Nichtparametrische Varianzanalysen - praktische Anwendung

Transkript

1 Nichtparametrische Varianzanalysen - praktische Anwendung Nichtparametrische Varianzanalysen sind primär anzuwenden, wenn die abhängige Variable entweder metrisch ist und die Voraussetzungen Normalverteilung der Residuen sowie Varianzhomogenität nicht gegeben sind, oder aber wenn die abhängige Variable ordinales Skalenniveau hat. Die hier besprochenen Verfahren des Kruskal-Wallis- H-Test und der Friedman-Varianzanalyse bzw. der Verallgemeinerungen von Puri & Sen (vgl. dazu Shirley, E.A. : A distribution-free method for analysis of covariance based on ranked data, 1981, J. of Applied Statistics 30: , Bennett, B.M. Rank-order tests of linear hypotheses, 1968, J. of Stat. Society B 30: und Winer, B.J. et.al.: Statistical Principles in Experimental Design, 1991, S ff) sowie Bredenkamp (vgl. dazu G.A.Lienert: Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik - Band 2, 1987, S ff) setzen zwar metrisches Skalenniveau voraus, sind aber in allen gängigen Statistikprogrammen, insbesondere SPSS, so implementiert, dass Bindungen (gleiche Werte der abhängigen Variablen) berücksichtigt werden und damit auf ordinale Variablen anwendbar sind. Zum Teil sind allerdings zusätzliche kleine Rechnungen mit dem Taschenrechner erfordrelich. Darüber hinaus gibt es noch Methoden für nominale, insbesondere dichotome abhängige Variablen. Letztere werden weiter unten behandelt. Varianzanalytische Fragestellungen mit einer polychotomen abhängigen Variablen werden über Kontingenztabellenanalyse, insbesondere mittels der Analyse loglinearer Modelle gelöst. 1. Unabhängige Stichproben: 1-faktoriell Getestet wird - wie bei der klassischen Varianzanalyse - die Hypothese gleicher Gruppenmittelwerte: 1 = 2 = = k Dies erfolgt über den Kruskal-Wallis-H-Test, einer Verallgemeinerung des Mann-Whitney-U- Tests von 2 auf beliebig viele Gruppen. Für den Test wird ein Wert H errechnet, der 2 -verteilt ist mit (k-1) Freiheitsgraden. Derselbe Test lässt sich auch über eine einfaktorielle klassische Varianzanalyse durchführen. Dies wird in Abschnitt 2.3 ausführlich beschrieben. 2. Unabhängige Stichproben: 2-faktoriell Hier muss unterschieden werden zwischen balancierten und nichtbalancierten Versuchsplänen bzw. Zellenbesetzungszahlen. Bei balancierten Versuchsplänen sind die Zellenbestzungszahlen zeilenweise oder spaltenweise proportional zueinander, z.b. bei einem Versuchsplan mit den Faktoren A (4 Stufen) und B (3 Stufen) B 1 B 2 B 3 A A A A In diesem Beispiel sind die Zellenbesetzungszahlen der 2. bzw. 3. Spalte das 1,2-fache bzw 1,6-

2 fache der 1. Spalte. Umgekehrt kann man auch erkennen, dass die Zellenbesetzungszahlen der 2. bzw. 3. Zeile das 1,5-fache bzw. das 2-fache der ersten Zeile sind. Versuchspläne mit gleichen Zellenbesetzungszahlen sind natürlich immer balanciert. 2.1 Anmerkungen zur 2-faktoriellen Varianzanalyse Soll der Einfluss zweier Einflussfaktoren A und B auf eine abhängige Variable x untersucht werden, so bringen zwei 1-faktorielle Varianzanalysen der Faktoren A und B nur die halbe Wahrheit hervor, mitunter sogar irreführende Ergebnisse. Neben den sog. Haupteffekten der Faktoren A und B gibt es einen sog. Interaktionseffekt A*B. Dieser zeigt an, ob der Einfluss von A von B abhängig ist, und umgekehrt, ob der Einfluss von B von A abhängig ist. So kann es durchaus vorkommen, dass die Haupteffekte A und B nicht signifikant sind, dafür aber A*B. Dies besagt, dass ein Einfluss von A vorhanden ist, der je nach Gruppe (Stufe) des Faktors B unterschiedlich ausfällt, und umgekehrt, dass ein Einfluss von B vorhanden ist, der je nach Gruppe (Stufe) des Faktors A unterschiedlich ausfällt. Dies lässt sich grafisch durch einen sog. Interaktionsplot (in SPSS Profilplot genannt) veranschaulichen, in SPSS erhältlich über die parametrische Varianzanalyse (Analysieren -> Allg. lineare Modell -> univariat -> Diagramme). Dort werden Mittelwertlinien des Faktors A getrennt für die Stufen des Faktors B gezeichnet. Ein nicht paralleler Verlauf der Kurven deutet auf eine signifikante Interaktion hin. Dies kann zum einen sein: Der Einfluss von A ist unterschiedlich stark für die Gruppen von B, oder der Einfluss von A ist für die Gruppen von B gegensätzlich. Interaktionsplot für den Datensatz von S. 425 aus dem Buch von B.J.Winer

