Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I
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- Wolfgang Kaufman
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1 Vorlesung Grundlgen der Theoretischen Informtik / Einführung in die Theoretische Informtik I Bernhrd Beckert Institut für Informtik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: SS / 227
2 Dnk Diese Vorlesungsmterilien sieren gnz wesentlich uf den Folien zu den Vorlesungen von Ktrin Erk (gehlten n der Universität Kolenz-Lndu) Jürgen Dix (gehlten n der TU Clusthl) Ihnen eiden gilt mein herzlicher Dnk. Bernhrd Beckert, April 2007 B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: SS / 227
3 Teil III 1 Determinierte endliche Automten (DEAs) 2 Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) 3 Automten mit ε-knten 4 Endliche Automten Typ-3-Sprchen 5 Pumping Lemm 6 Wortproleme 7 Rtionl = Regulär B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: SS / 227
4 Teil III 1 Determinierte endliche Automten (DEAs) 2 Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) 3 Automten mit ε-knten 4 Endliche Automten Typ-3-Sprchen 5 Pumping Lemm 6 Wortproleme 7 Rtionl = Regulär B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
5 Determiniert / indeterminiert Determinierter endliche Automt Für einen Zustnd q und eine Einge genu ein einziger Nchfolgezustnd festgelegt durch Üergngsfunktion δ Indeterminierter endlicher Automt Für einen Zustnd q und eine Einge evtl. mehrere Nchfolgezustände oder gr keiner festgelegt durch Üergngsreltion B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
6 Determiniert / indeterminiert Determinierter endliche Automt Für einen Zustnd q und eine Einge genu ein einziger Nchfolgezustnd festgelegt durch Üergngsfunktion δ Indeterminierter endlicher Automt Für einen Zustnd q und eine Einge evtl. mehrere Nchfolgezustände oder gr keiner festgelegt durch Üergngsreltion B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
7 Determiniert / indeterminiert Determinierter endliche Automt Für einen Zustnd q und eine Einge genu ein einziger Nchfolgezustnd festgelegt durch Üergngsfunktion δ Indeterminierter endlicher Automt Für einen Zustnd q und eine Einge evtl. mehrere Nchfolgezustände oder gr keiner festgelegt durch Üergngsreltion B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
8 Determiniert / indeterminiert Determinierter endliche Automt Für einen Zustnd q und eine Einge genu ein einziger Nchfolgezustnd festgelegt durch Üergngsfunktion δ Indeterminierter endlicher Automt Für einen Zustnd q und eine Einge evtl. mehrere Nchfolgezustände oder gr keiner festgelegt durch Üergngsreltion B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
9 Determiniert / indeterminiert Determinierter endliche Automt Für einen Zustnd q und eine Einge genu ein einziger Nchfolgezustnd festgelegt durch Üergngsfunktion δ Indeterminierter endlicher Automt Für einen Zustnd q und eine Einge evtl. mehrere Nchfolgezustände oder gr keiner festgelegt durch Üergngsreltion B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
10 Indeterminierter endlicher Automt Definition 12.1 (Indeterminierter endlicher Automt) Ein indeterminierter endlicher Automt (NDEA) ist ein Tupel A = (K,Σ,,I,F) Dei ist K eine endliche Menge von Zuständen, Σ ein endliches Alphet, (K Σ) K eine Üergngsreltion, I K eine Menge von Strtzuständen, F K eine Menge von finlen Zuständen. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
11 Indeterminierter endlicher Automt Definition 12.1 (Indeterminierter endlicher Automt) Ein indeterminierter endlicher Automt (NDEA) ist ein Tupel A = (K,Σ,,I,F) Dei ist K eine endliche Menge von Zuständen, Σ ein endliches Alphet, (K Σ) K eine Üergngsreltion, I K eine Menge von Strtzuständen, F K eine Menge von finlen Zuständen. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
