Inhaltsverzeichnis der Formelsammlung "Ökonometrie I"

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1 Ihalsverzeichis der Formelsammlug "Öoomerie I" Ihalsverzeichis der Formelsammlug "Öoomerie I". Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable Öoomerie ud öoomerisches Modell Regressiosgleichug für die Grudgesamhei Regressiosgleichug bei Sichprobedae Kleis-Quadra-Mehode (OLS-Mehode) Kofideziervalle für die Regressiosoeffiziee Saisische Tess zur Überprüfug der OLS-Parameer Tes "Tradiioelle" Mehode Verwedug des p-weres F-Tes "Tradiioelle" Mehode Verwedug des p-weres....5 Mulipler ud parieller Deermiaiosoeffizie Mulipler Deermiaiosoeffizie (muliples Besimmheismaß) Parieller Deermiaiosoeffizie (parielles Besimmheismaß)....6 Progose Puprogose Iervallprogose Schäzeigeschafe Verlezug der Aahme Verlezug der Aahme E ( u) =

2 Ihalsverzeichis der Formelsammlug "Öoomerie I".8. Verlezug der Aahme E ( uu ) = σ I Heerosedasiziä Auswiruge vo Heerosedasiziä Diagose vo Heerosedasiziä mi dem Goldfeld-Quad-Tes "Tradiioelle" Mehode Verwedug des p-weres Korreur des Modells bei Vorliege vo Heerosedasiziä (WLS-Schäzug) Auoorrelaio Auswiruge vo Auoorrelaio Diagose vo Auoorrelaio mi dem Durbi-Wao-Tes (zweiseiig) Korreur des Modells bei Vorliege vo Auoorrelaio Cochra-Orcu-Verfahre Prais-Wiso-Mehode....9 Muliollieariä Auswiruge vo Muliollieariä Offee Muliollieariä Verdece Muliollieariä Diagose vo Muliollieariä Liearisierug Parielle Apassug... 4 u. Öoomerische Eigleichugsmodelle mi qualiaive ud omparaive Variable Saleiveau vo Variable Lieare Regressiosaalyse mi qualiaive ud omparaive uabhägige Variable Dichoome Mermale Polyome Mermale Dichoome Mermale als abhägige Variable Warum a ei solches Modell ich mi eier lieare Regressiosaalyse geschäz werde? Die logisische Regressio... 6

3 Ihalsverzeichis der Formelsammlug "Öoomerie I" Formulierug des Modells Besimmug der geschäze Regressiosoeffiziee Ierpreaio der geschäze Regressiosoeffiziee Sigifiazes für die geschäze Regressiosoeffiziee (Wald-Tes) "Tradiioelle" Mehode Verwedug des p-weres Überprüfug des Gesammodells Zuordugsübersich Pseudo-Besimmheismaß ach Guma Lielihood-Raio-Tes "Tradiioelle" Mehode Verwedug des p-weres...30

4 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable 4. Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable. Öoomerie ud öoomerisches Modell.. Regressiosgleichug für die Grudgesamhei Regressiosgleichug für die -e Periode: y =β +β x + +β x + +β x + u mi: y : -e Beobachug der abhägige (edogee, zu erlärede) Variable β : absolues Glied (Regressiosoeffizie) β : Regressiosoeffiziee x : -e Beobachug der -e uabhägige (exogee, erlärede) Variable u : -er Wer der Sörvariable (Fehlervariable, laee Variable).. Regressiosgleichug bei Sichprobedae Regressiosgleichug für die -e Periode: y =β ˆ +β ˆ x + +β ˆ x + +β ˆ x + u ˆ, =,,, mi: y : -e Beobachug der abhäige (edogee, zu erlärede) Variable ˆβ : geschäzes absolues Glied ˆβ : -er geschäzer Regressiosoeffizie x : -e Beobachug der -e uabhägige (exogee, erlärede) Variable û : geschäzer -er Wer der Sörvariable (Fehlervariable, laee Variable)

