Kurzrepetition Ökonometrie I - Lösungen

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1 . Einführung Ökonomerie II - Peer Salder Kurzrepeiion Ökonomerie I - Lösungen Aufgabe (Inerpreaion von Regressionsergebnissen) a) Der prozenuale Aneil der Varianz der abhängigen Variablen, der durch die Regressionsgleichung erklär wird, is durch R oder 99.7% gegeben. b) Eine Regressionsgleichung, in der die abhängige Variable um eine Periode verzöger als erklärende Variable erschein, kann wie folg inerpreier werden: () y * x x... langfrisige Beziehung () y y * ( ) y mi 0 kurzfrisige Anpassung Subsiuion von () in () ergib: (3) y x x... ( ) y u Der Koeffizien vor der verzögeren abhängigen Variablen, LOG(KONSRK(-)), in der vorliegenden Schäzung is ( ) 0866., d.h Der Koeffizien vor der Einkommensvariablen (LOG(EINRK) is Dies is die kurzfrisige Einkommenselasiziä. Die langfrisige Einkommenelasiziä is 0.49 / c) Die DW-Tessaisik von.46 lieg im Unbesimmheisbereich (d L =., d U =.73). Der DW-Tes is hier nich adäqua, weil die abhängige Variable der Gleichung zeiverzöger als erklärende Variable vorkomm. In diesem Fall is der Durbin-h-Tes anzuwenden. Die sandard-normalvereile Durbin-h-Saisik is: n h r() ns worin r() der Auokorrelaionskoeffizien der Residuen, n der Sichprobenumfang (3) und s die geschäze Varianz des Parameers vor der zeiverzögeren abhängigen Variablen ( ). r() kann man approximaiv als r() = -DW/ = berechnen. Dies ergib: 3 h * Der kriische Wer für einen einseiigen Tes (Alernaivhypohese: posiive Auokorrelaion) auf dem %-Niveau is.64 (Sandard-Normalvereilung). Somi is die Null-Hypohese eines nich-auokorrelieren Sörerms abzulehnen. d) Unereil man die Sichprobe in zwei Subperioden a und b, so können die Parameer (C() bis C()) in den beiden Regressionen unerschiedliche Were annehmen. Schäz man die Gleichung über den gesamen Zeiraum, so zwing man die Parameer auf einheiliche Were, z.b. C() a = C() b = C(). Insgesam gib es solche Resrikionen. Man ha somi ein unresringieres Modell, in welchem Parameeränderungen zwischen

2 . Einführung Ökonomerie II - Peer Salder den beiden Subperioden zugelassen sind, und ein resringieres Modell mi Resrikionen, in welchem sabile Parameer unersell sind. URSS = RSS a + RSS b = = (unresringer) RRSS = RSS c = (resringier). Eingesez in die Formel für den F-Tes ergib sich: F ( RRSS URSS) URSS ( 3 0) 376. Bei einem kriischen F(,)-Wer von ewa. (%-Niveau) is die Null-Hypohese sabiler Parameer abzulehnen. e) Um die Hypohese einer langfrisigen Einkommenselasiziä zu esen, wird die Gleichung wird als nich-lineare Regression in der Form: LOG(KONSRK)=C()*C()+C()*C()*LOG(EINRK)+C()*C(3)*LOG(OBLR) +C()*C(4)*LOG(ARBLOS)+(-C())*LOG(KONSRK(-)) geschäz. C() is die langfrisige Einkommenselasiziä und die Hypohese C() = kann mi einem -Tes geese werden. Alernaiv kann man die Resrikion C() = in die Gleichung einbauen und die ensprechende resringiere Residuenquadrasumme in einem F-Tes mi der unresringieren Residuenquadrasumme vergleichen.

3 . Einführung Ökonomerie II - Peer Salder 3 Aufgabe (Regression mi drei Beobachungspunken): a) Regressionsgerade y x u 0, y x y 4, TSS 0 8, RSS ( ) 0, ESS TSS RSS 6, R ESS TSS 07. b) Uner der Null-Hypohese 0 verläuf die bese Regressionsgerade horizonal durch das Miel der y-were, y 4. Die ensprechende resringiere Residuenquadrasumme is gleich dem TSS von a), d.h. RRSS = TSS = 8. Die unresringiere Residuenquadrasumme is das RSS von a), d.h. URSS = RSS =. Eingesez in die Formel für den F-Tes: ( RRSS URSS) r ( 8 ) F 3 URSS ( n k ) ( 3) Der kriische F(,)-Wer is 6 (%-Niveau), d.h. die Null-Hypohese 0 kann bei weiem nich abgelehn werden. Mi anderen Woren: Die drei Beobachungspunke können auch von einer "wahren" Regressionsgeraden generier worden sein, die horizonal auf dem Niveau y 4 verläuf. c) Bei einer "verdreifachen" Sichprobe ergib sich ein F-Wer von ( 4 6) F 6 ( 9) Der kriische F(,7)-Wer is.9 (%-Niveau), d.h. die Null-Hypohese 0 is abzulehnen. Mi anderen Woren: Beobache man dreimal die drei in der Grafik dargesellen Punke, so is die Vorsellung, dass diese neun Punke von einer "wahren" Regressionsgeraden generier worden sind, die horizonal auf dem Niveau y 4 verläuf, unwahrscheinlich.