3 2.2 Verfahren bei balancierten Versuchsplänen: Nach Bredenkamp wird zum Test der beiden Haupteffekte (A und B mit k bzw. l Stufen) jeweils der Kruskal-Wallis-H-Test durchgeführt (Ergebnisse: 2 A und 2 B ). Zum Test der Interaktion A*B wird ein H-Test zum Vergleich aller Zellen durchgeführt (Ergebnis: 2 AB ), von dem erhaltenen 2 -Wert dann die 2 -Werte der Haupteffekte abgezogen und schließlich der Restwert anhand der Tabelle der 2 -Verteilung auf Signifikanz überprüft:- H-Testwerte ( 2 -Werte) Freiheitsgrade 2 AB - 2 A - 2 B 2 AB - 2 A - 2 B kl-1 k-1 l-1 (k-1)(l-1) 2.3 Verfahren bei beliebigen, insbesondere nichtbalancierten Versuchsplänen: Allgemein kann die nichtparametrische Varianzanalyse auf die klassische parametrische Varianzanalyse zurückgeführt werden, indem die abhängige Variable zuvor in Ränge transformiert wird, für diese dann die Varianzanalyse durchgeführt wird und anschließend anstatt der F-Tests 2 -Tests durchgeführt werden (vgl. die o.a. Quellen: Winer, B.J. et.al. sowie Shirley, E.A.). Dabei werden die 2 -Werte errechnet als 2 = SS Effekt MS total wobei SS Effekt die Streuungsquadratsumme (Sum of Squares) des zu testenden Effektes (A, B oder A*B) und MS total die Gesamtvarianz, in SPSS korrigierte Gesamtvariation, (Mean Square) ist, die beide aus der Anova-Tabelle abgelesen werden können. (Im balancierten Fall sind diese 2 -Werte identisch mit denen, die über die o.a. erste Methode errechnet werden können.) Die 2 -Werte sind dann in den Tafeln für den 2 -Test auf Signifikanz zu überprüfen, wobei die Freiheitsgrade die Zählerfreiheitsgrade des entsprechenden F-Tests sind. 2.4 Beispielrechnung für den Datensatz von S. 425 aus dem Buch von B.J.Winer: Verfahren von Bredenkamp: (Durchnummerierung der Zellen:= (Patients - 1)*#Drugs + Drugs ) 2 Patients 2 Drugs 2 Zellen 2 Interaktion = 0,872 (1 Fg.) = 2,326 (2 Fg.) = 11,755 (5 Fg.) = 11,755-0,872-2,326 = 8,557 (2 Fg.) (Der kritische 2 -Wert für 2 Fg. und =0.05 beträgt 6.) Verfahren von Puri & Sen bzw. Winer: Die Varianzanalysetabelle für die rangtransformierten Daten

