3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information

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1 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Klaus M. Schmidt LMU München Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 1 / 72

2 Literaturhinweise zu Kapitel 3: Osborne (2004), Kapitel 5-7 Gibbons (1992), Kapitel 2 MasColell, Whinston, Green (1995), Kapitel 7 und 9A+B Fudenberg und Tirole (1991), Kapitel 3 und 4 c 2014 Klaus M. Schmidt Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 2 / 72

3 3.1 Dynamische Spiele und Rückwärtsinduktion Bisher haben wir Situationen betrachtet, in denen beide Parteien simultan über ihre Strategie entscheiden müssen. Jetzt betrachten wir etwas kompliziertere zeitliche Strukturen. Dabei beschränken wir uns zunächst auf Spiele mit vollständiger und perfekter Information, d.h., alle Spieler spielen sequentiell und jeder Spieler beobachtet alle vorangegangenen Züge. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 3 / 72

4 Die Zeitstruktur eines Spiels Spieler 2.. Spieler 1.. Aktion 1 Aktion 2.. Spieler 2 Aktion 3 Aktion 4 Aktion 3 Aktion 4 ( a ) ( c ) ( e b d f ) ( g h ) Abb. 3.1: Ein Spielbaum Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 4 / 72

5 Beispiel 1: IBM vs. Intel In den frühen 70er Jahren ist Intel der einzige Lieferant von IBM für bestimmte Computerchips. IBM steht vor der Wahl, entweder Intel als einzigen Lieferanten zu behalten oder einen zweiten Lieferanten (AMD) aufzubauen. Ohne einen zweiten Lieferanten kann Intel seine Monopolmacht ausnutzen. Dann würde IBM einen Gewinn von 10 und Intel einen Gewinn von 90 erhalten. Intel kündigt jedoch an, auf das Ausnutzen der Monopolstellung zu verzichten und die Gewinne gleichmäßig aufzuteilen (jeder bekommt einen Gewinn von 50). Wenn sich IBM entscheidet, AMD als zweiten Lieferanten aufzubauen, erhält IBM einen Gewinn von 40 und Intel einen Gewinn von 30. Sollte IBM eine zweite Lieferantenbeziehung aufbauen oder darauf verzichten? Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 5 / 72

6 Zeichnen Sie den Spielbaum für dieses Spiel. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 6 / 72

7 Bestimmen Sie die Normalform für dieses Spiel. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 7 / 72

8 Beispiel 2: Marktzutrittsspiel Zutreter.. N E ( ) 0 2 k.. Monopolist n ( 1 1 ) ( ) 2 1 Abb. 3.2: Marktzutrittsspiel Der Marktzutreter entscheidet, ob er eintritt (E) oder nicht (N). Der Monopolist entscheidet, ob er kämpft (k) oder nicht kämpft und sich den Markt teilt (n). Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 8 / 72

9 Ein sequentielles Spiel mit endlich vielen Stufen und perfekter Information wird durch Rückwärtsinduktion gelöst. Monopolist: Gegeben, dass der Zutreter eingetreten ist, ist es für mich optimal den Markt zu teilen. Zutreter: Wenn ich zutrete, wird der Monopolist den Markt teilen. Also sollte ich zutreten. Das Ergebnis der Rückwärtsinduktion ist also (E, n). Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 9 / 72

10 Rückwärtsinduktion und Nash-Gleichgewicht Das Ergebnis der Rückwärtsinduktion ist ein Nash-GG: Gegeben, dass der Zutreter E spielt, ist für den Monopolisten n optimal. Gegeben, dass der Monopolist n spielt, ist für den Zutreter E optimal. M Z k n N 0, 2 0, 2 E -1, -1 2, 1 Abb. 3.3: Normalform des Marktzutrittsspiels Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 10 / 72

11 Analyse der Normalform zeigt ein zweites Nash-GG gibt: (N, k). In diesem Nash-GG ist die Strategie des Monopolisten nicht optimal, wenn der Zutreter E spielen sollte. Aber: Im Nash-GG (N, k) tritt der Zutreter nicht ein. Trotzdem ist das Nash-GG (N, k) nicht überzeugend. Der Monopolist droht, zu kämpfen, falls der Zutreter zutritt. Diese Drohung ist unglaubwürd, weil es nicht im Interesse des Monopolisten liegt, sie im Fall des Zutritts tasächlich wahr zu machen. Die Unglaubwürdigkeit einer Drohung lässt sich aus der Normalform des Spiels nicht erkennen. Darum werden wir bei dynamischen Spielen die extensive Form des Spiels betrachten, die die Zeit- und Informationsstruktur explizit macht. Ziel: Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts Wir wollen den Gleichgewichtsbegriff so verschärfen, dass Gleichgewichte keine unglaubwürdigen Drohungen enthalten können. Bevor wir das tun, werden wir aber ein paar weitere Anwendungsbeispiele für Rückwärtsinduktion betrachten. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 11 / 72

