5.1 Charakterisierung relativ kompakter und kompakter

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1 Kpitel 5 Kompkte Mengen 5.1 Chrkterisierung reltiv kompkter und kompkter Mengen X sei im weiteren ein Bnchrum. Definition 5.1. Eine Menge K X heißt kompkt, wenn us jeder offenen Überdeckung von K eine endliche Überdeckung usgewählt werden knn. Definition 5.2. Eine Menge K X heißt reltiv kompkt (oder präkompkt), wenn jede Folge {x n } K eine in X konvergente Teilfolge besitzt. Beispiel 5.3. X = R, K = (0, 1) ist reltiv kompkt in R (Stz von Bolzno-Weierstrß), K ist nicht kompkt, weil K = (0, 1 1 n ) n=2 erlubt keine Auswhl einer endlichen Überdeckung. Bemerkung: Mn knn uch Kompktheit über den Folgenzugng us Definition 5.2 definieren. Dnn ist K kompkt, wenn K reltiv kompkt ist und die uftretenden Grenzelemente ller konvergenten Teilfolgen selbst zu K gehören, d.h. die Menge K ist kompkt, wenn sie reltiv kompkt und bgeschlossen ist. Definition 5.4. Eine Menge N X heißt ε-netz für K X, wenn x K x ε N : x x ε < ε. Beispiel 5.5. X = K = R 2 mit = 2, N = Z 2 (Pre gnzer Zhlen) ist wenigstens ein 1-Netz. Stz 5.6 (Stz von Husdorff). Eine Teilmenge K eines Bnchrums X ist genu dnn reltiv kompkt, wenn es für jedes ε > 0 ein endliches ε-netz zu K gibt. Folgerung 5.7. Jede reltiv kompkte Menge ist beschränkt. 71

2 Beweis. K sei reltiv kompkt, wählen ε > 0. N sei endliches ε-netz für K. = x M x N = y M + ε y K Beweis. vom Stz von Husdorff = Sei K reltiv kompkt und ε > 0 vorgegeben. Desweiteren sei x 1 K beliebig. Wenn x x 1 < ε x K = N = {x 1 } fertig. Ansonsten x 2 K mit x 1 x 2 ε. Entweder N = {x 1, x 2 } ist endliches ε-netz oder x 3 K mit x 1 x 3 ε und x 2 x 3 ε usw. Fll 1) Nch endlich vielen Schritten ist {x 1, x 2,..., x n } ein ε-netz. Fll 2) Prozeß bricht nicht b = Folge {x n } n=1, x n K mit x i x j ε i j. Solche Folgen können keine konvergenten Teilfolgen hben = Widerspruch zur reltiven Kompktheit von K. = Zu jedem ε > 0 existiere ein endliches ε-netz N ε für K. Wählen Nullfolge ε n mit ε n > 0, und N εn = {z (n) 1,..., z (n) k n } Es sei {x n } n=1 K eine beliebige Folge und M = {x n, n N} die Menge voneinnder verschiedener x n. Ist M endlich, so muss {x n } eine konvergente Teilfolge enthlten (trivil). Ist M unendlich, so überdeckt wegen k 1 M B ε1 (z (1) i ). mindestens eine dieser B ε1 (z (1) i )-Kugeln unendlich viele Elemente von M. Diese Elemente bilden die Menge T 1. Wegen k 2 T 1 B ε2 (z (2) i ). überdeckt mindestens eine dieser Kugeln unendlich viele Elemente von T 1. Diese Elemente bilden die Menge T 2. Führt mn dies fort, so erhält mn die Mengen T n mit M T 1 T Wir wählen x n1 T 1 und finden x n2 x n1 mit x n2 T 2 und n 2 > n 1. Dzu findet mn ein x n3 T 3, n 3 > n 2 usw. Mn zeigt, dss {x nk } wegen ε n 0 eine Cuchyfolge ist. Die Vollständigkeit von X sichert die Existenz des Grenzwertes der Folge. Es gilt die folgende Verllgemeinerung: Stz 5.8. Eine Teilmenge K eines Bnchrums X ist genu dnn reltiv kompkt, wenn es für jedes ε > 0 ein reltiv kompktes ε-netz zu K gibt. 72