4 Daraus ergeben sich: MS total = 477,5 / 17 = 28,09 2 Patients = 24,50 / 28,09 = 0,872 2 Drugs = 65,33 / 28,09 =2,326 2 Interaktion = 240,33 / 28,09 = 8, Unabhängige Stichproben: mehrfaktoriell Die beiden o.a. Verfahren lasssen sich trivialerweise auch auf Versuchspläne mit mehr als zwei Faktoren anwenden. 4. Abhängige Stichproben: 1-faktoriell Auch hier wird - wie bei der klassischen Varianzanalyse - die Hypothese gleicher Gruppenmittelwerte getestet: 1 = 2 = = k Dies erfolgt bei abhängigen Stichproben, also Messwiederholungen, über den Friedman-Test, einer Verallgemeinerung des Wilcoxon-Tests von 2 auf beliebig viele Messwiederholungen. Für den Test wird ein Wert errechnet, der 2 -verteilt ist mit (k-1) Freiheitsgraden. Derselbe Test lässt sich auch über eine einfaktorielle klassische Varianzanalyse durchführen. Dies wird in Abschnitt 5.2 ausführlich beschrieben. 5. Abhängige Stichproben: Messwiederholungen auf 2 Faktoren Ausgangsbasis sind Messwiederholungen einer Variablen, die hinsichtlich zweier Faktoren strukturiert sind, z.b. Stressempfinden vor einem Trainingsprogramm, nach einem und nach 3 Monaten, sowie jeweils morgens und abends. Da zu allen Zeitpunkten an denselben Personen bzw. Erhebungseinheiten die Werte ermittelt wurden, entfällt hier eine Unterscheidung hinsichtlich balancierter Versuchspläne. 5.1 Verfahren von Bredenkamp Tests der Zwischensubjekteffekte Quadratsumme Mittel der Quelle vom Typ III df Quadrate F Sig. Korrigiertes Modell 330, ,033 5,378,008 Konstanter Term 1624, , ,312,000 patients 24, ,500 1,995,183 drug 65, ,667 2,661,111 patients * drug 240, ,167 9,787,003 Fehler 147, ,278 Gesamt 2102, Korrigierte Gesamtvariation 477, Nach der Methode von Bredenkamp wird zum Test der beiden Haupteffekte (A und B mit k bzw. l Stufen) jeweils ein Friedman-Test durchgeführt. Und zwar werden beim Test für A jeweils alle Werte zu A 1, alle Werte zu A 2 usw summiert und auf die Summen der Friedman- Test angewandt. Analog beim Test für B (Ergebnisse: 2 A und 2 B ). Zum Test der Interaktion

5 A*B wird ein Friedman-Test über alle Messwiederholungen durchgeführt (Ergebnis: 2 AB ), von dem erhaltenen 2 -Wert dann die 2 -Werte der Haupteffekte abgezogen und schließlich der Restwert anhand der Tabelle der 2 -Verteilung auf Signifikanz überprüft. Dieses Verfahren verläuft also analog dem oben besprochenen für unabhängige Stichproben. Leider hat sich gezeigt, dass die Berechnung der Interaktion auf diese Weise nicht korrekt ist, so dass davon abgeraten werden muss. 5.2 Verfahren von Winer und Shirley Besser lassen sich die Ergebnisse über eine Rangtransformation, anschließende klassische Varianzanalyse und Konstruktion von 2 -Tests erzielen (vgl. dazu o.a. Quelle: Winer, B.J. et.al.). Hierzu müssen die Variablen der Messwiederholungen in Ränge transformiert werden. Da SPSS keine fallweise Rangberechnung über mehrere Variablen erlaubt, sind einige Schritte dazu erforderlich (die in einem separaten Skript ausführlich beschrieben sind): 1. Über Daten -> Umstrukturieren -> Transponieren müssen die gewünschten Variablen in Fälle gewandelt werden. 2. Die aus den Fällen neu entstandenen Variablen werden über Transponieren -> Rangfolge bilden in Ränge umgerechnet. 3. Die neu entstandenen Rangvariablen müssen wieder wie oben transponiert werden. Auf diese Weise hat man die Variablen der Messwiederholungen in Ränge transformiert. Darauf wird nun die klassische Varianzanalyse mit Messwiederholungen angewandt. Die 2 -Tests für die Haupteffekte und die Interaktion werden wie folgt errechnet: 2 = SS Effekt SS Effekt + SS Fehler df Effekt + df Fehler wobei SS Effekt die Streuungsquadratsumme (Sum of Squares) des zu testenden Effektes (A, B oder A*B), SS Fehler die Streuungsquadratsumme des zum Effekt gehörenden Fehlers ist sowie df die entsprechenden Freiheitsgrade. Die 2 -Werte sind dann in den Tafeln für den 2 -Test auf Signifikanz zu überprüfen, wobei die Freiheitsgrade die Zählerfreiheitsgrade (df Effekt ) des entsprechenden F-Tests sind. 5.3 Beispielrechnung für den Datensatz von S. 537 aus dem Buch von B.J.Winer: Verfahren von Bredenkamp: Berechnung der Summen: compute time1=mean(v1,v2,v3). compute time2=mean(v4,v5,v6). compute time3=mean(v7,v8,v9). compute dial1=mean(v1,v4,v7). compute dial2=mean(v2,v5,v8). compute dial3=mean(v3,v6,v9). 2 time = 12,0 (2 Fg.) 2 dials 2 Zellen = 12,0 (2 Fg.) = 43,76 (8 Fg.) 2 Interaktion = 43,76-12,0-12,0 = 19,76 (4 Fg.) (Der kritische 2 -Wert für 4 Fg. und =0.05 beträgt 9,5.) Verfahren von Winer: Die Varianzanalysetabelle für die rangtransformierten Daten