12 Indeterminierter endlicher Automt Definition 12.1 (Indeterminierter endlicher Automt) Ein indeterminierter endlicher Automt (NDEA) ist ein Tupel A = (K,Σ,,I,F) Dei ist K eine endliche Menge von Zuständen, Σ ein endliches Alphet, (K Σ) K eine Üergngsreltion, I K eine Menge von Strtzuständen, F K eine Menge von finlen Zuständen. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
13 Indeterminierter endlicher Automt Definition 12.1 (Indeterminierter endlicher Automt) Ein indeterminierter endlicher Automt (NDEA) ist ein Tupel A = (K,Σ,,I,F) Dei ist K eine endliche Menge von Zuständen, Σ ein endliches Alphet, (K Σ) K eine Üergngsreltion, I K eine Menge von Strtzuständen, F K eine Menge von finlen Zuständen. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
14 Indeterminierter endlicher Automt Definition 12.1 (Indeterminierter endlicher Automt) Ein indeterminierter endlicher Automt (NDEA) ist ein Tupel A = (K,Σ,,I,F) Dei ist K eine endliche Menge von Zuständen, Σ ein endliches Alphet, (K Σ) K eine Üergngsreltion, I K eine Menge von Strtzuständen, F K eine Menge von finlen Zuständen. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
15 Indeterminierter endlicher Automt Definition 12.1 (Indeterminierter endlicher Automt) Ein indeterminierter endlicher Automt (NDEA) ist ein Tupel A = (K,Σ,,I,F) Dei ist K eine endliche Menge von Zuständen, Σ ein endliches Alphet, (K Σ) K eine Üergngsreltion, I K eine Menge von Strtzuständen, F K eine Menge von finlen Zuständen. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
16 Indeterminierter endlicher Automt: Üergngsreltion Definition 12.2 (Erweiterung von zu ) (K Σ ) K ist definiert durch: ( (q,ε), q ) gdw q = q ( (q,w), q ) gdw q K ( ( (q,w), q ) ( (q,), q ) ) B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
17 NDEA: Akzeptierte Sprche Wnn kzeptiert ein indeterminierter Automt ein Wort? Ein indeterminierter endlicher Automt A kzeptiert ein Wort w, wenn es mindestens einen Weg mit der Beschriftung w durch A git, der in einem finlen Zustnd endet. Definition 12.3 (Von einem NDEA kzeptierte Sprche) Die von einem indeterminierten endlichen Automten A kzeptierte Sprche ist L(A) := {w Σ s 0 I q F ( (s 0,w), q )} B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
18 NDEA: Akzeptierte Sprche Wnn kzeptiert ein indeterminierter Automt ein Wort? Ein indeterminierter endlicher Automt A kzeptiert ein Wort w, wenn es mindestens einen Weg mit der Beschriftung w durch A git, der in einem finlen Zustnd endet. Definition 12.3 (Von einem NDEA kzeptierte Sprche) Die von einem indeterminierten endlichen Automten A kzeptierte Sprche ist L(A) := {w Σ s 0 I q F ( (s 0,w), q )} B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
19 NDEA: Akzeptierte Sprche Wnn kzeptiert ein indeterminierter Automt ein Wort? Ein indeterminierter endlicher Automt A kzeptiert ein Wort w, wenn es mindestens einen Weg mit der Beschriftung w durch A git, der in einem finlen Zustnd endet. Definition 12.3 (Von einem NDEA kzeptierte Sprche) Die von einem indeterminierten endlichen Automten A kzeptierte Sprche ist L(A) := {w Σ s 0 I q F ( (s 0,w), q )} B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
20 NDEA: Akzeptierte Sprche Wnn kzeptiert ein indeterminierter Automt ein Wort? Ein indeterminierter endlicher Automt A kzeptiert ein Wort w, wenn es mindestens einen Weg mit der Beschriftung w durch A git, der in einem finlen Zustnd endet. Definition 12.3 (Von einem NDEA kzeptierte Sprche) Die von einem indeterminierten endlichen Automten A kzeptierte Sprche ist L(A) := {w Σ s 0 I q F ( (s 0,w), q )} B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
21 NDEA: Beispiel Beispiel 12.4 Der Automt A = ({S 0,S 1,S 2 },{,},,{S 0 },{S 0 }) mit (S 0,) = {S 1 } (S 1,) = {S 0,S 2 } (S 2,) = {S 0 } kzeptiert die Sprche L = {,} B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
