Kapitel 8 - Kompakte Räume

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1 Kapitel 8 - Kompakte Räume Ein Vortrag von Philipp Dittrich nach B.v.Querenburg: Mengentheoretische Topologie Inhalt 8.1 Definition Kompaktheit Beispiel - das Intervall (0,1) Satz - Abgeschlossene Teilmengen quasikompakter Räume Satz - Kompakte Teilmengen v. Hausdorff-Räumen Satz - Kompaktheit und stetige Abbildungen Satz von Heine-Borel

2 Kompakte Räume 8.1 Definition Ein topologischer Raum X heißt quasikompakt, wenn jede offene Überdeckung (U i ) i I von X eine endliche Überdeckung (U i ) i I I enthält. Ein topologischer Raum heißt kompakt, wenn er quasikompakt und Hausdorffsch ist. Eine Teilmenge A X heißt quasikompakt bzw. kompakt, wenn der entsprechende Unterraum A diese Eigenschaft hat. Beispiel Wie kann man sich nun vorstellen, was es bedeutet, ein (Teil)Raum ist kompakt, und wie überprüft man dies konkret? Betrachten wir dazu ein nicht kompaktes Beispiel: Behauptung Das Intervall (0, 1) ist in R mit der natürlichen Topologie nicht kompakt. Man betrachte die Überdeckung (( 1 n, 1)) n N. Offensichtlich ist n N( 1, 1) = (0, 1), und genauso offensichtlich gibt es kein n N N so dass N ( 1 n, 1) (0, 1). Mit anderen Worten, (( 1 n, 1)) n N enthält n=1 keine endliche Teilüberdeckung, und damit ist (0, 1) per Def. nicht kompakt. 8.2 Satz Jede abgeschlossene Teilmenge A eines quasikompakten Raumes X ist quasikompakt. Man bedenke: (U i ) i I ist eine offene Überdeckung von A genau dann, wenn es eine Familie (V i ) i I offener Mengen von X mit U i = V i A und A i I V i gibt. Ausserdem: Ist (V i ) i I ein System offener Mengen und A X abgeschlossen, so gilt A i I V i genau dann, wenn (V i ) i I zusammen mit X \ A eine offene Überdeckung von X ist. X kann nur dann quasikompakt sein, wenn die Quasikompaktheitsbedingung 8.1 sowohl für i I(V i ) als auch für X \ A gilt. Auf diese Weise "vererbt" sich die Quasikompaktheit von den V i (X \ A) auf die 2

3 U i und damit von X auf A. Eine quasikompakte Teilmenge eines quasikompakten Raumes braucht allerdings nicht notwendigerweise abgeschlossen zu sein. Dies gilt nur unter bestimmten Umständen: 8.3 Satz Eine kompakte Teilmenge K eines Hausdorff-Raumes X ist abgeschlossen. Da X Hausdorffsch ist, gibt es zu x X \ K und y K eine offene Umgebung U(x, y) von y und dazu eine offene Umgebung V x,y von x mit (Hausdorff- Eigenschaft!) U(x, y) V x,y =. Die Familie (U(x, y)) y K bildet dann eine offene Überdeckung von K. Da K kompakt ist, existiert eine endliche Teilmenge K K, so dass K U := U(x, y). Ferner ist V x := V x,y eine y K y K offene Umgebung von x. Es gilt V x U =, denn: angenommen es gibt ein z in einem U x0, so dass z U x0 U. Einsetzen der Definitionen liefert folgende zwei Bedingungen: z V x0,y y K und y 0 : z U(x 0, y 0 ). Daraus folgt aber z U(x 0, y 0 ) V x0,y 0 und das ist ein Widerspruch zur Wahl der U(x, y) und V x,y, siehe oben. Da V x offen ist (endlicher Schnitt offener Mengen), ist V := V x offen. Es ist aber gerade V = X \ K, denn: " ": klar, die Vereinigung der offenen Umgebungen aller Punkte einer Menge ist Obermenge dieser Menge. " ": Es ist V x U = (V x U) = ( V x ) U = Weiter: K U V x K = V x X \ K Da V = K C = X \ K offen ist, ist K also abgeschlossen. Bemerkung (Beh.) Die Hausdorff-Eigenschaft von X ist hier wirklich für den Satz und nicht nur für diesen notwendig. Dazu betrachte man einen topologischen Raum X versehen mit der indiskreten Topologie. Da hier nur X selbst sowie als offene Mengen definiert sind, sind diese beiden auch die einzigen abgeschlossenen Mengen. Für ein A X ist nun A immer quasikompakt, da X und ja alle möglichen offenen Überdeckungen von A sind, und somit sich selbst als endliche "Teil"- Überdeckung enthalten. Andererseits sind nicht alle A X abgeschlossen, genau sogar nur solche A, die selbst entweder X oder sind (s.o.). 3

