Achsen- und punktsymmetrische Figuren

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1 Achsensymmetrie Der Punkt P und sein Bildpunkt P sind symmetrisch bzgl. der Achse s, wenn ihre Verbindungsstrecke [PP ] senkrecht auf der Achse a steht und von dieser halbiert wird. Zueinander symmetrische......strecken sind gleich lang....winkel sind gleich groß....geraden sind parallel oder schneiden sich auf der Achse. Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen, sind zu symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Ist ein beliebiger Punkt also gleich weit von zwei achsensymmetrischen Punkten entfernt, so muss dieser Punkt auf der Symmetrieachse liegen. Die Strecken [AC] und [A'C'] sind parallel zueinander und gleich lang. Die Strecken [BC] und [B'C'] schneiden sich an der Achse s und sind gleich lang. Die Verbindungsstrecke [CC'] wird an der Achse s halbiert und steht senkrecht auf der Achse s. Die Winkel α und α' sind gleich groß. Punkt B liegt auf der Symmetrieachse s und ist somit sein eigener Spiegelpunkt B'. Aus diesem Grund nennt man B einen Fixpunkt. Punkt B bzw. B' ist zu A und A' gleich weit entfernt, da er auf der Symmetrieachse liegt. Seite 1 von 11

2 Konstruktion des Bildpunktes Ist Punkt P und die Symmetrieachse a gegeben, wählt man zwei beliebige Punkte auf der Symmetrieachse a und nennt diese Punkte M 1 und M 2. Anschließend zeichnet man eine Kreislinie um M 1, die durch P verläuft, und eine Kreislinie um M 2, die ebenfalls durch P verläuft. Der Punkt, an dem sich die beiden Kreislinien schneiden, ist der Bildpunkt P'. Seite 2 von 11

3 Konstruktion der Symmetrieachse Sind die beiden Punkte P und P' gegeben, ist es möglich, die Symmetrieachse der beiden Punkte zu konstruieren. Dazu zeichnet man eine Kreislinie um P und eine Kreislinie um P'. Wichtig ist dabei, dass beide Kreislinien den selben Radius haben und der Radius so groß ist, dass sich die beiden Kreislinien schneiden. Durch die beiden Schnittpunkte der Kreislinien zieht man nun eine Gerade. Diese Gerade ist die Symmetrieachse a der beiden Punkte P und P'. Seite 3 von 11

4 Punktsymmetrie Die beiden Punkte P und P' sind punktsymmetrisch bzgl. des Punktes Z, wenn dieser Punkt Z die Verbindungsstrecke [PP'] halbiert. Den Punkt Z nennt man dann Symmetriezentrum Z. In zwei Figuren, die bezüglich des Punktes Z zueinander symmetrisch gelegen sind, sind entsprechende Strecken gleich lang und entsprechende Winkel gleich groß. Die Strecken [AC] und [A'C'] sind gleich lang. Die Strecken [BC] und [B'C'] sind gleich lang. Die Strecken [AB] und [A'B'] sind gleich lang. Die Verbindungsstrecken [AA'], [BB'] und[cc'] werden vom Punkt Z halbiert. Die Winkel γ und γ' sind gleich groß. Seite 4 von 11

5 Konstruktion des Bildpunktes Sind Punkt P und das Symmetriezentrum Z gegeben, zeichnet man zunächst eine Gerade a durch die beiden Punkte Z und P. Anschließend zeichnet man eine Kreislinie k um Z, die durch den Punkt P verläuft. Der Schnittpunkt von a und k ist P'. Konstruktion des Symmetriezentrums Seite 5 von 11

6 Sind die beiden Punkte P und P' gegeben, ist es möglich das Symmetriezentrum der beiden Punkte zu konstruieren. Dazu zeichnet man eine Kreislinie um P und eine Kreislinie um P'. Wichtig ist dabei, dass beide Kreislinien den selben Radius haben und der Radius so groß ist, dass sich die beiden Kreislinien schneiden. Nun zieht man eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der Kreislinien und eine Gerade durch die beiden Punkte P und P'. An der Stelle, an der sich die beiden Geraden schneiden, liegt das Symmetriezentrum Z. Seite 6 von 11