4 . Einführung Ökonomerie II - Peer Salder 4 Aufgabe 3: Konsumverhalen in zwei Gemeinden Schäzung einer linearen Konsumfunkion K E u für zwei Gemeinden A (ro) und B (blau). Unerscheide sich das Konsumverhalen (charakerisier durch und ) zwischen den beiden Gemeinden? K E Im unresringieren Modell sind für die Gemeinden A und B separae Regressionsgeraden (d.h. unerschiedliche Schäzwere für und ) zugelassen. RSS A = = RSS B = = URSS = RSS A + RSS B = 4 Uner der Hypohese, dass sich das Konsumverhalen zwischen den beiden Gemeinden nich unerscheide, zeichne man durch die 6 Beobachungspunke für beide Gemeinden eine gemeinsame Regressionsgerade (gesichel). Dies is das resringiere Modell mi Resrikionen ( und A B ). Die Residuenquadrasumme is A B RRSS = (-) (-) + = 0 F RRSS URSS r 0 4 URSS (n k). 4 ( 6 4) Kriischer F-Wer, % Niveau: F(,) =9.0 Resrikionen: r = Im unresringieren Modell: 6 Beobachungen: n = 6 4 Parameer: k = 4 => Die Hypohese eines einheilichen Konsumverhalens in den beiden Gemeinden is nich zur verwerfen.

5 . Einführung Ökonomerie II - Peer Salder Aufgabe 4 (Radiowerbung für Kino): Die Schäzung der Regressionsgleichung U W u U : Wochenumsaz, W : Werbeausgaben ergib: 000, 07., SE ( ) 0.. a) W = 0 U = Der Verrauensbereich einer mihilfe eines linearen Regressionsmodells ersellen Prognose ergib sich: aus der Varianz des Sörerms ( u ) und der Sichprobenvereilung der geschäzen Regressionsparameer (, ). Der Verrauensbereich is beim Sichprobenmiel der exogenen Variablen am kleinsen (vgl. Maddala, Seie ). Das Sichprobenmiel dürfe bei ca. W = 3000 liegen. Die ensprechende Prognose is am sichersen. Die Prognose für W = 9000 is am unsichersen. Dieser Wer lieg nich nur am weiesen vom Mielwer enfern, sondern sogar ausserhalb der der Schäzung zugrundeliegenden Sichprobe. Wie sich der Zusammenhang zwischen Werbung und Umsaz bei dieser Höhe der Werbeausgaben verhäl, wurde somi gar nich unersuch. b) Der kriische Wer is, weil dann die Werbeausgaben gerade in Form von zusäzlichem Umsaz zurückfliessen. Aufgrund der Punkschäzung 07. könne man dem Kinobesizer empfehlen, Werbung zu bereiben. Allerdings is 07. eine Schäzung und das wahre kann auch kleiner als sein. b) Verrauensbereich für : Der -Wer für ein 9%-Verrauensinervall ( - = 0 Freiheisgrade) beräg.8, der Sandardfehler is SE( ) 0.. Es gil somi: Prob( ) = 0.9 Prob( ) = 0.9 Die Null-Hypohese = kann folglich nich abgelehn werden und es beseh also durchaus die Möglichkei, dass das wahre kleiner als is.

6 . Einführung Ökonomerie II - Peer Salder 6 b) Wie gross is die Wahrscheinlichkei dafür, dass >? Wir wissen, dass ( -vereil is. Der -Wer für die Hypohese = beräg SE ) 07. SE( 07.. Da > gleichbedeuend mi < 0.7 is, gil: ) 0. Prob( > ) = Prob( < 0.7) = 0.7 (-Vereilung mi 0 Freiheisgraden). Man kann also sagen, dass es sich mi 7% (%) Wahrscheinlichkei lohn (nich lohn), Werbung zu bereiben.