3 Beweis. = Sei K reltiv kompkt = ε > 0 endliches ε-netz. Dieses ist wie lle endlichen Mengen reltiv kompkt. = Für lle ε > 0 existiere ein reltiv kompktes ε-netz N ε für K. Zu gegebenem ε > 0 findet mn ein reltiv kompktes ε-netz N ε für K. Finden zu N ε ein endliches ε -Netz M ε. Offenbr ist M ε ein endliches ε-netz für K Stz 5.9 (Stz von Heine-Borel). Im endlichdimensionlen Rum R n ist K R n genu dnn reltiv kompkt, wenn K beschränkt ist und genu dnn kompkt, wenn K beschränkt und bgeschlossen ist. Beweis: findet mn in vielen Anlysislehrbüchern, z.b. Wendlnd/Steinbch, S. 70. Definition Ein linerer Unterrum L X eines lineren normierten Rumes X heißt echter linerer Unterrum, flls L X gilt. Lemm 5.11 (Lemm von Riesz über die Fstsenkrechte). Ist L ein echter linerer Unterrum eines lineren normierten Rumes X, dnn existiert zu jedem ε > 0 ein y X mit y = 1 und y x 1 ε x L. Beweis: siehe Ljusternik/Sobolev. Bemerkung. Im Hilbertrum gilt speziell: Ist L ein bgeschlossener linerer Unterrum, dnn hben wir die Äquivlenz y L y = 1 y x 1 x L y = 1. Stz Ein linerer Unterrum L eines Bnchrumes X ist genu dnn endlichdimensionl, wenn jede beschränkte Menge von L reltiv kompkt ist. Beweis. = L sei endlichdimensionl mit dim L = n. Dnn ist L isomorph zum Rum Rn. M L sei beschränkt, M L N R n, N beschränkt = N reltiv kompkt = M reltiv kompkt (vgl. späteres Lemm 5.17) = Jede beschränkte Menge von L sei reltiv kompkt. Sei x 1 L mit x 1 = 1. Flls L = spn{x 1 } gilt, dnn ist dim L = 1. Anderenflls ist spn{x 1 } ein echter Unterrum von L = x 2 L mit x 2 = 1 und x 2 x 1 1. Flls L = spn{x 2 1, x 2 } gilt, dnn ist dim L = 2. Dieser Prozess bricht entweder nch n Schritten b oder wir finden eine Folge {x n } n=1 L mit x n = 1 n und x i x j 1 (i j). Dmit ist die Menge der x n beschränkt und nch Vorussetzung reltiv kompkt. Dies ist ber ein 2 Widerspruch, d keine konvergente Teilfolge usgewählt werden knn. Stz Die bgeschlossene Einheitskugel in einem lineren normierten Rum X ist genu dnn kompkt, wenn die Dimension des Rumes X endlich ist. 73

