Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I

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1 Vorlesung Grundlgen der Theoretischen Informtik / Einführung in die Theoretische Informtik I Bernhrd Beckert Institut für Informtik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: SS / 227

2 Dnk Diese Vorlesungsmterilien sieren gnz wesentlich uf den Folien zu den Vorlesungen von Ktrin Erk (gehlten n der Universität Kolenz-Lndu) Jürgen Dix (gehlten n der TU Clusthl) Ihnen eiden gilt mein herzlicher Dnk. Bernhrd Beckert, April 2007 B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: SS / 227

3 Teil III 1 Determinierte endliche Automten (DEAs) 2 Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) 3 Automten mit ε-knten 4 Endliche Automten Typ-3-Sprchen 5 Pumping Lemm 6 Wortproleme 7 Rtionl = Regulär B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: SS / 227

4 Teil III 1 Determinierte endliche Automten (DEAs) 2 Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) 3 Automten mit ε-knten 4 Endliche Automten Typ-3-Sprchen 5 Pumping Lemm 6 Wortproleme 7 Rtionl = Regulär B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

5 Determiniert / indeterminiert Determinierter endliche Automt Für einen Zustnd q und eine Einge genu ein einziger Nchfolgezustnd festgelegt durch Üergngsfunktion δ Indeterminierter endlicher Automt Für einen Zustnd q und eine Einge evtl. mehrere Nchfolgezustände oder gr keiner festgelegt durch Üergngsreltion B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

6 Determiniert / indeterminiert Determinierter endliche Automt Für einen Zustnd q und eine Einge genu ein einziger Nchfolgezustnd festgelegt durch Üergngsfunktion δ Indeterminierter endlicher Automt Für einen Zustnd q und eine Einge evtl. mehrere Nchfolgezustände oder gr keiner festgelegt durch Üergngsreltion B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

7 Determiniert / indeterminiert Determinierter endliche Automt Für einen Zustnd q und eine Einge genu ein einziger Nchfolgezustnd festgelegt durch Üergngsfunktion δ Indeterminierter endlicher Automt Für einen Zustnd q und eine Einge evtl. mehrere Nchfolgezustände oder gr keiner festgelegt durch Üergngsreltion B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

8 Determiniert / indeterminiert Determinierter endliche Automt Für einen Zustnd q und eine Einge genu ein einziger Nchfolgezustnd festgelegt durch Üergngsfunktion δ Indeterminierter endlicher Automt Für einen Zustnd q und eine Einge evtl. mehrere Nchfolgezustände oder gr keiner festgelegt durch Üergngsreltion B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

9 Determiniert / indeterminiert Determinierter endliche Automt Für einen Zustnd q und eine Einge genu ein einziger Nchfolgezustnd festgelegt durch Üergngsfunktion δ Indeterminierter endlicher Automt Für einen Zustnd q und eine Einge evtl. mehrere Nchfolgezustände oder gr keiner festgelegt durch Üergngsreltion B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

10 Indeterminierter endlicher Automt Definition 12.1 (Indeterminierter endlicher Automt) Ein indeterminierter endlicher Automt (NDEA) ist ein Tupel A = (K,Σ,,I,F) Dei ist K eine endliche Menge von Zuständen, Σ ein endliches Alphet, (K Σ) K eine Üergngsreltion, I K eine Menge von Strtzuständen, F K eine Menge von finlen Zuständen. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

11 Indeterminierter endlicher Automt Definition 12.1 (Indeterminierter endlicher Automt) Ein indeterminierter endlicher Automt (NDEA) ist ein Tupel A = (K,Σ,,I,F) Dei ist K eine endliche Menge von Zuständen, Σ ein endliches Alphet, (K Σ) K eine Üergngsreltion, I K eine Menge von Strtzuständen, F K eine Menge von finlen Zuständen. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

12 Indeterminierter endlicher Automt Definition 12.1 (Indeterminierter endlicher Automt) Ein indeterminierter endlicher Automt (NDEA) ist ein Tupel A = (K,Σ,,I,F) Dei ist K eine endliche Menge von Zuständen, Σ ein endliches Alphet, (K Σ) K eine Üergngsreltion, I K eine Menge von Strtzuständen, F K eine Menge von finlen Zuständen. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

13 Indeterminierter endlicher Automt Definition 12.1 (Indeterminierter endlicher Automt) Ein indeterminierter endlicher Automt (NDEA) ist ein Tupel A = (K,Σ,,I,F) Dei ist K eine endliche Menge von Zuständen, Σ ein endliches Alphet, (K Σ) K eine Üergngsreltion, I K eine Menge von Strtzuständen, F K eine Menge von finlen Zuständen. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