22 NDEA: Beispiel Beispiel 12.4 Der Automt A = ({S 0,S 1,S 2 },{,},,{S 0 },{S 0 }) mit (S 0,) = {S 1 } (S 1,) = {S 0,S 2 } (S 2,) = {S 0 } kzeptiert die Sprche L = {,} B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
23 NDEA: Grphische Drstellung Der indeterminierte Automt us Beispiel 12.4 A : > s 0 s 1 s 2 Akzeptiert: {,} B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
24 Indeterminierter endlicher Automt Vom indeterminierten Automten zum Algorithmus? Vom Automten zum Algorithmus (für ds Wortprolem): DEA = Algorithmus NDEA + Suchstrtegie = Algorithmus Zwei Sichtweisen uf indeterminierte Automten Der Automt durchläuft lle Wege (prllel oder mittels Bcktrcking) Der Automt rät, welcher von mehreren möglichen Folgezuständen der richtige ist B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
25 Indeterminierter endlicher Automt Vom indeterminierten Automten zum Algorithmus? Vom Automten zum Algorithmus (für ds Wortprolem): DEA = Algorithmus NDEA + Suchstrtegie = Algorithmus Zwei Sichtweisen uf indeterminierte Automten Der Automt durchläuft lle Wege (prllel oder mittels Bcktrcking) Der Automt rät, welcher von mehreren möglichen Folgezuständen der richtige ist B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
26 NDEA und DEA: Beispiel Beispiel 12.5 (DEA für gleiche Sprche wie NDEA us Bsp. 12.4) A: > Akzeptiert: {,} B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
27 NDEA und DEA Vergleich NDEA / DEA A : > s 0 s 1 A: > NDEA: s 2 DEA: DEA ht mehr Zustände, komplizierter DEA muss nicht rten DEA rucht genuso viele Schritte B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
28 NDEA und DEA Vergleich NDEA / DEA A : > s 0 s 1 A: > NDEA: s 2 DEA: DEA ht mehr Zustände, komplizierter DEA muss nicht rten DEA rucht genuso viele Schritte B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
29 NDEA und DEA Vergleich NDEA / DEA A : > s 0 s 1 A: > NDEA: s 2 DEA: DEA ht mehr Zustände, komplizierter DEA muss nicht rten DEA rucht genuso viele Schritte B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
30 NDEA und DEA Vergleich NDEA / DEA A : > s 0 s 1 A: > NDEA: s 2 DEA: DEA ht mehr Zustände, komplizierter DEA muss nicht rten DEA rucht genuso viele Schritte B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
31 NDEA und DEA Wir zeigen später: Für jeden indeterminierten Automten A NDEA git es einen determinierten Automten A DEA mit L(A NDEA ) = L(A DEA ) B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
32 NDEA und DEA: Weiteres Beispiel Beispiel 12.6 Determinierter Automt für die Sprche L = {,} {}{,} (die Sprche ller Wörter üer {, }, deren zweitletzter Buchste ein ist) Idee: Im Zustnd jeweils die letzten zwei Buchsten merken B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
33 NDEA und DEA: Weiteres Beispiel Beispiel 12.6 Determinierter Automt für die Sprche L = {,} {}{,} (die Sprche ller Wörter üer {, }, deren zweitletzter Buchste ein ist) Idee: Im Zustnd jeweils die letzten zwei Buchsten merken B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
34 NDEA und DEA: Weiteres Beispiel Beispiel 12.6 Determinierter Automt für die Sprche L = {,} {}{,} (die Sprche ller Wörter üer {, }, deren zweitletzter Buchste ein ist) s 1 A: > s 0 s 3 s 2 Idee: Im Zustnd jeweils die letzten zwei Buchsten merken B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
35 NDEA und DEA: Weiteres Beispiel Beispiel 12.6 Determinierter Automt für die Sprche L = {,} {}{,} (die Sprche ller Wörter üer {, }, deren zweitletzter Buchste ein ist) s 1 A: > s 0 s 3 s 2 Idee: Im Zustnd jeweils die letzten zwei Buchsten merken B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
36 NDEA und DEA: Weiteres Beispiel Beispiel 12.7 Indeterminierter Automt für die Sprche L = {,} {}{,} (die Sprche ller Wörter üer {, }, deren zweitletzter Buchste ein ist) B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
