6. Hilbertraum und lineare Operatoren (mathematische Grundlagen QM)

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1 6. Hlbertraum und lneare Operatoren (mathematsche Grundlagen QM) 6.1 Hlbertraum Raum = mathematsches Konstrukt: Vektorraum a) Der lneare komplexe Raum st de Menge von mathematschen Objekten mt folgenden Egenschaften: 1. ψ und φ seen Elemente der Menge, dann st ψ±φ auch en Element. 2. Es exstert en Element 0 (Nullelement) mt ψ+0=ψ, ψ-ψ=0. 3. Wenn ψ Element der Menge st, dann st auch λψ (λ= komplexe Zahl) Element. Davd Hlbert * 23. Januar 1862 Köngsberg 14. Februar 1943 Göttngen 44

2 Bespele für Realserungen I. Menge der komplexen 3D Vektoren a=(a x,a y,a z ) mt a x =Re a x + Im a x a, b seen Vektoren, dann st a±b=(a x ±b x,a y ±b y,a z ±b z ) ebenfalls en Vektor a + (0,0,0)=a Nullvektor (0,0,0) λa=(λa x,λa y,λa z ) st ebenfalls en Vektor λa x = Multplkaton zweer komplexer Zahlen II. Menge der Wellenfunktonen (Zustandsfunktonen) aus der Lösung der Schrödngergl. ψ(r,t) und φ(r,t) seen Lösungen der Schrödngerglechung, dann st auch ψ±φ Lsg. Funkton dentsch Null st Lsg. der Schrödngerglechung λψ(r,t) st auch ene Lösung III. wetere mathematsche Mengen (z.b. Matrzen) 45

3 b) der Hlbertraum der Physker Der Hlbertraum st en lnearer komplexer Raum, für den zusätzlch en Skalarprodukt mt folgenden Egenschaften defnert st: 1. (ψ,φ) = a = komplexe Zahl (Mathematk: a st endlch) 2. (ψ, λφ) = λ(ψ,φ) λ = komplexe Zahl 3. (φ,ψ) = (ψ,φ)* = a* => (λψ,φ) = (φ,λψ)* = [λ(φ,ψ)]* = λ*(φ,ψ)* = λ*(ψ,φ) (ψ,φ 1 ±φ 2 ) = (ψ,φ 1 ) ± (ψ,φ 2 ) => (ψ 1 ±ψ 2,φ) = (ψ 1,φ) ± (ψ 2,φ) (ψ,ψ) 0 und reell, endlch (ψ,ψ) = 0 falls ψ = 0 Def. der Norm ( Länge ):, = ψ, φ snd orthonormal, falls, = 0 1 = 46

4 c) der Hlbertraum (der Mathematker) zusätzlche Forderung nach Vollständgket für Mathematk sehr wchtge Forderung, aber jeder komplexe Vektorraum kann vervollständgt werden z.b., Vervollständgung der ratonalen Zahlen durch rratonale Zahlen Grenzwerte müssen m Raum enthalten sen z.b. Menge der reellen Polynome vom Grad N, blden enen lnearen Raum, Skalarprodukt 2 f N, f M 0 Es st f n f m dx sn x=x x3 3! x5 5! = a n x n n=0 N f N x = a n x n n=0 sn = Grenzwert enes reellen Polynoms für N -> Mathematsch strenge Defnton enes Hlbertraum: En lnearer komplexer Raum, der vollständg bezüglch der durch das Skalarprodukt 47 nduzerten Metrk st, n dem also jede Cauchy-Folge konvergert, heßt Hlbertraum.

5 Bass m Hlbertraum Es gbt Sätze von Elementen des Hlbertraumes, =1, 2,..., de orthonormert, j = j und vollständg snd. De Vollständgket bedeutet, dass jedes Element als Lnearkombnaton der Bass ausgedrückt werden kann. = a Alle weteren Egenschaften lassen sch aus den Defntonen des Skalarproduktes herleten. z.b. erhält man de Entwcklungskoeffzenten a aus:, =, j a j j = j,a j j = j a j, j = j a j j =a 48

6 Bespele für Realserungen: komplexe Vektoren mt a, b =a x * b x a y * b y a z * b z a = a x 2 a y 2 a z 2 reelle Vektoren mt Skalarprodukt De Lösungen der Schrödngerglechung (Wellenfunktonen) snd Elemente enes Hlbertraumes mt dem Skalarprodukt (Metrk), = = * r,t r,t d 3 r, = * d 3 r= * * d 3 r=, *, = * d 3 r= * d 3 r, = * d 3 r= * * d 3 r= * * d 3 r, 1 ± 2 = * 1 ± 2 d 3 r= * 1 d 3 r± * 2 d 3 r=, 1 ±, 2 Paul Adren Maurce Drac * 8. August 1902 Brstol 20. Oktober 1984 Tallahassee Nobelpres Physk 1933 Drac Schrebwese für das Skalarprodukt <ψ φ> bra = <ψ ket= φ> engl. bracket= Klammer 49