6 Daraus ergeben sich: SS Time = 185 (2 Fg.) Fehler Time = 9,97 (10 Gf.) SS Dials = 139 (2Fg.) Fehler Dials = 13 (10Fg.) SS Interaktion = 3,22 (4 Fg.) Fehler Interaktion = 8,8 (20 Fg.) 2 Time 2 Dials 2 Interaktion = 185 / ( ,97)/(2 + 10) = 11,39 = 139 / ( )/(2 + 10) = 10,97 = 3,22 / (3,22 + 8,8)/(4 + 20) = 6,44 6. Abhängige Stichproben: Messwiederholungen auf 1 Faktor Hier wird ausgegangen von einem 2-faktoriellen Versuchsplan: ein Gruppierungsfaktor A (unabhängige Stichproben) und einem Messwiederholungsfaktor B (abhängige Stichproben). 6.1 Verfahren von Bredenkamp Tests der Innersubjekteffekte Quadratsumme Mittel der Quelle vom Typ III df Quadrate F Sig. Time Sphärizität angenommen 185, ,514 92,772,000 Greenhouse-Geisser 185,028 1,936 95,564 92,772,000 Huynh-Feldt 185,028 2,000 92,514 92,772,000 Untergrenze 185,028 1, ,028 92,772,000 Fehler(Time) Sphärizität angenommen 9,972 10,997 Greenhouse-Geisser 9,972 9,681 1,030 Huynh-Feldt 9,972 10,000,997 Untergrenze 9,972 5,000 1,994 Dials Sphärizität angenommen 139, ,500 53,462,000 Greenhouse-Geisser 139,000 1, ,948 53,462,000 Huynh-Feldt 139,000 1,672 83,151 53,462,000 Untergrenze 139,000 1, ,000 53,462,001 Fehler(Dials) Sphärizität angenommen 13, ,300 Greenhouse-Geisser 13,000 6,751 1,926 Huynh-Feldt 13,000 8,358 1,555 Untergrenze 13,000 5,000 2,600 Time * Dials Sphärizität angenommen 3,222 4,806 1,835,162 Greenhouse-Geisser 3,222 2,446 1,317 1,835,198 Huynh-Feldt 3,222 4,000,806 1,835,162 Untergrenze 3,222 1,000 3,222 1,835,233 Fehler(T*D) Sphärizität angenommen 8,778 20,439 Greenhouse-Geisser 8,778 12,232,718 Huynh-Feldt 8,778 20,000,439 Untergrenze 8,778 5,000 1,756 Nach dem Verfahren von Bredenkamp wird zum Test des Haupteffekts A pro Erhebungseinheit (z.b. Versuchsperson) die Summe aller Messwiederholungen errechnet. Hierauf wird dann der o.a. Kruskal-Wallis-H-Test angewandt. Zum Test des Haupteffekts B wird ein Friedman-Test über die Messwiederholungen durchgeführt, wobei die Gruppeneinteilung durch den Faktor A ignoriert wird. Für die Interaktion wird für jede Stufe des Faktors A ein Friedman-Test errechnet, die resultierende 2 -Werte aufsummiert, davon der 2 -Wert des Friedman-Tests des Haupteffekts B abgezogen und schließlich der Restwert anhand der Tabelle der 2 -Verteilung

