Zahlenformate. SigProc-4-Zahlenformate 1

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1 Zahlenformate SigProc-4-Zahlenformate 1

2 Einfluss der Zahlendarstellung Auf Genauigkeit und Implementierungs- Aufwand (HW-Kosten) Einfache Formate einfach in HW zu implementieren aber begrenzter Zahlenbereich und komplizierte Arithmetik Aufwendige Formate großer HW- Aufwand, aber großer Zahlenbereich und immuner in der Arithmetik SigProc-4-Zahlenformate 2

3 X = ( b,, b, b, b,, b ) B A B r i = br, 0 b ( r 1) i= A i i b i r A B Ziffer Zahlenbasis, Radix Zahl der ganzzahligen Stellen Zahl der Kommastellen ( ) = SigProc-4-Zahlenformate 3

4 Binäre Festkommaformate Dezimalpunkt Binärpunkt (3.3125) B = = Durch den Binärpunkt ist der Zahlenbereich festgelegt. SigProc-4-Zahlenformate 4

5 Für ist der Wertebereich B b b 1 2 (größtezahl) und 2 (kleinste Zahl) b und D D SigProc-4-Zahlenformate 5

6 Negative Zahlen Ein Bit wird für das Vorzeichen spendiert Sign-Magnitude Two s Compliment Offset Binary One s Compliment X = 1. bb b für X 1 SM 2C 1 2 1C X = 1. bb b für X 1 X = 1. bb b für X 1 B B B SigProc-4-Zahlenformate 6

7 Decimal Sign-magnitude 2 s complement Offset binary 1 s compliment SigProc-4-Zahlenformate 7

8 Sign-magnitude Einfache Erzeugung negativer Zahlen, schlecht geeignet zum Rechnen, nur in speziellen HW-Implementierungen verwendet, zwei Nullen. In DSPs wird meistens 2 s compliment verwendet. SigProc-4-Zahlenformate 8

9 Offset-binary Findet Verwendung bei A/D-Wandlern. Umwandlung in 2 s compliment durch Inversion des MSB SigProc-4-Zahlenformate 9

10 2 s compliment Negative Zahlen durch Inversion der positiven Zahl und addieren von 1 3 D = = -3 D Addition und Subtraktion können mit derselben HW ausgeführt werden SigProc-4-Zahlenformate 10

11 Unterschiedliche Wortlänge: Aufpassen beim Überlauf! aber Ungleiche Wortlänge SigProc-4-Zahlenformate 11

12 Lösung: Sign-extended operation weggelassen, von Hardware unterstützt SigProc-4-Zahlenformate 12

13 Auswirkungen der endlichen Wortlänge Werte nur mit endlicher Genauigkeit dargestellt Erhöhung des Grundrauschen der Signale Erzeugt nichtideale Antworten der digitalen Filter Führt zu zusätzlichem Rauschen bei der A/D- Wandlung Kann zu ungenauen arithmetische Ergebnissen führen Die Probleme werden bei kleiner Wortlänge größer. SigProc-4-Zahlenformate 13

14 A/D-Wandler Quantisierungsfehler Beispiel: 8-bit Wandler Signalbereich von 1 bis + 1 Volt 2U p 2 Volt LSB = = = mv b Quantisierungsfehler SigProc-4-Zahlenformate 14

15 Sign-magnitude Format Quantisierungsfehler LSB ± =± mv 2 SigProc-4-Zahlenformate 15

16 Quantisierungsfehler im Frequenzbereich Rauschen SigProc-4-Zahlenformate 16

17 Quantifizierung des Rauschens Signal-to-noise ratio SNR = Signalpower Noisepower SigProc-4-Zahlenformate 17

18 Ein wenig Statistik x 2 σ 2 σ N 1 x[1] + x[2] + + xn [ ] = xn [ ] = N N n= 1 N 1 = N 1 n= 1 n= 1 N 1 = N { xn [ ] xn [ ]} { xn [ ] xn [ ]} 2 2 Varianz für große N Mittelwert SigProc-4-Zahlenformate 18

19 σ 2 ist Amplitude zum Quadrat, also Leistung der Abweichung vom Mittelwert. Für ein Zufallssignal x[n] ist σ 2 die Leistung des fluktuierenden Anteils des Signals. Bei Wechselgrößen ist der Effektivwert eines Signal identisch mit der Standardabweichung: N 1 σ = xeff = xn [ ] N n= 1 2 SigProc-4-Zahlenformate 19