12 3.2 Anwendungsbeispiele für Rückwärtsinduktion Stackelberg-Duopol Heinrich von Stackelberg (1934) 1) Unternehmen 1, der Stackelberg-Führer, wählt seine Menge x 1. 2) Unternehmen 2, der Stackelberg-Anpasser, beobachtet x 1 und wählt dann seine Menge x 2. 3) Auf dem Markt ergibt sich der Preis als Funktion der gesamten Menge: p = p(x 1 + x 2 ). Dieses Modell wird oft verwendet, wenn es auf einem Markt einen dominanten Anbieter gibt, an den alle übrigen Anbieter ihr Verhalten anpassen. Beispiele: Saudi-Arabien als größter Ölproduzent legt seine Menge als erster fest. Andere Ölproduzenten passen sich an. Südafrika: Dominierender Diamantenproduzent De Beers. Andere Marktführer: Microsoft, IBM, Telekom etc., aber hier geht es meist um Preis- und/oder Qualitätswettbewerb bei heterogenen Gütern. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 12 / 72

13 Das Entscheidungsproblem des Anpassers Der Anpasser maximiert seinen Gewinn π 2 = p(x 1 + x 2 )x 2 c 2 (x 2 ) durch geeignete Wahl von x 2. Dabei liegt die Menge x 1 bereits fest und ist bekannt. Bedingung erster Ordnung (BEO) für Gewinnmaximum: p(x 1 + x 2 ) + dp(x 1 + x 2 ) dx 2 x 2 = dc 2(x 2 ) dx 2 Diese Bedingung legt die optimale Menge x 2 als Funktion von x 1 fest, d.h.: x 2 = R 2 (x 1 ) Die Funktion R 2 (x 1 ) wird Reaktionsfunktion von Unternehmen 2 genannt. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 13 / 72

14 Beispiel: Lineare Nachfrage: p(x 1 + x 2 ) = a b (x 1 + x 2 ) = a b x, x = x 1 + x 2 Konstante Grenzkosten: c 1 (x 1 ) = c x 1, c 2 (x 2 ) = c x 2 Gewinnfunktion des Anpassers: BEO für Gewinnmaximum: π 2 = [a b(x 1 + x 2 )] x 2 c x 2 a b(x 1 + x 2 ) bx 2 = c Gewinnfunktion ist streng konkav: d 2 π 2 dx 2 2 = 2b < 0 Reaktionsfunktion des Anpassers: x 2 = a bx 1 c 2b = a c 2b 1 2 x 1 Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 14 / 72

15 Das Problem des Marktführers Der Marktführer kennt das Entscheidungsproblem des Anpassers und weiß, dass er die Menge x 2 = R 2(x 1 ) wählen wird. Also ist sein Gewinnmaximierungsproblem: max x 1 p(x 1 + R 2 (x 1 )) x 1 c 1 (x 1 ) BEO für Gewinnmaximum: p(x 1 + R 2 (x 1 )) + ( 1 + dr ) 2 dp dx 1 dx x 1 = dc 1 dx 1 Der Stackelberg-Führer berücksichtigt nicht nur, wie eine zusätzliche Einheit den Martkpreis direkt senkt, sondern auch, wie sie die Menge seines Konkurrenten und damit indirekt den Marktpreis beeinflusst. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 15 / 72

16 Fortsetzung des Beispiels: Gewinnfunktion des Marktführers: BEO für Gewinnmaximum: π 1 = [a b(x 1 + R 2 (x 1 ))] x 1 c x 1 = a c x 1 b 2 2 x 1 2 a c 2 x 1 bx 1 = 0 = a c 2b Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 16 / 72

17 Nachdem wir die optimale Menge des Stackelberg-Führers kennen, können wir sie in die Reaktionsfunktion des Anpassers einsetzen, um dessen Menge, die gesamte Menge und den Marktpreis zu bestimmen. Einsetzen von x 1 in R 2(x 1 ) ergibt: Die gesamte Menge ist also: x 2 = a c 4b Der Marktpreis ergibt sich als: x 1 + x 2 = 3(a c) 4b p = a + 3c 4 Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 17 / 72

18 Vergleich zum Cournot-Duopol Der Gewinn des Stackelberg-Führers ist immer höher als der Gewinn eines Cournot-Duopolisten. Warum? Im Stackelberg-Spiel ist der Anpasser besser informiert als ein Duopolist im Cournot-Spiel. Er kann beobachten, welche Menge der Stackelberg-Führer auf den Markt wirft. Trotzdem geht es dem Anpasser schlechter als dem Cournot-Duopolisten. Warum? In Ein-Personen-Entscheidungssituationen ist es unmöglich, dass sich ein rationaler Entscheidungsträger schlechter stellt, wenn er zusätzliche Informationen oder zusätzliche Handlungsmöglichkeiten bekommt. In interpersonellen Entscheidungssituationen ist es dagegen oft besser, weniger Informationen oder weniger Handlungsmöglichkeiten zu haben. Beispiele: Cournot- versus Stackelberg-Spiel. Chicken-Spiel: Angenommen, einer der Fahrer kann sein Lenkrad aus dem Fenster werfen und sich damit die Möglichkeit zum Ausweichen nehmen. Gegenspieler wird ausweichen. Viele andere Beispiele für Selbstbindung (Commitment). Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 18 / 72