14 Indeterminierter endlicher Automt Definition 12.1 (Indeterminierter endlicher Automt) Ein indeterminierter endlicher Automt (NDEA) ist ein Tupel A = (K,Σ,,I,F) Dei ist K eine endliche Menge von Zuständen, Σ ein endliches Alphet, (K Σ) K eine Üergngsreltion, I K eine Menge von Strtzuständen, F K eine Menge von finlen Zuständen. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

15 Indeterminierter endlicher Automt Definition 12.1 (Indeterminierter endlicher Automt) Ein indeterminierter endlicher Automt (NDEA) ist ein Tupel A = (K,Σ,,I,F) Dei ist K eine endliche Menge von Zuständen, Σ ein endliches Alphet, (K Σ) K eine Üergngsreltion, I K eine Menge von Strtzuständen, F K eine Menge von finlen Zuständen. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

16 Indeterminierter endlicher Automt: Üergngsreltion Definition 12.2 (Erweiterung von zu ) (K Σ ) K ist definiert durch: ( (q,ε), q ) gdw q = q ( (q,w), q ) gdw q K ( ( (q,w), q ) ( (q,), q ) ) B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

17 NDEA: Akzeptierte Sprche Wnn kzeptiert ein indeterminierter Automt ein Wort? Ein indeterminierter endlicher Automt A kzeptiert ein Wort w, wenn es mindestens einen Weg mit der Beschriftung w durch A git, der in einem finlen Zustnd endet. Definition 12.3 (Von einem NDEA kzeptierte Sprche) Die von einem indeterminierten endlichen Automten A kzeptierte Sprche ist L(A) := {w Σ s 0 I q F ( (s 0,w), q )} B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

18 NDEA: Akzeptierte Sprche Wnn kzeptiert ein indeterminierter Automt ein Wort? Ein indeterminierter endlicher Automt A kzeptiert ein Wort w, wenn es mindestens einen Weg mit der Beschriftung w durch A git, der in einem finlen Zustnd endet. Definition 12.3 (Von einem NDEA kzeptierte Sprche) Die von einem indeterminierten endlichen Automten A kzeptierte Sprche ist L(A) := {w Σ s 0 I q F ( (s 0,w), q )} B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

19 NDEA: Akzeptierte Sprche Wnn kzeptiert ein indeterminierter Automt ein Wort? Ein indeterminierter endlicher Automt A kzeptiert ein Wort w, wenn es mindestens einen Weg mit der Beschriftung w durch A git, der in einem finlen Zustnd endet. Definition 12.3 (Von einem NDEA kzeptierte Sprche) Die von einem indeterminierten endlichen Automten A kzeptierte Sprche ist L(A) := {w Σ s 0 I q F ( (s 0,w), q )} B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

20 NDEA: Akzeptierte Sprche Wnn kzeptiert ein indeterminierter Automt ein Wort? Ein indeterminierter endlicher Automt A kzeptiert ein Wort w, wenn es mindestens einen Weg mit der Beschriftung w durch A git, der in einem finlen Zustnd endet. Definition 12.3 (Von einem NDEA kzeptierte Sprche) Die von einem indeterminierten endlichen Automten A kzeptierte Sprche ist L(A) := {w Σ s 0 I q F ( (s 0,w), q )} B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

21 NDEA: Beispiel Beispiel 12.4 Der Automt A = ({S 0,S 1,S 2 },{,},,{S 0 },{S 0 }) mit (S 0,) = {S 1 } (S 1,) = {S 0,S 2 } (S 2,) = {S 0 } kzeptiert die Sprche L = {,} B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

22 NDEA: Beispiel Beispiel 12.4 Der Automt A = ({S 0,S 1,S 2 },{,},,{S 0 },{S 0 }) mit (S 0,) = {S 1 } (S 1,) = {S 0,S 2 } (S 2,) = {S 0 } kzeptiert die Sprche L = {,} B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

23 NDEA: Grphische Drstellung Der indeterminierte Automt us Beispiel 12.4 A : > s 0 s 1 s 2 Akzeptiert: {,} B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

24 Indeterminierter endlicher Automt Vom indeterminierten Automten zum Algorithmus? Vom Automten zum Algorithmus (für ds Wortprolem): DEA = Algorithmus NDEA + Suchstrtegie = Algorithmus Zwei Sichtweisen uf indeterminierte Automten Der Automt durchläuft lle Wege (prllel oder mittels Bcktrcking) Der Automt rät, welcher von mehreren möglichen Folgezuständen der richtige ist B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

25 Indeterminierter endlicher Automt Vom indeterminierten Automten zum Algorithmus? Vom Automten zum Algorithmus (für ds Wortprolem): DEA = Algorithmus NDEA + Suchstrtegie = Algorithmus Zwei Sichtweisen uf indeterminierte Automten Der Automt durchläuft lle Wege (prllel oder mittels Bcktrcking) Der Automt rät, welcher von mehreren möglichen Folgezuständen der richtige ist B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