37 NDEA und DEA: Weiteres Beispiel Beispiel 12.7 Indeterminierter Automt für die Sprche L = {,} {}{,} (die Sprche ller Wörter üer {, }, deren zweitletzter Buchste ein ist), A : >, B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
38 NDEA und DEA: Größenvergleich Größenvergleich (Worst cse) Sprche üer {, } der Wörter, deren nt-letzter Buchste ein ist Determinierter Automt: 2 n Zustände (einen für jede Buchstenkomintion der Länge n) Indeterminierter Automt: n + 1 Zustände B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
39 NDEA und DEA: Größenvergleich Größenvergleich (Worst cse) Sprche üer {, } der Wörter, deren nt-letzter Buchste ein ist Determinierter Automt: 2 n Zustände (einen für jede Buchstenkomintion der Länge n) Indeterminierter Automt: n + 1 Zustände B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
40 NDEA und DEA: Größenvergleich Größenvergleich (Worst cse) Sprche üer {, } der Wörter, deren nt-letzter Buchste ein ist Determinierter Automt: 2 n Zustände (einen für jede Buchstenkomintion der Länge n) Indeterminierter Automt: n + 1 Zustände B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
41 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Theorem 12.8 (DEA gleich mächtig wie NDEA) Eine Sprche ist rtionl (es git einen determinierten endlichen Automten, der sie kzeptiert) gdw es git einen indeterminierten endlichen Automten, der sie kzeptiert. Beweis. : Sei L eine rtionle Sprche. Dnn git es lut Definition einen determinierten endlichen Automten A DEA mit L = L(A DEA ). Jeder determinierte endliche Automt ist er insesondere uch ein (esonderer) indeterminierter endlicher Automt. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
42 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Theorem 12.8 (DEA gleich mächtig wie NDEA) Eine Sprche ist rtionl (es git einen determinierten endlichen Automten, der sie kzeptiert) gdw es git einen indeterminierten endlichen Automten, der sie kzeptiert. Beweis. : Sei L eine rtionle Sprche. Dnn git es lut Definition einen determinierten endlichen Automten A DEA mit L = L(A DEA ). Jeder determinierte endliche Automt ist er insesondere uch ein (esonderer) indeterminierter endlicher Automt. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
43 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Theorem 12.8 (DEA gleich mächtig wie NDEA) Eine Sprche ist rtionl (es git einen determinierten endlichen Automten, der sie kzeptiert) gdw es git einen indeterminierten endlichen Automten, der sie kzeptiert. Beweis. : Sei L eine rtionle Sprche. Dnn git es lut Definition einen determinierten endlichen Automten A DEA mit L = L(A DEA ). Jeder determinierte endliche Automt ist er insesondere uch ein (esonderer) indeterminierter endlicher Automt. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
44 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Theorem 12.8 (DEA gleich mächtig wie NDEA) Eine Sprche ist rtionl (es git einen determinierten endlichen Automten, der sie kzeptiert) gdw es git einen indeterminierten endlichen Automten, der sie kzeptiert. Beweis. : Sei L eine rtionle Sprche. Dnn git es lut Definition einen determinierten endlichen Automten A DEA mit L = L(A DEA ). Jeder determinierte endliche Automt ist er insesondere uch ein (esonderer) indeterminierter endlicher Automt. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
45 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Beweis (Forsetzung) : Sei A NDEA = (K,Σ,,I,F) ein (elieiger) indeterminierter endlicher Automt. Er kzeptiert die Sprche L(A NDEA ). Beweisidee: Konstruiere us A NDEA einen determinierten Automten A DEA mit L(A NDEA ) = L(A DEA ) mit Hilfe einer Potenzmengenkonstruktion... B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
46 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Beweis (Forsetzung) : Sei A NDEA = (K,Σ,,I,F) ein (elieiger) indeterminierter endlicher Automt. Er kzeptiert die Sprche L(A NDEA ). Beweisidee: Konstruiere us A NDEA einen determinierten Automten A DEA mit L(A NDEA ) = L(A DEA ) mit Hilfe einer Potenzmengenkonstruktion... B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