19 3.2.2 Löhne und Beschäftigung Leontief (1946), später in zahlreichen Variationen. Zweistufiges Spiel: 1. Gewerkschaft bestimmt den Lohnsatz, w. 2. Unternehmen bestimmt die Beschäftigungsmenge, L. Auszahlungsfunktionen: Gewerkschaft: U(w, L), streng monoton steigend in w und L, quasikonkav (konvexe Indifferenzkurven) Unternehmen: π(w, L) = R(L) wl, R(L) steigend und streng konkav, lim L 0 R (L) =, lim L R (L) = 0. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 19 / 72

20 Rückwärtsinduktion Stufe 2: Unternehmen maximiert max R(L) wl L 0 BEO (hier notwendig und hinreichend, warum?): R (L) w = 0 Die optimale Beschäftigungsmenge L (w) ist eine fallende Funktion von w. (Warum?) Isogewinnlinien: R(L) wl = c w = R(L) c L Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 20 / 72

21 R... w L L Abb. 3.4: Gewinnmaximum und Isogewinnlinien der Unternehmung Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 21 / 72

22 Stufe 2: Gewerkschaft antizipiert L (w) und maximiert max U(w, w 0 L (w)) BEO: U w + U dl (w) L dw = 0 Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 22 / 72

23 w... w L Abb. 3.5: Nutzenmaximum der Gewerkschaft, Ineffizienz L Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 23 / 72

24 Bemerkungen: 1) Gewerkschaft sucht sich den besten Punkt auf der Reaktionsfunktion des Unternehmens. 2) Aber das Ergebnis ist ineffizient: Gewerkschaften und Unternehmen könnten sich besser stellen, wenn sie den Lohn etwas verringerten und die Beschäftigung etwas erhöhten. 3) Die Ineffizienz besteht, weil Gewerkschaft und Unternehmen nicht über Beschäftigung und Lohnhöhe gleichzeitig verhandeln. Warum wird das nicht gemacht? Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 24 / 72

25 3.3 Allgemeine Beschreibung eines dynamischen Spiels Die Extensive Form Definition 3.1 (Extensive Form) Die extensive Form eines Spiels spezifiziert: (1) die Menge der Spieler {1,..., n}; (2a) zu welchem Zeitpunkt welcher Spieler am Zug ist; (2b) welche Aktionen einem Spieler zur Verfügung stehen, wenn er am Zug ist; (2c) was ein Spieler weiß, wenn er am Zug ist; (3) die Auszahlung eines jeden Spielers für jede mögliche Kombination von Zügen. Die Definition der extensiven Form ist ganz analog zu der der Normalform. Einziger Unterschied: Die Beschreibung der Strategienräume kann sehr viel komplexer sein. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 25 / 72

26 Spiele in extensiver Form können mit Hilfe eines Spielbaums beschrieben werden. Ein Spielbaum besteht aus einer Menge von geordneten und miteinander verbundenen Knoten: Entscheidungsknoten: Hier kann genau ein Spieler aus einer Menge von Aktionen auswählen. Jede Aktion führt zu einem neuen Entscheidungs- oder Endknoten. Endknoten: Hier endet das Spiel, und Auszahlungen werden zugeordnet. Der Spielbaum beginnt mit genau einem Anfangs-Entscheidungsknoten. Wir werden immer annehmen, dass ein Spielbaum sich echt verzweigt: Er wächst nicht in sich selbst zurück (keine Zyklen); Zweige wachsen nicht wieder zusammen (keine gemeinsamen Vorgänger). Gegenbeispiele? Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 26 / 72

27 3.3.2 Zufallszüge der Natur In vielen Spielen gibt es exogene Unsicherheit. Wir können das modellieren, indem wir einen zusätzlichen Spieler, die Natur, einführen, die aus der Menge der möglichen Zustände der Welt einen nach einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung auswählt. Z.. ( ) 0 2 N 1 2 E.. Natur 1 2 M M.... k n k n ( 0 0 ) ( 3 3 ) ( 1 1 ) ( ) 1 1 Abb. 3.6: Marktzutrittsspiel mit exogener Unsicherheit Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 27 / 72

28 Nach der Zutrittsentscheidung realisiert sich der Zustand der Welt: Mit Wahrscheinlichkeit 1 2 ist die Nachfrage groß, beide können hohe Gewinne machen. Mit Wahrscheinlichkeit 1 2 ist die Nachfrage niedrig, beide machen bei Wettbewerb Verluste. Die Natur verhält sich nicht strategisch, sondern folgt einfach der vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 28 / 72