5 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable 5 Regressiosgleichuge für alle Periode: ohe Marixschreibweise: y = β ˆ + β ˆ x + β ˆ x + + β ˆ x + uˆ y = β ˆ + β ˆ x + β ˆ x + + β ˆ x + uˆ y = β ˆ + β ˆ x + β ˆ x + + β ˆ x + uˆ 3 3 i Marixschreibweise: y = X + uˆ ( x) ( x) ( x) ( x) mi: y x x uˆ ˆ β y ˆ ˆ x x u ˆ y, X β = =, uˆ =, β =. y ˆ x x u Regressiosgleichug zur Berechug der geschäze Were der abhägige Variable: Geschäze Were der abhägige Variable i der -e Periode: ŷ =β ˆ +β ˆ x + +β ˆ x + +β ˆ x, =,,, Veor der geschäze Were der abhägige Variable: yˆ = X. mi: ŷ x x ŷ ˆ x x ˆ yˆ, X β = =, β =. ŷ x x Berechug der geschäze Residue: Geschäze Were der abhägige Variable i der -e Periode: uˆ = y yˆ, =,,, Veor der geschäze Residue: uˆ = y yˆ

6 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable 6. Kleis-Quadra-Mehode (OLS-Mehode) Miimierugsrierium: S = uˆ uˆ = ˆ u Miimum = Aahme: E ( u) 0 = bzw. E( u ) = 0 für alle =,,.., E uu =σ I bzw. u u u σ =σ für alle =,,.., ud σ = E u u = 0 für alle s u,u s s Geschäze Regressiosoeffiziee bei eier Eifachregressio (ohe Marizerechug): Geschäzes absolue Glied: =y x Geschäzer Regressiosoeffizie: ( y y) ( x x ) = = = ( x x ) Veor der Regressiosoeffiziee: ˆβ = X X X y

7 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable 7.3 Kofideziervalle für die Regressiosoeffiziee. Feslegug des Kofideziveaus -. Berechug der Schäzfuio: Veor der geschäze Regressiosoeffiziee: ˆβ = X X X y Geschäze Variaz der Sörgröße: û ˆ ˆ = u u u, mi uˆ y ˆ y σ ˆ = = = bzw. uˆ = y yˆ (geschäze) Variaz-Kovariaz-Marix der geschäze Regressiosoeffiziee: u ( ) σˆ =σˆ X X ˆ σˆ ˆ σˆ ˆ ˆ σˆ ˆ ˆ σˆ ˆ ˆ β β, β β, β β, β σˆ ˆ ˆ σˆ ˆ σˆ ˆ ˆ σˆ β ˆ ˆ, β β β, β β, β = σˆ ˆ ˆ σˆ ˆ ˆ σˆ ˆ ˆ σˆ β ˆ, β β, β β, β β σ β ˆ σ ˆ ˆ ˆ σˆ ˆ ˆ σˆ ˆ σˆ β ˆ ˆ, β β, β β β, β Geschäze Sadardabweichug des -e geschäze Regressiosoeffiziee: σ ˆ = σ ˆ 3. Ablese der riische Were: = ; ; ; ; Esadardisierug: ˆ ˆ β ˆ ˆ ˆ σ ; β σ ; β ;

8 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable 8.4 Saisische Tess zur Überprüfug der OLS-Parameer.4. -Tes.4.. "Tradiioelle" Mehode. Feslegug des Sigiaziveaus H Formulierug der Nullhypohese: β = β = (falls β zweiseiig gege 0 0 geese wird). Aufsellug der Tesfuio ud Feslegug ihrer Vereilug: Geschäze Variaz der Sörgröße: û ˆ ˆ = u u u, mi uˆ y ˆ y σ ˆ = = = bzw. uˆ = y yˆ (geschäze) Variaz-Kovariaz-Marix der geschäze Regressiosoeffiziee: u ( ) σˆ =σˆ X X ˆ σˆ ˆ σˆ ˆ ˆ σˆ ˆ ˆ σˆ ˆ ˆ β β, β β, β β, β σˆ ˆ ˆ σˆ ˆ σˆ ˆ ˆ σˆ β ˆ ˆ, β β β, β β, β = σˆ ˆ ˆ σˆ ˆ ˆ σˆ ˆ ˆ σˆ β ˆ, β β, β β, β β σ β ˆ σ ˆ ˆ ˆ σˆ ˆ ˆ σˆ ˆ σˆ β ˆ ˆ, β β, β β β, β Geschäze Sadardabweichug des -e geschäze Regressiosoeffiziee: σ ˆ = σ ˆ Empirischer Wer: β = H σˆ β ˆ H ( β =0, falls β gege 0 geese wird)