47 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Beweis (Forsetzung) : Sei A NDEA = (K,Σ,,I,F) ein (elieiger) indeterminierter endlicher Automt. Er kzeptiert die Sprche L(A NDEA ). Beweisidee: Konstruiere us A NDEA einen determinierten Automten A DEA mit L(A NDEA ) = L(A DEA ) mit Hilfe einer Potenzmengenkonstruktion... B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
48 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Beweis (Forsetzung) Fortsetzung... Zustände in A DEA estehen us Mengen von Zuständen von A NDEA Wenn mn in A NDEA mit w nch q 1,...,q n gelngt, dnn gelngt mn in A DEA mit w nch q = {q 1,...,q n }. Initiler Zustnd von A DEA : Menge ller initilen Zustände von A NDEA Finle Zustände von A DEA : Jede Menge von Zustände, die einen finlen Zustnd von A NDEA enthält B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
49 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Beweis (Forsetzung) Fortsetzung... Zustände in A DEA estehen us Mengen von Zuständen von A NDEA Wenn mn in A NDEA mit w nch q 1,...,q n gelngt, dnn gelngt mn in A DEA mit w nch q = {q 1,...,q n }. Initiler Zustnd von A DEA : Menge ller initilen Zustände von A NDEA Finle Zustände von A DEA : Jede Menge von Zustände, die einen finlen Zustnd von A NDEA enthält B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
50 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Beweis (Forsetzung) Fortsetzung... Zustände in A DEA estehen us Mengen von Zuständen von A NDEA Wenn mn in A NDEA mit w nch q 1,...,q n gelngt, dnn gelngt mn in A DEA mit w nch q = {q 1,...,q n }. Initiler Zustnd von A DEA : Menge ller initilen Zustände von A NDEA Finle Zustände von A DEA : Jede Menge von Zustände, die einen finlen Zustnd von A NDEA enthält B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
51 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Beweis (Forsetzung) Fortsetzung... Zustände in A DEA estehen us Mengen von Zuständen von A NDEA Wenn mn in A NDEA mit w nch q 1,...,q n gelngt, dnn gelngt mn in A DEA mit w nch q = {q 1,...,q n }. Initiler Zustnd von A DEA : Menge ller initilen Zustände von A NDEA Finle Zustände von A DEA : Jede Menge von Zustände, die einen finlen Zustnd von A NDEA enthält B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227
Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA
Dnk Vorleung Grundlgen der Theoretichen Informtik / Einführung in die Theoretiche Informtik I Bernhrd Beckert Diee Vorleungmterilien ieren gnz weentlich uf den Folien zu den Vorleungen von Ktrin Erk (gehlten
Dank. 1 Determinierte endliche Automaten (DEAs) 2 Indeterminierte endliche Automaten (NDEAs) 3 Automaten mit epsilon-kanten
Dnk Vorleung Grundlgen der Theoretichen Informtik / Einführung in die Theoretiche Informtik I Bernhrd Beckert Diee Vorleungmterilien ieren gnz weentlich uf den Folien zu den Vorleungen von Ktrin Erk (gehlten
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Übungsblatt Nr. 1. Lösungsvorschlag
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Einführung in die Theoretische Informatik
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Automaten, Spiele, und Logik
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Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke
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Klausur zur Vorlesung Grundbegriffe der Informatik 10. März 2009 mit Lösungsvorschlägen
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Automaten, Spiele, und Logik
Automten, Spiele, und Logik Woche 9 13. Juni 2014 Inhlt der heutigen Vorlesung Büchi Automten co-büchi Automten Komplementierung für deterministische Büchi Automten Ein Ziel: den Stz von Büchi-Elgot-Trkhtenrot
Vorname: Nachname: Matrikelnummer: Studiengang (bitte ankreuzen): Technik-Kommunikation M.A.
Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Klusur 23.09.2010 Prof. Dr. J. Giesl M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder Vornme: Nchnme: Mtrikelnummer: Studiengng (itte nkreuzen):
Grundlagen der Theoretischen Informatik, WS11/12 Minimale Automaten
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Aufgensmmlung GTI Hinweise. Dies ist eine Aufgensmmlung zum Lernen für die Klusur, keine Proeklusur. Die Zeitduer, die für die Lösung vorgesehen ist, ist lso nicht uf drei Stunden normiert. Für die Klusur
a q 0 q 1 a M q 1 q 3 q 2
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Lösung zur Bonusklausur über den Stoff der Vorlesung Grundlagen der Informatik II (45 Minuten)
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7 Modellierung von Aläufen 7. Endliche Automten Mod-7. Endlicher Automt: Formler Klkül zur Spezifiktion von relen oder strkten Mschinen. Sie regieren uf äußere Ereignisse, ändern ihren inneren Zustnd,
mathematik und informatik
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Klausur über den Stoff der Vorlesung Grundlagen der Informatik II (90 Minuten)
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Einführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informtik Johnnes Köler Institut für Informtik Humoldt-Universität zu Berlin WS 2011/12 Minimierung von DFAs Frge Wie können wir feststellen, o ein DFA M = (Z, Σ, δ, q 0,
1.1 Grundlagen: Reguläre Ausdrücke
11 Grundlgen: Reguläre Ausdrücke Progrmmtext enutzt ein endliches Alphet Σ von Einge-Zeichen, zb ASCII :-) Die Menge der Textschnitte einer Token-Klsse ist i regulär Reguläre Sprchen knn mn mithile regulärer
Theoretische Informatik und Logik Übungsblatt 2 (2013S) Lösung
Theoretische Informtik und Logik Üungsltt 2 (2013S) en Aufge 2.1 Geen Sie jeweils eine kontextfreie Grmmtik n, welche die folgenden Sprchen erzeugt, sowie einen Aleitungsum für ein von Ihnen gewähltes
R(i,j,0) ist also für alle i,j = 1,...,n endlich und somit eine durch einen regulären Ausdruck beschreibbare Sprache!
1 2 Reguläre Audrücke und reguläre Sprchen Grundlgen der Theoretichen Inormtik Till Mokowki Fkultät ür Inormtik Otto-von-Guericke Univerität Mgdeurg Winteremeter 2014/15 Stz: [Kleene] Die Kle der durch
Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
5 Ds Pumping Lemm Shufhprinzip (Folie 137) Automten und formle Sprhen Notizen zu den Folien Im Blok Ds Shufhprinzip für endlihe Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl von
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Automaten, Spiele, und Logik
Automten, Spiele, und Logik Wohe 7 19. Mi 2014 Inhlt der heutigen Vorlesung Alternierende Automten Definition Verindung zu regulären Sprhen Komplementtion Engel und Teufel Ws ist eine nihtdeterministishe
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Ws isher geschh NFA A = (X, Q, δ, I, F ) vollständig (Vervollständigung) deterministisch, DFA (Potenzmengenkonstruktion) Minimlutomt: minimler vollständiger DFA Für jede Sprche L X sind die folgenden Aussgen
RWTH Aachen Lehrgebiet Theoretische Informatik Rossmanith Dreier Hark Kuinke. SS 2017 Blatt
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Einführung in die theoretische Informatik Sommersemester 2017 Übungsblatt Lösungsskizze 3
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Informatik II SS Pumping Lemma für reguläre Sprachen (1/2) Pumping Lemma für reguläre Sprachen (2) Beweis
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Bonusklausur über den Stoff der Vorlesung Grundlagen der Informatik II (45 Minuten)