29 3.3.3 Informationsmengen Definition 3.2 (Informationsmenge) Eine Informationsmenge ist eine Menge von Entscheidungsknoten mit den Eigenschaften: Bei allen Entscheidungsknoten einer Informationsmenge ist derselbe Spieler am Zug. Ein Spieler kann die verschiedenen Knoten einer Informationsmenge nicht unterscheiden. Insbesondere hat er an jedem Knoten einer Informationsmenge dieselbe Menge von Aktionen. Jeder Entscheidungsknoten gehört zu genau einer Informationsmenge. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 29 / 72

30 Beispiele: 1.. G L g l g l ( ) 3 ( ) ( 5 0 ) ( ) 1 1 Abb. 3.7: Das Gefangenen-Dilemma Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 30 / 72

31 Abb. 3.8: Mögliche und unmögliche Informationsmengen Wenn ein Spiel nur einelementige Informationsmengen enthält, sprechen wir von einem Spiel mit perfekter Information (nicht zu verwechseln mit vollständiger Information). Gibt es mehrelementige Informationsmengen, sprechen wir von einem Spiel mit imperfekter Information (nicht zu verwechseln mit unvollständiger Information). Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 31 / 72

32 3.3.4 Strategien Definition 3.3 (Strategie) Eine Strategie ist ein vollständig konditionierter Aktionsplan: Für jede Informationsmenge, in der der Spieler am Zug ist, spezifiziert die Strategie eine mögliche Aktion, d.h., sie konditioniert die Aktion auf die von Spieler i beobachtete bisherige Geschichte des Spiels. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 32 / 72

33 Beispiele: 1.. L R l r l r ( 3 1 ) ( 1 2 ) ( 2 1 ) ( ) 0 0 Abb. 3.9: Strategien in einem Spiel mit perfekter Information Spieler 1 hat 2 Strategien: L, R Spieler 2 hat 4 Strategien: ll, lr, rl, rr Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 33 / 72

34 2 1 L ll lr rl rr 3, 1 3, 1 1, 2 1, 2 R 2, 1 0, 0 2, 1 0, 0 Abb. 3.10: Normalform dieses Spiels Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 34 / 72

35 L.. 1 R l r l r L R L R L R L R Abb. 3.11: Strategien in einem Spiel mit imperfekter Information Strategien von Spieler 1: Strategien von Spieler 2: Jedes Spiel in extensiver Form kann in ein Spiel in Normalform überführt werden. Aber: Zu einem Spiel in Normalform können mehrere verschiedene Spiele in extensiver Form existieren. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 35 / 72

36 3.4 Teilspielperfekte Gleichgewichte Definition 3.4 (Teilspiel) Ein Teilspiel eines Spiels in extensiver Form a) beginnt in einem Entscheidungsknoten K einer einelementigen Informationsmenge, b) beinhaltet alle Entscheidungs- und Endknoten, die K nachfolgen, aber keine Knoten, die K nicht nachfolgen, c) durchtrennt keine nachfolgenden Informationsmengen. Intuitiv ist ein Teilspiel einfach ein Teil des gesamten Spiel, der in einem Knoten beginnt und alle nachfolgenden Knoten enthält. An diesem Knoten muss die gesamte bisherige Geschichte des Spiels dem Spieler, der hier am Zug ist, bekannt sein. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 36 / 72

37 L 1.. R l r l r L R L R L R L R Abb. 3.12: Teilspiele Ein Teilspiel kann isoliert betrachtet und analysiert werden. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 37 / 72

38 Teilspielperfektes Gleichgewicht Das folgende Gleichgewichtskonzept geht auf Reinhard Selten (1965) zurück. Definition 3.5 (Teilspielperfektes Gleichgewicht) Ein Nash-Gleichgewicht ist teilspielperfekt, wenn die Strategien der Spieler in jedem Teilspiel ein Nash-Gleichgewicht bilden. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 38 / 72

39 1.. L R l r l r ( 3 1 ) ( 1 2 ) ( 2 1 ) ( ) 0 0 Abb. 3.13: Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 39 / 72

40 Analyse der Teilspiele: Gegeben, dass Spieler 1 L gewählt hat, sollte 2 r spielen. Gegeben, dass Spieler 1 R gewählt hat, sollte 2 l spielen. Gegeben das Verhalten von 2 sollte 1 R spielen. Das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht ist (R, r l). Beachten Sie: Der Gleichgewichtspfad ist (R, l). Aber: Das Gleichgewicht muss auch angeben, was außerhalb des Gleichgewichtspfades passieren würde. Darum ist das Gleichgewicht (R, rl). Es existiert ein zweites Nash-Gleichgewicht: (L, rr). Aber dieses Nash-GG ist nicht teilspielperfekt. Es enthält die unglaubwürdige Drohung, dass Spieler 2 r spielt, sollte Spieler 1 R spielen. Teilspielperfektheit ist nicht nur für Spiele mit perfekter Information, sondern auch für beliebige Spiele mit imperfekter Information wohldefiniert. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 40 / 72

