Stereostatik Statik starrer Körper Grundlagen der Vektorrechnung

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1 S Stereostatik Statik starrer Körper Grundlagen der Vektorrechnung Definition des Vektors und Koordinatendarstellung Ein Vektor beschreibt unabhängig vom Koordinatensstem eine gerichtete Strecke im Raum. Wird ein Koordinatensstem K aus Basisvektoren e, e, e definiert, so lässt sich der Vektor als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen. Die aktoren a, a, a werden dabei als Koordinaten beeichnet und können u einer Spaltenmatri a K = [a a a ] T usammengefasst werden. Ausführliche Schreibweise T a e = a e +a e +a e = a e = a e Grundoperationen a a a Kurformen K = a a a K e e a e a a Kurform wenn nur in einem Koordinatensstem gerechnet wird a = a a Operation Vektorschreibweise Koordinatenschreibweise Betrag a = a = a +a +a c a +b Vektoraddition c =+ b c = a +b Multiplikation mit Skalar c = λ c a +b c λa c = λa c λa Skalarprodukt T c = b = a b cosα b mit α = (, c = a b = a b +a b +a b b) a b Vektorprodukt c = b = b mit c, c b, ( b) c > 0 c = b sinα, α = (, b) c a b a b c = b a a b c a b a b Erweiterte Vektoroperationen und Identitäten Projektion: Spatprodukt: Graßmann-Identität: ba = b b = ( b ) c = ( b c ) = ( c ) b ( b c) = ( c) b ( b) c α b ba [ = ] b ( c ) c ( b ) Lagrange-Identität: ( b) ( c d) = ( c)( b d) ( b c)( d)

2 S Koordinatentransformation Vektor ist eine phsikalische Größe und daher unabhängig vom Koordinatensstem. Er kann jedoch als Linearkombination der Basisvektoren des Sstems K{ e, e, e } oder K { e, e, e } dargestellt werden: e e = a T K e = a T K e e e Ebenso lassen sich die Basisvektoren im jeweils anderen Koordinatensstem darstellen: e e T K e e = e T K e e e T K e e e T K e e = e T K e e e T K e Damit lässt sich der Zusammenhang wischen den Koordinaten a K und a K des Vektors herleiten: a K = [ ] e K e K e }{{ K a } K a K = [ ] e K e K e K a K }{{} T K T K K K e e e e e e wobei T K bw. K TK als Transformationsmatrien beeichnet werden. e K K, e K, e K sind die Koordinaten der Basisvektoren e, e, e dargestellt im Koordinatensstem K. Sind K und K kartesische Koordinatenssteme, so sind die Transformationsmatrien orthonormal und es gilt: ( ) T T T = T T T = I und damit folgt T K = T K K K Sstem gebundener Vektoren Resultierendes Moment bgl. eines beliebigen Beugspunktes P: Die Addition linienflüchtiger Vektoren führt auf einen Vektorwinder: M (P) = r PO + M (O) (, M (O) ) : = i i, M (O) = i r i i Dabei ist der resultierende Vektor des Vektorsstems, und M (O) dessen resultierendes Moment bgl. des Beugspunktes O. Ein Vektorwinder dessen Moment MR und Vektor denselben Richtungssinn aufweisen wird Vektorschraube genannt: (O) M M R = r Q = M (O) und der Schraubachse: r(λ) = r Q +λ, Schraubachse Q r M (O) MR Q r O r Q Q gebundenes Vektorsstem Vektorwinder Vektorschraube

3 S Schwerpunkt Linienschwerpunkt r SL = rdl, in Koordinaten: SL, SL, SL L L r dl S L L lächenschwerpunkt O r SA = A A Volumenschwerpunkt rda, in Koordinaten: SA, SA, SA O r S A da A r SV = V V rdv, in Koordinaten: SV, SV, SV Schwerpunkt usammengesetter Körper O r dv S V V Koordinaten des lächenschwerpunkts, wenn eine läche aus mehreren Teilflächen usammengesett ist (Analoges gilt für Körper- und Linienschwerpunkt): SA = Si A i Ai, SA = Si A i Ai, SA = Si A i Ai Schwerpunkt bei Rotationskörpern, Guldinsche Regeln Regel um lächenschwerpunkt: SA = V πa mit dem Volumen V des entstandenen Rotationskörpers bei Rotation um die -Achse Regel um Linienschwerpunkt: SL = O πu mit der Oberfläche O des entstandenen Rotationskörpers bei Rotation um die -Achse S Umfang U Rotationsfläche A

4 S 4 Gleichgewicht am ruhenden Körper, reischneiden Skie Prinipielle Vorgehensweise:. reischneiden aller Körper, actio=reactio m. Äußere Kräfte und Momente an jedem Körper eineichnen. Koordinatensstem(e) einführen 4. Gleichgewichtsbedingungen für jeden Körper aufstellen i = 0 und Mi = 0 reischnittbild W 5. Auflösen des Gleichungssstems Bemerkungen S gelenkig gelagerte, masselose, querkraftfreie Stange: Kraft nur in Stangenrichtung S mg Seil: ausschließlich Zugkraft in Seilrichtung Greifen an einem ruhenden Körper genau drei Kräfte an, die nicht parallel sind, so schneiden sich deren Wirkungslinien in einem Punkt und die drei Kräfte liegen in einer Ebene. N mehr Unbekannte als Gleichgewichtsbedingungen Problem ist statisch unbestimmt Elastostatik, Verformungsverhalten muss berücksichtigt werden Statische Bestimmtheit Notwendige Bedingung für ebenes und räumliches Problem { } n = n Anahl der Körper bw. Teilssteme r 6 i r i Wertigkeit des Lagers i i Die Wertigkeit eines Lagers gibt die Anahl der vom Lager eingeschränkten reiheitsgrade an. Hinreichende Bedingung a A +a A = b A i unbekannte Lagerreaktionen a A +a A = b i eingeprägte Kräfte [ ] a a det 0 a a statisch bestimmt Mechanisches Sstem heißt statisch bestimmt gelagert, wenn die Lagerreaktionen eindeutig aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden können.