Institut für Angewndte Informtik und Formle Beschreiungsverfhren 5.0.208 Bonusklusur üer den Stoff der Vorlesung Grundlgen der Informtik II (45 Minuten) Nme: Vornme: Mtr.-Nr.: Semester: (WS 207/8) Ich
Automaten und formale Sprachen Bemerkungen zu den Folien
Inhltsverzeichnis Automten und formle Sprchen Bemerkungen zu den Folien 1 Wiederholung Mengentheorie 3 Beispiele für die Potenzmenge (Folie 28)........................... 3 Beispiele für ds Kreuzprodukt
Endliche Automaten 7. Endliche Automaten
Endliche Automten 7 Endliche Automten Einfches Modellierungswekzeug (z.b. UML-Sttechrts) Verrbeiten Wörter/Ereignisfolgen Erkennen Sprchen Erluben schnelle Sprcherkennung Anwendungsbereiche: Objektorientierte
Einführung in die theoretische Informatik Sommersemester 2017 Übungsblatt 5
Prof. J. Esprz Technische Universität München S. Sickert, J. Krämer KEINE ABGABE Vielen Dnk n Jn Wgener für die erweiterten Aufgenlösungen Einführung in die theoretische Informtik Sommersemester 2017 Üungsltt
Hausaufgabe 2 (Induktionsbeweis):
Prof. Dr. J. Giesl Formle Sprhen, Automten, Prozesse SS 2010 Üung 3 (Age is 12.05.2010) M. Brokshmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden
Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I
Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Institut für Informatik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik:
Reduktion. Seien A Σ und B Γ. Man sagt A ist reduzierbar auf B (A B) gdw. von speziellem Interesse: Polynomialzeitreduktion
Reduktion Seien A Σ und B Γ. Mn sgt A ist reduzierr uf B (A B) gdw. f : Σ Γ. x Σ.x A f(x) B Í* * A B von speziellem Interesse: Polynomilzeitreduktion ( pol ), logrithmische-pltz- Reduktion ( log ). F3
Grundbegriffe der Informatik
Grundegriffe der Informtik Einheit 14: Endliche Automten Thoms Worsch Krlsruher Institut für Technologie, Fkultät für Informtik Wintersemester 2009/2010 1/56 Üerlick Erstes Beispiel: ein Getränkeutomt
mathematik und informatik
RR Prof. Dr. André Schulz Modul 31321 Grundlgen der Informtik 01657 Grundlgen der Theoretischen Informtik A 01658 Grundlgen der Theoretischen Informtik B LESEPROBE mthemtik und informtik Der Inhlt dieses
Endliche Automaten. Stoyan Mutafchiev. Programming Systems Lab, Universität des Saarlandes, Saarbrücken
Endliche Automten Stoyn Mutfchiev Progrmming Systems L, Universität des Srlndes, Srrücken Astrct Gegenstnd dieser Areit ist der endliche Automt, sowie die Aschlusseigenschften der Sprchen, die von endlichen
Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Beispiel einer nicht berechenbaren Funktion: Busy Beaver
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Grundlagen der Theoretischen Informatik Wintersemester 2007 / 2008 Prof. Dr. Heribert Vollmer Institut für Theoretische Informatik 29.10.2007 Reguläre Sprachen Ein (deterministischer) endlicher Automat
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Einführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informtik Johnnes Köler Institut für Informtik Humoldt-Universität zu Berlin WS 011/1 Inhlt der Vorlesung Themen dieser VL: Welche Rechenmodelle sind däqut? Welche Proleme
Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Reguläre Ausdrücke als Suchmuster für grep
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Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik. Klausur: Informatik III
Nme Vornme Mtrikelnummer Lösungsvorschlg Universität Krlsruhe Institut für Theoretische Informtik o. Prof. Dr. P. Snders 8. März 2006 Klusur: Informtik III Aufgbe 1. Multiple Choice 10 Punkte Aufgbe 2.