41 Satz 3.1 (Existenz des TPGGs) Jedes endliche Spiel in extensiver Form hat wenigstens ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht. Beweis von Satz 3.1: Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 41 / 72

42 Satz 3.2 (Eindeutigkeit des TPGGs) (Fast) jedes endliche Spiel in extensiver Form mit perfekter Information hat ein eindeutiges teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht. Beweis von Satz 3.2: Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 42 / 72

43 Bemerkungen: 1. Dieser Satz wurde schon von Zermelo (1913) bewiesen. 2. Bei Spielen mit imperfekter Information kann es natürlich mehrere Gleichgewichte in einem Teilspiel geben. Die Menge aller teilspielperfekten Gleichgewichte im gesamten Spiel erhält man, wenn man die Rückwärtsinduktion mit jeder möglichen Kombination aller möglichen Gleichgewichte durchführt. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 43 / 72

44 Beispiel: Ein Spiel mit imperfekter Information Betrachten Sie das folgende Spiel mit zwei Perioden, bei dem die Spieler in der ersten Periode ein Gefangenen-Dilemma und in der zweiten Periode ein Koordinationsspiel spielen: B Kooperation A Verrat Kooperation 2, 2-1, 3 Verrat 3, -1 0, 0 Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 44 / 72

45 B A l r L x, x 0, 0 R 0, 0 y, y Abb. 3.14: TPGG eines Spiels mit imperfekter Information Was sind die teilspielperfekten Gleichgewichte dieses Spiels? Unter welcher Annahme an x und y kann ein teilspielperfektes Gleichgewicht gestützt werden, bei dem die beiden Spieler in der ersten Periode kooperieren? Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 45 / 72

46 3.5 Teilspielperfektheit und Rationalität Teilspielperfektheit erfordert, dass es Common Knowledge ist, dass alle Spieler rational sind. Betrachten Sie das folgende Spiel: L ( ) l ( ) 1 1 R 2. r 1. L R ( ) ( ) Abb. 3.15: Rationalität und Rückwärtsinduktion Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 46 / 72

47 Rückwärtsinduktion ergibt, dass Spieler 1 L spielen und das Spiel damit beenden sollte. Begründung: Wenn Spieler 1 R spielt, sollte Spieler 2 l spielen, denn würde er r spielen, würde Spieler 1 in der letzten Runde L spielen. Angenommen, Spieler 1 spielt dennoch R. Zeigt er damit nicht, dass er irrational ist? Wenn Spieler 1 aber irrational ist, sollte Spieler 2 dann nicht vielleicht doch lieber r spielen, in der Hoffnung, dass Spieler 1 sich in der letzten Runde ebenfalls irrational verhält und R spielt? Wenn Spieler 2 durch diese Argumentation verleitet wird, r zu spielen, sollte dann nicht auch ein rationaler Spieler 1 R in Runde 1 spielen? Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 47 / 72

48 Rückwärtsinduktion ist nur solange überzeugend, solange Abweichungen vom Rückwärtsinduktionspfad rational erklärt werden können. Das hat Selten (1975) motiviert, das Konzept des perfekten Gleichgewichts einzuführen: 1) Es ist common knowledge, dass beide Spieler rational sind. 2) Aber: Beide Spieler machen mit sehr kleinen Wahrscheinlichkeiten Fehler: ihre Hände zittern bei der Auswahl der Strategien. Mit Wahrscheinlichkeit 1 ɛ spielt jeder Spieler die intendierte Strategie, aber mit Wahrscheinlichkeit ɛ macht er einen Fehler und wählt eine andere (zufällig ausgewählte) Strategie. Die Wahl von R kann dann als nicht intendierter Fehler von 1 interpretiert werden und bedeutet nicht, dass 1 irrational ist. 3) Ein perfektes Gleichgewicht ist der Limes einer Folge von Gleichgewichten, in denen jeder Spieler mit Wahrscheinlichkeit ɛ einen Fehler macht, wenn ɛ gegen 0 konvergiert. Beachten Sie: Wenn jeder Spieler nur einmal zieht, tauchen diese Probleme nicht auf. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 48 / 72

49 Rosenthals Hundertfüßler Das folgende Spiel zeigt noch einmal, dass Teilspielperfektheit nicht immer plausibel sein muss w w w w w w ( ) s s s s s s ( 1 1 ) ( 0 3 ) ( ) 2 ( ) ( ) 99 ( ) Abb. 3.16: Rosenthals Hundertfüßler Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 49 / 72

50 Das eindeutige TPGG ist, dass jeder Spieler das Spiel beendet, wenn er zum Zug kommt. Was passiert, wenn Spieler 1 das Spiel in Periode 1 nicht beendet? Sollte Spieler 2 sich dennoch an das Gleichgewicht halten? Ob das TPGG überzeugend ist oder nicht, hängt entscheidend davon ab, wie die Spieler Abweichungen vom Gleichgewichtspfad interpretieren. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 50 / 72