7 Symmetrische Vierecke Viereck Definition Symmetrie Quadrat Rechteck Raute Parallelogramm Drachenviereck - vier gleich lange Seiten - vier rechte Winkel - vier rechte Winkel - zwei gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang und parallel - vier gleich lange Seiten, von denen jeweils zwei zueinander parallel sind - gegenüberliegende Winkel sind gleich groß - benachbarte Winkel ergänzen sich zu gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und zueinander parallel - gegenüberliegende Winkel sind gleich groß - benachbarte Winkel ergänzen sich zu zwei Paare gleich langer, benachbarter Seiten - ein Paar gleich großer Winkel - punktsymmetrisch zum Mittelpunkt - vier Symmetrieachsen: Diagonalen und Mittelsenkrechten - punktsymmetrisch zum Mittelpunkt - zwei Symmetrieachsen: die Mittelsenkrechten der Seiten - punktsymmetrisch zum Mittelpunkt - keine Achsensymmetrie - punktsymmetrisch zum Mittelpunkt - zwei Symmetrieachsen: die beiden Diagonalen - eine Symmetrieachse: eine der beiden Diagonalen - keine Punktsymmetrie Gleichschenkliges Trapez - zwei Paare gleich großer Winkel - die an Schenkeln (Seiten) anliegenden Winkel ergänzen sich zu zwei Schenkel sind gleich lang - eine Symmetrieachse: die Mittelsenkrechte der zwei parallelen Seiten Seite 7 von 11

8 Grundkonstruktionen 1) Mittelsenkrechte: Die Mittelsenkrechte m ist die Gerade, die die Verbindungslinie der zwei Punkte A und B halbiert. Sie ist also die Symmetrieachse der beiden Punkte. Die Konstruktion der Mittelsenkrechten erfolgt demzufolge genauso wie die Konstruktion einer Symmetrieachse (siehe Seite 3). Den Punkt, an dem sich [AB] und m schneiden, nennt man Mittelpunkt M. M halbiert die Strecke [AB]. Seite 8 von 11

9 2) Lot fällen: Will man die Senkrechte (=Lot) zu einer Geraden g durch einen vorgegebenen Punkt P konstruieren und P liegt dabei nicht auf der Geraden g, konstruiert man zunächst den zu P bezüglich g symmetrischen Punkt P' (siehe Seite 2). Die Gerade (PP') ist das Lot zu g durch P. 3) Lot errichten: Will man das Lot zu einer Geraden g durch einen vorgegebenen Punkt P konstruieren und P liegt dabei auf der Geraden g, konstruiert man zunächst zwei Punkte A und B, die gleich weit von P entfernt sind. Dazu zeichnet man einen Kreislinie k mit beliebigen Radius um P. An den beiden Stellen, an denen sich k und g schneiden, liegen A und B. Anschließend konstruiert man die Symmetrieachse zu A und B (siehe Seite 3). Seite 9 von 11

10 4) Tangente an einem Kreis: Eine Gerade, die einen Kreis an einer einzigen Stelle berührt, nennt man Tangente. Ist ein Kreis k und ein darauf liegender Punkt P gegeben, kann man diese konstruieren. Dazu muss man das Lot auf [MP] (M = Mittelpunkt des Kreises k) durch P errichten (siehe Seite 9 Lot errichten). Seite 10 von 11

11 5) Winkelhalbierende: Eine Winkelhalbierende ist die Symmetrieachse eines Winkels. Um diese zu konstruieren, zeichnet man zuerst eine Kreislinie mit beliebigen Radius und mit Mittelpunkt S. Die beiden Punkte an denen die Kreislinie die beiden Schenkel des Winkels schneidet, sind P und P'. Anschließend errichtet man die Symmetrieachse g zu P und P' (siehe Seite 3), welche durch S verläuft. g ist die Winkelhalbierende. Seite 11 von 11

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