1. Die reellen Zahlen

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1 . Die reellen Zhlen Die reellen Zhlen sind eine Menge R zusmmen mit zwei Rechenvorschriften, die je zwei Elementen x, y R ein Element x + y R und ein Element x y R zuordnen, wobei ferner eine Teilmenge von R usgezeichnet ist, deren Elemente die positiven Zhlen heißen (wir schreiben x > 0, wenn x eine positive Zhl ist), so dss die folgenden drei Gruppen I, II, III von Axiomen erfüllt sind: I. Algebrische Axiome: I.) Kommuttivgesetze: x + y = y + x und x y = y x. I.b) Assozitivgesetze: (x + y) + z = x + (y + z) und (xy)z = x(yz). I.c) Null und Eins: Es gibt Elemente 0, R mit 0 und x + 0 = x und x = x für lle x R. I.d) Inverse Elemente: Zu jedem x R gibt es eine Zhl x R mit x + ( x) = 0 ; zu jedem x R mit x 0 gibt es eine Zhl x R mit x x =. I.e) Distributivgesetz: x(y + z) = xy + xz. Sttt,, R erfüllt die Axiome I.) - I.e) sgt mn kurz:,, R ist ein Körper. II. Anordnungsxiome: II.) Ist x R, so gilt genu eine der folgenden 3 Möglichkeiten: x > 0, x = 0, x > 0. II.b) Ist x > 0 und y > 0, so ist x + y > 0 und xy > 0. Bevor wir III formulieren können, müssen wir einige Bemerkungen zu den Axiomengruppen I und II mchen: () > 0. (2) Die Elemente x R mit x > 0 heißen negtiv. Sind x, y R, so schreiben wir x < y oder y > x, flls y x > 0. Insbesondere bedeutet x < 0, dss x > 0, lso dss x negtiv ist. Sind x, y R, so gilt nch II.) genu eine der folgenden Möglichkeiten: (3) Ist x < 0 und y < 0, so ist xy > 0. (4) Ist x R und x 0, so ist x 2 > 0. (5) Ist x > 0, so ist x > 0. x > y, x = y, x < y. (6) Sind x, y, z R mit x < y und y < z, so ist x < z. (7) Ist x < y und z > 0, so xz < yz. Ist x < y und z < 0, so xz > yz. (8) Ist 0 < x < y, so ist x 2 < y 2. Sind x, y > 0 und ist x 2 < y 2, so ist x < y. (9) Ist x < y und z R beliebig, so ist x + z < y + z. (0) Ist 0 < x < y, so ist y < x.

2 () Sind x, y R, so schreiben wir x y, flls x < y oder x = y. Für x y schreiben wir uch y x. Def. Ist x R, so sei x := x heißt der Absolutbetrg von x. { x, flls x 0, x, flls x < 0. (2) Ist x R, so ist x 0; ist x 0, so ist x > 0. x y ist, nschulich gesprochen, der Abstnd zwischen x und y. (3) Sind x, y R, so ist xy = x y. (4) Dreiecksungleichung: x + y x + y. (5) Es ist 0 < < 2 = + < 3 = 2 + <.... Diese Zhlen sind lso lle voneinnder verschieden. Die Menge {, 2, 3,...} wird mit N bezeichnet; ihre Elemente heißen ntürliche Zhlen. N 0 := N {0}. Die Menge Z := N {0} { n n N} heißt die Menge der gnzen Zhlen, und Q := { x y x Z, y N} heißt die Menge der rtionlen Zhlen. Q erfüllt die Axiome I und II. Def. Sei M R. Dnn heißt M nch oben beschränkt, wenn es ein c R gibt mit x c für lle x M. Ein solches c heißt eine obere Schrnke von M. M heißt nch unten beschränkt, wenn es ein d R gibt mit x d für lle x M. Ein solches d heißt eine untere Schrnke von M. M heißt beschränkt, wenn es nch oben und unten beschränkt ist. Wenn es eine kleinste obere Schrnke c von M gibt (d.h. c ist obere Schrnke und jedes c R mit c < c ist keine obere Schrnke von M, so heißt c ds Supremum von M; schreibe c =: sup M. Wenn es eine größte untere Schrnke d von M gibt, so heißt d ds Infimum von M; schreibe d =: inf M. III. Vollständigkeitsxiom: Ist M eine nicht-leere nch oben beschränkte Menge, so besitzt M ein Supremum. Stz : Ist R, so existiert ein n N mit n. Stz 2: Ist b R und b > 0, so existiert ein n N mit n b. Stz 3: Ist R und > 0, so existiert genu ein b > 0 mit b 2 =. Wir schreiben b =. Def. Sei M R. Wenn es ein x o M gibt mit x x o für lle x M, so heißt x o ds Mximum von M; schreibe x o =: mx M. Entsprechend definiert mn ds Minimum min M. Bem. ) Wenn mx M existiert, so ist M nch oben beschränkt, und mx M = sup M. b) Wenn M nch oben beschränkt ist und sup M M gilt, so ist sup M ds Mximum von M. Bez. Seien, b R mit < b. [, b] := {x R x b} ], b[ := {x R < x < b } [, b[ := {x R x < b } ], b] := {x R < x b} (bgeschlossenes Intervll) (offenes Intervll) (hlboffenes Intervll) (hlboffenes Intervll) 2

3 2. Folgen und ihre Grenzwerte Def. Ist X eine Menge, so ist eine Folge in X eine Abbildung : N X; mn schreibt oft n sttt (n) und spricht von der,, Folge ( n ) sttt von der Folge. Sttt,, Folge in R sgen wir kurz,, Folge. Gelegentlich lssen wir uch zu, dss eine Folge uf einer Teilmenge {n o, n o +, n o +2,...} von Z sttt uf N definiert ist und reden dnn von der Folge ( n ) n no. Def. Sei ( n ) eine Folge reeller Zhlen und sei b R. Die Folge heißt konvergent gegen b, flls gilt: Zu jedem ǫ > 0 existiert ein N N, so dss n b < ǫ für lle n N. Mn nennt dnn b den Grenzwert oder den Limes der Folge ( n ) und schreibt lim n n = b oder,, n b für n. Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent. Stz. Eine Folge besitzt höchstens einen Grenzwert. Beispiel (): Sei R und n := n N. Dnn heißt ( n ) eine konstnte Folge. Es ist lim n n =. Beispiel (2): lim n n = 0. Beispiel (3): Sei n := ( ) n. Dnn konvergiert ( n ) nicht. n Beispiel (4): lim n 2 n = 0. Def. Eine Folge ( n ) heißt beschränkt, wenn die Menge { n n N} beschränkt ist. Bem. Genu dnn ist ( n ) beschränkt, wenn es ein M R gibt mit n M n N. Stz 2. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Def. Eine Folge ( n ) mit lim n n = 0 heißt eine Nullfolge. Bem. Sei ( n ) eine Folge. Genu dnn ist n, wenn ( n ) eine Nullfolge ist. Stz 3. Ist ( n ) Nullfolge und (b n ) beschränkte Folge, so ist ( n b n ) Nullfolge. Stz 4. (Rechenregeln für Grenzwerte) ( n ) und (b n ) seien Folgen mit n, b n b. ) n + b n + b, n b n b. 2) n b n b. 3) Ist b 0, so ist b n 0 für fst lle n, und n b n b. Beispiel (5): n = n2 2n + 3 3n 2 + = 2 n + 3 n n 2 3 Stz 5. Seien ( n ), (b n ) konvergente Folgen, n, b n b. Flls n b n für fst lle n, so ist b. Stz 6. (Bernoullische Ungleichung) Sei x. Dnn gilt: ( + x) n + nx für lle n N. Stz 7. Für < ist lim n n = 0, und für > divergiert die Folge ( n ). 3