26 NDEA und DEA: Beispiel Beispiel 12.5 (DEA für gleiche Sprche wie NDEA us Bsp. 12.4) A: > Akzeptiert: {,} B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

27 NDEA und DEA Vergleich NDEA / DEA A : > s 0 s 1 A: > NDEA: s 2 DEA: DEA ht mehr Zustände, komplizierter DEA muss nicht rten DEA rucht genuso viele Schritte B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

28 NDEA und DEA Vergleich NDEA / DEA A : > s 0 s 1 A: > NDEA: s 2 DEA: DEA ht mehr Zustände, komplizierter DEA muss nicht rten DEA rucht genuso viele Schritte B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

29 NDEA und DEA Vergleich NDEA / DEA A : > s 0 s 1 A: > NDEA: s 2 DEA: DEA ht mehr Zustände, komplizierter DEA muss nicht rten DEA rucht genuso viele Schritte B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

30 NDEA und DEA Vergleich NDEA / DEA A : > s 0 s 1 A: > NDEA: s 2 DEA: DEA ht mehr Zustände, komplizierter DEA muss nicht rten DEA rucht genuso viele Schritte B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

31 NDEA und DEA Wir zeigen später: Für jeden indeterminierten Automten A NDEA git es einen determinierten Automten A DEA mit L(A NDEA ) = L(A DEA ) B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

32 NDEA und DEA: Weiteres Beispiel Beispiel 12.6 Determinierter Automt für die Sprche L = {,} {}{,} (die Sprche ller Wörter üer {, }, deren zweitletzter Buchste ein ist) Idee: Im Zustnd jeweils die letzten zwei Buchsten merken B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

33 NDEA und DEA: Weiteres Beispiel Beispiel 12.6 Determinierter Automt für die Sprche L = {,} {}{,} (die Sprche ller Wörter üer {, }, deren zweitletzter Buchste ein ist) Idee: Im Zustnd jeweils die letzten zwei Buchsten merken B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

34 NDEA und DEA: Weiteres Beispiel Beispiel 12.6 Determinierter Automt für die Sprche L = {,} {}{,} (die Sprche ller Wörter üer {, }, deren zweitletzter Buchste ein ist) s 1 A: > s 0 s 3 s 2 Idee: Im Zustnd jeweils die letzten zwei Buchsten merken B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

35 NDEA und DEA: Weiteres Beispiel Beispiel 12.6 Determinierter Automt für die Sprche L = {,} {}{,} (die Sprche ller Wörter üer {, }, deren zweitletzter Buchste ein ist) s 1 A: > s 0 s 3 s 2 Idee: Im Zustnd jeweils die letzten zwei Buchsten merken B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

36 NDEA und DEA: Weiteres Beispiel Beispiel 12.7 Indeterminierter Automt für die Sprche L = {,} {}{,} (die Sprche ller Wörter üer {, }, deren zweitletzter Buchste ein ist) B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

37 NDEA und DEA: Weiteres Beispiel Beispiel 12.7 Indeterminierter Automt für die Sprche L = {,} {}{,} (die Sprche ller Wörter üer {, }, deren zweitletzter Buchste ein ist), A : >, B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

38 NDEA und DEA: Größenvergleich Größenvergleich (Worst cse) Sprche üer {, } der Wörter, deren nt-letzter Buchste ein ist Determinierter Automt: 2 n Zustände (einen für jede Buchstenkomintion der Länge n) Indeterminierter Automt: n + 1 Zustände B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

39 NDEA und DEA: Größenvergleich Größenvergleich (Worst cse) Sprche üer {, } der Wörter, deren nt-letzter Buchste ein ist Determinierter Automt: 2 n Zustände (einen für jede Buchstenkomintion der Länge n) Indeterminierter Automt: n + 1 Zustände B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

40 NDEA und DEA: Größenvergleich Größenvergleich (Worst cse) Sprche üer {, } der Wörter, deren nt-letzter Buchste ein ist Determinierter Automt: 2 n Zustände (einen für jede Buchstenkomintion der Länge n) Indeterminierter Automt: n + 1 Zustände B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

41 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Theorem 12.8 (DEA gleich mächtig wie NDEA) Eine Sprche ist rtionl (es git einen determinierten endlichen Automten, der sie kzeptiert) gdw es git einen indeterminierten endlichen Automten, der sie kzeptiert. Beweis. : Sei L eine rtionle Sprche. Dnn git es lut Definition einen determinierten endlichen Automten A DEA mit L = L(A DEA ). Jeder determinierte endliche Automt ist er insesondere uch ein (esonderer) indeterminierter endlicher Automt. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