20 Quantisierungsrauschen ist ein Zufallssignal und wir können daher die Rauschleistung durch die Varianz ausdrücken: Signalpower SNR = = Noisepower 2 σ Signal = 10log 2 σ A/D-Rauschen SigProc-4-Zahlenformate 20

21 Die Quantisierungsfehler liegen zwischen q/2 und q/2 und treten mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des A/D-Fehlers Bei gleichwahrscheinlichen Signalamplituden ist die mittlere Leistung des Fehlersignals (Rauschen) σ σ 2 1 q 2U = e p( e) de = e de = ; q = b q 12 2 q/2 q/ A/D-Rauschen q/2 q/2 ( 2U ) p ( b ) 2 2 U = = p A/D-Rauschen 2 2b SigProc-4-Zahlenformate 21 p

22 Zur Berechnung der SNR haben wir jetzt die Rauschleistung, es fehlt aber noch die Signalleistung. Über das Signal wissen wir nicht viel, wir können aber den Effektivwert ermittlen. Für die weitere Beschreibung führen wir den Lastfaktor LF ein: LF = Effektivwert Spitzenwert Es ist auch der Crest factor CF = 1/LF gebräuchlich. Aussteuerung des A/D-Wandlers Signalleistung SigProc-4-Zahlenformate 22

23 2 LF = 1 LF = = LF = = 0.71 LF = = SigProc-4-Zahlenformate 23

24 Ein Sinussignal hat einen LF von 1/ 2 = 0,71 (-3 db unter U p ). Eine regulär laufende Maschine hat ein LF von 0,66. Bei Auftreten von Störungen (z.b. Lagerabnützungen) treten Signalspitzen (mit geringer Energie) auf, die den LF verkleinern. SigProc-4-Zahlenformate 24

25 Effektivwert σ LF = = = LF U Spitzenwert U SNR Signal 2 ( ) 2 2 σ Signal p p ( ) 2 2 LF U p = 10log 10log b = U /3 2 p ( ) 2 ( 2b LF ) SNR = b + 20log LF SigProc-4-Zahlenformate 25

26 Eingangssignal = Sinus SNRA/ D= b + 20log LF SigProc-4-Zahlenformate 26

27 Der LF ist nie größer als 3 db (Vollaussteuerung des A/D-Wandlers mit Sinusschwingung) und wir erhalten für maximale Sinusausteuerung max ( ) SNR = b + 20log 1/ 2 A/D = b SigProc-4-Zahlenformate 27

28 Zusammenfassung A/D (1) Ein ideal A/D-gewandeltes Signal kann kein besseres S/N-Verhältnis als SNRAD / = b + 20log LF haben. Ein 8-bit A/D-Wandler hat im besten Fall ein SNR von 49.9 db. Ein kontinuierliches Signal mit besserem SNR wird auf die 49.9 db verschlechtert oder es muss ein A/D-Wandler mit höherer Auflösung eingesetzt werden. SigProc-4-Zahlenformate 28

29 Zusammenfassung A/D (2) Reale A/D-Wandler reduzieren das ideale SNR um 3 6 db. Es ist unvorsichtig einen A/D-Wandler voll auszusteuern, da sonst die Gefahr der Übersteuerung besteht. Es muss der Effektivwert gesucht werden, der den A/D-Wandler nicht (selten) übersteuert! Aber der Signalverlauf ist statistisch! Es ist unzweckmäßig einen A/D-Wandler einzusetzen, der ein deutlich besseres SNR hat als das kontinuierliche Signal. SigProc-4-Zahlenformate 29

30 Zusammenfassung A/D (3) Es wurde angenommen, dass die Quantisierungsfehler einem stationären (nicht zeitabhängigem) Zufallsprozess entsprechen. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist gleichverteilt, was nur bei hochwertigen A/D- Wandlern erreicht werden kann (keine Codeaussetzer beim Wandler). Die Quantisierungsfehler sind nicht mit dem Eingangssignal korreliert, was in der Praxis bei Signalen mit reichem Spektralinhalt gegeben ist (Sprache, Musik, Messwerte). SigProc-4-Zahlenformate 30