7 Verglech N-dmensonaler Vektorraum mt Hlbertraum Vektorraum Hlbertraum a Vektor ψ {e n } Bass {φ n } e e j =δ j Orthonormerung <φ φ j > = δ j a = a e Entwcklung ψ= a φ a = e a a = <φ ψ> a b = b a Symmetre Skalarprodukt <φ ψ> = < ψ φ>* De Elemente des Hlbertraumes für de Quantenmechank snd normerbare Funktonen, de Dmenson des Hlbertraumes st unendlch. De Bass m Hlbertraum st durch en geegnetes vollständges orthonormales System von Funktonen gegeben. 50

8 6.2. Mathematsche Egenschaften 1. Schwarz'sche Unglechung, =,, Bewes: sehe Übung (reelle Vektoren a = a 2 x a 2 2 y a z = Länge des Vektors a) a b = a b cos a b cos 1 b a 2. Dreecksunglechung Bewes: sehe Übung reelle Vektoren a = Länge a a b a b 51

9 6.3. Lneare Operatoren m Hlbertraum Def: En Operator bldet en Element des Hlbertraumes auf en anderes ab. A = Matrx m Raum der 3D Vektoren a axx xy a xz a yx a yy a yz a zx a zy a zz bx x 1, y 2, z 3 3 a j b j =c j=1 x = b y c y b z = cx c z Translatonsoperator T x, y, z = x a, y b, z c Ensten: a j b j =c Operator muss ncht explzt bekannt sen, nur sene Wrkung. Summaton über doppelten Index (Enstensche Summenkonventon) Inversonsoperator P r = r 52

10 Def: en Operator A heßt lnear, falls glt: A = 1 A 1 2 A 2 Gegenbespel: A =, A =, Multplkaton mt 2 m Allgemenen st AB B A z.b. A = p x, B = x Def: De Verknüpfung der Operatoren A und B n folgender Form: AB BA =[A,B] = C (anderer Operator) heßt Kommutator. [ x, p x ]= ħ [ x, p y ]=0 [ x, x]=0 [ p x, p x ]=0 53

11 Def: Inverser Operator ( rückgängg machen ) B st zu A nvers, falls AB = BA = 1 glt. B = A -1 (Schrebwese ncht 1/A, p -1 x -> Integraton) AA -1 = 1 z.b. x x 1 = Integraton Def: Adjungerter Operator B heßt adjungerter Operator zu A, falls glt, A = B, = A *, 1 A 1 2 A 2 * = 1 * A 1 * 2 * A 2 * B= A * AB * =B * A *, A B = A *, B = B * A *,, AB = AB *, AB * =B * A * A ** =A Hausaufgabe 54

12 Def: selbstadjungerter (hermtescher) Operator Operator A heßt selbstadjungert, falls A* = A. Alle physkalsch snnvollen Operatoren snd selbstadjungert. Def: Untäre Operatoren Def: Operatur U heßt untär, falls glt U* = U -1 UU* = U*U = 1 Das Skalarprodukt st be ener untären Transformaton nvarant. (ändert sch ncht, wenn auf Elemente des Hlbertraumes angewandt) (Uψ,Uφ) = (ψ,φ) (U*Uψ,φ) = (ψ,φ) Bewes Bespel: Translatonsoperator Tψ(x) = ψ(x+a) der Ort x wrd um a verschoben, = dx * x x T,T = dx * x a x a = dy * y y y=x a dy=dx 55

13 Fourer-Transformaton F[ψ(x)] = ψ(k) (Fφ,Fψ) = (φ,ψ) Norm blebt erhalten Bespele für selbstadjungerter Operatoren: 1), x = d 3 r * r x r = d 3 r x r * r = x, Ortsoperator st en selbstadjungerter Operator (y, z ebenfalls) -> r st en selbstadjungerter Operator partelle Integraton 2) p x =, ħ x = d 3 r * r ħ x r = dx f x d dx g x = = f x g x dx d dx f x g x = dy dz * x= x, y, z x, y, z x= d 3 r ħ x * r r 0, falls ψ* und/oder φ m verschwndet. = d 3 r ħ * r x = r ħ x, = p x 56