7 auf Signifikanz überprüft.- 2 -Testwerte Freiheitsgrade 2 B (A 1 ) 2 B (A 2 ) B (A k ) - 2 B Summe( 2 B (A i )) - 2 B l-1 l-1 l-1 l-1 (k-1)(l-1) 6.2 Verfahren von Winer und Shirley Auch hier lassen sich die Ergebnisse über eine Rangtransformation, anschließende klassische Varianzanalyse und Konstruktion von 2 -Tests erzielen. Allerdings ist die Umrechnung der Rohwerte in Ränge etwas komplizierter. Die Schritte im Einzelnen: pro Erhebungseinheit (z.b. Versuchsperson) die Summe S aller Messwiederholungen errechnen; S in Ränge R S umrechnen; in SPSS müssen an dieser Stelle die Daten wie in 5. umstrukturiert werden, was in einem separaten Skript ausführlich beschrieben ist; pro Erhebungseinheit (z.b. Versuchsperson) die Rohwerte x i in Ränge R i umrechnen; die endgültigen Ränge errechnen sich als (R S -1)*l + R i, wobei l die Anzahl der Messwiederholungen ist. In SPSS müssen zum Schluss wieder die Daten umstrukturiert werden, um die ursprüngliche, normale Form der Datenmatrix zu erhalten. Zur Berechnung der Tests: Der Test des Gruppierungsfaktors A errechnet sich ähnlich wie in 2.3: 2 = SS Effekt MS zwischen Hier muss MS zwischen anstatt MS total ermittelt werden. Dazu werden die Streuungen von A und Fehler addiert und durch die Summe der entsprechenden Freiheitsgrade dividiert. Der Test des Messwiederholungsfaktors B erfolgt ähnlich wie in 5.2 beschrieben: 2 SS Effekt = MS innerhalb Für MS innerhalb werden die Streuungen von B, AB und Fehler addiert und durch die Summe der entsprechenden Freiheitsgrade dividiert.

8 6.3 Beispielrechnung für den Datensatz von S. 518 aus dem Buch von B.J.Winer: Verfahren von Bredenkamp: 2 A = 0,099 (1 Fg.) 2 B = 9,556 (2 Fg.) 2 B (A 1 ) = 9,333 (2 Fg.) 2 B (A 2 ) = 8,444 (2 Fg.) 2 Interaktion = 9, ,444-9,556 = 8,221 (2 Fg.) (Der kritische 2 -Wert für 2 Fg. und =0.05 beträgt 6.) Verfahren von Puri & Sen bzw. Winer: Zunächst die Rohdaten, Summe, Rangsumme und Rangwerte: Die Varianzanalysetabelle für Faktor A für die rangtransformierten Daten Tests der Zwischensubjekteffekte Quadratsumme Mittel der Quelle vom Typ III df Quadrate F Sig. Konstanter Term 7207, ,500 26,496,001 A 24, ,300,089,773 Fehler 2176, ,025 Die Varianzanalysetabelle für Faktor B für die rangtransformierten Daten Tests der Innersubjekteffekte Quelle Quadratsumme vom Typ III df Mittel der Quadrate F Sig. B Sphärizität angenommen 8, ,300 34,400,000 Greenhouse-Geisser 8,600 1,460 5,891 34,400,000 Huynh-Feldt 8,600 1,926 4,464 34,400,000 Untergrenze 8,600 1,000 8,600 34,400,000 B * A Sphärizität angenommen 7, ,700 29,600,000 Greenhouse-Geisser 7,400 1,460 5,069 29,600,000 Huynh-Feldt 7,400 1,926 3,841 29,600,000 Untergrenze 7,400 1,000 7,400 29,600,001 Fehler(B) Sphärizität angenommen 2,000 16,125 Greenhouse-Geisser 2,000 11,679,171 Huynh-Feldt 2,000 15,411,130 Untergrenze 2,000 8,000,250