4 Def. Eine Folge ( n ) heißt monoton wchsend, wenn n n+ n. Sie heißt streng monoton wchsend, wenn n < n+ n. Entsprechend: (streng) monoton fllend Stz 8. Ist ( n ) monoton wchsend und beschränkt, so ist ( n ) konvergent und lim n n = sup{ n n N}. Beispiel: Neuer Beweis für lim n xn = 0, flls 0 x < : Sei n := x n. Dnn ist ( n ) eine monoton fllende beschränkte Folge, die nch Stz 8 gegen ein konvergiert. Für jedes n ist n+ = x n. Übergng zum Limes liefert = x, lso = 0. Def. Sei (n k ) k eine streng monoton wchsende Folge ntürlicher Zhlen. Ist ( n ) n eine Folge in einer Menge X, so erhält mn durch k n k eine neue Folge (n k ) k in X, die eine Teilfolge von ( n ) heißt. Bem. ) Eine Teilfolge einer beschränkten Folge ist beschränkt. b) Wenn ( n ) gegen konvergiert, so uch jede Teilfolge von ( n ). Lemm. Jede Folge reeller Zhlen enthält eine monotone Teilfolge. Stz 9. (Bolzno-Weierstrß) Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. (Stz 9 folgt sofort us Stz 8 und dem Lemm.) Stz 0. (Konvergenzkriterium von Cuchy) Sei ( n ) eine Folge. Dnn sind äquivlent: () ( n ) ist konvergent. (2) Zu jedem ǫ > 0 existiert N N, so dss m n < ǫ für lle m, n N mit m N und n N. (Die Impliktion () (2) ist gnz leicht. Die ndere Richtung folgt us dem Stz von Bolzno-Weierstrß.) 4

5 3. Reihen Def. Sei ( n ) eine Folge reeller Zhlen und s n := n. Wenn die Folge (s n ) konvergiert, so sgt mn, dss die Reihe n konvergiert und schreibt n für ihren Grenzwert. Wenn (s n ) divergiert, so sgt mn, dss die Reihe n divergiert. Die Zhlen s n heißen die Prtilsummen von n. Ht mn llgemeiner eine Folge ( n ) n n0 reeller Zhlen, so spricht mn von der Reihe n. n=n 0 Stz. Wenn n konvergiert, so ist ( n ) eine Nullfolge. Konvention: Wir setzen x 0 := für lle x R, insbesondere uch für x = 0. Beispiel (): Die geometrische Reihe x n konvergiert für x < und divergiert für x. Denn für x R, x ist Deswegen gilt für x < : k x n = xk+ x. Beispiel (2): Die hrmonische Reihe x n = x divergiert, denn n }{{ 4 } }{{ 8 } 9 +. > 2 > 2 Beispiel (3): =. Denn n(n + ) = n n +. Stz 2. (Kriterium von Leibniz) Sei (b n ) n n0 eine monoton fllende Nullfolge. Dnn konvergiert ( ) n b n. Beispiel (4): konvergiert nch Stz 2. 4 Def. Eine Reihe n heißt bsolut konvergent, wenn n konvergiert. Stz 3. Eine bsolut konvergente Reihe ist konvergent. (Dies folgt us dem Konvergenzkriterium von Cuchy.) Bem.. n konvergiert genu dnn bsolut, wenn die Folge der Prtilsummen von n beschränkt ist. Bem.2. Wenn n bsolut konvergiert, so ist n n. 5

6 Stz 4. (Mjorntenkriterium) Seien ( n ) und (c n ) Folgen mit n c n n. Wenn c n konvergiert, so konvergiert n bsolut. (Mn nennt dnn eine konvergente Mjornte von n.) Beispiel (5): Die Reihe konvergente Mjornte. c n konvergiert, denn die Reihe us Beispiel (3) ist eine n2 Beispiel (6): Sei k N fest mit k 2. Dnn konvergiert n k. Stz 5. (Quotientenkriterium) Es gebe ein q R mit 0 < q <, so dss n 0 und n+ q für fst lle n. Dnn ist n bsolut konvergent. n Beispiel (7): Für n N setzt mn n! := 2... n (gelesen: n-fkultät) und 0! :=. Die Reihe n! xn konvergiert bsolut für jedes x R. exp(x) := Beispiel (8): Die Dezimlzhldrstellung: n! xn. Ist (c n ) eine Folge in {0,, 2,...9}, so ist die Reihe c n 0 n konvergent und 0 c n 0 n. 2. Ist X die Menge ller Folgen in {0,, 2,...9} und definiert mn ϕ : X [0, ] durch ϕ ( (c n ) ) := c n 0 n, so ist ϕ surjektiv. 3. Ist n N und c = (c,..., c n, 9, 9, 9,...) X mit c n < 9, so ist ϕ(c) = ϕ(c,..., c n, c n +, 0, 0, 0,...). 4. Sei Y := {(c n ) X für unendlich viele n ist c n 9}. Dnn erhält mn eine Bijektion ψ : Y [0, [ durch ψ ( (c n ) ) := ϕ ( (c n ) ) = c n 0 n. Mn schreibt 0, c c 2 c 3... sttt cn 0 n. Beispiel (9): ist konvergent und ht die Summe 4 0. Die Umordnung }{{ 2 } }{{ 3 } }{{ 4 }

7 ist nch dem Leibniz- Kriterium ebenflls konvergent, ht ber eine Summe, die > 2 ist. Und die Umordnung }{{ 4 } }{{ 8 } }{{ 6 } ist divergent. Stz 6. (Kommuttivität bsolut konvergenter Reihen) Sei n eine bsolut konvergente Reihe und σ eine Bijektion von N uf sich. Setze b n := σ(n). Dnn ist b n bsolut konvergent und n = b n. Bem. Mn knn beweisen: Ist n eine Reihe, die konvergiert, ber nicht bsolut konvergiert, so gilt: ) Es gibt eine Bijektion σ : N N, so dss σ(n) divergiert. b) Ist w R beliebig, so gibt es eine Bijektion σ : N N, so dss σ(n) = w. Bem. Mn knn für bsolut konvergente Reihen uch Assozitivität und Distributivität zeigen; siehe etw W. Wlter: Anlysis I. Ein wichtiger Spezilfll der Distributivität ist der folgende Stz, für den mn einen direkten Beweis uch bei Forster findet: Stz 7. (Ausmultiplizieren bsolut konvergenter Reihen) Seien n und b n bsolut konvergent, und sei c n := n k b n k. k=0 Dnn ist uch die Reihe c n bsolut konvergent und ( c n = ) ( n b n ). Binomilkoeffizienten: Mn definiert für n, k Z mit n k und 0 k n den Binomilkoeffizienten ( n k) durch Bem. ) ( ) n =, 0 b) Für k > 0 ist c) ( ) n = n, ( ) n =, n ( ) n = k ( ) n = 2 ( ) n := k n! k!(n k)! ( ) ( ) n n =. k n k n (n ) (n 2)... (n k + ) k n(n ). 2 7

8 ( ) n + d) Für n, k Z und 0 < k n gilt = ( ) k n Z. Psclsches Dreieck! k e) ( ) ( ) n n +. Insbesondere ist k k ( ) n ist die Anzhl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. k Stz 8. (Binomischer Lehrstz) Für n N {0} und x, y R gilt: (x + y) n = n k=0 ( ) n x k y n k. k (Auch richtig, wenn x, y in einem beliebigen Körper liegen.) Stz 9. (Additionstheorem für die Exponentilfkt.) Dies folgt us Stz 7 und Stz 8. exp(x + y) = expx exp y x, y R. 8