9 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable 9 3. Ablese des riische Weres: Kriischer Wer: ; (beim zweiseiigem Tes) 4. Tesescheidug: > : Nullhypohese wird abgeleh ; : Nullhypohese a ich abgeleh werde ;.4.. Verwedug des p-weres. Feslegug des Sigiaziveaus H Formulierug der Nullhypohese: β =β = 0 (falls β zweiseiig gege 0. Berechug des irische Weres: (siehe "radiioelle" Mehode) geese wird) 3. Berechug des p-weres: ( ) ( ) p = P T = P T Tesescheidug:, mi -Freiheisgrade p <: Nullhypohese wird abgeleh p : Nullhypohese a ich abgeleh werde

10 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable 0.4. F-Tes.4.. "Tradiioelle" Mehode. Feslegug des Sigiaziveaus Formulierug der Nullhypohese: β =β 3 =... =β = 0. Berechug des irische Weres: F ( ŷ y) ( ) = y x,,x = = = ( y yˆ ) ( ) ( ) ˆr ( rˆ y x,,x ) ( ) Sreuugszerlegug: ( y y) = ( yˆ y) + ( y yˆ ) = = = gesame Sreuug erläre Sreuug Residualsreuug ANOVA-Tabelle: Quelle der Sreuug 3. Ablese des riische Weres: Abweichugsquadrasumme Freiheisgrade Milere Abweichugsquadrasumme Regressio (erlär) ( ŷ y) ( ) Residue (ich erlär) = = ŷ y ( y yˆ ) = uˆ ( ˆ ) = = Gesam ( y y) = = y y Kriischer Wer: F ; ; (F-Were lies ma immer eiseiig ab) 4. Tesescheidug: F > F : Nullhypohese wird abgeleh ; ; F F : Nullhypohese a ich abgeleh werde ; ;

11 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable.4.. Verwedug des p-weres. Feslegug des Sigiaziveaus Formulierug der Nullhypohese: β =β 3 =... =β = 0. Berechug des irische Weres: (siehe "radiioelle" Mehode) 3. Berechug des p-weres: p = P F F, mi -Zähler ud 4. Tesescheidug: p <: Nullhypohese wird abgeleh p : Nullhypohese a ich abgeleh werde Neerfreiheisgrade.5 Mulipler ud parieller Deermiaiosoeffizie.5. Mulipler Deermiaiosoeffizie (muliples Besimmheismaß) Sreuugszerlegug: ( y y) = ( yˆ y) + ( y ˆ y) = = = gesame Sreuug erläre Sreuug Residualsreuug Mulipler Deermiaiosoeffizie: mi: ( ŷ y) = ˆr y x,x 3,,x ( y y) = durch de Regressiosasaz erläre Sreuug der abhägige Variable = = gesame Sreuug der abhägige Variable ( y y) ( yˆ y) rˆy x,x 3,,x rˆ = = y;yˆ = ( y y) ( yˆ y) = = 0 r ˆy x,x 3,,x Mulipler Korrelaiosoeffizie: rˆ = rˆ y x,x 3,,x y x,x 3,,x

12 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable Korrigierer mulipler Deermiaiosoeffiziee ach Theil: mi: ( y yˆ ) ( y yˆ ) ˆr = = orr = = y x,x 3,,x ( y y) ( y y) = = ( ) orr ( rˆ ) ( ˆ y x,x,,x = ry x,x,,x ) 3 3 orr ( rˆ y x ),x 3,,x.5. Parieller Deermiaiosoeffizie (parielles Besimmheismaß) Parieller Deermiaiosoeffizie: ˆr y,x x,x 3,, x,,x durch X erläre Sreug vo Y = durch X,, X,,X ich erläre Sreug vo Y. ˆr y,x x,x 3,, x,,x mi: e e SQx SQ x = = r e SQ SQ SQ x,x 3,, x,,x x,x 3,, x,,x, SQ : ausschließlich vo X erläre Sreuug (Abweichugsquadrasumme) e x vo Y, e SQ x,x 3,,( x ) : durch X,,,x,X ohe X erläre Sreuug (Abweichugs- quadrasumme) vo Y r SQ x,x 3,,( x ) : durch X,,,x,X ohe X ich erläre Sreuug (Abwei- chugsquadrasumme) vo Y (Residualsreuug) SQ : gesame (oale) Sreuug (Abweichugsquadrasumme) vo Y. ˆr y,x x,x 3,, x,,x rˆ = rˆ y x,x 3,,x y x,x 3,, x,,x rˆ y x,x 3,, x,,x ˆr = y,x x,x 3,,( x ),,x ˆ β + ( ) σˆ