Potenzautomat. Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) P(A) = (P(Z), I, D, {s 0 }, F P ) P(Z) = {S S Z}: Potenzmenge von Z; D : P(Z) I P(Z) mit
1 Potenzutomt Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) P(A) = (P(Z), I, D, {s 0 }, F P ) P(Z) = {S S Z}: Potenzmenge von Z; D : P(Z) I P(Z) mit D(S, x) = d(s, x) s S für lle S P(Z), x I; F P = {S P(Z) S F }. Potenzutomt
Klausur über den Stoff der Vorlesung Grundlagen der Informatik II (90 Minuten)
Institut für Angewndte Informtik und Formle Beschreiungsverfhren 22.7.23 Klusur üer den Stoff der Vorlesung Grundlgen der Informtik II (9 Minuten) Nme: Vornme: Mtr.-Nr.: Semester: (SS 23) Ich estätige,
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2. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 2003/2004
Universität Krlsruhe Theoretische Informtik Fkultät für Informtik WS 2003/04 ILKD Prof. Dr. D. Wgner 14. April 2004 2. Klusur zur Vorlesung Informtik III Wintersemester 2003/2004 Lösung! Bechten Sie: Bringen
Reguläre Ausdrücke, In12 G8
Reguläre Ausdrücke, In2 G8 Beweise, dss A* unendlich viele Elemente esitzt. Hinweis: Indirekter Beweis R A = {0,} Bilde A 3, A 4 A = {,, c} Bilde A 2, A 3 A = {,, c} Gi die Menge ller Wörter der Länge
Grundbegriffe der Informatik
Grundegriffe der Informtik Üung Simon Wcker Krlsruher Institut für Technologie Wintersemester 2015/2016 GBI Grundegriffe der Informtik Krlsruher Institut für Technologie 1 / 9 Regex-Bäume Anzhl A = {,
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Chr.Nelius: Linere Alger SS 2008 1 10: Linere Aildungen 10.1 BEISPIEL: Die Vektorräume V 2 und Ê 2 hen diegleiche Struktur. Es git eine ijektive Aildung f : V 2 Ê 2, die durch die Vorschrift definiert
Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 5
Grundegriffe der Informtik Aufgenltt 5 Mtr.nr.: Nchnme: Vornme: Tutorium: Nr. Nme des Tutors: Ausge: 20. Novemer 2013 Age: 29. Novemer 2013, 12:30 Uhr im GBI-Briefksten im Untergeschoss von Geäude 50.34
L = L(a(a b) b b(a b) a)
Lösungen zur Proeklusur mit Kommentren Aufge 1. Ein Wort w {,} liegt genu dnn in L, wenn es entweder mit nfängt und mit endet oder umgekehrt. Also erhält mn L = L(( ) ( ) ). Ein DEA, der die Sprche L kzeptiert,
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1 Grundlgen der Theorie formler Sprchen Wir eginnen dmit, dss wir in diesem Kpitel zunchst einige grundlegende Begriffe und Methoden us der Theorie formler Sprchen, insesondere der regulären Sprchen, wiederholen.
Hans U. Simon Bochum, den Annette Ilgen. Beispiele zur Vorlesung. Theoretische Informatik. WS 08/09
Hns U. Simon Bohum, den 7..28 Annette Ilgen Beispiele zur Vorlesung Theoretishe Informtik WS 8/9 Voremerkung: Hier findet sih eine Smmlung von Beispielen und Motivtionen zur Vorlesung Theoretishe Informtik.
Automaten und Formale Sprachen 7. Vorlesung
Automten und Formle Sprchen 7. Vorlesung Mrtin Dietzfelinger Bis nächste Woche: Folien studieren. Detils, Beispiele im Skript, Seiten 70 99. Definitionen lernen, Beispiele nsehen, Frgen vorereiten. Üungsufgen
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Kpitel: Endliche Automten & reguläre Sprchen Endliche Automten und reguläre Sprchen 1 / 125 Endliche Automten Endliche Automten erluen eine Beschreiung von Hndlungsläufen: Wie ändert sich ein Systemzustnd
Weihnachtsblatt zu Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 2015/16
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Proeklusur zur Vorlesung Berechenrkeitstheorie WS 201/1 1. Jnur 201 Prof. Dr. André Schulz Bereitungszeit: 120 Minuten [So oder so ähnlich wird ds Deckltt der Klusur ussehen.] Nme... Mtrikel Nr.... Studiengng...
2. Übungsblatt (mit Lösungen) 3.0 VU Formale Modellierung
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Kontextsensitive Sprachen. Christian Scheideler Universität Paderborn WS 2014
Kontextsensitive Sprchen Christin Scheideler Universität Pderorn WS 2014 Kontextsensitive Sprchen Definition 5.1.4 Eine Grmmtik heißt kontextsensitiv oder vom Typ Chomsky-1 flls für jede Regel u v gilt
4 Die rationalen Zahlen
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2 2 Reguläre Sprachen. 2.2 Endliche Automaten. Übersicht
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Grundlgen der Informtik Vorlesungsprüfung vom 02.03.2007 Gruppe B Lösung Nme: Mtrikelnummer: Zuerst itte Nme und Mtrikelnummer uf ds Titelltt schreien. Es sind keine Unterlgen und keine Temreit erlut.
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