4 5.2 Kompkte Mengen in C[, b] Definition Sei M eine Menge von Funktionen x : [, b] R. Die Funktionen us M heißen gleichgrdig stetig, wenn für lle Funktionen x M gilt: ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : x(t 1 ) x(t 2 ) < ε sobld t 1 t 2 < δ (δ hängt nicht b von x). Die Funktionen us M heißen gleichmäßig beschränkt, wenn eine Konstnte C > 0 existiert, sodss sup x(t) C für lle x M. t [,b] Beispiel Seien c > 0 und M := {x : x(t) := Dnn hben wir z(s) ds, z C[, b], z(s) c}. gleichmäßige Beschränktheit: x(t) z(s) ds c dt (b ) c x M, t [, b] gleichgrdige Stetigkeit (o.b.d.a. t 1 < t 2 ) 2 x(t 1 ) x(t 2 ) = z(s) ds (t 2 t 1 ) c unbhängig von x t 1 Stz 5.16 (Stz von Arzelá-Ascoli). Eine Menge K C[, b] ist genu dnn reltiv kompkt, wenn sie gleichmäßig beschränkt und gleichgrdig stetig ist. Beweis. = Es sei K reltiv kompkt, dnn folgt mit Folgerung 5.7 die gleichmäßige Beschränktheit. Gleichgrdige Stetigkeit: Zu gegebenem ε > 0 existiert ein endliches ε-netz 3 N ε = {x 1(t),..., x 3 k (t)} zu K. D lle x i gleichmäßig stetig sind, existiert ein δ(ε) mit x i (t 1 ) x i (t 2 ) < ε flls t 3 1 t 2 < δ(ε) (für lle i = 1, 2,..., k gleichzeitig, d es nur endlich viele Funktionen sind). Es sei nun x K gegeben und t 1 t 2 < δ(ε), dnn gilt für ds pssende i x(t 1 ) x(t 2 ) x(t 1 ) x i (t 1 ) + x }{{} i (t 1 ) x i (t 2 ) + x(t }{{} 2 ) x i (t 2 ) < ε }{{} < ε 3 < ε 3 < ε 3 = gleichgrdige Stetigkeit. = Es seien lle Funktionen in K C[, b] gleichmäßig beschränkt und gleichgrdig stetig. Sei ε > 0 vorgegeben und x(t 1 ) x(t 2 ) < ε flls t 1 t 2 < δ(ε) für lle x K. 74

5 Unterteilen [, b] in n Intervlle gleicher Länge = b so groß, dss < δ gilt. n Setzen t i := +i, i = 0, 1,..., n, und ordnen jedem x K eine stetige, stückweise linere Funktion x n = x n (x) zu: x n (t i ) = x(t i ), i = 0, 1,..., n, x n liner uf (t i 1, t i ), x n stetig. Mn überlegt sich (mcht etws Mühe), dss mx x(t) x n(t) < ε t [,b] gilt. Also ist N := {x n (x) : x K} ein ε-netz zu K. Wir zeigen, dss N reltiv kompkt ist und dmit wegen Stz 5.8 K reltiv kompkt ist. Dzu betrchten wir die Bijektion N C[, b] E R n+1, x n (x n (t 0 ),..., x n (t n )), welche sich ls stetig erweist. Die gleichmäßige Beschränktheit x n (t i ) c über lle x n N folgt us der gleichmäßigen Beschränktheit ller Funktionen us K. Dmit ist E eine beschränkte Menge des R n+1. Lemm Ist die linere oder nichtlinere Abbildung F : X Y zwischen den lineren normierten Räumen X und Y stetig und die Teilmenge K X reltiv kompkt, so ist uch die Bildmenge F (K) Y reltiv kompkt. Beweis. {y n } F (K), mit y n = F (x n ), x n K, K ist reltiv kompkt = Teilfolge {x nk } konvergiert, x nk x für k, F stetig = y nk = F (x nk ) F (x) = y. Nun ist N := F (E) ds stetige Bild von E R n+1. Jedoch ist E ls beschränkte Menge in R n+1 reltiv kompkt, lso ist uch uch N in C[, b] reltiv kompkt. Beispiel Für beliebige Konstnten c > 0 ist die Menge K = {x C[, b] : x(t) = z(s) ds, z(s) c, t, s b} reltiv kompkt in C[, b] nch dem Stz von Arzelá-Ascoli. 2. Ebenso ist für beliebige Konstnten c > 0 ist die Menge K = {x C[, b] : x(t) = k(t, s) z(s) ds, z(s) c, t, s b} reltiv kompkt in C[, b], wenn k eine uf [, b] [, b] stetige Kernfunktion ist, denn die Menge ist 75

