Allgemeine Relativitätstheorie

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Bertold Kohl
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1 Allgemeine Relativitätstheorie Ein konzeptioneller Einblick Von Jan Kaprolat

2 Gliederung Einleitung Übergang SRT -> ART Grundlegende Fragestellungen der ART Kurzer Einblick: Tensoralgebra Einsteinsche Feldgleichungen Größen und Konzepte Einfache Anwendungsbeispiele der ART Literaturempfehlungen

3 Übergang SRT -> ART - Die ART ist die Verallgemeinerung der SRT - Während die SRT inertiale Bezugssysteme beschreibt, beschreibt die ART beschleunigte Bezugssysteme. - Die Transformation in der SRT von einem Inertialsystem IS zu einem anderen IS' ist die Lorentztransformation

4 Übergang SRT -> ART - Lorentztransformation in Komponentenschreibweise X' m = Λ m n xn + a m => Die allgemeine Koordinatentransformation, die in der ART Anwendung findet wird mit Hilfe des Metrischen Tensors definiert. (Später mehr) - Die Gesetze der SRT werden im Minkowski-, die der ART im Riemanschen Raum definiert

5 Grundlegende Fragestellungen der ART Was passiert in (zueinander) beschleunigten Bezugssystemen? (Äquivalenzprinzip) Definition des Kraftbegriffs Geometrie des Raumes <-> Feld? Verhalten der Raumzeit in der Nähe von großen Massen?

6 Beschleunigung und freier Fall Beobachter in einem mit g nach "oben" beschleunigten Kasten stellt keinen Unterschied zur Ruhe auf der Erdoberfläche fest. Beobachter in einem frei fallenden Kasten stellt keinen Unterschied zur Schwerelosigkeit (fern ab von großen Massen) fest

7 Beschleunigung und freier Fall

8 Äquivalenzprinzip 3 Unterschiedliche Äquivalenzprinzipien - Schwaches Äquivalenzprinzip - Einsteinsches Äquivalenzprinzip - Starkes Äquivalenzprinzip

9 Schwaches ÄQ Äquivalenzprinzip - Äquivalenz von träger und schwerer Masse - Mit Hilfe einer frei fallenden Masse kann (lokal) nicht festgestellt werden, ob man sich in einem beschleunigten BS oder in einem Gravitationsfeld befindet. - In der klassischen Physik beobachtet und erst später zum Prinzip ernannt und verstanden - Die Bewegungsgleichung enthält keine Masse => Schwere Masse: Scheinkonzept

10 Äquivalenzprinzip Einsteinsches ÄQ - Lokal gelten die Gesetzmäßigkeiten der SRT (Gravitationsfrei) - Es gibt überhaupt keine Möglichkeit, den Unterschied von Beschleunigung zu Gravitation festzustellen (Erweiterung des schwachen ÄQ) - Beinhaltet NUR die Gravitation - Größen wie z.b. die Feinstrukturkonstante müssen in frei fallenden/gravitationsfreien Systemen exakt gleich sein

11 Äquivalenzprinzip Starkes ÄQ - Erweiterung des Einsteinschen ÄQ - Die Energie eines gravitativen Feldes wirkt ebenfalls gravitativ (E=mc 2 )

12 Kraft: Geometrie oder Feld? Eine Kraft lässt sich nach Newton klassisch durch eine Feldwirkung beschreiben Einstein interpretiert die Kraftwirkung durch eine Raumzeitkrümmung => gravierender Unterschied in der mathematischen Beschreibung

13 Kraft: Geometrie oder Feld? Zwei Teilchen, die auf einer Kugeloberfläche in parallele Richtung laufen, treffen sich am Pol. => Dies kann beschrieben werden durch: - Kraft - Krümmung der Oberfläche Die Raumzeitkrümmung ist eine fundamentale Annahme der ART!

14 Verhalten der Raumzeit in der Nähe von Massen - Die Raumzeit wird durch Massen gekrümmt -> Radarechoverzögerung beim Signal Erde <-> Venus, wenn die Venus in der Nähe der Sonne ist. (Geodäte) -> Die gekrümmte Raumzeit ist die die Beschreibung der "Gravitationskraft" in der ART (siehe Feldgleichungen)

15 Raumkrümmung Schematische Darstellung des Lichtwegs in der Nähe einer großen, raumzeitkrümmenden Masse

16 Gekrümmte Raumzeit Raumzeitkrümmung durch die Masse der Erde minimal

17 Gekrümmte Raumzeit Extremfall: Schwarzes Loch

18 Kurzer Einblick: Tensoralgebra - Ein Tensor r-ter Stufe ist eine r-fach indizierte Größe - Tensoren werden allgemein über ihr Transformationsverhalten definiert - Ein Tensor: 0-ter Stufe -> Skalar 1-ter Stufe -> Vektor 2-ter Stufe -> Matrix...