31 OVERFLOW SigProc-4-Zahlenformate 31

32 Overflow (ohne Vorzeichen) Übertrag Overflow error Für die Summe von b+ log 2 m ( ) Stellen benötigt. mb-bit Zahlen werden SigProc-4-Zahlenformate 32

33 Overflow bei 2er Complement Unter bestimmten Bedingungen erzeugt ein Overflow beim Addieren von zwei Zahlen keinen Fehler. Beim Addieren mehrere Zahlen entstehende Überläufe in der Zwischensumme, erzeugen aber keinen Fehler in der Endsumme, wenn die Summe kleiner als 2 b-1 ist. SigProc-4-Zahlenformate 33

34 4-bit 2 s SigProc-4-Zahlenformate compliment 34

35 Overflow (2er Komplement) Übertrag Kein Overflow Mit Overflow, aber gültiges positives Ergebnis SigProc-4-Zahlenformate 35

36 Overflow (2er Kompliment) Mit Overflow, ungültiges positives Ergebnis Ohne Overflow, ungültiges negatives Ergebnis SigProc-4-Zahlenformate 36

37 Wenn das Übertragsbit in das Vorzeichenbit dem Vorzeichenbit entspricht, kann das Überlaufbit ignoriert werden und das Ergebnis ist gültig. Wenn das Übertragsbit in das Vorzeichenbit unterschiedlich vom Vorzeichenbit ist, ist das Ergebnis ist ungültig. SigProc-4-Zahlenformate 37

38 = Übertrag Mit Overflow, aber gültiges positives Ergebnis SigProc-4-Zahlenformate 38

39 0 0 0 Übertrag Mit Overflow, ungültiges positives Ergebnis Übertrag Ohne Overflow, ungültiges negatives Ergebnis SigProc-4-Zahlenformate 39

40 Zwei Additionen Übertrag Übertrag Overflow Fehler beim Zwischenergebnis Der Betrag der Summe der 4-bit Zahlen ( = 6) und ist kleiner als = 8. Gültiges positives Ergebnis Eine Folge von b-bit Additionen liefert auch bei Zwischenfehlern ein richtiges Gesamtergebnis, wenn der Betrag des Ergebnisses kleiner als 2 b-1 ist. SigProc-4-Zahlenformate 40

41 Eine Folge von b-bit Additionen liefert auch bei Zwischenfehlern ein richtiges Gesamtergebnis, wenn der Betrag des Ergebnisses kleiner als 2 b-1 ist Overflow Fehler beim Zwischenergebnis Ungültiges negatives Ergebnis Der Betrag der Summe der 4-bit Zahlen ( = 8) und ist nicht kleiner als = 8. SigProc-4-Zahlenformate 41

42 Behandlung des Overflows SigProc-4-Zahlenformate 42

43 Durch Abschneiden Beim Abschneiden wird der Datenwert auf einen Wert gesetzt der dem Datenwert ist, z.b x σ Trunc 2 Trunc q = 2 2 q = 12 SigProc-4-Zahlenformate 43

44 Rundungsfehler bei der Division durch 2 T durch Verschieben 31/16: = 1 31/16 = richtiger Quotient tunc. Quotient Fehler [%] = 100 richtiger Quotient = = 48% SigProc-4-Zahlenformate 44

45 max T 1 2 [%] = 100 N + Err trunc T ( 1 2 ) Maximaler Fehler Der größte Fehler tritt auf, wenn alle abgeschnittenen Bits gleich 1 sind b T Der Fehler ist Null wenn alle abgeschnittenen Bits Null sind. /2 /4 /256 Wortlänge SigProc-4-Zahlenformate 45

46 Rundung 0.5 x < x < Trunc 2 Trunc = 0 2 q = 12 SigProc-4-Zahlenformate 46 x σ

47 Festkomma Zahlenauflösung Gleichbleibende Auflösung = X X 2 1 max b min Intervall steigt mit dem Wertebereich SigProc-4-Zahlenformate 47

48 Qm.n-Formate SigProc-4-Zahlenformate 48

49 16-bit Dynamikbereich Genauigkeit SigProc-4-Zahlenformate 49

50 16-bit Skalierung Dynamikbereich SigProc-4-Zahlenformate 50

51 Die meisten DSPs unterstützen Bruchzahlen im Qm.n-Format. Assembler kennt nur Ganzzahlen, der Programmierer muss entsprechende Normierung vornehmen: 1. Normalisieren in den Bereich des gewünschten Q-Formats 2. Multiplizieren mit 2 n, n ist die Zahl der Nachkomma-Bits 3. Runden auf die nächste Ganzzahl z.b.: 1.18 im Q.15-Format 1. Normalisieren, damit die Zahl im Bereich -1 bis + 1 liegt 1.18/2 = Multiplizieren mit x = Runden auf B85 h SigProc-4-Zahlenformate 51