6 gleichmäßig beschränkt: x(t) M z(s) ds M (b ) c }{{} = C mit M := mx k(t, s) (t,s) [,b] 2 und gleichgrdig stetig (o.b.d.a. t 1 < t 2 ): 1 2 x(t 1 ) x(t 2 ) = k(t 1, s) z(s) ds k(t 2, s) z(s) ds 1 1 k(t 1, s) z(s) ds k(t 2, s) z(s) ds k(t 2, s) z(s) ds k(t 2, s) z(s) ds c 1 k(t 1, s) k(t 2, s) ds + M 2 t 1 z(s) ds c (b ) mx k(τ 1, η 1 ) k(τ 2, η 2 ) +M c t 1 t 2. (τ 1,η 1 ) (τ 2,η 2 ) t 1 t 2 }{{} 0 für t 1 t Schwche Kompktheit (kurzer Überblick) Sei in diesem Abschnitt wieder X stets ein Bnchrum. Noch einml, ber nun im Bnchrum X, ds Problem: Unter welchen Bedingungen ht eine Menge M X normkleinste Elemente oder nders formuliert wnn existiert x? Im Hilbertrum htten wir ds für spezielle M bereits geklärt. min x M Definition Eine Teilmenge M eines Bnchrumes X heißt reltiv schwch kompkt 1, wenn in jeder Folge {x n } n=1 M eine schwch konvergente Teilfolge zu finden ist, d.h. es gilt {x nk } : x nk x, k. Anlog heißt M X reltiv schwch -kompkt 2, wenn jede Folge {f n } M eine schwch -konvergente Teilfolge enthält, d.h. es gilt {f nk } : f nk f, k. Stz 5.20 (Stz von Bnch-Aloglu). Ist X ein seprbler Bnchrum, so ist jede Kugel us X reltiv schwch -kompkt. 1 präzise Bezeichung (uch im weiteren Text): reltiv schwch folgenkompkt 2 präzise Bezeichung (uch im weiteren Text): reltiv schwch*-folgenkompkt 76

7 Folgerung Ist X seprbel, dnn ist jede beschränkte Menge von X reltiv schwch - kompkt. Folgerung Ist X seprbel und reflexiv, so ist jede beschränkte Menge reltiv schwch kompkt. Definition Eine Menge M X heißt schwch bgeschlossen, wenn die Impliktion {x n } M, x n x 0 = x 0 M gilt. Anlog heißt M X schwch -bgeschlossen, wenn die Impliktion {f n } M, f n f 0 = f 0 M gilt. Stz Eine konvexe und (strk) bgeschlossene Menge M X eines lineren Rumes X ist uch schwch bgeschlossen. Beweisskizze: M sei bgeschlossen und konvex, x n x 0, n, x n M. Dnn folgt die Aussge us dem Stz von Mzur: Es existiert eine Folge z n konvexer Linerkombintionen der x n, d.h. z n := k n c (n) i x i, k n c (n) i = 1, c i 0 i mit der Eigenschft, dss diese Folgen in der Norm gegen ein Element des lineren Rum konvergiert, d.h. z n x 0. Wegen der Konvexität von M gilt z n M und d M bgeschlossen ist uch x 0 M. Definition Ein Funktionl f : X R heißt schwch hlbstetig von unten, wenn x n x 0 = f(x 0 ) lim inf n f(x n). Stz Ein konvexes und (strk) stetiges Funktionl f : X R ist schwch hlbstetig von unten. Beispiel f(x) = x ist ein konvexes, stetiges Funktionl und dmit uch schwch hlbstetig von unten, d.h. x n x 0 = x 0 lim inf x n. n Bereits für Hilberträume gezeigt : Stz Sei X seprbel und reflexiv, M X nichtleer, bgeschlossen, konvex. Dnn besitzt M ein normkleinstes Element, d.h. x 0 M mit x 0 x x M. Beweis. Wegen x 0 existiert α := inf x und {x n} M mit x n, n. x M Wegen der Beschränktheit der Menge {x n } und mit Folgerung 5.22 gilt: {x nk } mit x nk x 0, k. M konvex und bgeschlossen = M ist schwch bgeschlossen = x 0 M. f(x) = x stetig und konvex = f ist schwch hlbstetig von unten und es gilt: α = lim x nk = lim inf x n k x 0. k k Andererseits gilt ufgrund der Definition von α: x 0 α = x 0 = α. 77

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