9 4. Stetige Funktionen Ist D R, so heißt eine Abbildung f : D R eine uf D definierte Funktion. Mn vernschulicht sie, indem mn die Teilmenge von R 2 zeichnet. Grph(f) := {(x, f(x)) x D} Def. Sei f : D R eine Funktion und x 0 D. Dnn heißt f stetig in x 0, wenn es zu jedem ǫ > 0 ein δ > 0 gibt, so dss gilt: Ist x D und x x 0 < δ, so ist f(x) f(x 0 ) < ǫ. Die Funktion f heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt von D stetig ist. Bem. f ist genu dnn in x 0 stetig, wenn gilt: Zu jedem ǫ > 0 gibt es ein δ > 0 mit folgender Eigenschft: f(x 0 + h) f(x 0 ) < ǫ für lle h R, für die h < δ und x 0 + h D. Beispiel (): Ist c R eine feste Zhl und f : R R definiert durch f(x) = c x R, so ist f stetig. Beispiel (2): Ist f = id R, lso f(x) = x x R, so ist f stetig. { 0 für x 0 Beispiel: Definiere f : R R durch f(x) :=. Dnn ist f nicht für x > 0 stetig in 0. Def. Sei D R und x 0 R. Dnn heißt x 0 ein Berührungspunkt von D, wenn es eine Folge (x n ) in D gibt mit lim n x n = x 0. Bezeichnung: Sei f : D R eine Funktion, x 0 R ein Berührungspunkt von D und R. Wir schreiben lim f(x) =, wenn für jede Folge (x n ) in D mit x x 0 lim x n = x 0 gilt, dss lim f(x n) =. n n Stz. Sei f : D R eine Funktion, x 0 D. Dnn sind äquivlent: () f ist stetig in x 0. (b) lim x x 0 f(x) = f(x 0 ). Bez. Seien f, g : D R zwei Funktionen. Dnn definiert mn f +g : D R durch (f + g)(x) := f(x) + g(x); entsprechend f g, fg, f g (letzteres, flls g(x) 0 x D). Beispiel (3): Sind 0,..., n R feste Zhlen und definiert mn f : R R durch f(x) := 0 + x + 2 x n x n, so ist f stetig. Eine solche Funktion heißt Polynom(funktion). Beispiel (4): Sind 0,..., n und b 0,..., b m R fest und ist D := {x R b 0 + b x b m x m 0},so erhält mn durch f(x) := 0 + x n x n b 0 + b x b m x m eine stetige Funktion f : D R. Sie heißt gebrochen-rtionle Funktion. x n Beispiel (5): Die Funktion exp:r R mit exp x = ist stetig. n! Dfür benutzen wir: 9

10 N Stz 3. Ist R N+ (x) := expx x n, so ist n! R N+ (x) 2 x N+ (N + )! für lle x mit x + N 2. Def. e := exp(). N Aus Stz 3. folgt: e n! 2 (N + )! e mit gewünschter Genuigkeit berechnen: für lle N N {0}. Dmit knn mn e = 2, Stz 4. Seien D, E R und f : D R, g : E R stetige Funktionen mit f(x) E für lle x D. Definiert mn h : D R durch h(x) := g(f(x)), so ist h stetig. Beispiel (6): Definiert mn f : R R durch f(x) := exp(x 2 ), so ist f stetig. Stz 5. (Zwischenwertstz) Seien, b R mit < b und sei f : [, b] R stetig. Sei γ eine reelle Zhl, die zwischen f() und f(b) liegt. Dnn gibt es ein c [, b] mit f(c) = γ. Bezeichnungen: Außer den bisher betrchteten (offenen, bgeschlossenen oder hlboffenen) Intervllen, die wir uch ls eigentliche Intervlle bezeichnen, betrchtet mn uch uneigentliche Intervlle, nämlich die Mengen der Form (mit R): [, [ := {x R x}, bg. uneigentliches Intervll ], ] := {x R x }, bg. uneigentliches Intervll ], [ := {x R < x}, offenes uneigentliches Intervll ], [ := {x R x < }, offenes uneigentliches Intervll ], [:= R, offenes und bgeschl. uneigentliches Intervll. Als Intervll bezeichnen wir ein eigentliches oder ein uneigentliches Intervll. Ein eigentliches bgeschlossenes Intervll heißt kompktes Intervll. Stz 6. Ist I ein kompktes Intervll und f : I R eine stetige Funktion, so nimmt f uf I sein Mximum und sein Minimum n. (D.h.: Es gibt x 0, x I mit f(x 0 ) f(x) f(x ) für lle x I.) Stz 7. Sei I ein Intervll und f : I R stetig. Dnn ist f(i) ein Intervll oder eine einpunktige Menge. Def. Sei D R und f : D R eine Funktion. Dnn heißt f monoton wchsend, wenn gilt: Sind x, x 2 D mit x < x 2, so ist f(x ) f(x 2 ). Entsprechend definiert mn monoton fllende, streng monoton wchsende und streng monoton fllende Funktionen. Bem. Eine streng monotone Funktion ist injektiv. Ist I ein Intervll und f : I R stetig und streng monoton, so ist J := f(i) ein Intervll nch Stz 7. Die Abbildung x f(x) ist eine Bijektion von I uf J. Sei g : J R die Umkehrbbildung. Dnn ist g eine Abbildung mit g(j) = I, so dss g(f(x)) = x x I und f(g(y)) = y y J. Grph(g) entsteht us Grph(f) durch Spiegeln n der Gerden {(x, x) R 2 x R}. Ist f streng monoton wchsend (fllend), so uch g. Stz 8. Die Umkehrfunktion einer uf einem Intervll definierten streng monotonen stetigen Funktion ist stetig. 0

11 Beispiel (7): ) Ist n eine ungerde ntürliche Zhl, so ist die Abbildung f : R R, f(x) = x n, streng monoton wchsend und stetig. Sie nimmt beliebig große und kleine Werte n, ist lso bijektiv. Die Umkehrbbildung g : R R ist nch Stz 8 stetig. Schreibe: g(x) =: n x =: x n. b) Ist n eine gerde ntürliche Zhl, so ist die Abbildung f : [0, [ [0, [, f(x) = x n streng monoton wchsend, stetig und bijektiv. Die Umkehrbbildung x n x = x n ist stetig. Bechte: Für gerdes n ist n x nur für x 0 definiert, und dnn ist n x 0.

12 5. Die komplexen Zhlen Auf R 2 = {(x, y) x, y R} definiert mn eine Addition und eine Multipliktion durch (x, y) + (u, v) := (x + u, y + v) (x, y) (u, v) := (xu yv, xv + yu) Dmit wird R 2 zu einem Körper, den mn mit C bezeichnet und dessen Elemente die komplexen Zhlen heißen. Bemerkungen und Bezeichnungen: () Es ist (x, 0) + (u, 0) = (x + u, 0) und (x, 0) (u, 0) = (xu, 0). Indem mn x mit (x, 0) identifiziert, wird R zu einem Teilkörper von C. Schreibe von nun n immer x sttt (x, 0) für x R. (2) Ist i := (0, ), so ist i 2 = (, 0) =. Für y R ist i y = (0, ) (y, 0) = (0, y). Dher gilt für (x, y) C : (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + iy. Schreibe von nun n immer x + iy sttt (x, y). (3) Mn stellt sich die Punkte von C ls die Punkte der Ebene vor. (4) Ist z C, z = x + iy mit x, y R, so schreibe Re(z) := x (Relteil von z) Im(z) := y (Imginärteil von z.) Bechte: Der Imginärteil einer komplexen Zhl ist eine reelle Zhl! Ist z C, so gilt: z R Im(z) = 0 Re(z) = z. (5) Ist z = x+iy C mit x, y R, so heißt z := x iy die zu z konjugiert komplexe Zhl. Sie entsteht us z durch Spiegeln n der reellen Achse. Eigenschften: () z = z (b) z + w = z + w (c) zw = z w (d) Re(z) = 2 (z + z), Im(z) = 2i (z z) (6) Ist z = x + iy C mit x, y R, so ist eine nicht-negtive reelle Zhl. Sei zz = (x + iy)(x iy) = x 2 i 2 y 2 = x 2 + y 2 z := z z = x 2 + y 2 = (Re(z)) 2 + (Im(z)) 2 Dnn heißt z der Absolutbetrg von z; er ist der Abstnd zwischen 0 und z. z Für z 0 ist z > 0 und z z 2 = zz z 2 = z 2 =, lso z 2 z = z z 2 Insbesondere gilt: Ist z = (ds heißt, dss z uf dem Kreis mit Rdius um 0 liegt), so ist z = z. Für jedes z C ist z = z. Stz : Für z, w C gilt: ) zw = z w 2