9 SS A = 24,3 MS zwischen = (24, ,2)/(1 + 8) = 244,5 SS B = 8,6 SS Interaktion = 7,4 MS innerhalb = (8,6 + 7,4 + 2)/(2+2+16) = 0,9 2 (A) = 24,3/244,5 = 0,099 (1 Fg.) 2 (B) = 8,6/0,9 = 9,5 (2 Fg.) 2 Interaktion = 7,4/0,9 = 8,2 (2 Fg.) (Der kritische 2 -Wert für 2 Fg. und =0.05 beträgt 6.) 7. Multiple Mittelwertvergleiche Insbesondere im Falle signifikanter Haupteffekte, falls der Faktor drei oder mehr Stufen hat, interessiert, zwischen welchen Stufen Unterschiede bestehen. Hierzu werden üblicherweise sog. post-hoc-tests herangezogen. Allerdings gibt im Falle nichtparametrischer Analysen hierfür keine speziellen Verfahren, wie es z.b. die Tests von Tukey, Newman-Keuls, Scheffe oder Duncan im parametrischen Fall sind. Dennoch gibt es zwei Notbehelfe : Paarvergleiche mit einer -Korrektur: Z.B. nach der Methode von Bonferroni. Diese besagt, dass bei m durchgeführten Paarvergleichen die p-werte nicht mit sondern mit /m auf Signifikanz zu vergleichen sind. Oder alternativ die p-werte mit m zu multiplizieren sind. Diese multiplen Vergleiche mit einer - Korrektur können im Zusammenhang mit dem Kruskal-Wallis-H-Test oder dem Friedman- Test in SPSS angefordert werden. Oder nach der Methode von Holm. Bei dieser wird von m durchgeführten Paarvergleichen der kleinste p-wert mit /m auf Signifikanz überprüft. Bei einem signifikanten Ergebnis darf der nächst kleinere p-wert mit /(m-1) auf Signifikanz überprüft werden usw.. Anwendung der o.a. parametrischen multiplen Mittelwertvergleiche (wie z.b. Newman- Keuls-Test) auf die in Ränge transformierten Daten. Man nennt diese Methode rank transform tests. Bei Conover, W. J. & Iman, R. L. (Rank transformations as a bridge between parametric and nonparametric statistics, 1981, American Statistician 35 (3): ) ist nachzulesen, dass dies zu brauchbaren Ergebnissen führt, obwohl für diese Tests allgemein eine strikte Einhaltung der Voraussetzungen (Varianzhomogenität und Normalverteilung) empfohlen wird. 8. Varianzanalysen für dichotome Variablen 8.1. Unabhängige Stichproben Für den Vergleich von k unabhängige Gruppen oder mehrfaktorielle Analysen bei einer dichotomen abhängigen Variablen gibt es die folgenden Methoden: Kontingenztabellenanalyse Logistische Begression Klassische Varianzanalyse (bei großer Fallzahl) (Faustregeln: Ist p > 0.2 sollte der Fehlerterm mindestens 20 Fg haben, ist p < 0.2 sollte er mindestens 40 Fg haben.) nichtparametrische Varianzanalyse (vgl. 1. und 2.)

10 Allerdings lassen sich die o.a. Verfahren nicht so ohne weiteres für sog. Einzelvergleiche (sog. posthoc-tests) anwenden. Immer möglich sind paarweise Vergleiche, bei denen die Irrtumswahrscheinlichkeit bzgl. der Anzahl der Vergleiche korrigiert wird, z.b. über die (leider sehr konservative) Bonferroni-Adjustierung ( <- /m, wenn m die Anzahl der Vergleiche ist). Bei der Kontingenztabellenanalyse gibt es die Möglichkeit Untertabellen zu vergleichen, was entsprechende Hypothesen voraussetzt und in etwa der Methode der linearen Kontraste bei metrischen Variablen entspricht Abhängige Stichproben Für den Vergleich von k abhängigen Stichproben gibt es Cochran s Q-Test (identisch mit dem Friedman-Test bei ordinalen Merkmalen) Klassische Varianzanalyse (bei großer Fallzahl) Bei mehrfaktoriellen Varianzanalysen mit abhängigen Stichproben bei einer dichotomen abhängigen Variablen gibt es letztlich dieselben Möglichkeiten: entweder Handhabung wie eine ordinale Variable und Anwendung der o.a. nichtparametrischen Analysen (vgl. 4. bis 6.) oder bei großer Fallzahl Durchführung einer klassischen Varianzanalyse. Haiko Lüpsen Regionales Rechenzentrum der Universität zu Köln