52 Fixed floating point DSPs SigProc-4-Zahlenformate 52

53 Anwendungen SigProc-4-Zahlenformate 53

54 Floating Point Binärformate x = m 2 e Exponent Mantisse 32-bit floating point Formate verwenden typisch 24 bit für die Mantisse 8 bit für den Exponenten (! In der Mathematik ist Mantisse die Bezeichnung für die Nachkommastellen!) SigProc-4-Zahlenformate 54

55 Auflösung sinkt bei größeren Zahlen: Abstand zwischen benachbarten FP-Zahlen wird größer wenn die Zahlen größer werden. Festkomma Gleichmäßige Auflösung über den gesamten Zahlenbereich Kleiner Dynamikbereich Gleitkomma Feinere Auflösung für kleine Zahlen, gröbere Auflösung für große Zahlen. Größerer Dynamikberich SigProc-4-Zahlenformate 55

56 Festkomma x G Beispiel 32 bit : Gleitkomma (Vorzeichen) 23 Mantisse (Vorzeichen) 7 Exponent: = = (1 2 ) Dynamikbereich ca. 10, unterschiedliche Au l f ösung SigProc-4-Zahlenformate 56

57 Um die Null darzustellen muss nur die Mantisse Null sein, der Exponent kann beliebig sein. Die Wahl von Mantisse und Exponent, die Darstellung der Null und die Behandlung des Overflows führen zu unterschiedlichen Gleitkommadarstellungen, z.b. IEEE 754 Format SigProc-4-Zahlenformate 57

58 Formate Single 32 (23 +8) Double 64 (52 +11) Single extended >42 (>30 + >10) Double extended >78 (>62 + >14) SigProc-4-Zahlenformate 58

59 IEEE 32-bit floating-point format S E M Exponent 8-bit length, coded in biased (non-negative) form as E Mantissa 23-bit length, 0 M < 1 Conventions: X = S E 127 ( 1) 2 ( M ) 0 1. If E = 255 (max.) and M 0, than X is not a number (NaN) ; - 0 s If E = 255 (max.) and M=0, than X = ( 1) ; 0 0 s E If 0 < E < 255, than X = ( 1) 2 ( 1. M ) normalized s If E = 0 and M 0, than X = ( 1) 2 (. M) s 5. If E = 0 and M = 0, than X = ( 1) r 1 1 r number of bits of E denormalized (fixed point) where 1.M is a number with one integer bit and 23 fractional bits and 0. M is a fraction. SigProc-4-Zahlenformate 59

60 Beispiel : S X E = M = 13 = The range of 32-bit floating point numbers in this format is from ( ) 2 2 = 2 = to = Zehn Hoch (Powers of Ten): Quark (10 ) Grenze des Alls (10 ) SigProc-4-Zahlenformate 60

61 S EEEEEEEE MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM E = 255 M = NaN = NaN E = 255 M = O = = - E = 0 M = O = = - 0 SigProc-4-Zahlenformate 61

62 Exponent biased by = 127 Exponenten von 126 bis +127 darstellbar. (0 und 255 reserviert) Grund leichtere Vergleichbarkeit von Zahlen in diesem Format ( 1) S E < E < V = 2 (1. M) = +1 2 ( ) 1.0 = = +1 2 ( ) = = -1 2 ( ) = = +1 2 (1-127) 1.0 = = +1 2 (-126) 0.1 = = -1 2 (-126) = E = M V = M S , 0 ( 1) 2 (0. ) Kleinste neg. Zahl SigProc-4-Zahlenformate 62

63 SigProc-4-Zahlenformate 63

64 IEEE 754 not only a format Rounding algorithms Arithmetic operations (add, subtract, multiply, divide, square root, fusedmultiply-add, remainder, etc.) Conversions (between formats, to and from strings, etc.) Exception handling Invalid ( -1), /0, over/under-flow (ANSI/IEEE Std ) 64