13 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable 3 Parieller Korrelaiosoeffizie: rˆ = rˆ y,x x,x 3,, x,,x y,x x,x 3,, x,,x.6 Progose.6. Puprogose ŷ =β ˆ +β ˆ x + +β ˆ x + +β ˆ x ŷ0 x 0 = mi x = [ x x x ] Iervallprogose. Feslegug des Kofideziveaus -. Berechug der Schäzfuio: Berechug eies geschäze Puprogosewers: ŷ =β ˆ +β ˆ x + +β ˆ x + +β ˆ x = mi x = [ x x x ] ŷ0 x Geschäze Variaz des Progosefehlers: σ ˆ = x σˆ X X x +σ ˆ. ŷ 0 y0 0 u 0 u. Geschäze Sadardabweichug des Progosefehlers: σ ˆ = σ ˆ yˆ0 y0 yˆ0 y0 3. Ablese der riische Were: = ; ; ; ; Teilweise erhäl der parielle Korrelaiosoeffizie das Vorzeiche des -e Regressiosoeffiziee zugewiese

14 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable Esadardisierug: yˆ σˆ ;yˆ σˆ 0 yˆ0 y0 0 yˆ0 y ; ; 0.7 Schäzeigeschafe Erwarugsreue: E( ) = β Effiziez: σ σ für =,,,, β mi β = Regressiosoeffizie des allgemeie lieare Schäzasazes bei Güligei der Aahme: E ( u) = 0 bzw. E( u ) = 0 für alle =,,.., E uu =σ I bzw. u u u σ =σ für alle =,,.., ud σ = E u u = 0 für alle s u,us s Kosisez: a) lim E = b) lim σ = 0

15 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable 5.8 Verlezug der Aahme.8. Verlezug der Aahme E ( u) = 0 Aahmeverlezug is schwierig zu überprüfe. = σ I.8. Verlezug der Aahme E ( uu ) u.8.. Heerosedasiziä.8... Auswiruge vo Heerosedasiziä σu σ u σu σ u 0 Ω = 0 0 σ u σ u Vergleich der Variaze des KQ-Schäzers ud des allgemeie lieare Schäzers: σ σ für =,,, < > β mi β = Regressiosoeffizie des allgemeie lieare Schäzasazes Geschäze Variaz-Kovariaz-Marix der Regressiosoeffiziee bei Vorliege vo Heerosedasiziä, we uzulässigerweise eie KQ-Schäzug agewede wird: ( ) ˆ ( ) σˆ = X X X σ Ω X X X u Geschäze Variaz des Progosefehlers bei Vorliege vo Heerosedasiziä, we uzulässigerweise eie KQ-Schäzug agewede wird: σ ˆ x X X X ˆ Ω X X X x ˆ = σ +σ. ŷ0 y0 0 u 0 u

16 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable Diagose vo Heerosedasiziä mi dem Goldfeld-Quad-Tes.8... "Tradiioelle" Mehode. Feslegug des Sigiaziveaus Formulierug der Nullhypohese: H : σ =σ =σ 0 u u u. Aufsellug der Tesfuio ud Feslegug ihrer Vereilug: Orde des Daesazes ach der -e uabhägige Variable: Aufeile der Dae: Die Dae werde i zwei gleich große Uersichprobe aufgeeil, wobei die milere zira 0 % der Beobachugswere ich verwede werde. Empirischer Wer: û uˆ uˆ = = = uˆ ˆ u û =, F falls uˆ uˆ = = bzw. û uˆ uˆ = = = uˆ ˆ u û =, F falls uˆ > uˆ = = 3. Ablese des riische Weres: Kriischer Wer: F ; ; (bei gleich große Uersichprobe) 4. Tesescheidug: F > F ; ; : Nullhypohese wird abgeleh F F : Nullhypohese a ich abgeleh werde ; ;