42 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Theorem 12.8 (DEA gleich mächtig wie NDEA) Eine Sprche ist rtionl (es git einen determinierten endlichen Automten, der sie kzeptiert) gdw es git einen indeterminierten endlichen Automten, der sie kzeptiert. Beweis. : Sei L eine rtionle Sprche. Dnn git es lut Definition einen determinierten endlichen Automten A DEA mit L = L(A DEA ). Jeder determinierte endliche Automt ist er insesondere uch ein (esonderer) indeterminierter endlicher Automt. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

43 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Theorem 12.8 (DEA gleich mächtig wie NDEA) Eine Sprche ist rtionl (es git einen determinierten endlichen Automten, der sie kzeptiert) gdw es git einen indeterminierten endlichen Automten, der sie kzeptiert. Beweis. : Sei L eine rtionle Sprche. Dnn git es lut Definition einen determinierten endlichen Automten A DEA mit L = L(A DEA ). Jeder determinierte endliche Automt ist er insesondere uch ein (esonderer) indeterminierter endlicher Automt. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

44 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Theorem 12.8 (DEA gleich mächtig wie NDEA) Eine Sprche ist rtionl (es git einen determinierten endlichen Automten, der sie kzeptiert) gdw es git einen indeterminierten endlichen Automten, der sie kzeptiert. Beweis. : Sei L eine rtionle Sprche. Dnn git es lut Definition einen determinierten endlichen Automten A DEA mit L = L(A DEA ). Jeder determinierte endliche Automt ist er insesondere uch ein (esonderer) indeterminierter endlicher Automt. B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

45 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Beweis (Forsetzung) : Sei A NDEA = (K,Σ,,I,F) ein (elieiger) indeterminierter endlicher Automt. Er kzeptiert die Sprche L(A NDEA ). Beweisidee: Konstruiere us A NDEA einen determinierten Automten A DEA mit L(A NDEA ) = L(A DEA ) mit Hilfe einer Potenzmengenkonstruktion... B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

46 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Beweis (Forsetzung) : Sei A NDEA = (K,Σ,,I,F) ein (elieiger) indeterminierter endlicher Automt. Er kzeptiert die Sprche L(A NDEA ). Beweisidee: Konstruiere us A NDEA einen determinierten Automten A DEA mit L(A NDEA ) = L(A DEA ) mit Hilfe einer Potenzmengenkonstruktion... B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

47 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Beweis (Forsetzung) : Sei A NDEA = (K,Σ,,I,F) ein (elieiger) indeterminierter endlicher Automt. Er kzeptiert die Sprche L(A NDEA ). Beweisidee: Konstruiere us A NDEA einen determinierten Automten A DEA mit L(A NDEA ) = L(A DEA ) mit Hilfe einer Potenzmengenkonstruktion... B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

48 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Beweis (Forsetzung) Fortsetzung... Zustände in A DEA estehen us Mengen von Zuständen von A NDEA Wenn mn in A NDEA mit w nch q 1,...,q n gelngt, dnn gelngt mn in A DEA mit w nch q = {q 1,...,q n }. Initiler Zustnd von A DEA : Menge ller initilen Zustände von A NDEA Finle Zustände von A DEA : Jede Menge von Zustände, die einen finlen Zustnd von A NDEA enthält B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

49 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Beweis (Forsetzung) Fortsetzung... Zustände in A DEA estehen us Mengen von Zuständen von A NDEA Wenn mn in A NDEA mit w nch q 1,...,q n gelngt, dnn gelngt mn in A DEA mit w nch q = {q 1,...,q n }. Initiler Zustnd von A DEA : Menge ller initilen Zustände von A NDEA Finle Zustände von A DEA : Jede Menge von Zustände, die einen finlen Zustnd von A NDEA enthält B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

50 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Beweis (Forsetzung) Fortsetzung... Zustände in A DEA estehen us Mengen von Zuständen von A NDEA Wenn mn in A NDEA mit w nch q 1,...,q n gelngt, dnn gelngt mn in A DEA mit w nch q = {q 1,...,q n }. Initiler Zustnd von A DEA : Menge ller initilen Zustände von A NDEA Finle Zustände von A DEA : Jede Menge von Zustände, die einen finlen Zustnd von A NDEA enthält B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

51 Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA Beweis (Forsetzung) Fortsetzung... Zustände in A DEA estehen us Mengen von Zuständen von A NDEA Wenn mn in A NDEA mit w nch q 1,...,q n gelngt, dnn gelngt mn in A DEA mit w nch q = {q 1,...,q n }. Initiler Zustnd von A DEA : Menge ller initilen Zustände von A NDEA Finle Zustände von A DEA : Jede Menge von Zustände, die einen finlen Zustnd von A NDEA enthält B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik: Indetermnierte endliche Automten (NDEAs) SS / 227

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