilt ε > 0 N N, N : x x ε. Für jede Cauchy-Folge (x ) gilt: x R: ε > 0 N N, N : x x < ε. We (x ) beschrät ist, so besitzt (x ) eie Häufugsput. We (x ) eie Häufugsput besitzt, da ist (x ) beschrät. (je ± Pute) Hiweis: Bei dieser Aufgabe öe Sie maximal Zeh ud miimal Null Pute erreiche. Gebe Sie die Defiitio der Stetigeit vo f : R R im Put x 0 R a. (0 Pute) Tipp: Beutze Sie die Prädiatelogi, isbesodere die Quatore ud. 3 Es sei (f ) eie Folge gleichmäßig overgeter Futioe f : D C, D C. Zeige Sie: We für alle N die Futioe f i z 0 D stetig sid, da ist f lim f stetig i z 0. (0 Pute) 4 Beweise Sie mit vollstädiger Idutio für c R, c ud N: c c+ c c+ c. (0 Pute) (c ) 5 Es sei a für N. Beweise Sie: ε > 0, N N N > N : a + a < ε. (0 Pute) 6 Utersuche Sie folgede Reihe auf Kovergez ud absolute Kovergez a) ( ) ; b) log() +. exp() (je 5 Pute) 7 Es sei (a ) eie mooto fallede Nullfolge. Zeige Sie: We a overgiert, da ist ( a ) eie Nullfolge, d.h., lim a 0. (0 Pute) 8 Beweise Sie, dass exp(x + y) exp(x) exp(y), für alle x, y R, wobei exp die Expoetialreihe ist. (0 Pute) 9 Bestimme Sie alle loale Extrema vo f : R R, x x e x. (0 Pute) 0 Es sei f : [0, ] R eie stetige Futio mit f(0) f(). Zeige Sie, dass es da ei c [0, ] existiert mit f(c) f(c + ). (0 Pute)

3 Musterlösuge zur Klausur Aalysis I Variate A: F, F, W, W, F. ε > 0 δ > 0: f(x) f(x 0 ) < ε x R, x x 0 < δ. 3 Es sei ɛ > 0. Weil für alle die Fuioe f : D C stetig i z 0 D sid, existiert δ > 0, so dass f (z) f (z 0 ) < ɛ 3, für alle z D mit z z 0 < δ. Weil (f ) gleichmäßig overget ist, gilt für alle z D f(z) f (z) < ɛ 3 für > N(ɛ). Damit erhalte wir aus f(z) f(z 0 ) f(z) f (z) + f (z) f (z 0 ) + f (z 0 ) f(z 0 ) mittels der Dreiecsugleichug f(z) f (z) + f (z) f (z 0 ) + f (z 0 ) f(z 0 ) ɛ für alle z D mit z z 0 < δ. 4 Idutiosafag: Für ist c c c(c ) c (c ) c. Idutiosveraerug: Aussage ist für N richtig. Idutiosschritt + : Nach Idutiosveraerug gilt: + c c+ c c+ c + ( + )c+ (c ) ( + )c+ c ( + )c+ c c+ (c ) + c + c + ( + )c + (c ) (c ) c+ c (c ). 5 Es sei N. Aus ( + / + ) folgt mit lim / 0 lim + lim 0.

4 6 Zu a) Folge ( + ) ist eie mooto fallede Nullfolge. Folglich ist die Reihe ach dem Leibiz-Kriterium overget. Zur absolute Kovergez bemere wir, dass für folgedes gilt: Daraus folgt + > 3, + >. + 3 ud aus der Divergez der harmoische Reihe, dass die Reihe icht absolut overget ist. Zu b) Wir wede das Quotiete-Kriterium a. Zuächst stelle wir fest, dass exp() log( + )( + ) log() exp( + ) e log( + ) log() ( + ) e <, weil log( + ) log() + log( + /) ud lim x log(x) 0. Weil exp() ud log() für alle N positiv sid ist die Reihe absolut overget. 7 Aus der Voraussetzug (a ) mooto ud a > 0 ud ach dem Cauchy-Kriterium +p +p a a a a < ɛ 0 0 folgt, dass pa +p < ɛ/. Da ist für p bzw. p + : a < ɛ bzw. ( + )a + < ɛ. 8 Weil für alle x R die Expoetialreihe exp(x) absolut overget ist, folgt aus dem Cauchy-Produtsatz: ( x )( exp(x) exp(y)! 0 0 x! 0 0 y )! y ( )! mit Hilfe des Biomialsatzes 0! 0 ( ) x y (x + y).! 0 Das muss atürlich gezeigt werde!

5 9 Die Ableitug vo f ist gegebe durch f (x) xe x x 3 e x. Daraus folgt: f (x) 0 x {, 0, }. Wir bestimme zuerst die zweite Ableitug vo f f (x) ( 0x + 4x 3 )e x ud stelle da fest, dass f (x ext ) 0 für alle x ext {, 0, } ist Betrachte die Futio g : [0, ] R defiiert durch g(x) f(x) f(x + ). Da ist g(0) f(0) f( ) ud g( ) f( ) f() g(0) ach Voraussetzug. Aus dem Zwischewertsatz folgt die Existez eies c [0, ], so dass g(c) 0, d.h., f(c) f(c + ).

6 Klausurauswertug Aalysis I Zur Klausur zugelasse ware 4 Studetie ud Studete. A der Klausur habe isgesamt 8 Studetie ud Studete teilgeomme, davo: Mathematierie ud Mathematier im Bachelor-Studiegag eu Physierie ud Physier im Bachelor-Studiegag drei VWL-Studete im Bachelor-Studiegag mit Nebefach Mathemati zwei FFF-Studete eie FFF-Studeti zwei Stude der Mathemati im Diplom-Studiegag Es wurde 67 Probelausure orrigiert. Im Durchschitt erreichte Putzahl: 58,9.

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