17 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable Verwedug des p-weres. Feslegug des Sigiaziveaus Formulierug der Nullhypohese: H : σ =σ =σ 0 u u u. Aufsellug der Tesfuio ud Feslegug ihrer Vereilug: (siehe "radiioelle" Mehode) 3. Berechug des p-weres: p = P F F 4. Tesescheidug: p <: Nullhypohese wird abgeleh p : Nullhypohese a ich abgeleh werde Korreur des Modells bei Vorliege vo Heerosedasiziä (WLS- Schäzug) Trasformiere Regressiosgleichug für die -e Periode: y x x x u x x x x x x = β + β + β + + β + y x x x = x u Trasformierer Veor y y = y x y = y x = y = y x y :

18 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable 8 Trasformiere Marix X X : x x x x = x = x = = x = x x x x x x x x = x = x = = x = x x x x = x x x x = x = x = = x = x x x x x x x x = x = x = = x = x x x x WLS-Schäzug (spezielle Form der verallgemeiere Quadrae-Schäzug (geeralizes leas squares) WLS ˆβ = ( X ) X ( X ) y Geschäze Regressiosgleichug bei Verwedug der WLS-Schäzug: y ˆ ˆ x ˆ x ˆ x uˆ x x x x x x WLS WLS WLS WLS = β + β + β + + β + y x x x = x uˆ Geschäze Variaz-Kovariazmarix der mi WLS ermiele Regressiosoeffiziee: σˆ ˆ WLS =σˆ u ( X β ) X mi ( û ) ( uˆ ) uˆ = σ ˆ u = =

19 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable Auoorrelaio.8... Auswiruge vo Auoorrelaio ρ ρ ρ ρ Ω = ρ ρ (ρ : Auoregressiosoeffizie) Vergleich der Variaze des KQ-Schäzers ud des allgemeie lieare Schäzers: σ σ für =,,, < > β mi β = Regressiosoeffizie des allgemeie lieare Schäzasazes Geschäze Variaz-Kovariaz-Marix der Regressiosoeffiziee bei Vorliege vo Auoorrelaio, we uzulässigerweise eie KQ-Schäzug agewede wird: ( ) ˆ ( ) σˆ = X X X σ Ω X X X u Geschäze Variaz des Progosefehlers bei Vorliege vo Auoorrelaio, we uzulässigerweise eie KQ-Schäzug agewede wird: σ ˆ x X X X ˆ Ω X X X x ˆ = σ +σ. ŷ0 y0 0 u 0 u.8... Diagose vo Auoorrelaio mi dem Durbi-Wao-Tes (zweiseiig). Feslegug des Sigiaziveaus Formulierug der Nullhypohese: H 0 : φ = 0 od. ( H : r = 0 0 u,u r u,u. Aufsellug der Tesfuio ud Feslegug ihrer Vereilug: : Auoorrelaioeoffizie) Empirischer Wer: d = = ( uˆ uˆ ) = û

20 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable 0 Approximaive Berechug vo d : d r ˆu. ˆ,u ˆ 3. Ablese des riische Weres: Kriischer Were der Exremvereiluge: L d ;; ud U d ;; U 4 d ud ;; L 4 d ;; 4. Tesescheidug: L d < d oder ;; L d 4 d ;; > : Nullhypohese wird abgeleh L U U L d d d oder 4 d d 4 d : ;; ;; ;; ;; Keie Tesescheidug a geroffe werde U U d < d < 4 d : ;; ;; Nullhypohese a ich abgeleh werde Uschärfebereiche Ablehbereich (posiive Auoorrelaio) Aahmebereich (eie Auoorrelaio) Ablehbereich (egaive Auoorrelaio) 0 4 d L U 4 d ;; ;; L U d ;d d U ;; L 4 d ;;

21 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable Korreur des Modells bei Vorliege vo Auoorrelaio Das Cochra-Orcu-Verfahre ud das Prais-Wiso-Verfahre basiere auf eier GLS- Schäzug ("geeralizes leas squares") Cochra-Orcu-Verfahre Schri Schri Schri 3 Schri 4 OLS-Schäzug des Regressiosmodells mi de origiäre Variable: Berechug des geschäze Auoregressiosoeffiziee: φ= ˆ ˆβ = X X X y uˆ uˆ Besimmug der OLS-Residue (Modell, das im. Schri geschäz wurde): uˆ = y yˆ = û = Trasformierug der Variable (. Beobachugswer geh verlore): y = y φ ˆ y ; x = φ ˆ; x = x φ ˆ x für =, 3,,, Berechug der GLS-Schäzug mi der Cochra-Orcu-Mehode: Schri 5 CO ˆβ = ( X ) X ( X ) y ( ) ( ) ( ) Trasformierer Veor y 3 φ ˆ y + y φ ˆ y + y = φ ˆ y + y y :