19 Kurzer Einblick: Tensoralgebra Definition: - Lateinische Buchstaben in den Indizes von Tensoren laufen von Griechische Buchstaben in den Indizes von Tensoren laufen von 0 3 So beinhaltet der Tensor A i die Komponenten: A 1, A 2, A 3 Der Tensor A ɥ beinhaltet hingegen die Komponenten: A 0, A 1, A 2, A 3

20 Kurzer Einblick: Tensoralgebra Einige Standardberechnungen: Skalarprodukt A ɥ * A ɥ = A Allgemeine Koordinatentransformation Einsteinsche Summenkonvention: Über gleiche Indizes wird summiert!

21 Anspruch an Feldgleichungen -> Im nichtrelativistischen Grenzfall müssen sie die Newtonsche Mechanik ergeben -> Kovariante Formulierungen Unverändlich unter allgemeinen Koordinatentransformationen -> Möglichst einfach formuliert

22 Der Kern der ART: Die Feldgleichungen 1. 2.

23 Größen der Feldgleichungen T μν... Energie-Impuls-Tensor g μν... Metrischer Tensor R μν... Krümmungstensor (Ricci-Tensor) R... Krümmungsskalar u μ... Vierergeschwindigkeit τ... Eigenzeit Γ μ νλ... Christoffelsymbole

24 Energie-Impuls-Tensor T μν - Der Energieimpulstensor beinhaltet alle Anteile an Energie und Impuls des Systems. - Stellt den Quellterm in der 1. Feld-GLG. dar. - Beinhaltet ebenfalls elektromagnetische Strahlung und andere Energieformen (E=mc 2 )

25 Metrischer Tensor g μν - Fundamentale Größe - Beinhaltet die Metrik des betrachteten Raumes - Aus g μν werden diverse Größen abgeleitet - Wird für eine allgemeine Koordinatentransformation verwendet

26 Metrischer Tensor Wegelemente in verschiedenen Räumen (Euklid) (Minkowski) (Riemann) Später ein Beispiel für eine allg. Koordinatentransformation mit Hilfe des metrischen Tensors (=>Schwarzschild-Metrik)

27 Christoffelsymbol Γ μ νλ - Führt den metrischen Tensor in die Bewegungsgleichung mit ein => Bahn eines Teilchens im KS mit Gravitation

28 Newtonscher Grenzfall für die Bewegungsgleichung - Der klassische Newtonsche Grenzfall muss sich aus der Bewegungsgleichung für ein schwaches gravitatives Feld und kleine Geschwindigkeiten ergeben => Klassischer Fall:

29 Schwarzschild-Metrik - Die Schwarzschildmetrik ist eine besondere Metrik, mit dessen Hilfe eine exakte Lösung der Feldgleichungen der ART möglich war -> Annahme: Eine massive Kugel die Homogen (außerhalb ist die Dichte 0) ist Nicht geladen ist Nicht rotiert Statisch Vakuumlösung allgemein (Masse ist freier Parameter)

30 Innere und Äußere Schwarzschild- Lösung Äußere Lösung: r > Rs - Kommt durch die Vakuumlösung T μν = 0 (Masse ist ein freier Parameter) - Nur koordinatenabhängige Singularität bei r = Rs

31 Innere und Äußere Schwarzschild- Lösung Innere Lösung: r < Rs - Lösung für den armen Beobachter innerhalb von Rs - Ein äußerer Beobachter wird nicht feststellen, dass der innere Beobachter in den Ereignishorizont eingetreten ist => Kein Signal nach außen

32 Schwarzschild-Metrik - Schwarzschildradius eines schwarzen Loches folgt aus der Schwarzschild-Metrik (Divergenz der äußeren Lösung) - Schwarzschildradius ist Ereignishorizont - Gilt für nicht rotierende schwarze Löcher (Für rotierende => Kerr-Metrik) (Herleitung: Siehe Fließbach Band 5)

33 Kurzer Ausblick: Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit - Die ART beinhaltet viele weitere Lösungen (bis hin zur Entwicklung des ganzen Universums) - Vereinheitlichung aller 4 Grundkräfte (3 QFT und der Gravitation) Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit

34 Literatur - Sean M. Carroll An introduction to general Relativity Spacetime and Geometry (Englisch, interessanter Einblick) - Fließbach Band 5 Allgemeine Relativitätstheorie (Phänomenologischer Einblick in die ART)

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