14 p x = ħ x st en selbstadjungerter Operator (p y,p z ebenfalls) p= ħ grad st en selbst adjungerter Operator Bemerkung ψ, φ seen ebene Wellen, z. B. r =e k 1 r, ħ 0 für r x = d 3 r e k1 r ħ x = d 3 r e k 1 r ħ k x 2 x =ħ k 2 d 3 r e k 1 k 2 r e k 2 r e k 2 r r =e k 2 r =ħ k 2 x k 1 k 2 57

15 ħ x, = d 3 r ħ x e k 1 r * e k 2 r = d 3 r ħ k 1 x e k 1 r * e k 2 r =ħ k 1 x d 3 r e k 1 r e k 2 r =ħ k 1 x d 3 r e k 1 k 2 r =ħ k 2 x k 1 k 2 3 k k ' = 0 für 0 für k 1 k 2 k 1 = k 2, p x = p x, p x st selbstadjungert Völlg analog lässt sch des für p y und p z zegen, so dass de Komponenten des Impulsoperators selbstadjungert snd. -> p st selbstadjungert 58

16 6.4 Egenwerte und Erwartungswerte von hermteschen Operatoren Messgrößen werden durch selbstadjungerte Operatoren dargestellt. De Lösung der Egenwertglechung für enen Operator A lefert de Egenwerte a n und Egenvektoren φ n. A n =a n n Wenn A en hermtescher Operator (ψ,aψ)=(aψ,ψ) st glt: n A n = n a n n =a n n n A n n = a n n n =a n * n n a n =a n * De Egenwerte hermtescher Operatoren snd mmer reelle Zahlen. Charles Hermte * 24. Dezember 1822 Deuze (Lothrngen) 14. Januar 1901 Pars 59

17 De Egenvektoren hermtescher Operatoren blden ene Bass m Hlbertraum. m A n = m a n n =a n m n A m n = a m m n =a m * m n =a m m n Aus der Dfferenz deser beden Glechungen ergbt sch für hermtesche Operatoren: 0= a n a m m n Daraus folgt für verschedene Egenwerte a n a m, das de Egenfunktonen zu verschedenen Egenwerte zuenander orthogonal snd (Skalarprodukt st Null). Falls zu enem Egenwert mehrere Egenfunktonen exsteren (Entartung), lassen sch mmer Lnearkombnatonen deser Egenfunktonen blden, de orthogonal snd (Gram-Schmdtsches Orthogonalserungsverfahren). Durch Normerung der Egenfunktonen erhalten wr ene orthonormerte Bass m Hlbertraum, mt der sch alle Zustände ausdrücken lassen. 60

18 Im Hlbertraum der komplexen Vektoren st de Matrx A hermtesch, falls für alle Elemente glt a k =a k *. In desem Fall bestzt A nur reelle Egenwerte. Für komplex konjugert und transponert wrd statt * oft geschreben. A*=A b= b 1, b 2,...,b n b, b = b b= b * b b, c = b * c A b= c k a k b k =c b, A b = b, c = b * k a k b k = k b * a k b k A b, b = c, b = k a k b k * b = = k k a * k b * k b a * k b * * b k a k =a k Spezalfall: reelle Matrx muss symmetrsch sen, damt alle Egenwerte reell snd. 61

19 6.5 Erwartungswerte hermtescher Operatoren En hermtescher Operator A habe bekannte Egenwerte und Egenfunktonen. A n =a n n En belebger Zustand enes physkalschen Systemes kann als Lnearkombnaton n der Bass der Egenfunktonen von A dargestellt werden. = c = c Der Erwartungswert für de Messung der physkalschen Größe A n desem Zustand st: A =, A = A = A = a c j c j j = j c = c A = c a = c a = c * j a c j = c * j a c j = a c * c = a c 2 j Es ergbt sch der Messwert a mt der Wahrschenlchketen c 2. 62

20 6.6 Hermtesche Operatoren und Messung Jede physkalsche Messgröße kann durch enen hermteschen (selbstadjungerten) Operator dargestellt werden. De Egenwerte deses Operators snd mmer reelle Zahlen und entsprechen den möglchen Messwerten der physkalschen Größe. De Egenfunktonen jedes hermteschen Operators blden ene Bass m Hlbertraum, so dass jeder belebge Zustand als Lnearkombnaton der Basszustände ausgedrückt werden kann. De Messung ener physkalschen Größe m Zustand ψ lefert mmer enen Egenwert, der mt der Wahrschenlchket c 2 auftrtt. De Wahrschenlchket ergbt sch aus dem Antel von ψ für den entsprechenden Egenzustand (Basszustand). Ist das System n enem Egenzustand wrd der entsprechende Egenwert als Messwert ohne Schwankung (Unschärfe = 0) gemessen. 63