13 b) z + w z + w (Dreiecksungleichung). Def. Sei (z n ) eine Folge komplexer Zhlen und z 0 C. Dnn heißt (z n ) konvergent gegen z 0, flls es zu jedem ǫ > 0 ein N N gibt mit z n z 0 < ǫ für lle n N. Schreibe dnn lim n z n = z 0 oder z n z 0. Stz 2. Sei (z n ) eine Folge in C. Genu dnn ist (z n ) konvergent, wenn die reellen Folgen (Re (z n )) n und (Im(z n )) n konvergieren, und dnn gilt: lim z n = lim Re(z n) + i lim Im(z n). n n n Stz 3. (Cuchy-Kriterium für Folgen komplexer Zhlen) Für eine Folge (z n ) in C sind äquivlent: () (z n ) ist konvergent. (2) Zu jedem ǫ > 0 ex. N N mit z n z m < ǫ n, m N. Bem. Die Rechenregeln für Grenzwerte reeller Folgen ( 2, Stz 4) gelten für komplexe Folgen unverändert. Def. Sei ( n ) eine Folge in C und s N := N. ) Wenn die Folge (s N ) N konvergiert, so heißt die Reihe b) Wenn die Reihe n konvergiert, so heißt die Reihe n bsolut konvergent. n konvergent. Bem. Auch in C gilt: Absolut konvergente Reihen sind konvergent. Mjorntenkriterium, Quotientenkriterium und die Sätze 6 (Komm.) und 7 (Ausmult.) von 3 bleiben unverändert richtig. Insbesondere ist für jedes z C die Reihe n! zn bsolut konvergent; durch exp(z) := Für z, w C ist n! zn erhält mn eine Abbildung exp: C C. exp(z + w) = exp(z) exp(w). Def. Sei D C und x 0 D. Sei f : D C eine Funktion. f heißt stetig in z 0, wenn es zu jedem ǫ > 0 ein δ > 0 gibt, so dss gilt: Ist z D und z z 0 < δ, so ist f(z) f(z 0 ) < ǫ. f heißt stetig, wenn es in jedem Punkt von D stetig ist. Beispiel: Definiere f : C C durch f(z) := z. Dnn ist fstetig. Stz 4. Für eine Funktion f : D C und z 0 D sind äquivlent: () f ist stetig in z 0. (2) lim z z 0 f(z) = f(z 0 ), d.h.: Für jede Folge(z n )ind mitz n z 0 ist lim n f(z n) = f(z 0 ). Bem. Die Rechenregeln für stetige Funktionen ( 4, Sätze 2 und 4) bleiben im Komplexen richtig. Insbesondere sind Polynomfunktionen (mit komplexen Koeffizienten) stetige Funktionen uf gnz C, und gebrochen-rtionle Funktionen sind überll dort stetig, wo sie definiert sind. Der Beweis der Stetigkeit der Exponentilfunktion zeigt, dss uch exp : C C stetig ist. 3

14 6. Die wichtigsten Funktionen Bezeichnungen: ) Sei (x n ) eine Folge in R. lim x n = : Zu jedemc R ex. N N mitx n C für lle n N. n lim x n = : Zu jedem C R ex. N N mitx n C für lle n N. n b) Sei D eine Teilmenge von R, die nicht nch oben beschränkt ist, und sei f : D R eine Funktion. Ist R {, }, so sei lim f(x) = : Für jede Folge(x n)ind mit lim x n = ist lim f(x n) =. x n n Entsprechend definiert mn, ws lim f(x) = bedeutet. x Bem. Ist R, so bedeutet lim f(x) =, dss es für jedes ǫ > 0 ein M R gibt, x so dss f(x) < ǫ für lle x D mit x M. lim f(x) = bedeutet, dss es für jedes C R ein M R gibt, so dss f(x) C x für lle x D mit x M. 6.. Die Exponentilfunktion. Die Abb. exp : C C ist def. durch Wir wissen bereits: exp(z) = Diese Reihe konvergiert bsolut; exp(z + w) = exp(z) exp(w) z, w C ; exp ist stetig; e := exp() = n! = 2, n! zn. Durch Einschränkung erhält mn eine ebenflls mit exp bezeichnete Funktion exp : R R. () exp(0) =. (2) Für z C ist exp(z) 0 und exp( z) = exp(z). (3) Für x R ist exp(x) > 0. (4) exp : R R ist streng monoton wchsend. (5) exp(r) =]0, [. (6) lim x exp(x) = für lle m N. xm (7) Für z C ist exp z = exp z. (8) Ist x R, so ist exp(ix) =. Also liegt exp(ix) für x R uf der Kreislinie K mit Rdius und Mittelpunkt 0. Wir werden später sehen: Legt mn uf K von us im Gegenuhrzeigersinn einen Weg mit der Länge x zurück, so endet mn im Punkt exp(ix). 4

15 6.2. Der Logrithmus D exp : R R streng monoton wchsend und stetig ist mit exp(r) =] 0, [, so ex. nch Pr.5 die Umkehrfunktion log :] 0, [ R; sie ist ebenflls stetig. () Für x R ist log(exp(x)) = x; für x > 0 ist exp(log(x)) = x. (2) log(]0, [ ) = R. (3) log ist streng monoton wchsend. (4) Für x, y > 0 ist log(xy) = log(x) + log(y). (5) log() = 0 (6) Für x > 0 ist log( x ) = log(x). (7) lim log x = und lim log x =. x xց0 log x (8) lim x x = Die llgemeine Potenz. Sei > 0 eine feste Zhl. () Für n N ist exp(n log ) = exp(log( n )) = n. (2) Für n N ist exp( n log) = exp(n log ) = ( )n = n. (3) Sei x Q, lso x = n m mit n Z, m N. Dnn ist (exp(xlog )) m = exp(mxlog ) = exp(n log ) = n = ( x ) m. Weil die Funktion t t m von [ 0, [ in sich streng monoton wchsend ist, folgt: exp(xlog ) = x x Q. Def. Für x R sei x := exp(xlog ). Dnn ist die Abb. x x stetig. (4) Für x R ist e x = exp(xlog e) = expx. Dher schreibt mn uch e z := expz z C. (5) Ist > 0 und sind x, y R, so ist ( x ) y = xy und x+y = x y. (6) Sind, b > 0 und ist x R, so ist (b) x = x b x und ( )x = x Die trigonometrischen Funktionen. Def. Für x R sei cosx := Re (e ix ) und sinx := Im(e ix ). () e ix = cosx + i sinx. (2) cosx = 2 (eix + e ix ) sinx = 2i (eix e ix ). Weil die Exponentilfunktion im Komplexen stetig ist, sind die Funktionen cos : R R und sin : R R stetig. (3) Für x R ist sin 2 x + cos 2 x =. (Dbei schreibt mn sin 2 x := (sinx) 2 usw.) (4) cos( x) = cosx und sin( x) = sin x. 5

