Einige elementargeometrische Sätze über Dreiecke

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1 Seite I Einige elementrgeometrische Sätze üer Dreiecke Durch drei nicht uf einer Gerden gelegene (d.h. nicht-kollinere) Punkte A, B, C in der euklidischen Eene ein Dreieck ABC mit Seiten,, c und (Innen-)Winkeln,, estimmt. Skizze: Dnn gelten die folgenden (klssischen) Sätze im Dreieck ABC (ohne Beweis): Them Winkelsumme im Dreieck Stz Die Winkelsumme im Dreieck eträgt 180 zw.. D.h. es gilt: gleichschenklige Dreiecke In jedem gleichschenkligen Dreieck ABC sind die den gleichlngen Seiten gegenüerliegenden Bsiswinkel gleichgroß. Und umgekehrt: Besitzt ds Dreieck ABC zwei gleichgroße Innenwinkel, dnn ist es gleichschenklig. Also: d( B, C) d( A, C) Seitenlänge und Winkel Der längeren Seite in einem Dreieck liegt der größere Innenwinkel gegenüer und umgekehrt. D.h. es gilt: d( B, C) d( A, C)

2 Seite II Seitenhlierenden Die drei Seitenhlierenden s, s, sc eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S des Dreiecks. Durch S werden die Seitenhlierenden im Verhältnis 2 : 1 geteilt. Mittelsenkrechten Die drei Mittelsenkrechten m, m, mc eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt M, welcher der Mittelpunkt des Umkreises k u des Dreiecks ist. Winkelhlierenden Die drei Winkelhlierenden w w w,, eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt W, welcher der Mittelpunkt des Inkreises k i des Dreiecks ist.

3 Seite III Höhen Die drei Höhen h, h, hc eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt H. Ds Produkt der Längen der durch H entstehenden Höhenschnitte ist dei für lle Höhen gleich: dah (, ) dhh (, ) dbh (, ) dhh (, ) dch (, ) dhh (, ) A B C Bemerkungen: Im Dreieck ABC ist der Umkreis k u der (eindeutige) Kreis, der durch die drei Eckpunkte A, B und C verläuft. Der Inkreises k i des Dreiecks ist der (eindeutige) Kreis, der die drei Seiten, und c innen erührt. Die Seiten sind lso Tngenten n k i. Grundlegend ist der Begriff der Kongruenz zw. der Ähnlichkeit von Dreiecken. Definition: Zwei Dreiecke ABC und A B C heißen kongruent, wenn sie durch eine Kongruenzildung - d.h. eine Komintion von Spiegelungen (dzu gehören die Drehungen und die Trnsltionen) -

4 Seite IV ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsildung - d.h. eine Komintion us einer Kongruenzildung mit einer Streckung - ufeinnder geildet werden können, so dss sie vollständig zusmmenfllen. Es ergeen sich dnn (ohne Beweis) folgende Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze: Kurzform Kongruenzkriterien SSS SWS SsW WSW zw. WWS Kongruenz / Ähnlichkeit von Dreiecken Zwei Dreiecke ABC und A B C sind genu dnn kongruent, wenn sie üereinstimmen in den Längen ller drei Seiten, d.h. wenn gilt, und c c. in den Längen zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, d.h. wenn z.b. gilt, c c und. in den Längen zweier Seiten und dem der längeren Seite gegenüer liegenden Winkel, d.h. wenn z.b. gilt, und mit >. in zwei Innenwinkeln und der Länge einer Seite, d.h. wenn z.b. gilt, und c c oder, und Ähnlichkeitskriterien SSS SWS SsW Zwei Dreiecke ABC und A B C sind genu dnn ähnlich, wenn sie üereinstimmen in dem Längenverhältnis ller drei Seiten, d.h. wenn gilt und c c (drus folgt: c c in dem Längenverhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, d.h. wenn z.b. gilt c c und. in dem Längenverhältnis zweier Seiten und dem der längeren Seite gegenüer liegenden Winkel, d.h. wenn z.b. gilt und mit > (drus folgt: > ). ).