4 8.4 Satz Sei X quasikompakt und f : X Y stetig, dann ist f(x) auch quasikompakt. Sei (U i ) i I eine offene Überdeckung von f(x). Dann ist (f 1 (U i )) i I eine offene Überdeckung von X. Diese enthält wegen der Quasikompaktheit eine endliche Überdeckung (f 1 (U i )) i L, L I. (U i ) i L ist eine endliche Überdeckung von f(x). 8.5 Satz von Heine-Borel Eine Teilmenge des R n ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. - Hinrichtung Dass eine kompakte Menge beschränkt ist, sieht man an der offenen Überdeckung (B n (0)) n N, B n (x) := {y d(x, y) < n}, die Überdeckung durch die offenen Kugeln um den Nullpunkt mit jeweils Radius n. Diese enthält - wegen der Kompaktheit - eine endliche Überdeckung, und eine endlich große B n (0)-Kugel ist unter anderem nur endlich groß, also beschränkt. Abgeschlossen ist eine kompakte Menge nach 8.3 (da R n hausdorfsch ist). // - Rückrichtung Die Umkehrung folgt aus der Tatsache, dass eine beschränkte Menge des R n Teilmenge eines Würfels W = W a (0) := {(x 1,..., x n ) R n x i a, a R} ist (und weil abgeschlossen auch kompakt, wenn W kompakt ist - 8.2) und W zu [ a, a] n homöomorph ist. Kompaktheit wird hier mit "genau dann, wenn" übertragen, da ein Homöomorphismus unter anderem immer stetig ist, und stetige Abbildungen - siehe Kompaktheit bewahren. Nun ist also nur noch zu zeigen, dass [ a, a] n tatsächlich auch kompakt ist. Sei also X := [0, 1] n i I U i, und nehmen wir an es existiere keine endliche Teilüberdeckung. Wir wollen nun eine Folge definieren. Zu x 0 X definiere I x0 := {i I x 0 U i } I. Offensichtlich ist I x0. Ferner: i I x0 ɛ i > 0, so dass B ɛi (x 0 ) U i und B δ (x 0 ) U i für δ > ɛ i. Sprich, man wählt ɛ i maximal bzgl i. Das geht, weil man sonst (d.h. wäre ɛ i unbeschränkt) eine endliche Teilüberdeckung erhielte, welches nach Vorraussetzung nicht gilt. Nun wähle i 0 I x0, so dass ɛ i0 > 1 2 sup{ɛ i i I x0 }. Damit ist für x 0 U i0 besagtes U i0 zumindest nicht das kleinste, sondern sogar "halbwegs groß". Wir wählen x 1 X \ U i0. Dazu finden wir wie oben ein U i1 ( x 1 ). Wir 4

5 wählen dann x 2 X \ (U i0 U i1 ) und finden dazu ein U i2 ( x 2 ) und so weiter. Es entsteht eine Folge x k X, mit x k / U i0 U ik 1 ; x k U ik mit jeweils "nicht zu kleinen" ɛ ik, wobei natürlich immer noch die entsprechenden B ɛik (x k ) U ik sind. Diese U ik gibt es übrigens immer, weil man andernfalls wieder eine endliche Teilüberdeckung hätte. Für die hier definierte Folge ( es gilt {x k k N} = wegen der Annahme, das keine endliche Teilüberdeckung von X existiert) existiert wegen der Vollständigkeit von R n und der Beschränktheit von X nach dem Satz von Bolzano- Weierstraß eine konvergente Teilfolge x nk y U j. Offensichtlich gibt es ein ɛ > 0 s.d. B ɛ (y) U j. Wähle nun ein N N so dass x nk B ɛ (y) n 2 k > N. Sei nun n k > N. Es ist B ɛ 2 (x n k ) B ɛ (y) U j. Ist U nk = U j, so folgt sup{ɛ i i I xnk } ɛ 2. Ist andernfalls U nk U j, gilt ebenfalls sup{ɛ i i I xnk } ɛ 2. So oder so gilt sup{ɛ i i I xnk } ɛ 2 und damit ɛ n k > ɛ 4 n k > N. Dies ist nun effektiv ein Mindestabstand, der zwischen allen Folgengliedern x nk (mit n k > N) liegt. Dies ist ein Widerspruch zur Konvergenz, also muss die Annahme falsch gewesen sein. Hieraus folgt die Kompaktheit. 5

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