16 (5) Additionstheoreme für Sinus und Cosinus: (6) Für lle x R gilt: cosx = sin x = cos(x + y) = cosx cosy sin x sin y, sin(x + y) = sin x cosy + cosx sin y. k=0 ( ) k x2k (2k)! = x2 2! + x4 4! +..., ( ) k x 2k+ (2k + )! = x x3 3! + x5 5! k=0 (7) Restgliedbschätzung: Ist 0 x 2, so ist n sin x ( ) k x 2k+ (2k + )! x2n+3 für n 0, (2n + 3)! k=0 n cosx k=0 ( ) k x2k (2k)! x2n+2 (2n + 2)! Beispiel () Für 0 < x 2 ist sin x x x3 6 sin x x x3 6 = x( x2 6 ) x( 4 6 ) = 3 x > 0. Beispiel (2) Für 0 x 2 ist cosx ( x2 2 cos = 2 3 cos2 3., lso insbes. für n. x4 ) 24, lso insbes. (8) Die Funktion cos ht im Intervll [0, 2] genu eine Nullstelle. Dies folgt mit Beispiel () und (2) us dem Zwischenwertstz und us der Ttsche, dss cos in [ 0, 2 ] streng monoton fllend ist. Diese Ttsche ergibt sich us dem folgenden Lemm. Lemm. Für x, y R ist cosx cosy = 2 sin x+y 2 sin x y 2. Def. Die Zhl π R ist ddurch definiert, ds π 2 die Nullstelle von cos im Intervll [0, 2] ist. (π = 3,4...) (9) sin π 2 =, cosπ =, sinπ = 0, cos2π =, sin 2π = 0. (0) cos(x + 2π) = cosx und sin(x + 2π) = sin x x R.,,cos und sin hben die Periode 2π. () cos(x + π) = cosx und sin(x + π) = sinx x R. (2) cosx = sin( π 2 x) und sinx = cos( π 2 x) x R. (3) {x R sin x = 0} = {kπ k Z}. (4) {x R cosx = 0} = {kπ + π 2 k Z}. Def. Für x R \ {kπ + π 2 k Z} sei tn x := sin x cos x. Für x R \ {kπ k Z} sei cotx := cos x sin x Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. () Die Funktion cos ist im Intervll [0, π] streng monoton fllend und bildet dieses Intervll bijektiv uf [, ] b. Sei rccos : [, ] R die Umkehrfunktion. 6

17 (2) Die Funktion sin ist im Intervll [ π 2, π 2 ] streng monoton wchsend und bildet diese Intervll bijektiv uf [, ] b. Sei rcsin : [, ] R die Umkehrfunktion. (3) Die Funktion tn ist im Intervll ] π 2, π 2 [ streng monoton wchsend und bildet dieses Intervll bijektiv uf R b. Sei rctn : R R die Umkehrfunktion Noch einml die Exponentilfunktion. () exp(2πi) =, exp(πi) =, exp( 2 πi) = i, exp(3 2πi) = i. (2) Für lle z C ist exp(z + 2πi) = exp(z).,,exp ht die Periode 2πi. (3) Ist x R, so gilt: exp(ix) = x = 2πk mit k Z. (4) Ist z C, so existieren ϕ R und r 0 mit z = re iϕ. (5) Seien r, s 0 und ϕ, ψ R. Setzt mn z := re iϕ, w := se iψ, so ist zw = rse i(ϕ + ψ). Ds heißt:,, Komplexe Zhlen werden multipliziert, indem ihre Beträge multipliziert und ihre Winkel ddiert werden. (6) exp(c) = C \ {0}. (7) Ist z C \ {0} und n N, so gibt es genu n verschiedene Zhlen w C mit w n = z. (8) Insbesondere gibt es für jedes n N genu n Zhlen w mit w n =. Sie heißen die n-ten Einheitswurzeln und sind von der Form e 2πik n, k = 0,,..., n. Sie bilden die Ecken eines regelmäßigen n-ecks. 7

18 7. Differenzilrechnung Def. Eine Teilmenge D von R heißt offen, wenn es zu jedem x D ein ǫ > 0 gibt mit ] x ǫ, x + ǫ [ D. Beispiel. Ein offenes Intervll ist eine offene Teilmenge von R. Bem. Eine Teilmenge D von R ist genu dnn offen, wenn D die Vereinigung von offenen Intervllen ist. Def. Sei D eine offene Teilmenge von R, x 0 D und f : D R eine Funktion. Wenn f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x x x 0 0 existiert (in R), so heißt f im Punkt x 0 differenzierbr; mn schreibt f (x 0 ) für diesen Grenzwert und nennt ihn die Ableitung von f im Punkt x 0. Mnchml schreibt mn df dx (x 0) oder f(x 0 ) o.ä. sttt f (x 0 ). Ist f in jedem Punkt von D differenzierbr, so heißt f differenzierbr in D. Dnn ist f : D R eine Funktion. Beispiel () Sei c R fest und f : R R die konstnte Funktion mit dem Wert c. Dnn ist f differenzierbr und f = 0. Beispiel (2) Sei f : R R definiert durch f(x) = x. Dnn ist f differenzierbr und f =. Beispiel (3) exp = exp. Beispiel (4) cos = sin. Stz. Wenn f in x 0 differenzierbr ist, so ist f in x 0 stetig. Stz 2. (Rechenregeln für ds Ableiten) Sei D offen in R, und f, g : D R seien differenzierbr. ) f + g ist differenzierbr und (f + g) = f + g. b) fg ist differenzierbr und (fg) = f g + fg. c) Ist c R, so ist cf differenzierbr und (cf) = cf. d) Ist g(x) 0 x D, so ist f g differenzierbr und ( f g ) = gf fg g 2. Beispiel (5) Für n Z sei p n : D n R definiert durch p n (x) := x n, wobei D n = R für n 0, D n = R\{0} für n < 0. Dnn ist p n differenzierbr und p n (x) = nx n. Folgerung. Polynome sind differenzierbr. Gebrochen rtionle Funktionen sind überll, wo sie definiert sind, differenzierbr. Stz 3. (Kettenregel) Seien D, E offen in R und seien f : D R und g : E R Funktionen mit f(d) E, so dss mn g f : D R bilden knn. Sei f differenzierbr in x 0 und g differenzierbr in f(x 0 ). Dnn ist g f in x 0 differenzierbr, und (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ). Beispiel (6) sin = cos Beispiel (7) tn (x) = cos 2 (x) = + tn2 (x) 8

19 Stz 4. (Ableitung der Umkehrfunktion) Sei D ein offenes Intervll und f : D R stetig und streng monoton. Sei x 0 D, sei f in x 0 differenzierbr und f (x 0 ) 0. Sei g die Umkehrfunktion von f. Dnn ist g in y 0 := f(x 0 ) differenzierbr und g (y 0 ) = f (g(y 0 )). Beispiel (8) log (x) = x für x > 0. ( ) n. Folgerung. e = lim + n n Beispiel (9) rctn (x) = + x 2. Beispiel (0) rcsin (x) = x 2 für < x <. Beispiel () Sei α R fest und f : ] 0, [ R definiert durch f(x) := x α = exp(α log x). Dnn ist f (x) = (exp(α log x)) α x = xα α x = α xα. Beispiel (2) Ist f : D R differenzierbr mit f(x) > 0 x D. Definiert mn g : D R durch g(x) = log(f(x)), so ist g (x) = f (x) f. Mn nennt f(x) f die logrithmische Ableitung von f. Def. Sei D offen in R, x 0 D. Ist f differenzierbr in D und f differenzierbr in x 0, so heißt f zweiml differenzierbr in x 0 ; schreibe f (x 0 ) := (f ) (x 0 ). Und so weiter. f (0) = f, f () = f, f (2) = f,.... 9