22 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable Trasformiere Marix X ( ) X : φˆ φ ˆ x + x φ ˆ x3 + x3 φ ˆ x + x φˆ φ ˆ x + x ˆ ˆ 3 φ x3 + x33 φ x + x3 ˆ ˆ x ˆ ˆ = φ φ 3 + x4 φ x33 + x34 φ x3 + x4 φˆ φ ˆ x ˆ ˆ, + x φ x3, + x3 φ x, + x Geschäzer Auoregressiosoeffizie: φ= ˆ uˆ uˆ = û = Verallgemeiere Quadra-Schäzug (geeralizes leas squares) ˆβ = ( X ) X ( X ) y ( ) CO ( ) ( ) Prais-Wiso-Mehode Trasformierer Veor y y = φˆ y y = φ ˆ y+ y = y ˆ = φ y + y3 y ˆ = φ y + y y : Trasformiere Marix X = X : φˆ φˆ x φˆ x3 φˆ x φˆ φ ˆ x ˆ ˆ + x φ x3 + x3 φ x + x φˆ φ ˆ x + x φ ˆ x + x φ ˆ x + x φˆ φ ˆ x ˆ ˆ, + x φ x3, + x3 φ x, + x φˆ φ ˆ x ˆ ˆ 3 + x4 φ x33 + x34 φ x3 + x4

23 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable 3 Geschäzer Auoregressiosoeffizie: φ= ˆ uˆ uˆ = û = Verallgemeiere Quadra-Schäzug (geeralizes leas squares) PW ˆβ = ( X ) X ( X ) y.9 Muliollieariä.9. Auswiruge vo Muliollieariä.9.. Offee Muliollieariä ( X) ( XX ) rg = rg <.9.. Verdece Muliollieariä ( X) ( XX ) rg = rg =.9. Diagose vo Muliollieariä Tolerazoeffiziee: ol = r ˆ x x,x 3,, x,,x

24 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi quaiaive Variable 4.0 Liearisierug Trasformaio vo x Trasfor Maio vo y liear y logarihmisch ivers y l y liear x logarihmisch l x ivers x Doppelliear y =β +β x + u logarihmisch-liear l y =β +β x + u ivers-liear =β +β x + u y liear-logarihmisch y = β+β lx + u Doppellogarihmisch l y = β+β l x + u ivers-logarihmisch l x u y = β+β + liear-ivers y =β +β + u x logarihmisch-ivers l y =β +β + u x doppelivers =β +β + u y x. Parielle Apassug Lagfrisiger Gleichgewichswer: y = ˆ +ˆ x + uˆ G Geschäze Regressiosgleichug: y =δ ˆ +δ ˆ x + δ y uˆ +δ mi: y =β ˆ =β ˆ ˆ =β3 y x y y x y = = y x y 3 3, X 3 ( ) dere Koeffiziee mi der OLS-Mehode besimm werde: β ˆ = X X X y

25 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi qualiaive ud omparaive Variable 5. Öoomerische Eigleichugsmodelle mi qualiaive ud omparaive Variable. Saleiveau vo Variable Nomialsala (qualiaives Mermal) Ordialsala (omparaives Mermal) Merische Sala (quaiaives Mermal) Nei Nei Mermalsauspräguge lasse sich i eie Reihefolge brige? Ja Absad zwische zwei aufeiader folgede Mermalsauspräguge is gleich? Ja. Lieare Regressiosaalyse mi qualiaive ud omparaive uabhägige Variable.. Dichoome Mermale J-e uabhägige Variable is dichoom ud wird als Biärvariable odier: x, falls Kaegorie vorhade is = 0, falls Kaegorie ich vorhade is.. Polyome Mermale J-e Variable als Dummy-Variable odier: x, falls Kaegorie vorhade is = 0, falls Kaegorie ich vorhade is

