Hauptprüfung Fachhochschulreife Baden-Württemberg

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1 Hauptprüung Fachhochschulreie 204 Baden-Württemberg Augabe 2 Analysis Hilsmittel: graikähiger Taschenrechner Beruskolleg Alexander Schwarz September 204

2 Gegeben ist die Funktion mit (x) = 2sin( π x) + 2 und x [ ;4]. Ihr Schaubild ist K. 2. Zeichnen Sie K. Bestimmen Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von K mit den Koordinatenachsen. (5 Punkte) 2.2 Der Punkt W(/2) ist ein Wendepunkt von K. Zeigen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung y= 2π x+ 2+ 2π Tangente an K im Punkt W ist. Die Tangente, die y-achse und K schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie den exakten Inhalt dieser Fläche. (8 Punkte) 2.3 Die Abbildung zeigt das Schaubild K g einer Funktion g Begründen Sie jeweils, ob olgende Aussagen wahr oder alsch sind. a) Die Ableitungsunktion von g hat im Intervall [0;] eine Nullstelle. b) Das Schaubild einer Stammunktion von g hat im Intervall [0;] einen Hochpunkt Ermitteln Sie mit Hile der Abbildung die Gleichung der Tangente an K g an der Stelle x = -0,5. (4 Punkte) (3 Punkte) 2

3 Gegeben ist die Funktion h mit Ihr Schaubild ist K h. h(x) = e x, x 2.4 Geben Sie die Koordinaten des Hochpunktes von K h an. Untersuchen Sie rechnerisch das Krümmungsverhalten von K h. Anton behauptet: " K h besitzt keine Schnittpunkte mit der x-achse." Nehmen Sie Stellung zu dieser Behauptung. (6 Punkte) 2.5 Die Gerade mit der Gleichung x = u schneidet ür 0 < u < das Schaubild K im Punkt P und das Schaubild K h im Punkt Q. Für welchen Wert von u ist der Abstand der Punkte P und Q maximal? (4 Punkte) Punkte 3

4 2. Lösung Zeichnung des Schaubildes von (inklusive der Tangente ür Augabe 2.2) Schnittpunkt mit der y-achse: (0) = 2 sin(0) + 2= 2 Schnittpunkt S y(0/2) Gemeinsame Punkte mit der x-achse: Die gemeinsamen Punkte kann man direkt aus dem Schaubild ablesen. Bedingung: (x) = 0 Im vorgegebenen Intervall gibt es drei gemeinsame Punkte: N( 0,5/0) ; N 2(,5/0) ; N 3(3,5/0) 2.2 Tangentennachweis: Die gegebene Gerade ist eine Tangente in W, wenn die Tangente den Punkt W enthält und die Steigung der Gerade der Steigung von an der Stelle x = entspricht..kontrolle: Liegt W(/2) au der Gerade? Einsetzen der Koordinaten von W in die Gerade: 2= 2π π 2= 2 Da die Aussage wahr ist, liegt W au der Gerade. 2.Kontrolle: Ist die Geradensteigung die Steigung von bei x =? Die gegebene Gerade besitzt die Steigung m= 2π 4

5 Es ist (x) = 2cos( πx) π. Die Steigung an der Stelle x = ist () = 2cos( π) π= 2π Da auch die Steigungen übereinstimmen, ist die Gerade die Tangente in W. Flächeninhalt Die Tangente berührt das Schaubild von im Punkt W(/2) an der Stelle x =. A = ( 2π x π (2sin( π x) + 2))dx = ( 2π x+ 2π 2sin( πx))dx x 2 x 2cos( x) 2 ( 0 0 ) = π + π + π = π+ π + + =π π π π π Begründung der Aussagen a) Im Intervall [0;] hat das Schaubild von g einen Hochpunkt. Somit hat die Ableitung dort eine Nullstelle. Die Aussage ist wahr. b) Wenn die Stammunktion von g einen Hochpunkt besitzt, hat die zugehörige Ableitungsunktion (das wäre in diesem Fall das dargestellte Schaubild) eine Nullstelle. Da das Schaubild keine Nullstelle hat, hat die zugehörige Stammunktion auch keinen Hochpunkt. Die Aussage ist alsch Mögliche Tangentengleichung: Zur Bestimmung einer Tangentengleichung zeichnet man so genau wie möglich an der Berührstelle x = -0,5 eine Tangente in die Zeichnung ein und liest den y-achsenabschnitt und die Steigung (mit dem Steigungsdreieck) ab. 5

6 Die eingezeichnete Tangente schneidet die y-achse in S(0/-). Die Steigung der Gerade ist ungeähr m = 4. Mögliche Tangentengleichung: y= 4x Die exakte Lösung wäre y = 4,436x Berechnung des Hochpunktes Der Hochpunkt kann mit dem GTR berechnet werden. Bedingung: h(x) = 0 und h(x) 0 GTR: Hochpunkt H(0,347/-,847) Krümmungsverhalten Ist h(x) > 0 dann ist das Schaubild von h(x) linksgekrümmt. Ist h(x) < 0 dann ist das Schaubild von h(x) rechtsgekrümmt Ableitungen: h(x) = e ( 2) = 2e = = h(x) 2e ( 2) 4e... Da der Ausdruck e > 0 ist, olgt daraus h(x) = 4e < 0 ür alle x Damit ist das Schaubild von h rechtsgekrümmt (was sich durch das Schaubild bestätigt). Antons Behauptung Wenn man das Schaubild von h(x) mit dem GTR zeichnet, stellt man est, dass Antons Behauptung richtig ist. Eine Kontrolle mit dem GTR ist jedoch noch kein Nachweis, man muss dies anhand der bisherigen Inormationen über das Schaubild von h begründen. Der Hochpunkt H(0,347/-,847) liegt unterhalb der x-achse. Da das Schaubild außerdem komplett rechtsgekrümmt ist, besitzt das Schaubild keinen Wendepunkt und damit auch keinen Tiepunkt. Somit bleibt das Schaubild unterhalb der x-achse. Antons Behauptung ist richtig. 6

7 2.5 Maximaler Abstand zwischen P und Q Die Augabenstellung sollte zunächst anhand einer Zeichnung veranschaulicht werden. Es muss eine Funktion in Abhängigkeit von u augestellt werden, die den Abstand der beiden Punkten P und Q beschreibt. Von dieser Funktion muss mit dem GTR das Maximum bestimmt werden. Der senkrechte Abstand der Punkte P und Q beträgt d(u) = (u) h(u) = π + 2u d(u) 2sin( u) 2 ( e u ) Bestimmung des Maximums von d(u) mit dem GTR im Intervall 0 < u < : Für u 0,5 gibt es ein Maximum mit d(0,5) 5,87 Die Randwerte ergeben d(0) = 4 und d() 4,4 und sind jeweils kleiner als 5,87. Für u 0,5 ist der Abstand der Punkte maximal. 7

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