20 8. Anwendungen der Differenzilrechnung Def. Sei D R, f : D R eine Funktion und x 0 D. Wir sgen, dss f in x 0 ein lokles Mximum ht, wenn es ein ǫ > 0 gibt, so dss gilt: Ist x D mit x x 0 < ǫ, so ist f(x 0 ) f(x). Entsprechend: f ht in x 0 ein lokles Minimum. Wenn f in x 0 ein lokles Mximum oder ein lokles Minimum ht, so sgen wir, dss f in x 0 ein lokles Extremum besitzt. Stz. Sei f : ], b [ R eine Funktion und sei x 0 ], b [ eine Stelle, n der f differenzierbr ist und ein lokles Extremum besitzt. Dnn ist f (x 0 ) = 0. Def. Ist D offen in R, f : D R differenzierbr, x 0 D und f (x 0 ) = 0, so heißt x 0 eine kritische Stelle von f. Bem. Stz. besgt lso: Wenn f n der Stelle x 0 ein lokles Extremum besitzt, so ist x 0 eine kritische Stelle von f. Die Umkehrung gilt nicht: Ist f(x) = x 3, so ist f (0) = 0, ber f ht in 0 kein lokles Mximum oder Minimum. Stz 2. (Stz von Rolle) Sei f : [, b ] R eine stetige Funktion, die uf ], b [ differenzierbr ist, und sei f() = f(b). Dnn gibt es ein x ], b [ mit f (x) = 0. Stz 3. (Mittelwertstz) Sei f : [, b ] R stetig; f sei differenzierbr uf ], b [. Dnn gibt es ein x ], b [ mit f (x) = f(b) f(). b Stz 4. Sei f : ], b [ R differenzierbr und f (x) = 0 x ], b [. Dnn ist f konstnt. Stz 5. Sei f :], b [ R differenzierbr. Dnn gilt: ) f (x) > 0 x ], b [ f ist streng monoton wchsend. b) f (x) 0 x ], b [ f ist monoton wchsend. Stz 6. Sei f : ], b [ R differenzierbr. Sei x ], b [, und sei f zweiml differenzierbr in x mit f (x) = 0, f (x) > 0 [bzw.f (x) < 0]. Dnn besitzt f in x ein lokles Minimum [bzw. lokles Mximum]. Def. Eine Teilmenge M von R 2 heißt konvex, wenn gilt: Sind P, Q M, so ist die Verbindungsstrecke von P und Q eine Teilmenge von M. Def. Sei I ein Intervll. Eine Funktion f : I R heißt konvex, wenn die Menge konvex ist. M f := {(x, y) R 2 x I, y f(x)} Beispiel: Sei f(x) = x x R. Dnn ist f konvex. Stz 7. Sei f : [, b ] R stetig und zweiml differenzierbr uf ], b [. Genu dnn ist f konvex, wenn f (x) 0 x ], b [. Stz 8. (Verllgemeinerter Mittelwertstz) Seien f, g : [, b ] R stetig; beide seien differenzierbr in ], b [. Dnn existiert x ], b [ mit (f(b) f()) g (x) = (g(b) g()) f (x). Bem. Ist g(x) = x x, so erhält mn den gewöhnlichen Mittelwertstz. 20

21 Stz 9. (. Regel von l Hôpitl) Seien f, g : ], b [ R zwei stetige Funktionen, x 0 ], b [ und f(x 0 ) = 0 = g(x 0 ). f und g seien in ], b [ \{x 0 } differenzierbr, und es sei g (x) 0 für x ], b [ \{x 0 }. f (x) f(x) Wenn lim x x 0 g existiert, so existiert uch lim, und die beiden Grenzwerte (x) x x 0 g(x) stimmen überein. Bem. Dbei ist uch lim... = ± zugelssen. Ein entsprechender Stz gilt für x x 0 lim... und lim.... x x Ähnliche Bemerkungen gelten für den folgenden Stz. Stz 0. (2. Regel von l Hôpitl) Sei x 0 ], b [, und seien f, g : ], b [\{x 0 } R differenzierbr mit lim g(x) =. Ferner sei g (x) 0 x ], b [\{x 0 }. Wenn x x 0 f (x) f(x) lim x x 0 g existiert, so existiert uch lim, und die beiden Grenzwerte stimmen (x) x x 0 g(x) überein. 2

22 9. Integrlrechnung Def. Seien, b R mit < b. Sei f : [, b] R eine Funktion. Wenn es ein n N und Zhlen x 0, x,..., x n mit = x 0 < x <... < x n = b gibt, so dss f uf jedem Intervll ]x k, x k [, k =,..., n, konstnt ist, so heißt f eine Treppenfunktion uf [, b]. Mit T [, b] bezeichnen wir die Menge ller Treppenfunktionen uf [, b]. Bem.. ) Ist f T [, b] und c R, so ist cf T [, b]. b) Sind f, g T [, b], so ist f + g T [, b]. Dher ist T [, b] ein Untervektorrum des R-Vektorrums ller Abbildungen von [, b] in R. Def. Ist f T [, b], ist = x 0 < x <... < x n = b und f konstnt uf ]x k, x k [ n mit dem Wert c k für k =,,n, so schreibt mn f(x)dx := c k (x k x k ). Bem.2. ) Ist f T [, b] und c R, so b) Sind f, g T [, b], so ist (f + g)(x)dx = (cf)(x)dx = c f(x)dx + k= f(x)dx. g(x) dx. Also ist die Abbildung T [, b] R, die durch f b f(x)dx gegeben ist, R-liner. c) Sind f, g T [, b] mit f g (d.h. f(x) g(x) x [, b]), so ist f(x)dx g(x) dx. Def. Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. (Es gibt lso ein M R mit f(x) M für lle x [, b].) * { f(x)dx := inf * f(x)dx := sup { } ϕ(x)dx ϕ T [, b], ϕ f, } ϕ(x)dx ϕ T [, b], ϕ f. Diese beiden Zhlen heißen ds Ober- bzw.unterintegrl von f. Bem.3. Die Menge M f := {ϕ T [, b] ϕ f} ist nicht leer, z.b. enthält sie die konstnte Funktion mit Wert M. Für jedes ϕ M f ist ϕ M. Dher { } ist ϕ(x)dx ϕ T [, b], ϕ f, und nch Bem.2.c) ist b ϕ(x)dx M(b ) ϕ M f. Dher existiert Ebenso existiert b { b * f(x)dx = inf ϕ(x)dx ϕ M f }. * f(x)dx. Def. Eine beschränkte Funktion f : [, b] R heißt Riemnn-integrierbr, wenn * b b f(x)dx = f(x)dx. Den gemeinsmen Wert bezeichnet mn mit f(x)dx * 22

23 und nennt ihn ds (bestimmte) Integrl von f (über [, b]). Sttt x knn jeder ndere Buchstbe (ußer f, d,, b) verwendet werden. Bem.4. Eine Funktion f : [, b] R ist genu dnn Riemnn-integrierbr, wenn es zu jedem ǫ > 0 Treppenfunktionen ϕ, ψ T [, b] gibt mit ϕ f ψ und (ψ(x) ϕ(x))dx ǫ. Stz. Seien f, g : [, b] R Riemnn-integrierbr und sei c R. ) cf ist Riemnn-integrierbr und b) f + g ist Riemnn-integrierbr und c) Ist f g, so ist (cf)(x)dx = c (f + g)(x)dx = f(x)dx g(x) dx. f(x)dx. f(x)dx + Stz 2. Seien f, g : [, b] R Riemnn-integrierbr. ) mx{f, g} ist Riemnn-integrierbr. b) f 2 ist Riemnn-integrierbr. c) f g ist Riemnn-integrierbr. g(x) dx. Stz 3. Sei f : [, b] R integrierbr und M := sup{ f(x) x b}. Dnn ist f integrierbr und f(x)dx b f(x) dx M (b ). Stz 4. Sei < c < b und sei f : [, b] R. Genu dnn ist f integrierbr, wenn f [, c] und f [c, b] integrierbr sind, und dnn ist c f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Bez. Mn setzt f(x)dx := 0 und für < b : b f(x)dx := c f(x)dx. Bem.5. Eine beschränkte Funktion f : [, b] R ist Riemnn-integrierbr, wenn es zu jedem ǫ > 0 Treppenfunktionen ϕ, ψ T [, b] gibt mit ϕ f ψ ϕ + ǫ. 23