5 Seite V WWW in zwei Innenwinkeln, d.h. wenn z.b. gilt und (drus folgt: ). Eng verwndt mit den Ähnlichkeitssätzen sind die Strhlensätze. Dzu etrchten wir folgende zwei Strhlenstzfiguren mit S k l, g AC, h BD und A,Bk sowie C,Dl. Skizze: () S uf derselen Seite von g und h () S zwischen g und h Es ergeen sich dnn (ohne Beweis) folgende Sätze: Strhlensätze 1. Strhlenstz Sind die Gerden g und h prllel (in Zeichen: g h ), dnn gilt: dsa (, ) dsc (, ). dsb (, ) dsd (, ) Umkehrung 1. Strhlenstz dsa (, ) dsc (, ) Gilt in der Strhlenstzfigur, so sind die dsb (, ) dsd (, ) Gerden g und h prllel, d.h. es folgt: g h. 2. Strhlenstz Sind die Gerden g und h prllel (in Zeichen: g h ), dnn gilt: dsa (, ) dsb (, ). dac (, ) dbd (, ) Wichtige Bemerkung: Die Umkehrung des 2. Strhlenstzes gilt i.. nicht!! D.h.:

6 Seite VI Aus dsa (, ) dac (, ) dsb (, ) folgt i.. nicht g h. dbd (, ) Es folgen noch (ohne Beweis) einige interessnte, teilweise eknnte und für die Anwendung wichtige Sätze us der sogennnten Kreisgeometrie. Them Stz des Thles Stz Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M und Durchmesser AB. Dnn gilt: ) Jeder Punkt Ck ildet mit den Endpunkten A, B ein rechtwinkliges Dreieck ABC, d.h. es gilt:, 2 ) Ist C ein Punkt in der (euklidischen) Eene, so dss ABC ein rechtwinkliges Dreieck ildet, so gilt: Ck. Zentrums-Peripheriewinkelstz (ZPW) Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M und AB eine Sehne von k sowie Ck ein elieiger Punkt uf dem Kreis. Dnn gilt: Ds Peripheriewinkelfeld W ACB ist hl so groß wie ds Zentrumswinkelfeld W AMB, d.h. 2. Insesondere gilt: Alle Peripheriewinkelfelder üer AB sind gleich groß.

7 Seite VII Sekntentngentenwinkelstz (STW) Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M und AB eine Sehne von k (d.h. g AB ist Seknte zu k ) sowie t Tngente n k im Punkt A mit Pt, P A. Dnn gilt: Ds Tngentenwinkelfeld W PAB hl so groß wie ds Zentrumswinkelfeld W AMB, d.h. 2. Sekntenstz (SS) Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M und Rdius r > 0, P ein Punkt us dem Inneren von k - d.h. d(p,m) < r - und AB und CD zwei Sehnen von k (d.h. AB und CD sind Seknten zu k ) mit AB CD P. Dnn gilt: Ds Produkt der Längen der durch P erzeugten Sekntenschnitte ist für eide Sehnen gleich groß, d.h. es gilt: d( A, P) d( P, B) d( C, P) d( P, D).

8 Seite VIII Insesondere gilt: Für lle Sehnen durch P ist ds Produkt der Längen der durch P geildeten Sekntenschnitte gleich. Sekntentngentenstz (STS) Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M und Rdius r > 0, P ein Punkt us dem Äußeren von k - d.h. d(p,m) > r. Weiter sei t eine Tngente n k mit Pt und t k T sowie g eine Seknte zu k mit Pg und g k A,B, A B (lso ist AB eine Sehne von k ). Dnn gilt: dap (, ) dpb (, ) dtp (, ) 2. Insesondere gilt: Für lle Seknten zu k durch P ist ds Produkt der Längen der durch P geildeten Sekntenschnitte gleich. Bemerkungen: Eine Seknte eines Kreises k ist eine Gerde, die k in zwei Punkten A,Bk, A B schneidet. Die Verindungsstrecke AB heißt dnn eine Sehne von k. Dem gegenüer ist eine Tngente n einem Kreis k eine Gerde, die k in genu einem Punkt T erührt. T heißt der Tngentenerührpunkt. Ist M Kreismittelpunkt, so gilt dei stets: t TM.

9 Seite IX Der Stz des Thles ist ein Sonderfll des llgemeineren Zentrumsperipheriewinkelstzes (ZPW). Speziell gilt in diesem Fll: 90 mit Der Sekntentngentenwinkelstz (STW) lässt sich ls Grenzfll des ZPS uffssen, woei mn C gegen A zw. B lufen lässt. Die Seknte CA von k wird dnn zur Tngente t n k mit Tngentenerührpunkt A zw. B. Wählt mn im Sekntenstz (SS) ls spezielle Seknte g PM mit g k A,B, so 2 2 gilt: dap (, ) dpb (, ) ( rdpm (, )) ( rdpm (, )) r dpm (, ). Der Sekntenstz (SS) und der Sekntentngentenstz (STS) sind eng miteinnder verwndt, woei einml (im Fll des SS) der Dreh- und Angelpunkt P im Inneren von k, ds ndere Ml (im Fll des STS) im Äußeren von k liegt. Wählt mn im STS ls spezielle Seknte wieder g PM mit g k A,B, so gilt dieses Ml: 2 2 dap (, ) dpb (, ) ( dpm (, ) r) ( dpm (, ) r) dpm (, ) r.