5 S 5 Berechnung von ebenen achwerken Statische Bestimmtheit äußerlich statisch bestimmt, wenn sich alle Lagerreaktionen aus GGB bestimmen lassen innerlich statisch bestimmt, wenn sich alle Stabkräfte aus GGB bestimmen lassen notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit (für ebenes und räumliches Problem) { } K = S + i r i S Anahl der Stäbe K Anahl der Knoten r i Wertigkeit des Lagers i Knotenpunktverfahren Lagerreaktionen mit GGB vorweg bestimmen Knoten freischneiden und Stabkräfte als Zugkräfte eineichnen Je Knoten GGB anschreiben + LGS lösen Nullstäbe. unbelasteter Knoten mit Stäben, Stäbe nicht in gleiche Richtung. belasteter Knoten mit Stäben, ein Stab in Richtung der äußeren Kraft. unbelasteter Knoten, Stäbe, in gleiche Richtung Ritterschnittverfahren achwerk in Teile schneiden, so dass höchstens Stäbe mit unbekannten Stabkräften geschnitten werden Gleichgewicht des abgeschnittenen achwerks auswerten

6 S 6 Coulomb sche Reibungsgesete, Seilreibung Haftreibung Ein Körper haftet, so lange folgende Haftbedingung erfüllt ist H µ 0 N H Haftkraft aus GGB (Reaktionskraft!) µ 0 Haftreibungskoeffiient N Normalkraft N > 0 Gleitreibung Sobald der Körper rutscht, tritt Gleitreibung auf und es wirkt die eingeprägte Gleitreibungskraft R. Dabei gilt folgendes Reibungsgeset (D) R = µnsgn(v rel ) R Gleitreibungskraft (eingeprägte Kraft!) µ Gleitreibungskoeffiient N { Normalkraft N > 0 für a 0 sgn(a) = für a < 0 i.a. gilt µ 0 > µ Die Gleitreibungskraft R ist vom Betrag µn und stets der Relativbewegung entgegengerichtet! Erweiterung des prinipiellen Vorgehens:. reischneiden aller Körper, actio=reactio. Äußere Kräfte und Momente an jedem Körper eineichnen (Haftreibung als Reaktionskraft, Gleitreibung als eingeprägte Kraft). Koordinatensstem(e) einführen 4. Gleichgewichtsbedingungen für jeden Körper aufstellen i = 0 und Mi = 0 5. Auflösen des Gleichungssstems 6. Prüfen ob Haftbedingung erfüllt ist (Ungleichung auswerten) Seilhaftung, Seilreibung Die Haftbedingung eines Seils auf einer Riemenscheibe wird durch die Euler-Etelwein-ormel beschrieben µ 0 S S 0 e ϕµ 0 ϕ Es gilt: S > S 0 ϕ als Bogenmaß S S 0

7 S 7 Balkenstatik Bisher wurden die Schnittkräfte und -momente nur an Lagern und Stäben bestimmt. Nun werden die Schnittreaktionen im Innern von Körpern betrachtet. Innere Kräfte und Momente kenneichnen die Materialbeanspruchung im Bauteil und finden Ihre Anwendung in der estigkeitslehre (.B. Dimensionierungsaufgaben). Als Anwendungsbeispiel wird im olgenden der gerade, ebene, statisch bestimmt gelagerte Balken betrachtet. Balken unter allgemeiner Belastung Belastungen: Einelkräfte [N], Einelmomente M [Nm], Streckenlasten q [N/m] I. Bestimmung der Lagerreaktionen über GGB am gesamten Balken (s. Blatt S 4). Streckenlasten werden durch resultierende Ersatkräfte berücksichtigt, die in den Schwerpunkten der jeweiligen Lastflächen angreifen. II. Bestimmung der inneren Kräfte und Momente Erste Möglichkeit: Stückweise Berechnung durch reischneiden Balken an der Stelle freischneiden Koordinatensstem einführen Schnittkräfte und -momente eineichnen. Voreichenkonvention: positiv, wenn am positiven Schnittufer in positiver Koordinatenrichtung q() M 0 Schnitt an Stelle q() neg. Schnittufer Q M M M 0 N N Q pos. Schnittufer ür den betrachteten stetigen Bereich den Verlauf der Normalkraft N(), Querkraft Q() und des Biegemoments M() berechnen und eichnen. q Q M 0 konstant linear konstant linear quadratisch linear quadratisch kubisch dq() d dm() d = q() = Q() Zweite Möglichkeit: Unstetigkeitsbeschreibung mittels öppl-smbol { Definition des öppl-smbols: a n 0 für < a = ( a) n für > a II. Streckenlasten mit öppl-smbolen darstellen: quer um Balken: q() entlang des Balkens: n() II. Kraftverläufe: Q() = q()d i i 0 i N() = n()d i i 0 i II. Momentenverlauf: M() = Q()d j j 0 M j f()d beeichnet die Stammfunktion vonf(). Die Integrationskonstanten werden in der Balkenstatik durch die Einelkräfte und -momente erfasst.

8 S 8 Seilstatik Dieses Kapitel wird im Laufe des Semesters erstellt. Anhang Standardwinkel 0 π π π π π π 5 π π 7 π 5 π 4 π π 5 π 7 π π π sin 0 cos tan 0 cot ± 0 ± 0 0 ± 0 0 ± ±