24 Stz 5. Jede monotone Funktion f : [, b] R ist integrierbr. Def. Sei D R und f : D R eine Funktion. Sie heißt gleichmäßig stetig, wenn gilt: Zu jedem ǫ > 0 existiert ein δ > 0, so dss f(x) f(y) < ǫ für lle x, y D mit x y < δ. Bem. Eine gleichmäßig stetige Funktion ist stetig. Die Funktion f :]0, [ R, f(x) := x ist stetig, ber nicht gleichmäßig stetig. Stz 6. Eine uf einem kompkten Intervll stetige Funktion f : [, b] R ist gleichmäßig stetig. Dieser Stz wird benutzt, um zu zeigen: Stz 7. Jede stetige Funktion f : [, b] R ist integrierbr. Stz 8. Sei f : [, b] R integrierbr und c [, b]. Definiere F : [, b] R durch Dnn ist F stetig. F(x) := x c f(t)dt. Stz 9. Sei I ein offenes Intervll und f : I R stetig. Ist c I und definiert mn F : I R durch F(x) := x c f(t)dt (ws nch Stz 7. möglich ist), so ist F differenzierbr und F = f. Def. Sei I ein offenes Intervll und f : I R. Eine differenzierbre Funktion F : I R heißt Stmmfunktion oder unbestimmtes Integrl von f, wenn F = f. Bem. Nch 8, Stz 4. unterscheiden sich zwei Stmmfunktionen von f um eine Konstnte. Stz 0. (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Sei I ein offenes Intervll, f : I R stetig und F eine Stmmfunktion von f. Dnn gilt für lle, b I: f(x)dx = F(b) F(). Bez. Ist F eine Stmmfunktion von f, so schreibt mn f(x)dx = F(x). Stz. (Prtielle Integrtion) Sei I ein offenes Intervll,, b I. Seien f, g : I R differenzierbr und f, g stetig. Dnn ist f(x)g (x)dx = f(b)g(b) f()g() fg = fg f g. f (x)g(x)dx, Beispiele: xe x dx = (x )e x log xdx = xlog x x sin 2 xdx = 2 (x sinx cosx) 24

25 Stz 2.(Substitutionsregel) Seien I, J offene Intervlle, f : I R sei stetig. Sei ϕ : J I differenzierbr und ϕ sei stetig. ) Ist F eine Stmmfunktion von f, so ist die Funktion F ϕ Stmmfunktion von x f(ϕ(x)) ϕ (x). b) Sind, b J, so gilt: f(ϕ(t))ϕ (t)dt = ϕ(b) ϕ() f(x)dx. Wichtiger Spezilfll: Ist ϕ : I R \ {0} differenzierbr, ϕ stetig, so ϕ (x) dx = log ϕ(x). ϕ(x) Beispiel: tn xdx = log cosx. Beispiel: x 2 dx = 2 (x x 2 rccosx). Deswegen ht ein Hlbkreis vom Rdius die Fläche π 2. 25

26 0. Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen Def. Sei D eine Menge und seien f n : D R (oder C) Funktionen, n N. Ist f : D R (oder C) eine Funktion mit lim f n(x) = f(x) für jedes x D, so sgen n wir, dss die Funktionenfolge (f n ) punktweise gegen fkonvergiert. Def. Sei D eine Menge und seien f und f n Funktionen von D nch R (oder C), n N. Die Funktionenfolge (f n ) konvergiert gleichmäßig gegen f, wenn es zu jedem ǫ > 0 ein N N gibt, so dss für lle x D und lle n N gilt: f n (x) f(x) < ǫ. Stz. Sei D R (oder C) und sei (f n ) eine gleichmäßig konvergente Folge stetiger Funktionen f n : D R (oder C). Dnn ist die Grenzfunktion f von (f n ) stetig. Beispiel: Definiere f n : [0, ] R durch f n (x) :={ x n. Die f n sind stetig und 0 für x < konvergieren punktweise gegen die Funktion f(x) =, die nicht für x = stetig ist. Stz 2. Für n N sei f n : [, b] R stetig. Die Folge (f n ) konvergiere gleichmäßig gegen f : [, b] R. Dnn gilt: f(x)dx = lim n f n (x)dx. Stz 3. Für n N sei f n : ], b[ R differenzierbr, und f n : ], b[ R sei stetig. Die Folge (f n ) konvergiere punktweise gegen die Funktion f : ], b[ R, und die Folge (f n) sei gleichmäßig konvergent. Dnn ist f differenzierbr und f (x) = lim f n n (x) x ], b[. Beispiel: Definiere f n : R R durch f n (x) := n sin(nx). Dnn ist f n (x) n x R, d.h. (f n ) konvergiert gleichmäßig gegen 0. Alle f n sind differenzierbr; es ist f n (x) = cosnx. Insbesondere ist f n (π) = cos(nπ) = ( )n. Dher konvergiert (f n) nicht punktweise gegen 0. Def. Seien f n Funktionen, die uf einer Menge D definiert sind. Für x D sei s n (x) := n f n (x). Wenn die Folge (s n ) gleichmäßig konvergiert, so sgen wir, dss k= die Reihe f n gleichmäßig konvergiert. Folgerung us Stz. Eine gleichmäßig konvergente Reihe stetiger Funktionen ht eine stetige Summe. Stz 4. Seien f n uf D definierte Funktionen (n N). Für jedes n gebe es ein n R mit f n (x) n x D. Wenn n konvergiert, so konvergiert gleichmäßig. Def. Unter einer komplexen Potenzreihe verstehen wir eine Funktion der Form z c n (z ) n, f n wobei, c 0, c, c 2,... feste komplexe Zhlen sind. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die Menge ller z C, für die diese Reihe konvergiert. 26

27 Bez. Für C und r 0 sei B r () := { z C } z < r, B r () := { z C } z r. Ferner sei B () := C und B () := C Stz 5. Sei (c n ) eine Folge komplexer Zhlen und C. Sei z C, so dss die Reihe c n (z ) n konvergiert. Ist 0 ρ < z, so konvergiert die Potenzreihe c n (z ) n bsolut und gleichmäßig uf B ρ (). n Def. Sei c n (z ) n eine Potenzreihe. Dnn heißt n r := sup { z n c n (z ) n ist konvergent } der Konvergenzrdius der Potenzreihe. (Dbei sind uch r = 0 und r = zugelssen. Letzteres bedeutet, dss {...} nch oben unbeschränkt ist.) Stz 6. Sei r der Konvergenzrdius von c n (z ) n. Dnn gilt: n ) Die Potenzreihe n c n (z ) n konvergiert bsolut uf B r (). b) Ist 0 ρ < r, so konvergiert sie gleichmäßig uf B ρ (). c) Sie konvergiert für kein z, ds nicht in B r () liegt. Folgerung us Stz 6b und Stz : Auf B r () ist die Funktion z c n (z ) n stetig. n Stz 7. Sei c n (z ) n eine Potenzreihe. Ist c n 0 für fst lle n und existiert n r := lim c n, so ist r der Konvergenzrdius der Potenzreihe. n c n+ Beispiele: () n! zn ht den Konvergenzrdius. (2) Die geometrische Reihe z n konvergiert genu dnn, wenn z <. Sie ht den Konvergenzrdius. (3) Die Reihe (4) n zn konvergiert für lle z mit z <. Sie konvergiert für z = und divergiert für z =. Nch Stz 5 divergiert sie für lle z mit z >. Sie ht lso den Konvergenzrdius. n! z n ht den Konvergenzrdius 0. Bem. Unter einer reellen Potenzreihe verstehen wir eine Funktion der Form x c n (x ) n =: f(x) 27