51 3.6 Ein Zermürbungskrieg Das klassische Beispiel für einen Zermürbungskrieg stammt aus der Biologie (Maynard Smith, 1974): Kampf zweier Tiere um ein Territorium. Wir betrachten dieses Spiel nur in diskreter Zeit mit unendlichem Horizont: Folge von Zeitpunkten: t = 0, 1, 2,... In jeder Periode entscheiden beide Spieler simultan, ob sie kämpfen oder aufgeben sollen. Wenn beide kämpfen, verlieren beide eine Nutzeneinheit pro Periode, und das Spiel geht weiter. Wenn einer aufgibt, der andere aber nicht, erhält der Gewinner einen Preis im Wert v, der Verlierer nichts, und das Spiel ist zu Ende. Wenn beide gleichzeitig aufgeben, sind beide Verlierer und erhalten beide nichts. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 51 / 72

52 Auszahlungen: Sei ˆt die Periode, in der der Verlierer aufgegeben hat. Verlierer: u v (ˆt) = (1 + δ + + δˆt 1 ) 1 = 1 δˆt 1 δ Gewinner: u g (ˆt) = (1 + δ + + δˆt 1 ) 1 + δˆt v = 1 δˆt 1 δ + δˆt v Existiert ein symmetrisches, stationäres TPGG? Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 52 / 72

53 Angenommen beide Spieler geben in jeder Periode mit Wahrscheinlichkeit p auf und kämpfen mit Wahrscheinlichkeit 1 p. Diese Strategien sind nur dann ein Gleichgewicht, wenn jeder Spieler in jeder Periode indifferent ist, ob er aufgeben oder weiterkämpfen soll. Also muss in jeder Periode t gelten: 0 = p v + (1 p) [ 1 + δ 0] Interpretation: Die bisher verlorenen Nutzeneinheiten sind sunk costs. Wir brauchen also nur Auszahlungen zu betrachten, die von der jetzigen Periode an erhalten werden. 0 ist die Auszahlung, wenn ich heute aufgebe. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 53 / 72

54 Wenn ich nicht aufgebe, gibt es zwei Möglichkeiten: Mit Wahrscheinlichkeit p gibt mein Gegner auf und ich bekomme v. Mit Wahrscheinlichkeit 1 p gibt er nicht auf, was mich diese Runde eine Nutzeneinheit kostet. In der nächsten Runde bin ich dann wieder indifferent zwischen Aufgeben und Kämpfen. Also ist der Folge-Payoff ab der nächsten Runde genau 0. Auflösen ergibt: p = v Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 54 / 72

55 Bemerkungen: 1) Je höher der Preis v, umso kleiner ist die Wahrscheinlichkeit des Aufgebens. 2) Das Ergebnis ist ineffizient, weil mit positiver Wahrscheinlichkeit gekämpft wird. Mit positiver Wahrscheinlichkeit sind die Kosten des Kämpfens sogar höher als der zu gewinnende Preis. 3) Es gibt noch andere TPGG. Beispiel: Spieler 1 wird immer kämpfen, Spieler 2 wird immer aufgeben. Insbesondere sind alle stationären Nash-Gleichgewichte auch teilspielperfekt. 4) Aber: Das Gleichgewicht, dass wir oben charakterisiert haben, ist das einzige symmetrische Gleichgewicht. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 55 / 72

56 3.7 Das Einmal-Abweichungsprinzip In den bisherigen Beispielen war es relativ einfach zu prüfen, ob ein Strategientupel (s 1,..., s n) ein TPGG ist. In komplizierteren Spielen kann das jedoch sehr aufwendig sein. Der folgende Satz macht uns das Leben erheblich leichter: Satz 3.3 (Einmal-Abweichungsprinzip) Ein Strategientupel s ist teilspielperfekt genau dann, wenn es für keinen Spieler i eine Strategie s i gibt, die sich von si nur in einer Periode t und nach einer Geschichte h t unterscheidet, und die echt besser ist als si, wenn das Teilspiel nach h t erreicht wird. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 56 / 72

57 Bemerkungen: 1) Es ist offensichtlich, dass die Bedingung notwendig für Teilspielperfektheit ist. Gäbe es eine solche profitable Abweichungsstrategie s i, dann kann sicher kein TPGG vorliegen. (Achtung: Es könnte immer noch ein Nash-Gleichgewicht vorliegen, falls die Geschichte h t auf dem Gleichgewichtspfad nicht erreicht wird.) 2) Es ist nicht offensichtlich, dass die Bedingung auch hinreichend für Teilspielperfektheit ist. Angenommen, es gäbe keine profitable Strategie s i, die nur in einer Informationsmenge von si abweicht. Dann könnte es immer noch eine Strategie ŝ i geben, die an mehreren Informationsmengen gleichzeitig von si abweicht und echt besser als si ist. 3) Wenn wir den Satz bewiesen haben, können wir uns das Leben in Zukunft sehr viel leichter machen: Wir müssen nur noch prüfen, ob es Abweichungsstrategien gibt, die profitabel an nur einer Informationsmenge abweichen. Das ist besonders nützlich bei wiederholten Spielen. 4) Wir führen den Beweis für Spiele mit endlichem Horizont. Der Beweis für Spiele mit unendlichem Horizont wird nur skizziert. Siehe Fudenberg-Tirole, S Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 57 / 72