26 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi qualiaive ud omparaive Variable 6.3 Dichoome Mermale als abhägige Variable.3. Warum a ei solches Modell ich mi eier lieare Regressiosaalyse geschäz werde?.3. Die logisische Regressio.3.. Formulierug des Modells Biärodierug der abhägige Variable: y, we das Ereigis eigeree is = 0, we das Ereigis ich eigeree is Logisisches Regressiosmodell: p β ˆ +β ˆ x+ + ˆ ˆ x+ +β x x β = e e yˆ = + e = + e β ˆ +β ˆ x+ + ˆ ˆ x+ +β x x β mi: [ x x x ] x = Besimmug der geschäze Regressiosoeffiziee Lielihoodfuio: = y y L=Πp p Loglielihoodfuio: L = y lp + y l p =

27 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi qualiaive ud omparaive Variable Ierpreaio der geschäze Regressiosoeffiziee Margiale Eiriswahrscheilichei: β ˆ +β ˆ x+ + ˆ ˆ x+ +β x x β p e ˆ e x e = β = + β ˆ +β ˆ x+ + x ˆ ˆ + +β x x β ( + e ) Effeoeffiziee: ˆ e β ( für =,3,, ) Odds: ( = ) P y p odds = = P y = p.3..4 Sigifiazes für die geschäze Regressiosoeffiziee (Wald- Tes) "Tradiioelle" Mehode. Feslegug des Sigiaziveaus Formulierug der Nullhypohese: H 0 : β = 0. Aufsellug der Tesfuio ud Feslegug ihrer Vereilug: Berechug der Variaz-Kovariaz-Marix: H = p p x x H = H = σˆ = H Empirischer Wer: β ˆ 0 χ = σ ˆ β ˆ

28 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi qualiaive ud omparaive Variable 8 3. Ablese des riische Weres: Kriischer Wer: 4. Tesescheidug: χ ; ; χ >χ : Nullhypohese wird abgeleh ; χ χ : Nullhypohese a ich abgeleh werde Verwedug des p-weres. Feslegug des Sigiaziveaus Formulierug der Nullhypohese: H 0 : β = 0. Aufsellug der Tesfuio ud Feslegug ihrer Vereilug: (siehe "radiioelle" Mehode) 3. Berechug des p-weres: p = P χ χ, mi eiem Freiheisgrad. 4. Tesescheidug: p <: Nullhypohese wird abgeleh p : Nullhypohese a ich abgeleh werde.3..5 Überprüfug des Gesammodells Zuordugsübersich ˆ P y = = p = y 0,5 y = Vorhergesage Gruppezugehörigei Beobachee Gruppegehörigei y 0 Richig Falsch y 0 Falsch Richig

29 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi qualiaive ud omparaive Variable 9 Zufällige Gruppeeieilug: p wobei: p 0 p =, falls 0, =, falls > Pseudo-Besimmheismaß ach Guma Loglielihood-Fuio ohe uabhägige Variable: L = l + l 0 Loglielihood-Fuio mi uabhägige Variable: L = y lp + y l p = Deviaz: D= L L = L L 0 0 Pseudo-Besimmheismaß ach Guma: PR ( L) L = L Lielihood-Raio-Tes "Tradiioelle" Mehode. Feslegug des Sigiaziveaus Formulierug der Nullhypohese: H 0 : β =β 3 =... =β = 0 o.. Aufsellug der Tesfuio ud Feslegug ihrer Vereilug: H 0 : PR = 0 bezeiche die Azahl der Beobachugseiheie, bei dee y = is.

30 . Öoomerische Eigleichugsmodelle mi qualiaive ud omparaive Variable 30 Empirischer Wer: L0 L L0 L χ = = 3. Ablese des riische Weres: Kriischer Wer: χ ; 4. Tesescheidug: χ >χ : Nullhypohese wird abgeleh ; χ χ : Nullhypohese a ich abgeleh werde ; Verwedug des p-weres. Feslegug des Sigiaziveaus Formulierug der Nullhypohese: H 0 : β =β 3 =... =β = 0 o.. Aufsellug der Tesfuio ud Feslegug ihrer Vereilug: (siehe "radiioelle" Mehode) 3. Berechug des p-weres: p = P χ χ, mi Freiheisgrade 4. Tesescheidug: p <: Nullhypohese wird abgeleh p : Nullhypohese a ich abgeleh werde H 0 : PR = 0