28 wobei, c 0, c,... feste reelle Zhlen sind. Ihr Definitionsbereich ist die Menge ller x R, für die diese Reihe konvergiert. Ist r ihr Konvergenzrdius, so ist c n (x ) n für x ] r, + r[ bsolut konvergent, für x [ r, + r] divergent. Stz 8. Sei f(x) := c n (x ) n eine reelle Potenzreihe mit dem Konvergenzrdius r > 0. ) Auf ] r, + r[ ist f unendlich oft differenzierbr und f (x) = n c n (x ) n (,,Potenzreihen dürfen gliedweise differenziert werden. ) b) c n = n! f(n) () n N {0}. Stz 9. (Identitätsstz für Potenzreihen) Seien c n (x ) n und d n (x ) n n n zwei reelle Potenzreihen mit positiven Konvergenzrdien, so dss c n (x ) n = n d n (x ) n in einer Umgebung von. Dnn ist c n = d n n. n 28

29 . Tylor-Reihen Def. Sei I ein offenes Intervll, f : I R und n N. Dnn heißt f n-ml stetig differenzierbr oder von der Klsse C n, wenn f n-ml differenzierbr und f (n) stetig ist. Ist f unendlich oft differenzierbr, so sgt mn, dss f von der Klsse C ist. Mn sgt: f ist von der Klsse C 0,wenn f stetig ist. Stz. (Tylor-Formel) Sei I ein offenes Intervll und f : I R von der Klsse C n+. Sind, x I, so gilt: f(x) = f() + f ()! wobei R n+ (x) := n! (x ) + f () 2! x (x t) n f (n+) (t)dt. (x ) f(n) () (x ) n + R n+ (x), n! Def. Sei I ein offenes Intervll, f : I R. Dnn heißt f (reell-)nlytisch, wenn es zu jedem I ein r > 0 und c 0, c,... R gibt mit ] r, + r[ I und f(x) = c n (x ) n für lle x mit x < r. Bem.. Eine nlytische Funktion f ist von der Klsse C. Bem.2. Es gibt C -Funktionen, die nicht reell-nlytisch sind: Z.B. die Funktion f : R R mit { exp( f(x) := x ) für x 0, 2 0 für x = 0. Bem.3. Eine reelle Potenzreihe ist eine reell-nlytische Funktion in ] r, + r[, wenn r ihr Konvergenzrdius ist. Stz 2. Für < x < gilt: log( + x) = x x2 2 + x3 3 x Stz 3. (Abelscher Grenzwertstz) Gegeben sei eine reelle Potenzreihe n x n mit dem endlichen Konvergenzrdius r. Ferner sei n r n konvergent. Definiert mn n f :] r, r ] R durch f(x) := n x n, so ist f uch n der Stelle r stetig. Folgerung. Stz 4. Für x gilt: Insbesondere gilt: log 2 = rctnx = x x3 3 + x5 5 x π 4 = rctn = Stz 5. (Stz von Bernstein) Sei I ein offenes Intervll und r > 0 mit [0, r[ I. Sei f : I R von der Klsse C. Es gebe ein K N, so dss gilt: 29

30 f (n) (x) 0 für lle x [0, r[ und lle n K. ( ) Für lle x [0, r[ konvergiert dnn n! f(n) (0)x n gegen f(x). (Die gleiche Behuptung gilt, wenn sttt ( ) vorusgesetzt wird: f (n) (x) 0 x [0, r[ und n K.) Stz 6. (Binomische Reihe) Für α R und < x < ist ( + x) α = ( ) α x n. n Dbei setzt mn ( ( α 0) := und α ) n := n! α (α )...(α n + ) n N. Beispiel: Für < x < ist + x = + 2 x 8 x2 +..., + x = 2 x x

31 2. Uneigentliche Integrle Def.. Seien, b R mit < b, und sei f : ], b] R stetig. Ist 0 < δ < b, so knn mn b +δ f(x) dx bilden. Wenn lim δց0 +δ f(x)dx in R existiert, so schreibt mn f(x) dx für den Grenzwert und sgt, dss ds uneigentliche Integrl konvergiert. Andernflls sgt mn, dss Beispiel: Für c divergiert Def. 2. Ist f : [, b[ R stetig, so schreibt mn dieser Grenzwert existiert. Def. 3. Ist f : ], b[ R stetig, so schreibt mn b dieser Grenzwert existiert. 0 f(x) dx divergiert. dx x ; für 0 < c < konvergiert c 0 f(x)dx := lim δց0 f(x)dx := lim f(x)dx dx x c und ist = c. b δ b δ ǫ,δց0 +ǫ f(x) dx, wenn f(x)dx, wenn Dies ist genu dnn der Fll, wenn für ein (und dmit jedes) c ], b[ gilt, dss c f(x)dx und b f(x)dx im Sinne von Def. und Def.2 existieren; es ist dnn Wenn c f(x)dx = c f(x)dx konvergiert, so ist es = lim existieren ohne dss b f(x)dx + b δ δց0 +δ f(x) dx konvergiert. Beispiel: Für < x < ist 2x x 2 dx = log( x2 ). Für 0 < δ < ist lso δ +δ 2x x 2 dx = 0, ber c f(x)dx. f(x)dx, ber dieser Grenzwert knn 2x x 2 dx existiert nicht. Def. 4. Ist f : [, [ R stetig, so schreibt mn f(x)dx := lim dieser Grenzwert existiert. Beispiel: e x dx = e x. Also b 0 e x dx = lim b ( e b + ) =. 0 e x dx = e b + und Def. 5. Ist f : ], [ R stetig, so schreibt mn dies existiert. b f(x)dx := lim δց0 b +δ f(x)dx, wenn f(x)dx,wenn 3

32 Def. 6. Ist f : R R stetig, so schreibt mn dies existiert. Beispiel: Für > 0 ist nicht. xdx = 0, lso lim f(x)dx := lim f(x)dx, wenn b xdx = 0, ber x dx konvergiert Stz. Sei f : [, [ R stetig. Genu dnn konvergiert f(x)dx, wenn gilt: Zu t jedem ǫ > 0 gibt es ein M, so dss f(x)dx < ǫ für lle s, t mit M s < t. s Beispiel: 0 sin x x dx konvergiert. sin x (Wegen lim = ist dieses Integrl n der unteren Grenze nicht uneigentlich. x 0 x Später: = π 2.) Def. 7. Ds Integrl f(x)dx heißt bsolut konvergent, wenn f(x) dx konvergiert. Stz 2. Wenn f(x) dx bsolut konvergiert, so konvergiert es. Beispiel: sin x x dx konvergiert nicht bsolut. Stz 3. (Mjorntenkriterium) Seien f, g : [, [ R stetig mit g(x) f(x) x [, [. Wenn f(x)dx konvergiert, so konvergiert g(x) dx bsolut. Stz 4. (Integrlkriterium für Reihen) Sei f : [, [ R eine monoton fllende Funktion mit f(x) 0 x. Dnn sind äquivlent: () (2) f(n) konvergiert. f(x) dx konvergiert. Beispiel: Die Gmm-Funktion () Für n N {0} ist e t t n dt = n! 0 (2) Sei x > 0. Dnn konvergiert ds uneigentliche Integrl (3) Γ(n) = (n )! für n N. (4) Für x > 0 ist Γ(x + ) = x Γ(x). Γ(x) := e t t x dt. 0 32

33 (5) e x2 dx = Γ( 2 ). n! n x (6) Für x > 0 ist Γ(x) = lim n x(x + )...(x + n) (Guß). (7) Γ( 2 ) = π. (8) e x2 dx = π 33