58 Beweis von Satz 3.3: Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 58 / 72

59 3.8 Verhandlungen Verhandlungsspiele sind in vielen Bereichen der Ökonomie sehr wichtig. Immer wenn zwei oder mehr Parteien gemeinsam einen Überschuss erwirtschaften können, stellen sich folgende Fragen: 1. Werden sich die Parteien auf eine effiziente Allokation einigen? 2. Wie werden die Parteien den Überschuss, der gemeinsam erwirtschaftet wird, untereinander aufteilen? Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 59 / 72

60 Beispiele: Tarifverhandlungen zwischen Arbeitgeberverbänden und Gewerkschaften Bi- oder multilaterale Verhandlungen zum Abbau von Handelsschranken Verhandlungen zwischen Unternehmer und Investor (Kapitalgeber) über Finanzierung eines Investitionsprojekts Verhandlungen zwischen Käufer und Verkäufer über den Verkauf eines Gutes etc. In allen diesen Beispielen haben die Parteien das gemeinsame Interesse, den erreichbaren Überschuss so groß wie möglich zu machen, aber es gibt auch einen Interessenkonflikt über die Aufteilung des Überschusses. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 60 / 72

61 3.8.1 Das Ultimatumspiel Die einfachste Version eines nicht-kooperativen Verhandlungsspiels ist die folgende: Spieler 1 und 2 können einen gemeinsamen Überschuss erreichen, dessen Maximalgröße auf 1 normiert ist. In Stufe 1 schlägt Spieler 1 eine Aufteilung dieses Überschusses (s 1, s 2 ) vor, wobei s 1 + s 2 = 1. In Stufe 2 kann Spieler 2 diesen Vorschlag annehmen oder ablehnen: wenn er annimmt, bekommt Spieler 1 s1 und Spieler 2 s 2 ; wenn er ablehnt, bekommen beide Spieler eine Auszahlung von 0 und das Spiel ist zu Ende. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 61 / 72

62 Analyse des Spiels durch Rückwärtsinduktion: Stufe 2: Spieler 2 wird jedes Angebot s 2 > 0 annehmen. Bei s 2 = 0 ist er indifferent zwischen Annehmen und Ablehnen. Stufe 1: Spieler 1 wird Spieler 2 so wenig wie möglich anbieten und für sich den maximal möglichen Rest beanspruchen. Angenommen er schlägt (s 1 = 1 ɛ, s 2 = ɛ) vor, wobei ɛ > 0. Ist das ein Gleichgewicht? Nein: Spieler 1 könnte sich besserstellen, wenn er (s 1 = 1 ɛ 2, s 2 = ɛ 2 ) vorschlägt, was Spieler 2 immer noch annehmen wird. Fazit: Das einzige teilspielperfekte Gleichgewicht in diesem Spiel ist (s 1 = 1, s 2 = 0). Im Gleichgewicht muss Spieler 2 dieses Angebot annehmen! Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 62 / 72

63 Beachten Sie: 1. Wenn es eine kleinste Geldeinheit (z.b. 0,01 EUR) gibt, ist auch (s 1 = 0, 99, s 2 = 0, 01) ein TPGG. (Zeigen!) 2. Jede Aufteilung des Überschusses ist ein Nash-GG. Beispiel: Spieler 1 schlägt (s 1 = 0, 4; s 2 = 0, 6) vor. Spieler 2 lehnt jedes Angebot mit s 2 < 0, 6 ab. Aber: Die Ablehnungsdrohung ist nicht glaubwürdig. Das Ultimatumspiel ist allerdings keine sehr realistische Beschreibung eines Verhandlungsprozesses. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 63 / 72

64 3.9 Ein Verhandlungsspiel mit endlichem Zeithorizont: Ståhl (1972) Spieler 1 und Spieler 2 verhandeln über die Aufteilung eines Kuchens mit Wert 1. Sei s [0, 1] der Anteil des Kuchens, der an Spieler 1 geht, 1 s der Anteil von Spieler 2. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 64 / 72

65 Zeitliche Struktur t=1: Spieler 1 macht einen Vorschlag s 1 [0, 1]. Wenn Spieler 2 zustimmt, ist das Spiel zu Ende. Ansonsten: t=2: Spieler 2 macht einen Vorschlag s 2. Wenn Spieler 1 zustimmt, ist das Spiel zu Ende. Ansonsten: t=3: Spieler 1 macht einen Vorschlag s 3. Wenn Spieler 2 zustimmt, ist das Spiel zu Ende. Ansonsten:. t=t: Falls T ungerade ist, macht Spieler 1 den letzten Vorschlag s T. Wenn Spieler 2 zustimmt, ist das Spiel zu Ende. Wenn er ablehnt, ist der Kuchen verloren. Falls T gerade ist, sind die Rollen von 1 und 2 in Periode T vertauscht. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 65 / 72

