4.1 OLS a) OLS-Schätzung der Koeffizienten der Strukturform

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1 4. Schäzmehoden OLS a) OLS-Schäzung der Koeffizienen der Srukurform OLS liefer verzerre und nich konsisene Schäzungen der Koeffizienen der Srukurform inerdependener Modelle, weil i.a. Sörvariable mi gemeinsam abhängigen Variablen korrelier. Srukurmodell: Y B Y + Z + U Daen sind im Gegensaz zu früher Zeilenvekoren Universiä Posdam -Wirschafs - und Sozialwissenschafliche Fakulä - Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie - Prof. H.-G. Srohe

2 4.2 Zeilen (Srukurgleichungen) als Vekorgleichung werden als Eingleichungsmodell berache (z.b. erse): y Y Z + u Y, Z sind die Daenmarizen der in der ersen Gleichung aufreenden endogenen bzw. prädeerminieren Variablen. sind die Zeilenvekoren der asächlich zu schäzenden Parameer. Nullresrikionen weggelassen. Universiä Posdam -Wirschafs - und Sozialwissenschafliche Fakulä - Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie - Prof. H.-G. Srohe

3 Universiä Posdam -Wirschafs - und Sozialwissenschafliche Fakulä - Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie - Prof. H.-G. Srohe 4.3 Zusammenfassung der Daenmarizen und Parameervekoren : [ ] N K 2 K N 2 ; γ γ z z y y Z Y X

4 Jez Eingleichungsmodell: 4.4 y X + u Gewöhnliche Kleins-Quadrae-Schäzung (OLS): d ˆ y X (X X ) Transposiion der Formel von b in Teil I) Dann das gleiche mi zweier Gleichung usw. Universiä Posdam -Wirschafs - und Sozialwissenschafliche Fakulä - Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie - Prof. H.-G. Srohe

5 Problem: 4.5 Im Allg. Y (also X ), mi der Sörvariablen u korrelier (warum?). Daher Schäzung von nich erwarungsreu und konsisen (s. Voraussezungen für Schäzung von Eingleichungsmodellen). Im rekursiven Modell: Sörvariable nich mi gem. abhängigen Variablen korrelier. Daher konsisene OLS-Schäzung möglich. Beim Fehlen verzögerer gem. abh. Variablen sogar erwarungsreu. Universiä Posdam -Wirschafs - und Sozialwissenschafliche Fakulä - Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie - Prof. H.-G. Srohe

6 b) OLS-Schäzung der Koeffizienen der reduzieren Form - ILS 4.6 Koeffizienen der reduzieren Form können mi OLS konsisen geschäz werden: rechs reen nur vorherbesimme Variablen auf Y $ Z + J oder zeilenweise als Eingleichungsmodell Universiä Posdam -Wirschafs - und Sozialwissenschafliche Fakulä - Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie - Prof. H.-G. Srohe

7 4.7 y i % i Z i + J i % i Zeilenvekor von $ uner Weglassen der fesgelegen Nullen Z i Marix Z uner Weglassen der Zeilen für die Koeffizienen Null wären OLS-Schäzer von % i als Anschließende Berechnung der Koeffizienen der Srukurform aus einem Gleichungssysem von bis zu N N Gleichungen aus: Indireke Mehode der kleinsen Quadrae (ILS). Manchmal sehr schwierig. ˆ p i i Universiä Posdam -Wirschafs - und Sozialwissenschafliche Fakulä - Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie - Prof. H.-G. Srohe

8 Universiä Posdam -Wirschafs - und Sozialwissenschafliche Fakulä - Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie - Prof. H.-G. Srohe 4.8 Beispiel: Srukurform C Y + u Y C + X In Marizenform dasselbe : y() B y() + ]() + u() mi γ B u y z u Y C X

9 Universiä Posdam -Wirschafs - und Sozialwissenschafliche Fakulä - Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie - Prof. H.-G. Srohe 4.9 Reduziere Form y z mi (I-B) - (I-B) - u d.h. + + X X Y C γ γ

10 Universiä Posdam -Wirschafs - und Sozialwissenschafliche Fakulä - Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie - Prof. H.-G. Srohe u X X γ γ γ

11 C % 2 + % X + J Y % 22 + % 2 X + J 2 4. mi % /(- ) und % 2 /(- ) % 2 /(- ) % 22 /(- ) Sörgrößen (auch für zweie Gleichung) J u /(- ) J 2 u /(- ) C / (- ) [( + X ) + u ] Y / (- ) [( +X ) + u ] Universiä Posdam -Wirschafs - und Sozialwissenschafliche Fakulä - Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie - Prof. H.-G. Srohe

12 Y mi u korrelier, denn E([Y y ] u ) / (- )[ E(u ) + E(X u ) + E(u 2 )] - E( y u ) 4.2 ) u2 /(- ) - g Daher direker OLS-Schäzer für und verzerr und nich konsisen. Es läss sich zeigen (Schips S. 29): Aus Formel für OLS- Schäzer folg: ˆ T T + T T u (Y (Y Y ) Y ) 2 Universiä Posdam -Wirschafs - und Sozialwissenschafliche Fakulä - Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie - Prof. H.-G. Srohe

13 Und daraus folg(*): 4.3 plim T ˆ falls + ( 2 u ) 2 Y Also Schäzer nich einmal asympoisch erwarungsreu. Immer überschäz. Übung: Zeigen, dass OLS-Schäzung der reduzieren Form erwarungsreu und konsisen. (*) Schreibweise plim X n bedeue : lim P ( X n n X X > ε ) oder X n p X Universiä Posdam -Wirschafs - und Sozialwissenschafliche Fakulä - Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie - Prof. H.-G. Srohe

14 Numerisches Beispiel : Daen ukcon.fi OLS - Einzelgleichung (Wiederholung) *************************************** Dependen variable is C 4 observaions 96Q o 994Q4 *************************************** Regressor Coefficien Sand.Error T_Raio Y [.] INPT [.65] ******************************** 4.4 Universiä Posdam -Wirschafs - und Sozialwissenschafliche Fakulä - Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie - Prof. H.-G. Srohe

15 4.5 OLS - Reduziere Form. Gleichung: ************************************* Dependen variable is C 4 observaions 96Q o 994Q4 ************************************* Regressor Coefficien Sand.Error T_Raio X [.] INPT [.] ************************************* Universiä Posdam -Wirschafs - und Sozialwissenschafliche Fakulä - Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie - Prof. H.-G. Srohe

16 2. Gleichung ************************************* Dependen variable is Y 4 observaions from 96Q o 994Q4 ************************************* Regressor Coefficien Sand. Error T_Raio X [.] INPT [.] ************************************* Rückrechnung der Srukurkoeffizienen 4.6 Universiä Posdam -Wirschafs - und Sozialwissenschafliche Fakulä - Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie - Prof. H.-G. Srohe

17 Wir haen Koeffizienen der reduzieren Form: (jez als Schäzwere p, b, g) 4.7 p 4.62 b /(-b ) p g /(-b ) p /(-b ) p g /(-b ) Universiä Posdam -Wirschafs - und Sozialwissenschafliche Fakulä - Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie - Prof. H.-G. Srohe

18 Daraus folg (Indireke Kleinse Quadrae): 4.8 -b,782 b,828 g 5455,9 Srukurform des Modells C Y 5455,9 +,828 Y + e C + X mi erwarungsreu und konsisen geschäzen Koeffizienen Universiä Posdam -Wirschafs - und Sozialwissenschafliche Fakulä - Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie - Prof. H.-G. Srohe