66 Auszahlungen Einigung in Periode t auf (s, 1 s) u 1 = δ t 1 s, u 2 = δ t 1 (1 s), Keine Einigung beide erhalten 0. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 66 / 72

67 Analyse per Rückwärtsinduktion Wir nehmen an, T ist ungerade. t=t: Spieler 2 akzeptiert g.d.w. s T 1. Spieler 1: s T = 1. Spieler 2 akzeptiert. u 1 = δ T 1 1 = δ T 1, u 2 = δ T 1 0 = 0. t=t-1: Spieler 1 akzeptiert g.d.w. δ T 2 s T 1 δ T 1. Spieler 2: s T 1 = δ. Spieler 1 akzeptiert. u 1 = δ T 2 δ = δ T 1, u 2 = δ T 2 (1 δ). Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 67 / 72

68 t=t-2: Spieler 2 akzeptiert g.d.w. δ T 3 (1 s T 2 ) δ T 2 (1 δ). Spieler 1: s T 2 = 1 δ(1 δ) = 1 δ + δ 2. Spieler 2 akzeptiert. u 1 = δ T 3 (1 δ + δ 2 ), u 2 = δ T 2 (1 δ). t=t-3: Spieler 1 akzeptiert g.d.w. δ T 4 s T 3 δ T 3 (1 δ + δ 2 ). Spieler 2: s T 3 = δ(1 δ + δ 2 ). Spieler 1 akzeptiert. u 1 = δ T 3 (1 δ + δ 2 ), u 2 = δ T 4 (1 δ + δ 2 δ 3 ). Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 68 / 72

69 t=t-4: Spieler 2 akzeptiert g.d.w. δ T 5 (1 s T 4 ) δ T 4 (1 δ + δ 2 δ 3 ). Spieler 1: s T 4 = 1 δ(1 δ + δ 2 δ 3 ). Spieler 2 akzeptiert. u 1 = δ T 5 (1 δ + δ 2 δ 3 + δ 4 ), u 2 = δ T 4 (1 δ + δ 2 δ 3 ). t=t-(t-1)=1: Spieler 2 akzeptiert g.d.w. δ (T T ) (1 s T T +1 ) = (1 s 1 ) δ(1 δ + δ 2... δ T 2 ). Spieler 1: s T T +1 = 1 δ + δ 2 + δ T 1. Spieler 2 akzeptiert. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 69 / 72

70 u 1 = 1 δ + δ 2 + δ T 1 = (1 δ)(1 + δ 2 + δ δ T 3 ) + δ T 1 ( ) 1 = (1 δ) 1 δ 2 δt 1 δ T +1 δ T +3 + δ T 1 ( ) 1 δ T 1 = (1 δ) 1 δ 2 + δ T δt = + δ T δ u 2 = δ δ 2 + δ T 1 = δ(1 δ)(1 + δ 2 + δ δ T 3 ) ( ) 1 δ T δt = δ(1 δ) 1 δ 2 = δ. 1 + δ Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 70 / 72

71 Beachten Sie: Hier haben wir wiederholt verwendet, dass 1 + δ 2 + δ 4 + = Dies folgt aus der bekannten Summenformel 1 1 δ q + q 2 + = 1 1 q. Die Analyse für gerades T ist analog, nur dass Spieler 2 das letzte Angebot macht. Die Summe der Auszahlungen ist u 1 + u 2 = 1 δt δ = (1 + δ)(1 δt 1 ) 1 + δ + δ T δt + δ 1 + δ + δ T 1 = 1. Also ist das Ergebnis effizient. (Das muss so sein, weil im Gleichgewicht das Angebot der ersten Periode bereits angenommen wird.) Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 71 / 72

72 Für T verschwindet der Unterschied in den Payoffs zwischen geradem und ungeradem T. Für T konvergiert u 1 gegen 1 1+δ und u 2 gegen δ 1+δ. Wenn Angebote und Gegenangebote sehr schnell erfolgen können, sollte δ sehr nahe bei 1 liegen. In diesem Fall bekommen beide Spieler ungefähr 1 2. Die letzte Periode ist sehr wichtig: Sie zwingt die Spieler, letztendlich zuzustimmen, weil sonst der Kuchen endgültig verloren ist. Die Annahme einer letzten Periode scheint unplausibel. Wer hält die Parteien davon ab, nach Periode T noch ein weiteres Angebot zu machen? Rubinstein (1982) hat dieses Verhandlungsspiel mit einem unendlichen Horizont gelöst. Das ist nicht trivial, weil man dieses Spiel nicht mehr durch Rückwärtsinduktion lösen kann. Er hat gezeigt, dass das einzige TPGG in diesem Spiel zu denselben Auszahlungen führt wie der Limes des endlichen Spiels, wenn T gegen unendlich geht. Klaus M. Schmidt (LMU München) 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 72 / 72